(共46张PPT)
专题二
圆锥曲线
二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点.通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强.从近年来的高考命题来看,主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题;以及与平面几何、函数、不等式、三角函数的综合.
这部分的题目难度较大,特别是对艺术类考生而言.因此,考生在复习时可以酌情选做.
历年高考命题分析
年份
试卷类型
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
新课标Ⅰ卷
12
12
新课标Ⅱ卷
12
12
12
12
12
12
新课标Ⅲ卷
12
12
12
12
【近7年新课标卷考点统计】
【例】
已知双曲线E:
(a>0)的中心为原点O,左右焦点分别为F1、F2,离心率为
,点P是直线
上任意一点,点Q在双曲线E上,且满足
(2)证明:直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值;
【例】
已知双曲线E:
(a>0)的中心为原点O,左右焦点分别为F1、F2,离心率为
,点P是直线
上任意一点,点Q在双曲线E上,且满足
(3)若点P的纵坐标为
1,过点P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M,N,在线段MN上取异于点M,N的点H,满足
证明点H恒在一条定直线上.
1.在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为
的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆
与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程;
考点训练
1.在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为
的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆
与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长,若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
2.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为
,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圆心为点Ak.
(1)求椭圆G的方程;
2.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为
,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圆心为点Ak.
(2)求△AkF1F2的面积.
3.已知椭圆C的焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),点P(-1,
)在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
3.已知椭圆C的焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),点P(-1,
)在椭圆上.
(2)若抛物线y2=2px(p>0)与椭圆C相交于点M、N,当△OMN(O是坐标原点)的面积取得最大值时,求p的值.
4.设椭圆E的方程为
(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为
(1)求E的离心率e;
4.设椭圆E的方程为
(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:MN⊥AB.
5.已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:
(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦长为
,过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且
与
同向.
(1)求C2的方程;
5.已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:
(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦长为
,过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且
与
同向.
(2)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率.
6.设F1,F2分别是椭圆E:
(0
(1)求|AB|;
6.设F1,F2分别是椭圆E:
(0(2)若直线l的斜率为1,求b的值.
7.设F1,F2分别是椭圆C:
(a>b>0)的左右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为
,求C的离心率;
7.设F1,F2分别是椭圆C:
(a>b>0)的左右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.
(2)若直线MN在y轴上的截距为2且|MN|=5|F1N|,求a,b.
8.已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.
(1)求椭圆C的离心率;
8.已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.
(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;
8.已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.
(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.
9.已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.
(1)求抛物线E的方程;
9.已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.
(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.
10.已知点A(0,-2),椭圆E:
(a>b>0)的离心率为
,F是椭圆的右焦点,直线AF的斜率为
,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
10.已知点A(0,-2),椭圆E:
(a>b>0)的离心率为
,F是椭圆的右焦点,直线AF的斜率为
,O为坐标原点.
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
11.如图,椭圆E:
(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为
(1)求椭圆E的方程;
11.如图,椭圆E:
(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为
(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P,Q
(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.
12.已知椭圆C:
(a>b>0)的离心率为
,点(2,
)在C上.
(1)求C的方程;
12.已知椭圆C:
(a>b>0)的离心率为
,点(2,
)在C上.
(2)直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明:直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
13.在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.
(1)求
13.在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.
(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.
14.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ;
14.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
15.已知A是椭圆E:
的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
15.已知A是椭圆E:
的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(2)当2|AM|=|AN|时,证明:
专题六
函数与导数
以函数为载体,以导数为工具,考查函数性质及导数极值理论,单调性及其应用为目标,是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向,高考导数问题命题的五大热点如下:
热点一、在导数与函数性质的交汇点命题:主要考查导数的简单应用,包括求函数的极值,求函数的单调区间,证明函数的单调性等.命题的热点:三次函数求导后为二次函数,结合一元二次方程根的分布,考查代数推理能力、语言转化能力和待定系数法等数学思想.
历年高考命题分析
热点二、在导数与含参数函数的交汇点命题:主要考查含参数函数的极值问题,分类讨论思想及解不等式的能力,利用分离变量法求参数的取值范围等问题.
热点三、在导数与解析几何交汇点命题:主要考查对导数的几何意义,切线的斜率,导数与函数单调性,最(极)值等综合运用知识的能力.
