(共17张PPT)
第六章 导
数
第六章测试
导
数
【答案】B
【解析】由f'(x)=lnx+1=2,解得x0=e.故选B.
一、选择题
1.(2008新课标卷,文)设f(x)=xlnx,若f‘(x0)=2,则x0=
(
)
A.e2
B.e
C.
D.ln2
2.(2009新课标卷)曲线
在点(1,-1)处的切线方程为(
)
A.y=x+2
B.y=-2x+3
C.y=-2x-3
D.y=-2x+1
【答案】B
【解析】
y'=axa-1,则k=y'|x=1=a,故切线方程为y=ax且切线过点(1,2),解得a=2.故选B.
3.若曲线y=xa+1(a∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则a=(
)
A.3
B.2
C.1
D.-1
4.函数y=
x2-lnx的单调递减区间为
(
)
A.(-1,1)
B.(0,1)
C.(1,+∞)
D.(0,+∞)
5.已知f(x)=1+x-sinx,则f(2),f(3),f(π)的大小关系正确的是
(
)
A.f(2)>f(3)>f(π)
B.f(3)>f(2)>f(π)
C.f(2)>f(π)>f(3)
D.f(π)>f(3)>f(2)
【答案】D
【解析】因为f(x)=1+x-sin
x,所以f'(x)=1-cos
x,
当x∈(0,π]时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,π]上是增函数,
所以f(π)>f(3)>f(2).故选D.
6.(多选题)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论正确的是(
)
A.?x0∈R,f(x0)=0
B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形
C.若x1是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x1)单调递减
D.若x1是f(x)的极值点,则f'(x1)=0
【答案】ABD
【解析】
(1)根据三次函数的特征,f(x)的图象与x轴最少一个交点,A正确;
(2)三次函数的图象本身就是一个中心对称图形,B正确;
(3)若x1是f(x)的极值点,则f'(x1)=0,D正确;
(4)对于选项C:取a=3,b=-9,c=0,即f(x)=x3+3x2-9x,则f'(x)=3x2+6x-9,
所以当x<-3或x>1时,f'(x)>0,当-3
所以f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)内递增,(-3,1)内递减,
则x=1时为极小值点,但在区间(-∞,1)不单调递减,显然错误.故选ABD.
7.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于
(
)
A.2
B.3
C.6
D.9
【答案】D
【解析】利用导数与函数的单调性进行验证.
f'(x)>0的解集对应y=f(x)的增区间,f'(x)<0的解集对应y=f(x)的减区间,
验证只有D选项符合.
8.(2017浙江)函数y=f(x)的导函数y=f‘(x)的图象如图
所示,则函数y=f(x)的图象可能是
(
)
A.
B.
C.
D.
9.已知定义在R上的函数f(x),f(x)+x·f'(x)<0,若a)
A.af(a)B.af(b)C.af(a)>bf(b)
D.af(b)>bf(a)
【答案】C
【解析】
[x·f(x)]'=x'f(x)+x·f'(x)=f(x)+x·f'(x)<0,
∴函数x·f(x)是R上的减函数,
∵abf(b).故选C.
10.若函数f(x)=ex-ax2在区间(0,+∞)上有两个极值点x1,x2(0(
)
A.a≤
B.a>e
C.a≤e
D.a>
二、填空题
11.曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为
.
【答案】y=-5x+3
【解析】由题得y'=-5e-5x,则在点(0,3)处的切线的斜率为-5,
所以切线方程为y-3=-5(x-0),即y=-5x+3.
12.曲线y=
x2+x在点(2,4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
.
13.(2018新课标Ⅲ卷)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=
.
【答案】-3
【解析】
y'=aex+(ax+1)ex,则f'(0)=a+1=-2,所以a=-3.
14.(2016新课标Ⅱ卷)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=
.
三、解答题
15.函数f(x)=aex-xlnx,a∈R,若a≥
,证明:f(x)>0.
