(共19张PPT)
第七章 数 列
第七章测试 数 列
一、选择题
1.(2017新课标Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,
S6=48,则{an}的公差为
( )
A.1
B.2
C.4
D.8
2.(2014新课标Ⅱ卷,文)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=
( )
A.n(n+1)
B.n(n-1)
C.
D.
3.(2012新课标卷)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=
( )
A.7
B.5
C.-5
D.-7
【答案】
D
【解析】
由a4+a7=2,a5a6=a4a7=-8,得a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4.
当a4=4,a7=-2时,a1=-8,a10=1,则a1+a10=-7,
当a4=-2,a7=4时,a10=-8,a1=1,则a1+a10=-7.
综上a1+a10=-7.故选D.
4.(2009新课标卷)等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4=
( )
A.7
B.8
C.15
D.16
【答案】
C
【解析】
∵4a1,2a2,a3成等差数列,
∴4a1+a3=4a2,即4a1+a1q2=4a1q,
∴q2-4q+4=0,∴q=2.又a1=1,则S4=15.
故选C.
5.(2007新课标卷,文)已知a,b,c,d成等比数列,且曲线y=x2-2x+3的顶点是(b,c),则ad等于
( )
A.3
B.2
C.1
D.-2
【答案】
B
【解析】
y=x2-2x+3的顶点为(1,2),a,b,c,d成等比数列,
所以bc=ad=2.故选B.
6.等差数列{an}的公差d<0,且a2a4=12,a2+a4=8,则数列{an}的通项公式是
( )
A.an=2n-2
B.an=2n+4
C.an=-2n+12
D.an=-2n+10
【答案】
D
【解析】
由a2a4=12,a2+a4=8且d<0,解得a2=6,a4=2,
∴2d=a4-a2=2-6=-4,∴d=-2,∴an=a2+(n-2)d=-2n+10.故选D.
7.在等比数列{an}中,已知a3=6,a3+a5+a7=78,则a5=
( )
A.12
B.18
C.36
D.24
【答案】
D
【解析】
a3+a5+a7=a3(1+q2+q4)=6(1+q2+q4)=78,
即1+q2+q4=13,得q2=3,
所以a5=a3q2=6×3=18.故选B.
8.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=
( )
9.(2017新课标Ⅲ卷)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,
a6成等比数列,则{an}前6项的和为
( )
A.-24
B.-3
C.3
D.8
二、填空题
11.(2013新课标Ⅰ卷)若数列{an}的前n项和Sn=
an+
,则{an}的通项公式是an= .?
12.(2015新课标Ⅰ卷,文)数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和,若Sn=126,则n= .?
13.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取最大值,则d的取值范围是 .?
三、解答题
15.在等差数列{an}中,Sn为其前n
项和(n∈N
),且a3
=5,S3=9.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=
,求数列{bn}的前n
项和Tn.
16.设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)当d>1时,记cn=
,求数列{cn}的前n项和Tn.(共24张PPT)
第七章 数
列
第1节
等差数列
知识梳理
1.等差数列的概念:
在数列{an}中,满足an+1-an=d(n∈N
),d为常数,则称数列{an}为等差数列,常数d称为等差数列的公差.
2.等差数列的通项公式:
an=a1+(n-1)d.
3.等差中项:
如果三个数a,A,b成等差数列,那么A=
叫做a与b的等差中项.
4.等差数列的前n项和:
5.等差数列的性质:
(1)若项数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an=ap+aq.
(2)an=am+(n-m)d(m,n∈N
,n>m).
精选例题
【例1】
(2016新课标Ⅱ卷)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(1)求{an}的通项公式;
【例1】
(2016新课标Ⅱ卷)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
【解析】
(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.
由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.
(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.
【例2】
(2018新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
专题训练
1.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差d为
(
)
A.2
B.3
C.-2
D.-3
【答案】C
【解析】
a1=3-2×1=1,a2=3-2×2=-1,故公差d=a2-a1=-2.故选C.