热点四、在导数与向量问题交汇点命题:依托向量把函数单调性,奇偶性,解不等式等知识融合在一起.即考查了向量的有关知识,又考查了函数性质及解不等式等内容.
热点五、在导数与函数模型构建交汇点命题:主要考查考生将实际问题转化为数学问题,运用导数工具和不等式知识去解决最优化问题的数学应用意识和实践能力.
这部分的题目难度较大,特别是对艺术类考生而言.因此,考生在复习时可以酌情选做.
年份
试卷类型
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
新课标Ⅰ卷
12
12
12
12
12
12
12
新课标Ⅱ卷
12
12
12
12
12
12
12
新课标Ⅲ卷
12
12
12
12
12
【近7年新课标卷考点统计】
典例解析
【例】
设函数f(x)=x3-kx2+x(k∈R).
(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;
【例】
设函数f(x)=x3-kx2+x(k∈R).
(2)当k<0时,求函数f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.
【例】
设函数f(x)=x3-kx2+x(k∈R).
(2)当k<0时,求函数f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.
1.已知函数f(x)=x-
a(x-1)2-lnx,其中a∈R.若x=2是f(x)的极值点,求a的值.
考点训练
2.已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为y=4x+4.
(1)求a,b的值;
2.已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为y=4x+4.
(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
x
(-∞,-2)
-2
(-2,-ln2)
-ln2
(-ln2,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大
↘
极小
↗
3.设函数
(x≠0),判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性.
4.已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).
(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
4.已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).
(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.
5.已知函数f(x)=x2e-x
(1)求f(x)的极小值和极大值;
5.已知函数f(x)=x2e-x
(2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上的截距的取值范围.
6.设函数f(x)=alnx+
x2-bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0.
(1)求b;
6.设函数f(x)=alnx+
x2-bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0.
(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<
,求a的取值范围.
7.已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.
(1)求a;
7.已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.
(2)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.
8.设函数
(1)讨论函数f(x)的单调性;
8.设函数
(2)如果对所有的x≥1,都有f(x)≤ax,求a的取值范围.
8.设函数
(2)如果对所有的x≥1,都有f(x)≤ax,求a的取值范围.
9.已知函数f(x)=x2-ax-alnx(a∈R).
(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
9.已知函数f(x)=x2-ax-alnx(a∈R).
(2)在(1)的条件下,求证:
9.已知函数f(x)=x2-ax-alnx(a∈R).
(3)当x∈[e,+∞)时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
10.已知函数
(1)若函数f(x)在区间(a,a+
)上存在极值,求正实数a的取值范围;
10.已知函数
(2)如果当x≥1时,不等式f(x)≥
恒成立,求实数k的取值范围.
11.设函数
(1)求f(x)的单调区间和极值;
x
(0,1)
1
(1,+∞)?
f'(x)
+
0
-
f(x)
递增
极大值
递减
11.设函数
(2)若g(x)=x(f(x)+
x2+1),当x>1时,g(x)在区间(n,n+1)内存在极值,求整数n的值.
12.设函数f(x)=e2x-alnx.
(1)讨论f(x)的导函数f'(x)的零点的个数;
12.设函数f(x)=e2x-alnx.
(2)求证:当a>0时,
13.已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.
(1)讨论f(x)的单调性;
13.已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.(共77张PPT)
专题三
概率与统计
高考命题特点主要考查以下两点:
1.概率与统计包括随机事件、等可能性事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,古典概型,几何概型,抽样方法,总体分布的估计,线性回归,独立性检验等.
2.在高考试卷中,概率与统计的内容每年都有所涉及,问题以考生比较熟悉的实际应用问题为载体,考查对概率事件的识别及概率计算.解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用.
历年高考命题分析
年份
试卷类型
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
新课标Ⅰ卷
12
12
12
12
12
12
12
新课标Ⅱ卷
12
12
12
12
12
12
12
新课标Ⅲ卷
12
12
12
12
【近7年新课标卷考点统计】
典例解析
【例1】
从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195],
下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为4人.