16.(2019新课标Ⅲ卷)已知函数f(x)=
,讨论函数f(x)的单调性，并证明函数f(x)有且只有两个零点.(共23张PPT)
第六章 导数
第1节
导数的计算、函数的单调性
知识梳理
1.导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.
过点P(x0,f(x0))的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
2.基本初等函数的导数
原函数
导函数
f(x)=xn(n∈Q
)
f'(x)=n·xn-1
f(x)=sinx
f'(x)=cosx
f(x)=cosx
f'(x)=-sinx
f(x)=ax
f'(x)=axlna(a>0)
f(x)=ex
f'(x)=ex
f(x)=logax
f'(x)=
f(x)=lnx
f'(x)=
3.常用的导数运算法则
(1)[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x);
(2)[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x);
(3)
4.函数的单调性
函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,满足f'(x)>0,则f(x)在区间(a,b)上为增函数;若f'(x)<0,则f(x)在区间(a,b)上为减函数.
精选例题
【例1】
(2013新课标卷)已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处的切线的斜率为8,则a=
(
)
A.9
B.6
C.-9
D.-6
【例2】
(2019新课标Ⅲ卷,文)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.讨论f(x)的单调性.
专题训练
1.(2012辽宁)函数y=
x2-lnx的单调递减区间为
(
)
A.(-1,1]
B.(0,1]
C.[1,+∞)
D.(0,+∞)
2.函数f(x)=excosx的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为(
)
3.(2012新课标卷)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f‘(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf’(x)的图象可能是
(
)
A.
B.
C.
D.
4.(2014新课标Ⅱ卷)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是
(
)
A.(-∞,-2]
B.(-∞,-1]
C.[2,+∞)
D.[1,+∞)
5.函数f(x)=x2-alnx在(1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为(
)
A.a<1
B.a≤1
C.a<2
D.a≤2
6.(2018新课标Ⅱ卷)曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为
.
7.(2016新课标Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是
.
8.(2017新课标Ⅰ卷)曲线y=x2+
在点(1,2)处的切线方程为
.
9.已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则
的值为
(
)
10.(2018新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为
(
)
A.y=-2x
B.y=-x
C.y=2x
D.y=x
11.(2020新课标Ⅰ卷)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为
(
)
A.y=-2x-1
B.y=-2x+1
C.y=2x-3
D.y=2x+1
【答案】B
【解析】
∵f(x)=x4-2x3,∴f'(x)=4x3-6x2,∴f(1)=-1,f'(1)=-2,
因此,所求切线的方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.故选B.
12.(2018开封)函数f(x)=lnx+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是
(
)
A.(-∞,2]
B.(-∞,2)
C.(2,+∞)
D.(0,+∞)
13.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(0,+∞)上有3f(x)+xf'(x)>0恒成立,若g(x)=x3f(x),令a=g(-1.5),b=g(log42),c=g(2),则
(
)
A.aB.bC.bD.c14.(2019新课标Ⅱ卷,文)曲线y=2sinx+cosx在点(π，-1)处的切线方程为(
)
A.x-y-π-1=0
B.2x-y-2π-1=0
C.2x+y-2π+1=0
D.x+y-π+1=0
15.(2019新课标Ⅲ卷,文)已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，则(
)
A.
a=e，b=-1
B.a=e，b=1
C.
a=e-1，b=1
D.
a=e-1，b=-1
【答案】D
【解析】
∵y'=aex+lnx+1,
∴切线的斜率k=y'|x=1=ae+1=2,∴a=e-1,
将(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,b=-1.故选D.
16.(2019新课标Ⅰ卷,文)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为____________．
【答案】3x-y=0
【解析】
y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,
所以切线的斜率k=y'|x=0=3,
则曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0.(共16张PPT)
第六章 导
数
第2节
简单复合函数的的导数
知识梳理
1.复合函数的概念.
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).
2.复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
精选例题
【例1】
求下列函数的导数.
(1)y=(3x-1)2;
(2)y=cos
2x;
(3)y=sin
.
【解析】
(1)令u=3x-1,则y=u2,∴y'u=2u,u'x=3.
