(共14张PPT)
第一章 集合、充要条件、
量词、复数
第一章测试
集合、充要条件、
量词、复数
一、选择题
1.设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C等于(
)
A.{2}
B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6}
D.{x∈R|-1≤x≤5}
【答案】
B
【解析】
A∪B={1,2,4,6},(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.
2.已知命题p:?x0∈
,使得cos
x0≤x0,则
p为
(
)
A.?x0∈
,使得cos
x0>x0
B.?x0∈
,使得cos
x0
C.?x∈
,总有cos
x>x
D.?x∈
,总有cos
x≤x
【答案】
C
【解析】原命题是一个特称命题,其否定是一个全称命题,而“cos
x≤x”的否定是“cos
x>x”.故选C.
3.设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
B
【解析】
a,b,c,d是非零实数,若ad=bc,则
,此时a,b,c,d不一定成等比数列;反之,若a,b,c,d成等比数列,则
,所以ad=bc,所以“ad=bc”是“a,b,c,d
成等比数列”的必要不充分条件.故选B.
4.(2015四川,文)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的
(
)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
A
【解析】
a>b>1时,有log2a>log2b>0成立;反之当log2a>log2b>0成立时,a>b>1也成立.故选A.
5.“m<4”是“?x∈[3,+∞),x2-mx+4>0恒成立”的
(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(2015湖北,文)命题“?x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是
(
)
A.?x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1
B.?x0?(0,+∞),lnx0=x0-1
C.?x∈(0,+∞),lnx≠x-1
D.?x?(0,+∞),lnx=x-1
【答案】
C
【解析】由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为?x∈(0,+∞),lnx≠x-1.故选C.
7.(2015新课标Ⅰ卷,文)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=
(
)
A.-2-i
B.-2+I
C.2-i
D.2+i
8.若复数z=a+
所表示的点在复平面一、三象限的平分线上,则实数a=
(
)
A.1
B.0
C.-1
D.2
【答案】
C
【解析】
∵(z-1)i=1+i,∴z=
+1=2-i.故选C.
【答案】
A
【解析】
z=a+
=a+i,且实部与虚部相等,故a=1.故选A.
9.(2019咸阳模拟)已知p∶m=-1,q:直线x-y=0与直线x+m2y=0互相垂直,则p是q的
(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
A
【解析】由题意得直线x+m2y=0的斜率是-1,所以
=-1,解得m=±1.
所以p是q的充分不必要条件.故选A.
10.(2017新课标Ⅰ卷)设有下面四个命题
p1:若复数z满足
∈R,则z∈R;
p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;
p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=
;
p4:若复数z∈R,则
∈R.
其中的真命题为
(
)
A.p1,
p3
B.p1,
p4
C.p2,
p3
D.p2,
p4
【答案】
B
【解析】令z=a+bi(a,b∈R),则由
∈R得b=0,所以z∈R,
p1正确;由i2=-1∈R,i?R知,p2不正确;由z1=z2=i,
z1·z2=-1∈R知,
p3不正确;
p4显然正确.故选B.
11.(2014天津,文)已知命题p:?x>0,总有(x+1)ex>1,则
p为(
)
A.?x0≤0,使得(x0+1)
≤1
B.?x0>0,使得(x0+1)
≤1
C.?x>0,总有(x+1)ex≤1
D.?x≤0,总有(x+1)ex≤1
【答案】
B
【解析】因为命题p:?x,d的否定为
p:?x0,
d,
所以命题p:?x>0,总有(x+1)ex>1,
p为?x0>0,使得(x0+1)
≤1.故选B.
二、填空题
12.(2014辽宁,文)
已知全集U=R,集合A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=
.
【答案】
{x|0【解析】由已知得,A∪B={x|x≤0或x≥1},故?U(A∪B)={x|013.已知集合A={x|-1.
【答案】
{m|m>1}
【解析】由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件,得A?B,
即
即m>1.
14.(2007新课标卷,文)i是虚数单位,i+2i2+3i3+…+8i8=
.
(用a+bi的形式表示,a,b∈R)
【答案】
4-4i
【解析】
i+2i2+3i3+…+8i8=i-2-3i+4+5i-6-7i+8=4-4i.