(1)求第七组的频率;
(2)估计该校的800名男生的身高的众数与中位数以及身高在180cm以上(含180cm)的人数;
(2)由图可知估计该校800名男生的身高的众数为(175+180)÷2=177.5;
身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5=0.04,
身高在第二组[160,165)的频率为0.016×5=0.08,
身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5=0.2,
身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5=0.2,
由于0.04+0.08+0.2=0.32<0.5,0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5
估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m,则170由0.04+0.08+0.2+(m-170)×0.04=0.5得m=174.5
所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5
由直方图得后三组频率为0.06+0.08+0.008×5=0.18,
所以身高在180cm以上(含180cm)的人数为0.18×800=144人.
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,求抽出的两名男生是在同一组的概率.
【例2】
某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查,并用茎叶图表示30人的饮食指数(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主)
甲(50岁以下)
乙(50岁以上)
1
2
0 1 5 6 7 6
3
2 3 7 9 6
5 3
4
4 5 2
8
5
8
6
1
6 7 8 4
7
5 8
5 3 2
8
0
9
【例3】 某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(0(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
(2)由(1)知,p=0.1.
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,
依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y.
所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.
②如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.
1.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.
考点训练
(1)若n=19,求y与x的函数解析式;
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?
2.某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:
(1)求全班人数;
茎
叶
5
6
8
6
2
3
3
5
6
8
9
7
1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
8
9
5
8
(2)求分数在[80,90)之间的人数;并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高;
(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生得分情况,在抽取的试卷中,求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.
3.为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠的时间(单位:h).试验的观测结果如下:
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6
1.2
2.7
1.5
2.8
1.8
2.2
2.3
3.2
3.5
2.5
2.6
1.2
2.7
1.5
2.9
3.0
3.1
2.3
2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2
1.7
1.9
0.8
0.9
2.4
1.2
2.6
1.3
1.4
1.6
0.5
1.8
0.6
2.1
1.1
2.5
1.2
2.7
0.5
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?
4.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表:(单位:辆)
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
(1)求z的值.
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
5.为了了解某工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查,已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂.
(1)求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数;
(2)若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比,用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.
6.从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:
(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
质量指标值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125)
频数
6
26
38
22
8
6.从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
质量指标值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125)
频数
6
26
38
22
8
6.从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:
(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?
质量指标值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125)
频数
6
26
38
22
8
7.某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),
[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中x的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?
8.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现一次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球.
(1)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果;
(2)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为5的概率.
9.编号为A1,A2,…,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:
(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格;
运动员编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
得分
15
35
21
28
25
36
18
34
运动员编号
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
A16
得分
17
26
25
33
22
12
31
38
区间
[10,20)
[20,30)
[30,40]
人数
4
6
6
(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,
①用运动员的编号列出所有可能的抽取结果;
②求这2人得分之和大于50的概率.
10.袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;
10.袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.
(2)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
11.一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
11.一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
12.在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分.用xn表示编号为n(n=1,2,…,6)的同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下:
(1)求第6位同学的成绩x6,及这6位同学成绩的标准差s;
编号n
1
2
3
4
5
成绩xn
70
76
72
70
72
12.在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分.用xn表示编号为n(n=1,2,…,6)的同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下:
(2)从前5位同学中,随机地选2位同学,求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率.
编号n
1
2
3
4
5
成绩xn
70
76
72
70
72
13.某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
(1)求y关于t的线性回归方程;
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
年份
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(2)利用(1)中的回归方程,分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入.
14.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
(1)求回归直线方程
,其中
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)
15.某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果.
A配方的频数分布表
B配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
8
20
42
22
8
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
4
12
42
32
10
(1)分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率;
(2)已知用B配方生产的一件产品利润y(单位:元)与其质量指
标值t的关系式为
,估计用B配方生产的一件产
品的利润大于0的概率,并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润.
16.通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下的列联表:
(1)从这50名女生中按是否看营养说明采取分层抽样,抽取一个容量为5的样本,问样本中看与不看营养说明的女生各有多少名?
性别与看营养说明列联表
单位:名
男
女
总计
看营养说明
50
30
80
不看营养说明
10
20
30
总计
60
50
110
(2)从(1)中的5名女生样本中随机选取两名作深度访谈,求选到看与不看营养说明的女生各一名的概率;
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
(3)根据以下列联表,问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关?
K2的临界值表:
男
女
总计
看营养说明
50
30
80
不看营养说明
10
20
30
总计
60
50
110
17.某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).
(1)应收集多少位女生样本数据?
17.某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).
(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:[0,2],(2,4],
(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.