2.(2018兰州)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,a8+a10=28,则S9=
(
)
A.36
B.72
C.144
D.288
3.已知2和m的等差中项为6,则m=
(
)
A.2
B.4
C.6
D.10
【答案】D
【解析】
2+m=2×6,故m=10.故选D.
4.(2018洛阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a7+a12=24,则S13=
(
)
A.52
B.78
C.104
D.208
5.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则a101的值是
(
)
A.49
B.50
C.51
D.52
6.等差数列{an}中,a5+a6+a7=15,那么a3+a4+…+a9等于
(
)
A.21
B.31
C.35
D.40
【答案】C
【解析】
∵a5+a6+a7=3a6=15,∴a6=5,
∴a3+a4+…+a9=(a3+a9)+(a4+a8)+(a5+a7)+a6=7a6=35.故选C.
7.(2019新课标Ⅲ卷,文)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3=5,a7=13,则S10=
.
8.等差数列{an}的公差d<0,且a2a4=12,a2+a4=8,则数列{an}的通项公式是
(
)
A.an=2n-2
B.an=2n+4
C.an=-2n+12
D.an=-2n+10
【答案】D
【解析】
由a2a4=12,a2+a4=8且d<0,解得a2=6,a4=2,
∵2d=a4-a2=2-6=-4,∴d=-2,∴an=a2+(n-2)d=-2n+10.故选D.
9.(2018新课标Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=
(
)
A.-12
B.-10
C.10
D.12
10.(2020新课标Ⅰ卷,山东)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为
.
【答案】3n2-2n
【解析】
因为数列{2n-1}是以1为首项,以2为公差的等差数列,
数列{3n-2}是以1首项,以3为公差的等差数列,
所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项,以6为公差的等差数列,
所以{an}的前n项和为n·1+
·6=3n2-2n.故答案为3n2-2n.
11.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,则其通项公式an=
;若它的第k项满足5
.
【答案】
2n-10;8
【解析】
n=1时,a1=S1=-8;n>1时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-(n-1)2+9(n-1),
则an=2n-10,并且满足n=1时,a1=-8,所以an=2n-10,则ak=2k-10.
由5<2k-10<8,解得7.512.(2015新课标Ⅰ卷,文)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10=
(
)
13.(2016新课标Ⅰ卷,理)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=
(
)
A.100
B.99
C.98
D.97
14.在等差数列{an}中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,Sn表示数列{an}的前n项和,则使Sn达到最大值的n是
(
)
A.21
B.20
C.19
D.18
15.已知数列{an}满足a1=15,且3an+1=3an-2.若ak·ak+1<0,则正整数k=
(
)
A.21
B.22
C.23
D.24
16.(2020新课标Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)
(
)
A.3699块
B.3474块
C.3402块
D.3339块
【答案】C
【解析】设第n环天石心块数为an,第一层共有n环,
则{an}是以9为首项,9为公差的等差数列,an=9+(n-1)×9=9n,
设Sn为{an}的前n项和,
则第一层、第二层、第三层的块数分别为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,
因为下层比中层多729块,所以S3n-S2n=S2n-Sn+729,
即
+729,
即9n2=729,解得n=9,所以S3n=S27=
=3402.故选C.
17.(2019新课标Ⅰ卷,文)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知
S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
【解析】
(1)设{an}的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.
由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.
因此{an}的通项公式为an=10-2n.
(2)由(1)得a1=-4d,故an=a1+(n-1)d=-4d+(n-1)d=(n-5)d,
Sn=na1+
由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于≥
(n-5)d,即n2-11n+10≤0,解
得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.(共22张PPT)
第七章 数
列
第2节
等比数列
知识梳理
1.等比数列的概念:
在数列{an}中,满足
=q(an≠0),q为常数,则称数列{an}为等比数列,常数q称为等比数列的公比.
2.等比数列的通项公式:
an=a1qn-1.
3.等比中项:
如果三个数a,G,b成等比数列,那么G=±
叫做a与b的等比中项.