∴y'x=y'u·u'x=2(3x-1)·(3x-1)'=18x-6.
(2)令u=2x,则y=cos
u,
∴y'x=y'u·u'x=(-sin
u)·2=-2sin
2x.
(3)令u=2x-
,则y=sin
u,
∴y'x=y'u·u'x=(cos
u)×2=2cos
.
专题训练
【答案】B
【解析】
f'(x)=10(1-2x)9×(-2),所以f'(1)=10×(1-2)9×(-2)=20.故选B.
1.设函数f(x)=(1-2x)10,则f'(1)等于
(
)
A.0
B.20
C.-1
D.-20
2.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a等于(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】D
【解析】
y'=a-
,由题意得y'|x=0=2,即a-1=2,所以a=3.故选D.
5.若函数y=f(x)=(2x+a)2,且f'(2)=20,则a=
.
【答案】
1
【解析令u=2x+a,则yx'=yu'·ux'=(u2)'(2x+a)'=4(2x+a),
则由f'(2)=4(2×2+a)=20,得a=1.
7.曲线y=sin
2x在点M(π,0)处的切线方程是
.
【答案】
y=2(x-π)
【解析】
y'=(sin
2x)'=cos
2x·(2x)'=2cos
2x,则k=y'|x=π=2.
又过点(π,0),所以切线方程为y=2(x-π).
8.若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是
.
【答案】
-3
【解析】
∵y'=3cos
3x,∴k=3cos
π=-3.
10.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线l:2x-y+3=0的最短距离.
11.(2016北京)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4,则a=
,b=
.
【答案】
2;e
【解析】
∵f(x)=xea-x+bx,∴f'(x)=ea-x-xea-x+b=(1-x)ea-x+b.
∵曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4,
∴f(2)=2(e-1)+4,f'(2)=e-1
即f(2)=2ea-2+2b=2(e-1)+4
①,
f'(2)=(1-2)ea-2+b=e-1
②,
由①②解得a=2,b=e.
12.(2016新课标Ⅲ卷,文)已知f(x)为偶函数,当x≤0
时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在(1,2)处的切线方程为
.
【答案】
y=2x
【解析】
当x>0时,-x<0,则f(-x)=ex-1+x.又因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ex-1+x,
所以f'(x)=ex-1+1,则在(1,2)处切线斜率为f'(1)=2,所以切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.(共25张PPT)
第六章 导数
第3节
利用导数研究函数的极值或最值
知识梳理
1.函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值.
2.函数在闭区间[a,b]上的最值
如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么该函数在[a,b]上一定能够取得最大值和最小值,并且函数的最值必在极值点或区间端点取得.
精选例题
【例1】
(2012陕西)设函数f(x)=
+lnx,则
(
)
A.x=
为f(x)的极大值点
B.x=
为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点
【例2】
(2012陕西)设函数f(x)=xex,则
(
)
A.x=1为f(x)的极大值点
B.x=1为f(x)的极小值点
C.x=-1为f(x)的极大值点
D.x=-1为f(x)的极小值点
【例3】
(2012重庆)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(
)
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
【例3】
D
【解析】
当x<-2时,y=(1-x)f'(x)>0,此时f'(x)>0,函数递增.
当-2当10,此时f'(x)<0,函数递减.
当x>2时,y=(1-x)f'(x)<0,此时f'(x)>0,函数递增.
综上函数f(x)有极大值f(-2),极小值f(2).故选D.
专题训练
1.函数f(x)=lnx-x在区间(0,e]上的最大值为
(
)
A.1-e
B.-1
C.-e
D.0
2.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为
(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】B
【解析】
由函数极值的定义和导函数的图象可知,
f'(x)在(a,b)上与x轴的交点个数为4,但是在原点附近的导数值恒大于零,
故x=0不是函数f(x)的极值点,其余的3个交点都是极值点,
其中有2个点满足其附近的导数值左正右负,故极大值点有2个.故选B.
