(共20张PPT)
第五章 平面向量
第五章测试
平面向量
5.(2015新课标Ⅱ卷)已知a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=
(
)
A.-1
B.0
C.1
D.2
6.已知向量a,b均为单位向量,若它们的夹角是60°,则|a-3b|=
(
)
7.(2015山东)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则
8.(2018广东东莞二模)如图所示,已知
,则下列等式中成立的是
(
)
【答案】C
【解析】
∵2a-3b=(2k-3,-6),(2a-3b)⊥c,
所以(2a-3b)·c=2(2k-3)-6=0.解得k=3.故选C.
11已知向量a,b满足|a|=1,
|b|=
,且a与b的夹角为
，则(a+b)
(2a-b)=
(
)
12.已知向量a=(1,2),b=(-2,3),c=(4,5),若(a+λb)⊥c,则实数λ=
(
)
13.如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点，
则
=
(
)
二、填空题
14.(2015新课标Ⅱ卷)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=
.
15.(2013安徽)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a,b夹角的余弦值为
.
16.(2011新课标Ⅱ卷)已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=
.
17.在锐角△ABC中,
,则
=
.
18.(2014新课标Ⅰ卷)已知A,B,C为圆O上的三点,若
则
的夹角为
.
19.(2019北京)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=_________.(共27张PPT)
第五章 平面向量
第1节
平面向量的线性运算和
坐标表示
知识梳理
1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或称模).
2.向量的运算(几何意义):
(1)加法:
平行四边形法则:向量a+b是指以a,b为邻边的平行四边形的对角线所对的向量.
三角形法则(如图):
(2)减法(如图):
3.坐标运算:
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2).
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则
=(x2-x1,y2-y1),|
|=
.
(3)若a=(x,y),则|a|=
.
(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),
①当a∥b时有a=λb,x1y2-x2y1=0;②a⊥b时有a·b=0,x1x2+y1y2=0.
4.平面向量基本定理:
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的非零向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2.
5.三点共线定理:若
=λ
+μ
,且λ+μ=1,则A,B,C三点共线.
精选例题
【答案】
C
【解析】
∵a∥b,∴1×2-m·m=0,解得m=
或m=-
.故选C.
【例2】
(2013新课标Ⅱ卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则
=
.
【例3】
(2016新课标Ⅱ卷,理)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=
(
)
A.-8
B.-6
C.6
D.8
【答案】
D
【解析】向量a+b=(4,m-2),由(a+b)⊥b得4×3+(m-2)×(-2)=0,解得m=8.故选D.
1.(2018新课标Ⅲ卷)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=
.
专题训练
3.(2017新课标Ⅲ卷)已知向量a=(-2,3),b=(3,m)且a⊥b,则m=
.
【答案】2
【解析】
由题意可得-2×3+3m=0,解得m=2.
(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角形的垂心)
【答案】A
【解析】
m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),
当(m+n)⊥(m-n)时,有(2λ+3,3)·(-1,-1)=0,
∴(2λ+3)·(-1)+3×(-1)=0,解得λ=-3.故选A.
10.(2013新课标卷,文)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥
(m-n),则λ=
(
)
A.-3
B.-4
C.-2
D.-1
11.(2017新课标Ⅱ卷)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则
(
)
A.a⊥b
B.|a|=|b|
C.a∥b
D.|a|>|b|
【答案】A
【解析】依题意得(a+b)2-(a-b)2=0,即4a·b=0,则a⊥b.故选A.(共22张PPT)
第五章 平面向量
第1节
平面向量的数量积
知识梳理
1.向量a与b的夹角范围是[0°,180°].
2.a·b=|a||b|cos
θ叫做a与b的数量积.(规定0·a=0)
3.向量的投影:(可以是正数或0或负数)
若向量a与向量b的夹角为θ,向量a在b方向上的投影为|a|cos
θ,向量b在a方向上的投影为|b|cos
θ.
4.向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a.
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
5.平面向量数量积的坐标运算
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),
=θ.
(1)a·b=x1x2+y1y2.
(2)a⊥b?x1x2+y1y2=0,a∥b?x1y2-x2y1=0.
(3)cos
θ=
.
精选例题
【例1】
(2011新课标Ⅱ卷)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,
|2a-b|=
,则|b|=
.
【例2】
(2016新课标Ⅰ卷)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2
=|a|2+|b|2,则m=
.
【答案】
-2
【解析】由|a+b|2=|a|2+|b|2,得a⊥b,所以m·1+1×2=0,解得m=-2.
【例3】
(2017新课标Ⅰ卷)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=
.
【答案】
【解析】|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=4+4×2×1×cos
60°+4=12,所以|a+2b|=
.
1.(2018新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(
)
A.4
B.3
C.2
D.0
专题训练
【答案】
B
【解析】a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.故选B.
2.已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为
,且(a+λb)⊥
(2a-b),则实数λ的值为
(
)
A.-7
B.-3
C.2
D.3
【答案】
D
【解析】依题意得a·b=2×1×cos
=-1,由(a+λb)·(2a-b)=0,
得2a2-λb2+(2λ-1)a·b=0,
即-3λ+9=0,解得λ=3.故选D.
3.(2019新课标Ⅰ卷,理)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为
(
)
【答案】
3
【解析】|a|2=a2=(3e1-2e2)2=(3e1)2+(2e2)2-12e1·e2=9+4-12cos
α=9,解得|a|=3.
5.(2020新课标Ⅰ卷)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=
.
【答案】
1
【解析】由(a+b)·(ka-b)=0得ka2-ab+kab-b2=0,所以有k×12+(k-1)ab-12=0,即(k-1)(1+ab)=0,所以k=1.
8.(2011新课标Ⅱ卷)已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则
k=
.
10.(2020新课标Ⅱ卷)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k=
.
13.(2020新课标Ⅱ卷,文5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是
(
)
A.a+2b
B.2a+b
C.a-2b
D.2a-b
14.(2020新课标(山东))已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则
的取值范围是
(
)
A.(-2,6)
B.(-6,2)
C.(-2,4)
D.(-4,6)
17.(2019新课标Ⅲ卷,理)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-
b,则cos
=
.