4.等比数列的前n项和:
当q=1
时,Sn=na1;
当q≠1时,
5.等比数列的性质:
(1)若项数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am·an=ap·aq.
(2)an=amqn-m(m∈N
).
精选例题
【例1】
在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.
(1)求an的通项公式;
(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.
【例2】
(2018新课标Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,
设bn=
(1)求b1,b2,b3;
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
(3)求{an}的通项公式.
专题训练
1.在等比数列{an}中,a1=8,a4=a3a5,则a7=
(
)
【答案】B
【解析】在等比数列{an}中,∵a1=8,a4=a3a5,即a1q3=a1q2a1q4,
∴1=8q3,∴q=
,则a7=a1q6=8×
.故选B.
2.在等比数列{an}中,已知a3=6,a3+a5+a7=78,则a5=
(
)
A.12
B.18
C.36
D.24
【答案】B
【解析】
a3+a5+a7=a3(1+q2+q4)=6(1+q2+q4)=78即1+q2+q4=13,得q2=3,所以a5=a3q2=6×3=18.故选B.
3.在等比数列{an}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是(
)
A.-
B.
C.±
D.±3
4.已知等差数列{an}的公差为3,若a1,a3,a4成等比数列,则a2等于(
)
A.9
B.3
C.-3
D.-9
【答案】D
【解析】
a1=a2-3,a3=a2+3,a4=a2+3×2=a2+6,由于a1,a3,a4成等比
数列,所以
=a1a4,所以(a2+3)2=(a2-3)(a2+6),解得a2=-9.故选D.
5.已知等比数列前n项的和为48,前2n项的和为60,则前3n项的和为
(
)
A.63
B.75
C.83
D.108
【答案】A
【解析】
在等比数列中,Sn=48,S2n=60,∴S2n-Sn=12,
因为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,所以122=48(S3n-60),
解得S3n=63.故选A.
6.(2017新课标Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,
则a4=
.
7.已知等比数列{an}中,a2+a3=1,a4+a5=2,则a6+a7等于
(
)
【答案】C
【解析】
因为a2+a3,a4+a5,a6+a7成等比数列,
a2+a3=1,a4+a5=2,
所以(a4+a5)2=(a2+a3)(a6+a7),解得a6+a7=4.故选C.
8.(2019新课标Ⅲ卷,文)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=
(
)
A.16
B.8
C.4
D.2
【答案】C
【解析】
8.C
【解析】
由a1q4=3a1q2+4a1得到q4-3q2-4=0解得q2=4,
因为各项均为正数,取q=2代入S4=
=15得到a1=1,所以
a3=a1q2=4.故选C.
9.(2014广东)等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=
.
10.已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和Sn=
.
11.(2015新课标Ⅰ卷)数列{an}中a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和,若Sn=126,则n=
.
12.(2015新课标Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=
(
)
A.21
B.42
C.63
D.84
【答案】B
【解析】
∵a1=3,a1+a3+a5=21,∴3+3q2+3q4=21.∴1+q2+q4=7.
解得q2=2或q2=-3(舍去).
∴a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42.故选B.
13.在正项等比数列{an}中,lga3+lga6+lga9=6,则a1a11的值是
(
)
A.10000
B.1000
C.100
D.10
【答案】A
【解析】这题要用到等比数列的性质:a1a11=
=a3a9.
若{an}为等比数列,且m+n=p+q,
则am·an=ap·aq.所以lga3+lga6+lga9=lg(a3·a6·a9)=lg
=3lga6=6,
所以a6=102,而a1a11==104=10000.故选A.
14.(2018湖北七市(州)联考)在各项都为正数的数列{an}中,首项a1=2,且点(an2,an-12)在直线x-9y=0上,则数列{an}的前n项和Sn等于(
)
15.(2020新课标Ⅱ卷)数列{an}中,a1=2,am+n=aman,
若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k=
(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】C
【解析】在等式am+n=aman中,令m=1,可得an+1=ana1=2an,
∴
=2,
所以,数列{an}是以2为首项,以2为公比的等比数列,则an=2·2n-1=2n,
∵ak+1+ak+2+…+ak+10=
=2k+1(210-1)
=25(210-1),
∴2k+1=25,则k+1=5,解得k=4.故选C.
