(共19张PPT)
第四章 三角函数
第四章测试
三角函数
13.(2019新课标Ⅱ卷,理)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
若b=6,a=2c,B=
,则△ABC的面积为
.
14.(2014新课标Ⅱ卷)钝角三角形ABC的面积是
,AB=1,BC=
,则AC=
.
16.(2017新课标Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已
知sin
A+
cos
A=0,a=2
,b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
y
2
K
M(共26张PPT)
第四章 三角函数
第1节
三角函数的概念、同角公式、诱导公式
知识梳理
2.三角函数值的符号规律:
一全部正、二正弦正、三正切正、四余弦正.
sin
x
cos
x
tan
x
3.同角三角函数的基本关系式(同角公式):
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.(2)商数关系:tan
α=
.
5.特殊角0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°的三角函数值:
α
0
π
2π
sin
α
0
1
0
-1
0
cos
α
1
0
-1
0
1
tan
α
0
1
不存在
0
不存在
0
α
对应角度
135°
225°
120°
150°
210°
15°
75°
105°
sin
α
cos
α
tan
α
-1
1
部分常用的非特殊角的三角函数值:
精选例题
【例1】
若角α的终边经过点P(1,-2),求sin
α,cos
α,tan
α,sin(-α)的值.
【例2】
(1)已知sin
θ=
,θ是第二象限角,求cos
θ,tan
θ,cos(π+θ)
的值;
(2)已知tan
α=-3,α∈
,求sin
α,cos
α,cos
的值.
【例3】
求下列三角函数值:(1)tan(-240°);
(2)cos
;
(3)sin
.
1.(2020新课标Ⅱ卷)若α为第四象限角,则
(
)
A.cos
2α>0
B.cos
2α<0
C.sin
2α>0
D.sin
2α<0
【答案】D
【解析】方法一:由α为第四象限角,可得
+2kπ<α<2π+2kπ,
k∈Z,所以3π+4kπ<2α<4π+4kπ,k∈Z,
此时2α的终边落在第三、四象限及y轴的非正半轴上,所以sin
2α<0.故选D.
方法二:当α=
时,cos
2α=cos
>0,选项B错误;
当α=
时,cos
2α=cos
<0,选项A错误;
由α在第四象限可得sin
α<0,cos
α>0,则sin
2α=2sin
αcos
α<0,选项C错误,选项D正确.故选D.
专题训练
2.已知点(2,-1)在角B的终边上,则sin(π+B)=
(
)
A.
B.
C.
D.
11.在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆交于点A,点A的
横坐标为
,则cos
α=
,tan(π-α)=
.
13.若A是第二象限角,且tan(2π-A)=3,则cos
=
.(共21张PPT)
第四章 三角函数
第2节
两角和与差公式、二倍公式
知识梳理
精选例题
【例1】
求下列三角函数值:
(1)tan
15°;
(2)cos
105°;
(3)2sin215°-1.
专题训练
2.(2011全国卷,理)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos
2θ=
(
)
5.(2018新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则
(
)
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
【答案】B
【解析】
∵2sin
2α=cos
2α+1,∴可得4sin
αcos
α=2cos2α.
∵α∈
,sin
α>0,cos
α>0,
∴cos
α=2sin
α,∵sin2α+cos2α=sin2α+(2sin
α)2=5sin2α=1,
∴解得sin
α=
.故选B.
【答案】A
【解析】
tan
β=tan[(α+β)-α]=
.
故选A.
11.(2020新课标Ⅲ卷)已知2tan
θ-tan
=7,则tan
θ=
(
)
A.-2
B.-1
C.1
D.2
15.(2020新课标Ⅰ卷)已知α∈(0,π),且3cos
2α-8cos
α=5,则sin
α=
(
)(共27张PPT)
第四章 三角函数
第3节
三角函数的图象
知识梳理
1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象
函数
y=sin
x,x∈R
y=cos
x,x∈R
y=tan
x,x≠
+kπ,
k∈Z
图象
精选例题
【例1】
(1)如何由函数y=2sin
x的图象通过适当的变换得到函数
f(x)=2sin
的图象,写出变换过程.