3.已知函数f(x)=2lnx+ax2-3x在x=2处取得极小值,则f(x)的极大值为
(
)
A.2
B.-
C.3+ln2
D.-2+2ln2
4.已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值,则实数c的值为
(
)
A.6
B.2
C.2或6
D.0
【答案】B
【解析】
由f'(2)=0可得c=2或6.
当c=2时,结合图象(图略)可知函数先增后减再增,在x=2处取得极小值;
当c=6时,结合图象(图略)可知,函数在x=2处取得极大值.故选B.
7.已知函数f(x),x∈R有唯一极值,且当x=1时,f(x)存在极小值,则(
)
A.当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0
B.当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0
C.当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0
D.当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0
【答案】C
【解析】
∵x<1时f'(x)<0,f(x)递减.x>1时f'(x)>0,f(x)递增,∴x=1时f(x)存在极小值,选C.
8.已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是
(
)
A.(2,3)
B.(3,+∞)
C.(2,+∞)
D.(-∞,3)
【答案】B
【解析】因为函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,所以有f'(2)=0,
而f'(x)=6x2+2ax+36,代入得a=-15.
现令f'(x)>0,解得x>3或x<2,所以函数的一个增区间是(3,+∞).故选B.
9.(2016四川)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=
(
)
A.-4
B.-2
C.4
D.2
【答案】D
【解析】∵f(x)=x3-12x,∴f'(x)=3x2-12,令f'(x)=0,得x1=-2,x2=2.
当x∈(-∞,-2),(2,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)单调递增;
当x∈(-2,2)时,f'(x)<0,则f(x)单调递减,∴f(x)的极小值点为a=2.故选D.
10.(2018银川模拟)已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,
f(x)=lnx-ax(a>
),当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于(
)
11.函数y=f(x)导函数的图象如图所示,则下列说法错误的是(
)
A.(-1,3)为函数y=f(x)的递增区间
B.(3,5)为函数y=f(x)的递减区间
C.函数y=f(x)在x=0处取得极大值
D.函数y=f(x)在x=5处取得极小值
【答案】C
【解析】由函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象知,
当x<-1及3当-15时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
所以f(x)的单调减区间为(-∞,-1),(3,5);单调增区间为(-1,3),(5,+∞).
f(x)在x=-1,5处取得极小值,在x=3处取得极大值,因此C不正确.
12.若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围是(
)
A.1B.1C.2D.a>4或a<1
13.(2017新课标Ⅱ卷)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极小值为
(
)
A.-1
B.-2e-3
C.5e-3
D.1
【答案】A
【解析】
∵f'(x)=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1,∵f'(-2)=0,∴a=-1,
所以f(x)=(x2-x-1)ex-1,f'(x)=(x2+x-2)ex-1,
令f'(x)=0,解得x=-2或x=1,所以当x∈(-∞,-2),f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(-2,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)的极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1.故选A.
14.设函数f(x)=alnx-bx2(x>0),若函数f(x)在x=1处与直线y=-
相切.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)在
上的最大值.
15.(2017北京)已知函数f(x)=excosx-x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
15.(2017北京)已知函数f(x)=excosx-x.
(2)求函数f(x)在区间[0,
]上的最大值和最小值.
16.(2018哈尔滨模拟)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).
(1)当a=
时,求f(x)的极值;
x
(0,2)
2
(2,+∞)
f'(x)
+
0
-
f(x)
↗
ln2-1
↘
16.(2018哈尔滨模拟)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
17.(2019新课标Ⅱ卷,文)已知函数f(x)=(x-1)lnx-x-1,证明：
(1)
f(x)存在唯一的极值点；
17.(2019新课标Ⅱ卷,文)已知函数f(x)=(x-1)lnx-x-1,证明：
(2)
f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．(共25张PPT)
第六章 导
数
第4节
导数综合解答题
1.(2020新课标Ⅰ卷,文)已知函数f(x)=ex-a(x+2).
当a=1时,讨论f(x)的单调性.
【解析】
当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f'(x)=ex-1.
当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
2.(2020新课标Ⅰ卷,理)已知函数f(x)=ex+ax2-x.