16.(2018新课标Ⅲ卷)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.
【解析】
(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.
由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.
故an=(-2)n-1或an=2n-1.
(2)若an=(-2)n-1,则Sn=
.
由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.
若an=2n-1,则Sn=2n-1.
由Sm=63得2m=64,解得m=6.
综上得m=6.
【解析】
(1)设{an}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0.
解得q=-2(舍去)或q=4.
因此{an}的通项公式为an=2·4n-1=22n-1.
(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,
因此数列{bn}的前n项和为Sn=b1+b2+…+bn=1+3+…+(2n-1)=n2.
17.(2019新课标Ⅱ卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列,
a1=2,a3=2a2+16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和.(共23张PPT)
第七章 数
列
第3节
数列通项
知识梳理
常用的求通项公式方法:
1.公式法:若给出的数列为等差或等比数列,可以直接利用等差或等比数列的通项公式求解;
2.知Sn求an:利用公式an=Sn-1(n≥2);(注意要验算n=1的情况)
3.累加、累乘法:
(1)如果数列满足an+1-an=f(n)的形式,用累加法.
(2)如果数列满足
=g(n)的形式,用累乘法.
4.构造法:
(1)形如an+1=kan+m的形式;
当k,m为常数时,一般通过(an+1+xm)=k(an+xm)的方法构造新数列.
(2)nan+1-(n+1)an=kn(n+1)形式,变形为
=k,构造新数列.
5.同除法:
(1)an+1=λan+λn+1同除λn+1?
+1(构成新的等差数列).
(2)λan+1an=an-an+1同除an+1an?
=λ(构成新的等差数列).
精选例题
方法1:知Sn求an[利用公式an=Sn-1(n≥2)]
【例1】
(公式法)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n-1(n∈N
).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log4an+1,求{bn}的前n项和Tn.
方法2:累加、累乘法
【例2】
(1)(累加法)数列{an}中,a1=3,=an+1+n,求数列{an}的通项公式;
(2)(累乘法)已知数列{bn}满足b1=1,nbn+1=(n+1)bn(n∈N
),求数列{bn}的通项公式.
方法3:构造法[形如an+1=kan+m的形式]
【例3】
已知数列{an}中,a1=1,
an+1=2an+1,求数列{an}的通项公式.
方法4:同除法[形如an+1=λan+λn+1的形式]
【例4】
已知数列{an}满足an=3an-1+3n(n≥2),a1=1,求数列{an}的通项公式.
专题训练
1.(公式法)(2014福建)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.
(1)求an的通项公式;
(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.
2.(2016新课标Ⅲ卷)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,
an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
3.已知数列{an}中,a1=1,
an+1=2n·an,求数列{an}的通项公式.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,n·an+1=Sn+n(n+1),n∈N
.求数列{an}的通项公式.
【解析】
由n·an+1=Sn+n(n+1)得Sn=nan+1-n(n+1)
①,
所以当n≥2时,Sn-1=(n-1)an-n(n-1)
②,
①-②得Sn-Sn-1=nan+1-(n-1)an-n(n+1)+n(n-1),
即an=nan+1-(n-1)an-n[(n+1)-(n-1)],
所以an+(n-1)an=nan+1-n[(n+1)-(n-1)],
整理得nan=nan+1-2n,即an=an+1-2,即an+1-an=2(n≥2).
又∵n=1时,a2=S1+2而a1=S1=2,∴a2=4,∴a2-a1=4-2=2,
∴对?n∈N
都有an+1-an=2成立,
∴{an}是公差d=2,首项a1=2的等差数列.
所以an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.