【例2】
函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图
所示,则f
(
)的值为
.
【解析】
由f(x)=2sin
,x∈[-π,π].
列表如下:
作出函数部分图象如图所示:
0
π
x
-π
π
y
-1
-2
0
2
0
-1
【例3】
已知函数f(x)=2sin
,列表并作出函数f(x)在区间
[-π,π]上的图象.
专题训练
2.要得到y=sin
x的图象,只要将函数y=sin
的图象
(
)
A.向左平移
个单位
B.向右平移
个单位
C.向上平移
个单位
D.向下平移
个单位
3.(2017新课标Ⅰ卷)已知曲线C1:y=cos
x,C2:y=sin
,则下
面结论正确的是
(
)
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再
把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线C2.
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再
把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到曲线C2.
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的
,纵坐标不变,再
把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线C2.
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的
,纵坐标不变,再
把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到曲线C2.
6.要得到函数y=cos
的图象,只需把函数y=cos
2x的图象上
所有的点
(
)
A.向左平行移动
个单位长度
B.向右平行移动
个单位长度
C.向左平行移动
个单位长度
D.向右平行移动
个单位长度
7.把函数y=cos
2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是
(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
变换后的三角函数为y=cos(x+1),结合四个选项可得A选项正确.
A.
B.
C.
D.
9.设函数f(x)=cos
ωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移
个单位长度
后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于
(
)
A.
B.3
C.6
D.9
11.(2016新课标Ⅱ卷)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(
)
12.(2020新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=cos
在[-π,π]的图象大致
如下图,则f(x)的最小正周期为
(
)
15.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为
.
17.(2020江苏卷)将函数y=3sin
的图象向右平移
个单位长
度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是
.
0
π
x
0
π
f(x)
1
0
-1
0
描点画出图象(如图).(共30张PPT)
第四章 三角函数
第4节
三角函数的性质
知识梳理
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数
y=sin
x,x∈R
y=cos
x,x∈R
y=tan
x,x≠
+kπ,
k∈Z
图象
单调性
在[2kπ,2kπ+π]
(k∈Z)单调递减;
在[2kπ+π,2kπ+2π]
(k∈Z)单调递增
在
(k∈Z)单调递增
最值
在x=2kπ-
(k∈Z)取得
最小值-1;
在x=2kπ+
(k∈Z)取得
最大值1
在x=2kπ(k∈Z)取得最大值1;
在x=2kπ+π(k∈Z)取得最小值-1
无最大、最小值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
关于点(kπ,0)(k∈Z)中心对称
关于点
(k∈
Z)中心对称
关于点(kπ,0)中心对称
关于x=
+kπ(k∈Z)轴对称
关于x=kπ(k∈Z)轴对称
无对称轴
周期
2π
2π
π
精选例题
【例1】
(2017新课标Ⅲ卷)设函数f(x)=cos
,则下列结论错误的是(
)
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图象关于直线
对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在单调递减
【例2】
若函数f(x)=sin2ωx+
sin
ωxcos
ωx+2cos2ωx-
最小正
周期是π.
(1)求f(x)的单调增区间、对称轴;
(2)求f(x)的最小值及对应x的值.
专题训练
一、周期性、奇偶性、单调性问题:
1.下列函数中同时满足下列条件的是:
(
)
①在
上是增函数;②以2π为周期;③是奇函数.
A.y=2sin
2x
B.y=cos
x
C.y=-tan
x
D.y=tan
【答案】D
【解析】以2π为周期的有B,D(排除A,C),是奇函数的为D(排除B).故选D.