(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附:
p(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
45
30
75
?每周平均体育运动时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
18.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中
(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d
,哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的
斜率和截距的最小二乘法估计分别为
(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x,根据(2)的结果回答下列问题:
①当年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值时多少?
②当年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
19.如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
注:年份代码1~7分别对应年份2008~2014.
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
附注:
参考数据:
参考公式:相关系数
回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
19.如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
注:年份代码1~7分别对应年份2008~2014.
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注:
参考数据:
参考公式:相关系数
回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
20.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,
16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
解:(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
②设事件A为“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
X
0
1
2
3
P
21.为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“
”表示服药者,“+”表示未服药者.
(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;
21.为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“
”表示服药者,“+”表示未服药者.
(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ);
ξ
0
1
2
P
21.为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“
”表示服药者,“+”表示未服药者.
(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)
(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.
22.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数
和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表);
(2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数
,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用①的结果,求EX.
附:
≈12.2.若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<μ+2σ)=0.9544.
23.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
①试说明上述监控生产过程方法的合理性;
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95(共73张PPT)
专题四
立体几何
该部分的命题主要是以柱体、锥体等简单几何体为载体,证明空间的点、线、面的平行与垂直关系,面积、体积等的计算等.目的是考查考生的推理论证能力、空间想象能力等.
历年高考命题分析
年份
试卷类型
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
新课标Ⅰ卷
12
12
12
12
12
12
12
新课标Ⅱ卷
12
12
12
12
12
12
12
新课标Ⅲ卷
12
12
12
12
12
【近7年新课标卷考点统计】
典例解析
【例1】
如图,菱形ABCD的边长为4,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=
(1)求证:OM∥平面ABD;
【例1】
如图,菱形ABCD的边长为4,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=
(2)求证:平面DOM⊥平面ABC;
【例1】
如图,菱形ABCD的边长为4,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=
(3)求三棱锥B-DOM的体积.
【例2】
已知:正方体ABCD-A1B1C1D1,AA1=2
,E为棱CC1的中点.
(1)求证:B1D1⊥AE;
【例2】
已知:正方体ABCD-A1B1C1D1,AA1=2
,E为棱CC1的中点.
(2)求证:AC∥平面B1DE.
【例3】 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD
∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且=
.
(1)求证:CD⊥平面PAD;
【例3】 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD
∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且=
.
(2)求二面角F-AE-P的余弦值;
【例3】 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD
∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且=
.
(3)设点G在PB上,且
.判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.
1.多面体ABCDE中,AB=BC=AC=AE=1,CD=2,AE⊥面ABC,AE∥CD.
求证:(1)AE∥面BCD;
考点训练
1.多面体ABCDE中,AB=BC=AC=AE=1,CD=2,AE⊥面ABC,AE∥CD.
求证:(2)面BED⊥面BCD.
2.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.
(1)证明:BC1∥平面A1CD;
2.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.
(2)设AA1=AC=CB=2,AB=
,求三棱锥C-A1DE的体积.
3.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(1)证明:AB⊥A1C;
3.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(2)若AB=BC=2,A1C=
,
求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
4.如图四边形ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,Q为PA的中点.求证:
(1)PC∥平面QBD
;
(2)平面QBD⊥平面PAC.
5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB//CD,
PD=AD,E是PB的中点,F是CD上的点且DF=
AB,PH为△PAD中AD边上的高.
(1)证明:PH⊥平面ABCD;
5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB//CD,
PD=AD,E是PB的中点,F是CD上的点且DF=
AB,PH为△PAD中AD边上的高.
(2)若PH=1,AD=
,FC=1,求三棱锥E-BCF
的体积;
5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB//CD,
PD=AD,E是PB的中点,F是CD上的点且DF=
AB,PH为△PAD中AD边上的高.
(3)证明:EF⊥平面PAB.
6.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分别是A1B、A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C.求证:
(1)EF∥平面ABC;
6.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分别是A1B、A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C.求证:
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,
D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),
且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;
7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,
D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),
且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:
(2)直线A1F∥平面ADE.
8.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,
∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点.求证:
(1)直线EF∥平面PCD;
8.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,
∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点.求证:
(2)平面BEF⊥平面PAD.
9.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直.
EF∥AC,AB=
,CE=EF=1.
(1)求证:AF∥平面BDE;
9.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的
平面互相垂直.EF∥AC,AB=
,CE=EF=1.