当a=1时,讨论f(x)的单调性.
【解析】当a=1时,f(x)=ex+x2-x,则f'(x)=ex+2x-1.
故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
3.(2018深圳模拟)设函数f(x)=ex-1-alnx,其中e为自然对数的底数.
若a=1,求f(x)的单调区间.
【解析】若a=1,则f(x)=ex-1-lnx(x>0),∴f'(x)=
(x>0).
令t(x)=xex-1-1(x>0),则t'(x)=(x+1)ex-1(x>0),
当x>0时,t'(x)>0,即t(x)单调递增,又t(1)=0,
∴当x∈(0,1)时,t(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,t(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增.
∴f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).
4.(2020新课标Ⅱ卷,理)已知函数f(x)=sin2xsin
2x.
讨论f(x)在区间(0,π)的单调性.
5.(2017广州模拟)已知函数f(x)=lnx+
(a>0).
若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围.
6.(2018惠州模拟)已知函数f(x)=4lnx-mx2+1(m∈R).
讨论函数f(x)的单调性.
7.(2015新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=emx+x2-mx.
证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.
【证明】
f'(x)=m(emx-1)+2x.
若m≥0,则当x∈(-∞,0)时,emx-1≤0,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,
emx-1≥0,f'(x)>0.
若m<0,则当x∈(-∞,0)时,emx-1>0,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,
emx-1<0,f'(x)>0.
所以,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
8.(2020新课标Ⅱ卷,文)已知函数f(x)=2lnx+1.
若f(x)≤2x+c,求c的取值范围.
【解析】
设h(x)=f(x)-2x-c,则h(x)=2lnx-2x+1-c,其定义域为(0,+∞),h'(x)=-2.
当00;当x>1时,h'(x)<0.
所以h(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.
从而当x=1时,h(x)取得最大值,最大值为h(1)=-1-c.
故当且仅当-1-c≤0,即c≥-1时,f(x)≤2x+c.
所以c的取值范围为[-1,+∞).
9.已知函数f(x)=lnx,h(x)=ax(a∈R).
函数f(x)与h(x)的图象无公共点,试求实数a的取值范围.
x
(0,e)
e
(e,+∞)
t'(x)
+
0
-
t(x)
单调递增
极大值
单调递减
10.已知函数f(x)=lnx-ax2+x,a∈R.
讨论函数f(x)的单调性.
11.(2016新课标Ⅰ卷,理)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.
求a的取值范围.
12.已知函数f(x)=lnx-(a+1)x,其中a∈R.
试讨论函数f(x)的单调性及最值.
13.(2017新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0.
求a.
14.(2017新课标Ⅲ卷)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.
讨论f(x)的单调性.
15.(2018新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=
x3-a(x2+x+1).
(1)若a=3,求f(x)的单调区间;
15.(2018新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=
x3-a(x2+x+1).
(2)证明:f(x)只有一个零点.
16.(2018新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=aex-lnx-1.
(1)设x=2是f(x)的极值点.求a,并求f(x)的单调区间;
16.(2018新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=aex-lnx-1.
(2)证明:当a≥
时,f(x)≥0.
17.(2019新课标Ⅰ卷,文)已知函数f(x)=2sin
x-xcos
x-x,f'(x)为f(x)的导数.
(1)证明:f'(x)在区间(0,π)存在唯一零点;
17.(2019新课标Ⅰ卷,文)已知函数f(x)=2sin
x-xcos
x-x,f'(x)为f(x)的导数.
(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.
(2)由题设知,f(π)≥aπ,f(π)=0,可得a≤0.
由(1)知,f'(x)在(0,π)只有一个零点,设为x0,且当x∈(0,x0)时,f'(x)>0;当x∈(x0,π)时,f'(x)<0,
所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,π)上单调递减.
又f(0)=0,f(π)=0,所以,当x∈[0,π]时,f(x)≥0.
又当a≤0,x∈[0,π]时,ax≤0,故f(x)≥ax.
因此,a的取值范围是(-∞,0].