15.(2015上海,文)若复数z满足3z+
=1+i,其中i是虚数单位,则z
=
.(共22张PPT)
第一章 集合、充要条件、
量词、复数
第1节
集合的概念和基本运算
知识梳理
1.集合间的基本关系
(1)子集:若对?x∈A,都有x∈B,则A?B.
(2)真子集:若A?B,但?x∈B,且x?A,则A
B.
(3)相等:若A?B,且B?A,则A=B.
(4)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
2.集合的运算
3.集合的元素个数为n,则该集合的子集个数为:2n
个;真子集的个数为
2n-1个.
4.常用数集:自然数集:N,整数集合:Z,有理数集合:Q,实数集合:R.
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A的补集记为?UA
Venn图表示(阴影部分)
意义
A∪B={x|x∈A
或x∈B}
A∩B={x|x∈A
且x∈B}
?UA={x|x∈U
且x?A}
精选例题
【例1】
(2019新课标Ⅲ卷,文)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=
(
)
A.{-1,0,1}
B.{0,1}
C.{-1,1}
D.{0,1,2}
【答案】
A
【解析】
因为集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1},所以A∩B={-1,0,1}.故选A.
【例2】
(2017新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则(
)
A.A∩B={x|x<0}
B.A∪B=R
C.A∪B={x|x>1}
D.A∩B=?
【答案】
A
【解析】由3x<1得3x<30,所以x<0,故A∩B={x|x<1}∩{x|x<0}
={x|x<0}.故选A.
1.(2018新课标Ⅰ卷)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=(
)
A.{0,2}
B.{1,2}
C.{0}
D.{-2,-1,0,1,2}
【答案】
A
【解析】已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B={0,2}.故选A.
专题训练
2.(2011新课标Ⅰ卷)设集合U={1,2,3,4},M={1,2,3},N={2,3,4},则?U(M∩N)=
(
)
A.{1,2}
B.{2,3}
C.{2,4}
D.{1,4}
【答案】
D
【解析】集合U={1,2,3,4},M={1,2,3},N={2,3,4},M∩N={2,3},所以?U(M∩N)={1,4}.故选D.
3.(2011新课标Ⅱ卷)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有
(
)
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
【答案】
B
【解析】集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N={1,3},所以P的子集个数为22=4个.故选B.
4.(2012新课标Ⅱ卷)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1)
A.A
B
B.B
A
C.A=B
D.A∩B=?
【答案】
B
【解析】集合A={x|x2-x-2<0}={x|-1B
A.故选B.
5.(2020新课标Ⅲ卷)已知集合A={(x,y)|x,y∈N
,y≥x},
B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为
(
)
A.2
B.3
C.4
D.6
【答案】
C
【解析】满足条件的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)共4个.故选C.
6.(2014新课标Ⅱ卷)已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=
(
)
A.?
B.{2}
C.{0}
D.{-2}
【答案】
B
【解析】因为集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0}={-1,2},所以A∩B={2}.故选B.
7.(2014新课标Ⅰ卷)已知集合M={x|-1≤x≤3},B={x|-2≤x≤1},则M∩B=
(
)
A.[-2,1]
B.[-1,1]
C.[1,3]
D.[-2,3]
【答案】
B
【解析】集合M={x|-1≤x≤3},B={x|-2≤x≤1},所以M∩B={x|-1≤x≤1}.故选B.
8.(2011北京,文)已知全集U=R,集合P={x|x2≤1},那么?UP=
(
)
A.(-∞,-1)
B.(1,+∞)
C.(-1,1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
【答案】
D
【解析】全集U=R,集合P={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1},所以?UP={x|x<-1或x>1}.故选D.
9.(2017新课标Ⅲ卷)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为
(
)
A.3
B.2
C.1
D.0
【答案】
B
【解析】由题意可得,圆x2+y2=1与直线y=x相交于两点,
,则A∩B中有两个元素.故选B.
10.(2020新课标Ⅰ卷)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B
={x|-2≤x≤1},则a=
(
)
A.-4
B.-2
C.2
D.4
【答案】
B
【解析】集合A={x|x2-4≤0}={x|-2≤x≤2},B={x|2x+a≤0}={x|x≤-
},因为A∩B={x|-2≤x≤1},所以-
=1,解得a=-2.故选B.