(2)求证:CF⊥平面BDE.
10.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
10.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积
为
,求该四棱锥的侧面积.
11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,
AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.
(1)证明:EF∥平面PAD;
11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,
AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.
(2)求三棱锥E-ABC的体积V.
12.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,∠CAB=
(1)证明:CB1⊥BA1;
12.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,∠CAB=
(2)已知AB=2,BC=
,求三棱锥C1-ABA1的体积.
13.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E在线段AD上,且CE∥AB.
(1)求证:CE⊥平面PAD;
13.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,
AB⊥AD,点E在线段AD上,且CE∥AB.
(2)若PA=AB=1,AD=3,CD=
,∠CDA=45°,
求四棱锥P-ABCD的体积.
14.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥面ABCD,
E为PD的中点.
(1)证明:PB∥平面AEC;
14.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥面ABCD,
E为PD的中点.
(2)设AP=1,AD=
,三棱锥P-ABD的体积
V=
,求A到平面PBC的距离.
15.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,
AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.
(1)求证:PC⊥BC;
15.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,
PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.
(2)求点A到平面PBC的距离.
15.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,
PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥aDC,∠BCD=90°.
(2)求点A到平面PBC的距离.
16.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,
∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(1)证明:PA⊥BD;
16.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD
为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,
PD⊥底面ABCD.
(2)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高.
17.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点,
求证:(1)PA⊥底面ABCD;
17.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点,
求证:(2)BE∥平面PAD;
17.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点,
求证:(3)平面BEF⊥平面PCD.
18.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明:B1C⊥AB;
18.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.
(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,
求三棱柱ABC-A1B1C1的高.
19.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°.
(1)证明:平面ADB⊥平面BDC;
19.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°.
(2)设BD=1,求三棱锥D-ABC的表面积.
20.如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD交点,BE⊥平面ABCD,
(1)求证:平面AEC⊥平面BED;
20.如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD交点,BE⊥平面ABCD,
(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为
,求该三棱锥的侧面积.
21.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD,
CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.
(1)证明:AC⊥HD';
21.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD,
CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.
(2)若AB=5,AC=6,AE=
,OD'=2,
求五棱锥D'-ABCEF体积.
22.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.
(1)若D为线段AC的中点,求证:AC⊥平面PDO;
22.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.
(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值;
22.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.
(3)若BC=
,点E在线段PB上,
求CE+OE的最小值.
22.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.
(3)若BC=
,点E在线段PB上,
求CE+OE的最小值.
23.如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,且PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.
(1)证明:G是AB的中点;
23.如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,且PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.
(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.
解:在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.
理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥PB,
∴EF⊥PA,EF⊥PC,PA∩PC=P,
从而EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.
连接CG,因为顶点P在平面ABC内的正投影为点D,所以D为正三角形ABC的中心.
由(1)知G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=
CG.
由已知PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,
因此PE=
PG,DE=
PC.
由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,
可得DE=2,PE=
在等腰直角三角形PEF中,EF=PF=2,
所以四面体PDEF的体积
24.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=
,PA=PB=PC=AC=4,
O为AC的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC;
24.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=
,PA=PB=PC=AC=4,
O为AC的中点.
(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
25.如图,直四棱柱ABCD
-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,
∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)证明:MN∥平面C1DE;
25.如图,直四棱柱ABCD
-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,
∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.(共37张PPT)
专题五
直线与圆
从历年高考题看,直线与圆的位置关系问题,是考查的重点之一,往往涉及直线与圆的几乎所有知识内容.主要考查的是直线与圆的位置关系的判定,直线与圆中的定量(弦长、距离等)问题、轨迹问题的分析,直线与圆的方程(一般方程、参数方程和极坐标方程)等,同时也强化了与其他知识(不等式、圆锥曲线、函数等)的综合.从解决这些问题的方法上看,能较好地考查待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等重要的思想方法,亦能较好地考查考生全面、严谨的思维习惯及思维品质等.
历年高考命题分析
年份
试卷类型
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
新课标Ⅰ卷
12
12
12
新课标Ⅱ卷
12
12
新课标Ⅲ卷
【近7年新课标卷考点统计】
典例解析
【例】
在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为
,在y轴上截得线段长为
(1)求圆心P的轨迹方程;
【例】
在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为
,在y轴上截得线段长为
(2)若P点到直线y=x的距离为
,求圆P的方程.