2.(2019新课标Ⅱ卷)下列函数中,以
为周期且在区间
单调
递增的是
(
)
A.f(x)=|cos
2x|
B.f(x)=|sin
2x|
C.f(x)=cos|x|
D.f(x)=sin|x|
3.若函数f(x)=2sin2x-1(x∈R),则f(x)是
(
)
A.最小正周期为
的奇函数
B.最小正周期为π的奇函数
C.最小正周期为2π的偶函数
D.最小正周期为π的偶函数
【答案】
D
【解析】
因为f(x)=2sin2x-1=-cos
2x,周期T=π,所以f(x)=-cos
2x为最小正周期为π的偶函数.故选D.
4.(2018新课标Ⅱ卷)若f(x)=cos
x-sin
x在[0,a]是减函数,则a的最大值是
(
)
5.函数f(x)=sin
xcos
x+
cos
2x的最小正周期和振幅分别是(
)
A.π,2
B.π,1
C.2π,1
D.2π,2
7.已知函数f(x)=sin
ωx-cos
ωx(ω>0),且图象上相邻两个最高点的距离为π,则下列说法正确的是
(
)
A.ω=1
B.f(x)是奇函数
C.f(x)是偶函数
D.f(x)的最大值是
【答案】B
【解析】易知f(x)=2cos2x-sin2x+2=3cos2x+1=3
,则f(x)的最小正周期为π,
当2x=2kπ,即x=kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值,最大值为4.故选B.
10.(2018新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则
(
)
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
12.(2018烟台检测)若函数f(x)=cos
(0<φ<π)是奇函数,
则φ=
.
13.函数y=sin
x+
cos
x的单调递增区间是
.
16.(2020新课标Ⅲ卷)关于函数f(x)=sin
x+
有如下四个命题:
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
③f(x)的图象关于直线x=
对称.
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是
.
17.(2019·新课标Ⅱ卷,文8)若
是函数f(x)=sin
ωx(ω>0)
两个相邻的极值点,则ω=
(
)
A.2
B.
C.1
D.(共25张PPT)
第四章 三角函数
第5节
三角函数的图象与
性质综合训练
精选例题
【答案】
C
【解析】
由y=sin
x的图象得y=|sin
x|的图象,易得C正确.
专题训练
3.如果函数f(x)=cos[2(x+φ)]是偶函数,那么φ的值可以为
(
)
5.将函数y=sin
x的图象向左平移
个单位,得到函数y=f(x)的图象,
则下列说法正确的是
(
)
A.y=f(x)是奇函数
B.y=f(x)的最小正周期为π
C.y=f(x)的图象关于直线x=
对称
D.y=f(x)的图象关于点
对称
6.将函数f(x)=cos
x-
sin
x的图象向左平移a(a>0)个单位长度后,所得到的图象关于原点对称,则a的最小值是
(
)
9.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为
(
)
10.(2019新课标Ⅰ卷,文)函数f(x)=
-3cos
x的最小值
为
.
11.若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω等于
(
)
A.5
B.4
C.3
D.2
13.(2020新课标Ⅰ卷,山东)(多选题)下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=
(
)
15.函数f(x)=sin
x+cos
x的图象向右平移t(t>0)个单位长度后所得函数为偶函数,则t的最小值为
.(共24张PPT)
第四章 三角函数
第6节
解三角形
知识梳理
3.解三角形中的射影定理的应用:
a=bcos
C+ccos
B,
b=acos
C+ccos
A,
c=acos
B+bcos
A.
4.面积公式:S△ABC=
absin
C=
acsin
B=
bcsin
A.
5.内角和公式:A+B+C=π,常用结论:
(1)sin
A=sin(B+C),sin
B=sin(A+C),sin
C=sin(A+B).
(2)cos
A=-cos(B+C),cos
B=-cos(A+C),cos
C=-cos(A+B).
6.互余的两角关系:若A+B=
,则sin
A=cos
B,或cos
A=sin
B.
精选例题
【例1】
(1)在△ABC中,已知a=20,A=60°,B=45°,则b=
.
