(共28张PPT)
第十章
圆锥曲线
第十章测试
圆锥曲线
一、选择题
2.(2015福建)若双曲线E:
的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于
(
)
A.11
B.9
C.5
D.3
【答案】
B
【解析】
由题意知a=3,b=4,则c=5.
由双曲线的定义有||PF1|-|PF2||=|3-|PF2||=2a=6,
∴|PF2|=9,或|PF2|=-3(舍去).故选B.
5.(2015新课标Ⅱ卷)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,
△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为(
)
【答案】
D
图①
图②
图①
图②
8.(2016浙江,理)已知椭圆C1:
+y2=1(m>1)与双曲线C2:
-y2=1
(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则
(
)
A.m>n且e1e2>1
B.m>n且e1e2<1
C.m1
D.m9.(2016新课标Ⅰ卷,理)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点,已知|AB|=4
,|DE|=2
,则C的焦点到准线的距离为
(
)
A.2
B.4
C.6
D.8
二、填空题
12.(2013江西)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线
相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=
.
13.(2014江西)过点M(1,1)作斜率为-
的直线与椭圆C:
(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于
.
14.(2016北京,理13)双曲线
(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=
.
三、解答题
16.(2019新课标Ⅲ卷,文)已知曲线C:y=
,D为直线y=
上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.
(1)证明:直线AB过定点;
(2)若以E
为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程.
【解析】
(1)设A(x1,0),B(x2,0),
则x1,x2是方程x2+mx-2=0的根,所以x1+x2=-m,x1x2=-2,
则
=(-x1,1)·(-x2,1)=x1x2+1=-2+1=-1≠0,
所以不会出现AC⊥BC的情况.
17.(2017新课标Ⅲ卷,文)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;
【解析】
(2)证法一:过A,B,C三点的圆的圆心必在线段AB垂直平分线上,
令x=0得y1=1,y2=-2,
所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为1-(-2)=3,
所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
(2)证明:过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
证法二:设过A,B,C三点的圆与y轴的另一个交点为D,
由x1x2=-2可知原点O在圆内,
由相交弦定理可得|OD|·|OC|=|OA|·|OB|=|x1|·|x2|=2,
又|OC|=1,所以|OD|=2,
所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为|OC|+|OD|=3,为定值.
18.(2016新课标Ⅰ卷,文)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.
(1)求
;
(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.(共34张PPT)
第十章
圆锥曲线
第1节
椭圆标准方程和几何性质
知识梳理
1.椭圆的概念
在平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:
(1)若a>c,P点的轨迹是椭圆.
(2)若a=c,P点的轨迹是线段.
(3)若a2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
(a>b>0)
(a>b>0)
焦点位置
x轴
y轴
图形
性质
范围
-a≤x≤a
-b≤y≤b
-b≤x≤b
-a≤y≤a
对称性
对称轴:x轴、y轴;?对称中心:(0,0)
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
?B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)
?B1(-b,0),B2(b,0)
轴长
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|=2c
离心率
e=
,e∈(0,1)
a,b,c的关系
a2=b2+c2
3.椭圆一些常用结论:
(1)焦点三角形
点P(x0,y0)为椭圆上的一点,若∠F1PF2=θ,则△PF1F2的面积为S=b2tan
.
(2)焦点弦
过焦点F的直线与椭圆交于AB,则弦长|AB|=
(θ为AB与焦点所在轴所成的角);
焦半径:|PF1|=
=a-ex0;|PF2|=
=a+ex0.
(3)椭圆中点弦的斜率公式
若M(x0,y0)是椭圆
(a>b>0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点,则有kAB·kOM=
,即kAB=
.
(4)弦长公式:直线l与圆锥曲线相交所得的弦长
|AB|=
|x2-x1|.(长为直线l的斜率)
精选例题
【例1】
(回归课本P40例4)求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
【例3】 (2018新课标Ⅰ卷,理)设椭圆C:
+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
专题训练
1.(2018新课标Ⅱ卷,文)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为
( )
2.(2016新课标Ⅰ卷,文)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的
,则该椭圆的离心率为(
)
3.(2017新课标Ⅲ卷,文)已知椭圆C:
(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为
(
)
4.(2019新课标Ⅲ卷,文)设F1,F2为椭圆C:
的两个焦点,
M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为
.
5.(2017新课标Ⅰ卷,文)设A,B是椭圆C:
长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是(
)
A.(0,1]∪[9,+∞)
B.(0,
]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)
D.(0,
]∪[4,+∞)
7.(2019新课标Ⅰ卷,文)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(
)
8.(2020新课标Ⅰ卷,山东)(多选)已知曲线C:mx2+ny2=1.
(
)
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为
C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=
x
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
9.(2019新课标Ⅱ卷,文)已知F1,F2是椭圆C:
(a>b>0)的两个焦点,P为C上一点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
11.(2020新课标Ⅲ卷)已知椭圆C:
(0,A,B分别为C的左、右顶点.
(1)求C的方程;
(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.