11.已知集合A={x|x2-6x+5≤0},B={x|y=log2(x-2)},则A∩B=
(
)
A.(1,2)
B.[1,2)
C.(2,5]
D.[2,5]
【答案】
C
【解析】由x2-6x+5≤0的解集为{x|1≤x≤5},得A=[1,5].由x-2>0,解得x>2,故B=(2,+∞).把两个集合A,B在数轴上表示出来,如图,可知A∩B=(2,5].故选C.
12.(2013江西,文)若集合A={x|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=(
)
A.4
B.2
C.0
D.0或4
【答案】
A
【解析】若集合A={x|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,由Δ=a2-4a=0,得a=0(舍)或a=4.
当a=0时,ax2+ax+1=0无解;当a=4时,ax2+ax+1=4x2+4x+1=
(2x+1)2=0,解得x=-
,符合题意.故选A.
13.(2016山东)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=(
)
A.(-1,1)
B.(0,1)
C.(-1,+∞)
D.(0,+∞)
【答案】
C
【解析】集合A={y|y>0},B={x|-114.(2019新课标Ⅰ卷,文)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},
B={2,3,6,7},则B∩(?UA)=(
)
A.{1,6}
B.{1,7}
C.{6,7}
D.{1,6,7}
【答案】
C
【解析】因为集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},
所以?UA={1,6,7},则B∩(?UA)={6,7}.故选C.
15.(2016新课标Ⅲ卷)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=
(
)
A.[2,3]
B.(-∞,2]∪[3,+∞)
C.[3,+∞)
D.(0,2]∪[3,+∞)
【答案】
D
【解析】由(x-2)(x-3)≥0解得x≥3或x≤2,所以S={x|x≤2或x≥3},所以S∩T={x|016.(2018新课标Ⅰ卷,理)已知集合A={x|x2-x-2>0},则?RA=(
)
A.{x|-1B.{x|-1≤x≤2}
C.{x|x<-1}∪{x|x>2}
D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
【答案】
B
【解析】集合A={x|x2-x-2>0}={x|x<-1或x>2},所以?RA={x|-1≤x≤2}.故选B.
17.(2019新课标Ⅱ卷,文)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=(
)
A.(-1,+∞)
B.(-∞,2)
C.(-1,2)
D.?
【答案】
C
【解析】因为集合A=(-1,+∞),B=(-∞,2),则A∩B=(-1,2).故选C.(共20张PPT)
第一章 集合、充要条件、
量词、复数
第2节
充分条件与必要条件
知识梳理
判定充分条件、必要条件的两种方法
1.定义法:(1)若A?B,则A是B的充分条件,B是A的必要条件.
(2)若B?A,则A是B的必要条件,B是A的充分条件.
(3)若A?B,则A是B
的充分必要条件.
2.利用集合的包含关系
若A?B
,则A是B的充分条件,B是A的必要条件.
若A
B,则A是B的充分条件.
若A=B,则A是B的充分必要条件.
精选例题
【例1】
(2014广东)在
△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,则“a≤b
”是“sin
A≤sin
B”的
(
)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
A
【解析】由正弦定理知
=2R,∴a=2Rsin
A,
b=2Rsin
B,由a≤b,得到2Rsin
A≤2Rsin
B(R
为正数),所以有
sin
A≤sin
B,反之也成立.故选A.
【例2】
(2014新课标Ⅱ卷)函数f(x)在x=x0处导数存在,若p:f'(x0)
=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则
(
)
A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
【答案】
C
【解析】
f(x)在x=x0
处导数f'(x0)=0
时,x=x0不一定是f(x)的极值点,(例如
f(x)=3,f'(x)=0,因为f(x)=3是一条直线,没有极值点.)所以顺推不成立,但是如果函数f(x)
在x=x0
处有极值点,则一定有f'(x0)=0,反推成立.故选C.
1.“x2≥1”是“x>2”的
(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
B
【解析】
x2≥1时,x可以是x≤-1
不一定大于2,但是x>2时,x2≥1一定成立.故选B.
专题训练
2.在△ABC中,“A=B”是“tan
A=tan
B”的
条件.