1.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
考点训练
1.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
1.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
2.已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
2.已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
3.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:
(x-4)2+(y-5)2=4.
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为
,求直线l的方程;
3.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:
(x-4)2+(y-5)2=4.
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.
4.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,
求切线的方程;
4.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.
(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标
a的取值范围.
5.已知O为坐标原点,F为椭圆C:
在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为
的直线l与C交于A、B两点,点P满足
(1)证明:点P在C上;
5.已知O为坐标原点,F为椭圆C:
在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为
的直线l与C交于A、B两点,点P满足
(2)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上.
5.已知O为坐标原点,F为椭圆C:
在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为
的直线l与C交于A、B两点,点P满足
(2)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上.
6.如图,在平面直角坐标系中,N为圆A:(x+1)2+y2=16上的一动点,B(1,0),点M是BN中点,点P在线段AN上,且
(1)求动点P的轨迹方程;
6.如图,在平面直角坐标系中,N为圆A:(x+1)2+y2=16上的一动点,B(1,0),点M是BN中点,点P在线段AN上,且
(2)试判断以PB为直径的圆与圆x2+y2=4的位置关系,并说明理由.
7.如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上的一点,且|MD|=
|PD|.
(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;
7.如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上的一点,且|MD|=
|PD|.
(2)求过点(3,0)且斜率为
的直线被C所截线段
的长度.
8.已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;
8.已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.
(2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M,求|QM|的最小值.
9.在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.
(1)求圆C的方程;
9.在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.
(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.
10.已知过点A(-1,0)的动直线l与圆C:x2+(y-3)2=4相交于P,Q两点,M是PQ的中点,l与直线m:x+3y+6=0相交于N.
(1)求证:当l与m垂直时,l必过圆心C;
10.已知过点A(-1,0)的动直线l与圆C:x2+(y-3)2=4相交于P,Q两点,M是PQ的中点,l与直线m:x+3y+6=0相交于N.
(2)当|PQ|=
时,求直线l的方程;
10.已知过点A(-1,0)的动直线l与圆C:x2+(y-3)2=4相交于P,Q两点,M是PQ的中点,l与直线m:x+3y+6=0相交于N.
(3)探索
是否与直线l的倾斜角有关,若无关,请求出其值;若有关,请说明理由.
11.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
11.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(2)
,其中O为坐标原点,求|MN|.(共53张PPT)
专题一
三角函数与解三角形
在近几年新课标全国卷文科数学中,三角函数与解三角形大题与数列出现在第17题的位置,两者交替出现,也就是说这二者属于二选其一大题.三角恒等变换、三角函数与解三角形是高考考查的重点内容之一,该部分的命题主要围绕以下四点展开:第一点是围绕三角恒等变换展开,考查使用三角函数的和、差公式,倍角公式,诱导公式,同角三角函数关系等公式进行变换求值等问题,试题难度不大;第二点是围绕三角函数的图象展开,考查根据三角函数图象求函数解析式、根据函数解析式判断函数图象、三角函数图象与性质的综合等问题;第三点是围绕三角函数性质展开,考查根据三角函数解析式研究函数性质,根据三角函数性质推断函数解析式中的参数等问题;第四点是围绕正弦定理、余弦定理解三角形展开,目的是考查使用这两个定理解一般的斜三角形.
历年高考命题分析
年份
试卷类型
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
新课标Ⅰ卷
12
新课标Ⅱ卷
12
12
12
新课标Ⅲ卷
12
【近7年新课标卷考点统计】
典例解析
【例1】
已知a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C的对边.如果:
asinA+csinC-
asinC=bsinB.
(1)求B;
【例1】
已知a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C的对边.如果:
asinA+csinC-
asinC=bsinB.
(2)A=75°,b=2,求a,c.
【例2】
如图,一山顶有一信号塔CD(CD所在的直线与地平面垂直),在山脚A处测得塔尖C的仰角为α,沿倾斜角为θ的山坡向上前进l米后到达B处,测得C的仰角为β.
(1)求BC的长;
【例2】
如图,一山顶有一信号塔CD(CD所在的直线与地平面垂直),在山脚A处测得塔尖C的仰角为α,沿倾斜角为θ的山坡向上前进l米后到达B处,测得C的仰角为β.