【解析】(2)∵点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,
过点P作x轴垂线,交点为M,设x=6与x轴交点为N
根据题意画出图形,如图①,
∵|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,∠PMB=∠QNB=90°,
又∵∠PBM=∠QBN=90°,
∠BQN+∠QBN=90°,
∴∠PBM=∠BQN,
根据三角形全等条件“AAS”,
可得△PMB≌△BNQ,∵
,
∴B(5,0),∴|PM|=|BN|=6-5=1,
设P点为(xP,yP),可得P点纵坐标为yP=1,将其代入
,
图①
图②
图③(共23张PPT)
第十章
圆锥曲线
第2节
双曲线标准方程和几何性质
知识梳理
1.双曲线的概念
平面内动点P与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(0<2a<2c),则点P的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,
c>0:
(1)当a(2)当a=c时,P点的轨迹是两条射线.
(3)当a>c时,P点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
(a>0,b>0)
(a>0,b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
x∈R,y≤-a或y≥a
对称性
对称轴:坐标轴,对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
y=±
x
y=±
x
离心率
e=
,e∈(1,+∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;
线段B1B2叫做双曲线的虚轴,
它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的半实轴长,
b叫做双曲线的半虚轴长
a,b,c的关系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
精选例题
【例2】
(2019江苏)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-
=1
(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是
.
【变式】
(2019新课标Ⅰ卷,文)双曲线C:
(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为
(
)
A.2sin
40°
B.2cos
40°
C.
D.
专题训练
1.(2020北京卷)已知双曲线C:
,则C的右焦点的坐标为
;C的焦点到其渐近线的距离是
.
4.(2020新课标Ⅰ卷)已知F为双曲线C:
(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为
.
10.(2020新课标Ⅲ卷)设双曲线C:
(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为
.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=
(
)
A.1
B.2
C.4
D.8
【答案】
A
【解析】
根据双曲线的定义可得||PF1|-|PF2||=2a,
S△PF1F2
=
|PF1|·|PF2|=4,即|PF1|·|PF2|=8,
∵F1P⊥F2P,∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,
∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=4c2,
即a2-5a2+4=0,解得a=1.故选A.
11.(2020新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:
(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点,若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为
(
)
A.4
B.8
C.16
D.32(共24张PPT)
第十章
圆锥曲线
第3节
抛物线标准方程和几何性质
知识梳理
1.抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
开口方向
向右
向左
向上
向下
对称轴
y=0
x=0
焦点
离心率
e=1
准线方程
?
?
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
焦半径
(其中P(x0,y0))
|PF|=x0+
|PF|=-x0+
|PF|=y0+
|PF|=-y0+
精选例题
【例1】
(2016四川,文)抛物线y2=4x的焦点坐标是
(
)
A.(0,2)
B.(0,1)
C.(2,0)
D.(1,0)
【变式】
(2019新课标Ⅱ卷,文理)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆
的一个焦点,则p=
(
)
A.2
B.3
C.4
D.8
【例2】
(2014安徽卷,文)抛物线y=
x2的准线方程是
(
)
A.y=-1
B.y=-2
C.x=-1
D.x=-2
【例3】
(2019北京,理)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).求抛物线C的方程及其准线方程.
【解析】
由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2.
所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.
专题训练
1.(2015陕西,文)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则抛物线焦点坐标为
(
)
A.(-1,0)
B.(1,0)
C.(0,-1)
D.(0,1)
【答案】
B
【解析】
由抛物线y2=2px(p>0)得准线方程为x=
,
因为准线经过点(-1,1),所以p=2,
所以抛物线焦点坐标为(1,0).故选B.
2.(2020新课标Ⅰ卷)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=
(
)
A.2
B.3
C.6
D.9
4.(2014新课标Ⅰ卷,文)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=
x0,则x0=
(
)
A.4
B.2
C.1
D.8
5.(2015新课标Ⅰ卷,文)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为
,
E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=
(
)
A.3
B.6
C.9
D.12
7.(2017新课标Ⅱ卷,文)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为
的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为
(
)
8.(2020新课标Ⅲ卷)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px
(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为
(
)
9.(2020新课标Ⅰ卷,山东)斜率为
的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=
.
10.(2018新课标Ⅰ卷,文)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.
(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;
【解析】
(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,
可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).
所以直线BM的方程为y=
x+1或y=-
x-1.
(2)证明:∠ABM=∠ABN.
11.(2016江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;
【解析】
(1)∵直线l:x-y-2=0,∴l与x轴的交点坐标为(2,0),
即抛物线的焦点为(2,0),
∴
=2,
∴抛物线C的方程为y2=8x.
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证:线段PQ上的中点坐标为(2-p,-p);
②求p的取值范围.(共14张PPT)
第十章
圆锥曲线
第4节
圆锥曲线解答题第一问综合训练
精选例题
【例3】
(2018新课标Ⅱ卷,文)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.求直线l的方程.
专题训练
1.(2017北京,文)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为
.求椭圆C的方程.
6.(2017新课标Ⅰ卷,文)设A,B为曲线C:y=
上两点,A与B的横坐标之和为4.求直线AB的斜率.
y
B