5.已知数列{an}中,a1=3,满足an+1=2an-2,求数列{an}的通项公式.
【解析】
∵an+1=2an-2,设(an+1+λ)=2(an+λ),整理得an+1+λ=2an+2λ,
所以an+1=2an+(2λ-λ)=2an+λ,
当an+1=2an+λ,与an+1=2an-2相同时,得到λ=-2,
所以an+1=2an-2可以变为an+1-2=2(an-2),
设bn=an-2,则bn+1=an+1-2,b1=a1-2=1,
所以bn+1=2bn(等比数列,公比为2),
所以bn=b1·2n-1=1·2n-1=2n-1,
所以an-2=2n-1,即an=2n-1+2.
6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2(n∈N
),数列{bn}是各项均为正数的等比数列,b3=4,b5=16.求数列{an}和{bn}的通项公式.
7.已知数列{an}满足a1=1,且an+1=2an+3(n∈N
).
(1)设bn=an+3(n∈N
),求证:{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
8.(2019北京,文)设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.
【解析】
(1)根据三者成等比数列,可知(a3+8)2=(a2+10)(a4+6),
故(-10+2d+8)2=(-10+d+10)(-10+3d+6),解得d=2,
故an=-10+2(n-1)=2n-12.
(2)由(1)知,Sn=
=n2-11n,
该二次函数开口向上,对称轴为n=5.5,
故n=5或6时,Sn取得最小值-30.
9.(2016新课标Ⅰ卷,文)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}
满足b1=1,b2=
,anbn+1+bn+1=nbn.
(1)求{an}的通项公式;
9.(2016新课标Ⅰ卷,文)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}
满足b1=1,b2=
,anbn+1+bn+1=nbn.
(2)求{bn}的前n项和.
10.已知数列{an}满足a1=1,an+1=
(n∈N
)，且bn=
(n∈N
)．
(1)求证：数列{an}为等差数列；
10.
已知数列{an}满足a1=1,an+1=
(n∈N
)，且bn=
(n∈N
)．
(2)设数列{
}的前n项和为Tn，求Tn的表达式．
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2(n∈N
).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
12.(2017新课标Ⅲ卷)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列
的前n项和.
13.(2017新课标Ⅱ卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;
(2)若T3=21,求S3.(共33张PPT)
第七章 数
列
第4节
数列求和
知识梳理
数列求和常用方法:
1.公式法:直接用等差、等比数列的求和公式求和.
2.裂项相消法:(常见形式)
3.错位相减法:若{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则求{an·bn}的前n项的和时,用错位相减法.
例如:Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn.
(将上式两边乘数列{bn}的公比q,再相减.)
错位相减法辅助公式:
若cn=(an+b)·qn,Tn=c1+c2+c3+…+cn,则Tn=(An+B)·qn-B.
其中A,B满足
(用n=1,n=2验证A,B的值)
4.分组求和法:常见形式:当数列cn=an+bn,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则可以用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
精选例题
【例1】
(裂项相消法)(2013新课标卷)等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9.
(1)求{an}的通项公式;
【例1】
(裂项相消法)(2013新课标卷)等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9.
(2)设bn=
,求数列{bn}的前n项和Sn.
【例2】
(错位相减法)(2020新课标Ⅰ卷)设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.
(1)求{an}的公比;
(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.
【例3】
(分组求和法)求数列
的前n项和.
专题训练
1.(公式法)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,S6=27.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=2an
,记Tn为数列{bn}的前n项和.若Tm=124,求m.
2.(公式法)(2017新课标Ⅰ卷,文)记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
3.
(裂项相消法)已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意的n∈N
,点(n,Sn)均在函数f(x)=2x的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
3.
(裂项相消法)已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意的n∈N
,点(n,Sn)均在函数f(x)=2x的图象上.
(2)记bn=log2an,求
4.(裂项相消法)(2013新课标Ⅰ卷,文)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列
的前n项和.
