(共23张PPT)
第十一章 排列组合、
二项式定理
第十一章测试 排列组合、二项式定理
一、选择题
1.将3个不同的小球放入4个盒子中,则不同放法种数有
( )
A.81
B.64
C.12
D.14
【答案】
B
【解析】
每个小球都有4种可能的放法,即4×4×4=64种.故选B.
2.从字母a,b,c,d,e,f中选出4个排成一列,其中一定要选出a和b,并且必须相邻(a在b的前面),共有排列方法 种.
( )?
A.36
B.72
C.90
D.144
【答案】
A
【解析】
从c,d,e,f中选2个,有
种;把a,b看成一个整体,则3个元素全排列,有
种.共计
=36种.故选A.
3.已知(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x4的系数是-35,则a1+a2+a3+…+a7=
( )
A.1
B.7
C.3
D.5
4.5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有
( )
5.在
的展开式中的常数项是
( )
A.7
B.-7
C.28
D.-28
6.3张不同的电影票全部分给10个人中的3人,每人至多一张,则有不同分法的种数是
( )
A.1260
B.120
C.240
D.720
【答案】
D
【解析】
相当于3个元素排10个位置,
=720.故选D.
7.(2018南宁二中)
(2x+1)
的展开式中的常数项是
( )
A.-5
B.7
C.-11
D.13
8.若(2x+
)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为
( )
A.1
B.-1
C.0
D.2
【答案】
A
【解析】
(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2
=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)
=(2+
)4×(2-
)4=1.
故选A.
9.从不同号码的5双鞋中任取4只,其中恰好有1双的取法种数为
( )
A.120
B.240
C.280
D.60
10.(1-2x)5(2+x)的展开式中x3的项的系数是
( )
A.120
B.-120
C.100
D.-100
11.已知
展开式中常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是
( )
A.28
B.38
C.1或38
D.1或28
【答案】
C
【解析】
由题意知
·(-a)4=1120,解得a=±2.令x=1,得展开式各项系数和为(1-a)8=1或38.故选C.
12.(2015新课标Ⅰ卷)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为
( )
A.10
B.20
C.30
D.60
13.已知二项式
(n∈N
)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,则x3的系数为
( )
A.14
B.-14
C.240
D.-240
14.已知
的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为
( )
A.-80
B.-40
C.40
D.80
15.
展开式的常数项为
( )
A.-56
B.-28
C.56
D.28
16.安排A,B,C,D,E,F共6名义工照顾甲,乙,丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工A不安排照顾老人甲,义工B不安排照顾老人乙,则安排方法共有
( )
A.30种
B.40种
C.42种
D.48种
二、填空题
17.4名男生,4名女生排成一排,女生不排两端,则有 种不同排法.?
18.在(1-x2)20展开式中,如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等,则r= ,T4r= .?
19.(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中的x3的系数是
.?
20.若(ax+1)
展开式中的常数项为-40,则a= .?
21.将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教,其中甲校至少分配两名教师,其他三所学校至少分配一名教师,则不同的分配方案共有 种.(用数字作答)?
22.若
展开式中的二项式系数和为64,则n等于 ,该展开式中的常数项为 .?(共24张PPT)
第十一章 排列组合、
二项式定理
第1节 排列组合
知识梳理
1.两个计数原理
(1)分类加法计数原理:
完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,…,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事情共有
N=m1+m2+m3+…+mn种不同的方法.
(2)分步乘法计数原理
完成一件事需要n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事情共有
N=m1·m2·m3·…·mn种不同的方法.
2.排列与组合
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数
公式
性质
精选例题
【例1】 (2016新课标Ⅱ卷)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
( )
A.24
B.18
C.12
D.9
【答案】
B
【解析】
分两步,第一步,从E→F,有
=6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.
由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路程.故选B.
【例2】 (2017山东)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
( )
【例3】(2017天津)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复的数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有______ 个.(用数字作答)?
专题训练
1.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有
( )
A.36种
B.12种
C.18种
D.48种
2.(2018新课标Ⅰ卷)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案)?
3.甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学,2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有
( )
A.150种
B.180种
C.300种
D.345种
【答案】
D
【解析】
甲组一男一女,乙组两男有
=225种选法;
乙组一男一女,甲组两男有
=120种选法.
所以共有225+120=345种选法.故选D.
4.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是( )
A.128
B.236
C.336
D.158
【答案】
C
【解析】
不同的站法分二类:
第一类:每一台阶只站1人,有
种;
第二类:若有一台阶站2人,则有
种.
所以共有
=336种.故选C.