(2)若l=24,α=45°,β=75°,θ=30°,
求信号塔CD的高度.
【例3】
在△ABC中,角A、B、C所对的边为a、b、c,角A为锐角,若
且m⊥n.
(1)求cosA的大小;
【例3】
在△ABC中,角A、B、C所对的边为a、b、c,角A为锐角,若
且m⊥n.
(2)若a=1,b+c=2,求△ABC的面积S.
【例4】
已知f(x)=2
sinx·cosx+2cos2x,在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足b2+c2-a2+bc=0
(1)求角A的值;
(2)求f(A)的值;
【例4】
已知f(x)=2
sinx·cosx+2cos2x,在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足b2+c2-a2+bc=0
(3)求f(B)的取值范围.
1.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=
asinC-ccosA.
(1)求角A的值;
考点训练
1.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=
asinC-ccosA.
(2)若a=2,△ABC的面积为
,求b,c.
2.四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.
(1)求角C和BD;
(2)求四边形ABCD的面积.
3.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,cosA=
,
B=A+
.
(1)求b的值;
3.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,cosA=
,
B=A+
.
(2)求△ABC的面积.
4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=8.
(1)若a=2,b=
,求cosC的值;
4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=8.
(2)若sinAcos2
+sinBcos2
=2sinC,且△ABC的面积S=
sinC,求a和b的值.
5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知
(1)求cosA的值;
5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知
(2)求cos(2A-
)的值.
6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知
(1)求角C的大小;
6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知
(2)已知b=4,△ABC的面积为6,求边长c的值.
7.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,
△ABC的面积为
.求cosA与a的值.
8.在△ABC中,tanA=2,tanB=3.
(1)求角C的值;
(2)设AB=
,求AC.
9.△ABC中D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.
(1)求
(2)若∠BAC=60°,求∠B.
10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a2-b2-c2+
bc=0,
2bsinA=a,BC边上中线AM的长为
(1)求角A和角B的大小;
10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a2-b2-c2+
bc=0,
2bsinA=a,BC边上中线AM的长为
(2)求△ABC的面积.
11.设△ABC的内角,A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.
(1)求角B的值;
11.设△ABC的内角,A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.
(2)若sinAsinC=
,求C.
12.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知
cos2A-3cos(B+C)=1.
(1)求角A的大小;
12.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知
cos2A-3cos(B+C)=1.
(2)若△ABC的面积S=5
,b=5,求sinBsinC的值.
13.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c且2asinB=
b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.
14.已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.
(1)若a=b,求cosB;
(2)若∠B=90°,且a=
,求△ABC的面积.
15.如图,某人为了测量河对岸不能到达的两点A,B之间的距离,他在自己所在的一侧选取三个点C,D,E,其中从C点可以观察到点A,B;从D点可以观察到点A,C;从E点可以观察到点B,C.并测量得到数据:∠ACD=90°,∠ADC=60°,∠ACB=15°,∠BCE=105°,
∠CEB=45°,CD=CE=100m.
(1)求△CDE的面积;
(2)求A,B之间的距离.
16.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知
,b=3.求:
(1)a和c的值;
16.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知
,b=3.求:
(2)cos(B-C)的值.
17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=
(1)求sinA的值;
17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=
(2)若a=4
,b=5,求向量
在
方向上的投影.
18.已知向量m=(
sin2x+2,cosx),n=(1,2cosx),设函数f(x)=m·n,
x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期与最大值;
18.已知向量m=(
sin2x+2,cosx),n=(1,2cosx),设函数f(x)=m·n,
x∈R.
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若f(A)=4,b=1,△ABC的面积为
,求a的值.
19.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,设S为△ABC的面积,满足S=
(a2+c2-b2).
(1)求角B的值;
19.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,设S为△ABC的面积,满足S=
(a2+c2-b2).
(2)若b=
,设A=x,y=(
-1)a+2c,求函数y=f(x)的解析式和最大值.
20.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),x∈R的最大值是1,最小正周期是2π,其图象经过点M(0,1).
(1)求f(x)的解析式;
20.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),x∈R的最大值是1,最小正周期是2π,其图象经过点M(0,1).
(2)设A,B,C为△ABC的三个内角,且f(A)=
,f(B)=
,求f(C)的值.