5.(裂项相消法)已知等差数列{an}中,2a2+a3+a5=20,且前10项和S10=100.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=
,求数列{bn}的前n项和.
6.正项数列{an}满足an
2-(2n-1)an-2n=0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令
,求数列{bn}的前n项和Tn.
7.(裂项相消法)(2015新课标Ⅰ卷)
Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,
an2+2an=4
Sn+3.
(1)求{an}的通项公式;
【解析】
(1)当n=1时,a12+2a1=4S1+3=4a1+3,因为an>0,所以a1=3;
当n≥2时,
an2+2an-an-12-2an-1=4Sn+3-4Sn-1-3=4an,
即(an+an-1)(an-an-1)=2(an+an-1),因为an>0,所以an-an-1=2,
所以数列{an}是首项为3,公差为2的等差数列,所以an=2n+1.
7.(裂项相消法)(2015新课标Ⅰ卷)
Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,
an2+2an=4
Sn+3.
(2)设bn=
,求数列{bn}的前n项和.
8.(错位相减法)数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N
.
(1)证明:数列
是等差数列;
(2)设bn=3n·
,求数列{bn}的前n项和Sn.
9.(错位相减法)(2020新课标Ⅲ卷)设数列{an}满足a1=3,an+1=3an-4n.
(1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式;
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.
【解析】
(1)由题意可得a2=3a1-4=9-4=5,a3=3a2-8=15-8=7,
由数列{an}的前三项可猜想数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列,即an=2n+1,
若an=2n+1(n≥1),则3an-4n=3(2n+1)-4n=6n+3-4n=2n+3=2(n+1)+1=an+1.∴an=2n+1成立.
(2)由(1)可知,an·2n=(2n+1)·2n.
Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)·2n-1+(2n+1)·2n
①,
2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1
②,
由①-②得-Sn=6+2×(22+23+…+2n)-(2n+1)·2n+1
=6+2×
-(2n+1)·2n+1=(1-2n)·2n+1-2,
即Sn=(2n-1)·2n+1+2.
10.(错位相减法)已知等差数列{an}满足(a1+a2)+(a2+a3)+…
+(an+an+1)=2n(n+1)(n∈N
).
(1)求数列{an}的通项公式;
10.(错位相减法)已知等差数列{an}满足(a1+a2)+(a2+a3)+…
+(an+an+1)=2n(n+1)(n∈N
).
(2)求数列
的前n项和Sn
.
11.(错位相减法)已知数列{an}的各项均为正数,且an2-2nan-(2n+1)=0,n∈N
.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(-1)n-1an,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】
(1)由-2nan-(2n+1)=0得[an-(2n+1)]·(an+1)=0,所以an=2n+1或an=-1,
又因为数列{an}的各项均为正数,所以an=2n+1,n∈N
.
(2)因为bn=(-1)n-1an=(-1)n-1·(2n+1),所以Tn=3-5+7-9+…+(-1)n-1·
(2n+1).
由Tn=3-5+7-9+…+(-1)n-1·(2n+1)
①,
得(-1)Tn=-3+5-7+9+…+(-1)n-1·(2n-1)+(-1)n·(2n+1)
②,
①-②得2Tn=3-2(1-1+…+(-1)n-1)-(-1)n·(2n+1)=3-2
-
(-1)n·(2n+1)=2+(-1)n-1-(-1)n·(2n+1)=2+(-1)n-1·(2n+2).
∴Tn=1+(-1)n-1·(n+1).
13.(分组求和法)(2016北京)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.
14.(分组求和法)已知{an}是等差数列,满足a1=1,a4=-5,数列{bn}满足b1=1,b4=21,且{an+bn}为等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和Sn.
15.(分组求和法)已知数列{an}的前n项和Sn=
,n∈N
.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=
+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.
16.在等差数列{an}中,已知a6=12,a18=36.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若
,求数列{bn}的前n项和Sn.
在①bn=
,②bn=(-1)n·an,③bn=
·an这三个条件中任选一个
补充在第(2)问中,并对其求解.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.