(2)在△ABC中,已知a=3,b=5,c=7,则最大的角的大小是
.
【例2】
在△ABC中,BC=
,AC=1,(1)若B=30°,求角A;(2)若AB=2,求△ABC的面积.
【例3】
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3acos
C=2ccos
A,tan
A=
,求tan
C与角B.
专题训练
2.在△ABC中,若a=4,b=5,cos
C=-
,则S△ABC=
(
)
A.6
B.8
C.12
D.16
4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos
C=
,bcos
A
+acos
B=2,则△ABC的外接圆面积为
(
)
A.4π
B.8π
C.9π
D.36π
5.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=
,则AC=
(
)
A.5
B.
C.2
D.1
7.(2019新课标Ⅱ卷,文)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin
A+acos
B=0,则B=
.
【答案】B
【解析】
依据题设条件的特点,由正弦定理得sin
Bcos
C+cos
Bsin
C=sin2A,有sin(B+C)=sin2A,
从而sin(B+C)=sin
A=sin2A,解得sin
A=1,所以A=
.故选B.
8.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos
C+ccos
B=asin
A,则△ABC的形状为
(
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
9.(2019新课标Ⅰ卷,文)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已
知asin
A-bsin
B=4csin
C,cos
A=-
,则
=
(
)
A.6
B.5
C.4
D.3
【答案】D
【解析】由余弦定理得,4+b2-2×2bcos
A=5,整理得3b2-8b-3=0,解
得b=3或b=-
(舍去).故选D.
13.在△ABC中,若a=1,b=
,A+C=2B,则sin
A=
.
15.(2018新课标Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin
C+csin
B=4asin
Bsin
C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为
.
16.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos
C=-
,
3sin
A=2sin
B,则c=
.
17.(2020新课标Ⅰ卷)如图,在三棱锥P
-ABC的平面
展开图中,
AC=1,AB=AD=
,AB⊥AC,AB⊥AD,
∠CAE=30°,则cos∠FCB=
.(共28张PPT)
第四章 三角函数
第7节
解三角形解答题训练
精选例题
【例1】
(2018新课标Ⅰ卷)平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,A=45°,AB=2,BD=5.
(1)求cos∠ADB;
(2)若DC=2
,求BC.
【例2】
(2015新课标Ⅱ卷)△ABC中D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.
(1)求
;
(2)若∠BAC=60°,求角B.
专题训练
1.(2016新课标Ⅰ卷,理)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos
C(acos
B+bcos
A)=c.
(1)求C;
(2)若c=
,△ABC的面积为
,求△ABC的周长.
4.(2014新课标Ⅱ卷,文)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.
(1)求角C和BD;
(2)求四边形ABCD的面积.
5.(2015新课标Ⅰ卷,文)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,且sin2B=2sin
Asin
C.
(1)若a=b,求cos
B;
(2)若B=90°,且a=
,求△ABC的面积.
6.(2020新课标Ⅱ卷)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin
Bsin
C.
(1)求A;
(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.
9.(2019新课标Ⅰ卷,理)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sin
B-sin
C)2=sin2A-sin
Bsin
C.
(1)求A;
(2)若
a+b=2c,求sin
C.
12.(2019新课标Ⅲ卷,理)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
已知asin
=bsin
A.
(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
13.在①sin
B=
sin
C,②b=4sin
A,③B+C=2A这三个条件中任选
一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
4asin
B=
bcos
A+bsin
A,a=2,
?
(备注:如果选多个条件分别解答,按第一个解答计分.)
14.(2017新课标Ⅱ卷,理)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已
知sin(A+C)=8sin2
.
(1)求cos
B;
(2)若a+c=6,△ABC面积为2,求b.
15.(2017新课标Ⅰ卷,理)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已
知△ABC的面积为
.
(1)求sin
Bsin
C;
(2)若6cos
Bcos
C=1,a=3,求△ABC的周长.