5.(2020新课标Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有 种.?
【答案】
36
【解析】
∵4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,
∴先取2名同学看作一组,选法有
=6种.
现在可看成是3组同学分配到3个小区,分法有
=6种.
根据分步乘法原理,可得不同的安排方法6×6=36种.
故答案为36.
6.大厦一层有A,B,C,D四部电梯,三人在一层乘坐电梯上楼,其中两人恰好乘坐同一部电梯,则不同的乘坐方式有 种(用数字作答).?
【答案】
36
【解析】
从三人中选择两人同乘一部电梯有
=3种选择,这两人乘坐的电梯有4种选择,最后1个乘坐的电梯有3种选择,所以不同的乘坐方式有3×4×3=36种.
7.三对夫妻站成一排照相,则仅有一对夫妻相邻的站法总数是
( )
A.72
B.144
C.240
D.288
【答案】
D
【解析】
第一步,先选一对夫妻使之相邻,捆绑在一起看作一个复合元素A,有
=6种排法;
第二步,再选一对夫妻,从剩下的那对夫妻中选择一个插入到刚选的夫妻中,把这三个人捆绑在一起看作另一个复合元素B,有
=8种排法;
第三步,将复合元素A,B和剩下的那对夫妻中剩下的那一个进行全排列,有
=6种排法.
由分步计数原理,知三对夫妻排成一排照相,仅有一对夫妻相邻的排法有6×8×6=288种.故选D.
8.哈市某公司有五个不同部门,现有4名在校大学生来该公司实习.要求安排到该公司的两个部门,且每部门安排两名,则不同的安排方案种数为
( )
A.40
B.60
C.120
D.240
【答案】
B
【解析】
从五个不同部门选取两个部门有
种选法,将4名大学生分别安排在这两个部门有
种方法,所以不同的安排方案有
=60种.故选B.
9.将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,浙江大学三所大学就读,则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有
( )
A.240种
B.180种
C.150种
D.540种
【答案】
C
【解析】
5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式.当5名学生分成2,2,1时,共有
=90种方法;当5名学生分成3,1,1时,共有
=60种方法.由分类加法计数原理知共有90+60=150种保送方法.故选C.
10.(2020新课标Ⅰ卷,山东)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有
( )
A.120种
B.90种
C.60种
D.30种
【答案】
C
【解析】
首先从6名同学中选1名去甲场馆,方法数有
种;然后从其余5名同学中选2名去乙场馆,方法数有种;最后剩下的3名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有
=6×10=60种.故选C.
11.把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有 种.?
【答案】
36
【解析】
记其余两种产品为D,E.A,B相邻视为一个元素,先与D,E排列,有
种方法.再将C插入,仅有3个空位可选,
共有
=2×6×3=36种不同的摆法.
12.(2017新课标Ⅱ卷)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有
( )
A.12种
B.18种
C.24种
D.36种
【答案】
D
【解析】
由题意可得其中1人必须完成2项工作,其他2人各完成1项工作,可得安排方式为
=36种,
或列式为
=36种.故选D.
13.用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是
( )
A.48
B.36
C.28
D.12
【答案】
C
【解析】
根据题意,在0,1,2,3,4中有3个偶数,2个奇数,可以分3种情况讨论:
①0被奇数夹在中间,先考虑奇数1,3的顺序,有2种情况;再将1,0,3看成一个整体,与2,4全排列,有
=6种情况;故0被奇数夹在中间时,有2×6=12种情况;
②2被奇数夹在中间,先考虑奇数1,3的顺序,有2种情况;再将1,2,3看成一个整体,与0,4全排列,有
=6种情况,其中0在首位的有2种情况,则有6-2=4种排法;故2被奇数夹在中间时,有2×4=8种情况;
③4被奇数夹在中间时,同2被奇数夹在中间的情况,有8种情况.
则这样的五位数共有12+8+8=28个.故选C.
14.如图所示的五个区域中,现有四种颜色可供选择,要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为
( )
A.24
B.48
C.72
D.96
【答案】
C
【解析】分两种情况:①A,C不同色,先涂A有4种,C有3种,E有2种,
B,D有1种,有4×3×2=24种涂法;
②A,C同色,先涂A有4种,E有3种,C有1种,B,D各有2种,有4×3×2×2=48种涂法.故共有24+48=72种涂色方法.故选C.
15.某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师),其中甲和乙不能都去,甲和丙只能都去或都不去,则不同的选派方案有
( )
A.900种
B.600种
C.300种
D.150种
【答案】
B
【解析】
依题意,就甲是否去支教进行分类计数:
第一类,甲去支教,则乙不去支教,且丙也去支教,则满足题意的选派方案有
=240种;
第二类,甲不去支教,且丙也不去支教,则满足题意的选派方案有
=360种.
因此,满足题意的选派方案共有240+360=600种.故选B.
16.有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排;
(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;
【解析】
(1)从7人中选5人排列,有
=7×6×5×4×3=2520种.
【解析】
(2)分两步完成,先选3人站前排,有
种方法,余下4人站后排,有
种方法,共有
=5040种.
(3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;
【解析】
(3)解法一:(特殊元素优先法)先排甲,有5种方法,其余6人有
种排列方法,共有5×
=3600种.
解法二:(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人,有
种排法,其他有
种排法,共有
=3600种.
(4)全体排成一排,女生必须站在一起;
(5)全体排成一排,男生互不相邻.
【解析】
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列,有
种方法,再将女生全排列,有
种方法,共有
=576种.
【解析】
(5)(插空法)先排女生,有
种方法,再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生,有
种方法,
共有
=1440种.(共23张PPT)
第十一章 排列组合、
二项式定理
第2节 二项式定理
知识梳理
1.二项式定理:
2.通项与二项式系数:
二项式展开式的通项:Tr+1=
an-rbr(r=0,1,2,…,n),其中
叫做二项式系数.
3.二项式系数的性质:
(1)对称性:
在展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即
(2)增减性与最大值:
二项式系数先增后减,且在中间取得最大值,
当n为偶数时,中间一项
最大;
当
n奇数时,中间两项
和
相等,且为最大值.
(3)二项式系数的和:
精选例题
【例1】
(2018新课标Ⅲ卷,理)
的展开式中x4的系数为
( )
A.10
B.20
C.40
D.80
【例2】
(2017新课标Ⅲ卷)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为
( )
A.-80
B.-40
C.40
D.80
【答案】
C
【解析】
因为x3y3=x·(x2y3),其系数为
·22=-40,x3y3=y·(x3y2),其系数为
·23=80.
所以x3y3的系数为80-40=40.故选C.
【例3】 若
的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中
的系数为 .?
专题训练
1.(2020北京卷)在(
-2)5的展开式中,x2的系数为
( )
A.-5
B.5
C.-10
D.10
2.(2020新课标Ⅲ卷)
的展开式中常数项是 (用数字作答).?
3.(2017新课标Ⅰ卷)
(1+x)6展开式中x2的系数为
( )
A.15
B.20
C.30
D.35
4.若
展开式中的二项式系数和为64,则展开式中的常数项为 .
?
5.若将函数f(x)=x5表示为f(x)=ao+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3= .?
【答案】
10
【解析】
∵x5=[(x+1)-1]5,∴Tr+1=
(x+1)5-r(-1)r,
令5-r=3,解得r=2,∴a3=
(-1)2=10.
6.设(1-x)(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则a2= .?
7.设(x-1)4(x+2)8=a0x12+a1x11+…+a11x+a12,
则a0+a2+…+a10+a12=
.?
【答案】
8
【解析】令x=1,得0=a0+a1+…+a11+a12;
令x=-1,得16=a0-a1+…+a10-a11+a12,
∴a0+a2+…+a10+a12=
=8.
8.(2010新课标卷)
的展开式中x3的系数是 .?
9.(2020天津卷)在
的展开式中,x2的系数是 .?
10.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为
( )
A.212
B.211
C.210
D.29
【答案】
D
【解析】
∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,
∴
,解得n=10.
∴奇数项的二项式系数和为
故选D.
11.(2020新课标Ⅰ卷)
(x+y)5的展开式中x3y3的系数为(
)
A.5
B.10
C.15
D.20
12.设(
-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,
则(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2的值为
( )
A.0
B.-1
C.1
D.(
-1)10
13.(2018合肥一检)已知(ax+b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与-18,则(ax+b)6展开式所有项系数之和为
( )
A.-1
B.1
C.32
D.64
14.(2015新课标Ⅱ卷)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= .?
【答案】
3
【解析】
设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.
令x=1,得(a+1)·24=a0+a1+a2+a3+a4+a5 ①,
令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5 ②,
①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,则a=3.
15.(2019新课标Ⅲ卷)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为( )
A.12
B.16
C.20
D.24
【答案】
A
【解析】
由题意得x3的系数为
+2
=4+8=12.故选A.
16.(2019浙江)在二项式(
+x)9的展开式中,常数项是
;系数为有理数的项的个数是 .?
17.(2020浙江)设(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
则a4= ;a1+a2+a3= .?