【答案】
充要
【解析】由A=B,得tan
A=tan
B,反之,若tan
A=tan
B,则A=B+kπ,k∈Z.∵03.“m<
”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的
(
)
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
A
【解析】
x2+x+m=0根的判别式为Δ=b2-4ac=1-4m,当方程有解时,Δ≥0,由Δ=1-4m≥0
得到m≤
,所以当m<
时方程一定有解,但是方程有解时,可能是m=
,而不一定是m<
.故选A.
4.已知a,b是实数,则“a>0
且b>0”是“a+b>0
且ab>0”的
(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
C
【解析】
a>0且b>0时一定有ab>0,
a+b>0,反之也成立.故选C.
5.若a,b是两个非零向量,则“|a+b|=|a-b|”是“a⊥b”的
(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
C
【解析】
|a+b|=|a-b|时,两边平方有(a+b)2=(a-b)2,得到
a2+2ab+b2
=a2-2ab+b2,所以2ab=-2ab,所以a·b=0,a⊥b
,反之也成立.故选C.
6.在△ABC中,“A=60°”是“cos
A=
”的
(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
C
【解析】在△ABC中,A=60°
时,cos
A=
,反之,当cos
A=
时,在△ABC中0°A=60°.故选C.
7.(2011新课标卷,文)下面四个条件中,使a>b成立的充分不必要的条件是
(
)
A.a>b+1
B.a>b-1
C.a2>b2
D.a3>b3
【答案】
A
【解析】
a>b+1时,一定有a>b,但是a>b时,不一定有a>b+1.故选A.
8.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的
(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
A
【解析】当四边形ABCD为菱形时,必有对角线互相垂直,即AC⊥BD;
当四边形ABCD中AC⊥BD时,四边形ABCD不一定是菱形,还需要AC与BD互相平分.
综上知,“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.故选A.
9.已知p:x≥k,q:(x+1)(2-x)<0,如果p是q的充分不必要条件,则k的取值范围是
(
)
A.[2,+∞)
B.(2,+∞)
C.[1,+∞)
D.(-∞,-1]
【答案】
B
【解析】由q:(x+1)(2-x)<0,得x<-1或x>2,又p是q的充分不必要条件,所以k>2,即实数k的取值范围是(2,+∞).故选B.
10.(2011天津,文)设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},
C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C
”的
(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
C
【解析】
A∪B={x|x<0或x>2},而C={x∈R|x(x-2)>0}={x|x<0或x>2},所以A∪B=C.故选C.
11.若“x>2m2-3”是“-1(
)
A.[-3,3]
B.(-∞,-3]∪[3,+∞)
C.(-∞,-1]∪[1,+∞)
D.[-1,1]
【答案】
D
【解析】
∵“x>2m2-3”是“-1∴(-1,4)?(2m2-3,+∞),
因此2m2-3≤-1,解得-1≤m≤1.故选D.
12.(2016北京)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
D
【解析】由|a+b|=|a-b|?(a+b)2=(a-b)2?a·b=0?a⊥b,因此是既不充分也不必要条件.故选D.
13.如果向量a=(1,k),b=(k,4),那么“a∥b”是“k=-2”的
(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
B
【解析】因为a∥b,所以1×4-k2=0,即4=k2,所以k=±2.所以“a∥b”是“k=-2”的必要不充分条件.故选B.
14.已知p:(x+3)(x-1)>0,q:x>a2-2a-2,若
p是
q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是
(
)
A.[-1,+∞)
B.[3,+∞)
C.(-∞,-1]∪[3,+∞)
D.[-1,3]
【答案】
B
【解析】由p:(x+3)(x-1)>0,解得x<-3或x>1,要使得
p是
q的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件,所以a2-2a-2≥1,解得a≤
-1或a≥3.故选C.
15.函数f(x)=
有且只有一个零点的充分不必要条件是(
)
A.a≤0或a>1
B.0C.
D.a<0
【答案】
D
【解析】因为函数f(x)=
有且只有一个零点的充要条件为a≤0或a>1.由选项可知,使“a≤0或a>1”成立的充分条件
为选项D.故选D.
16.(2019北京,文)设函数f(x)=cos
x+bsin
x(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的
(
)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
C
【解析】若b=0,则f(x)=cos
x是偶函数;
反之,若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),即cos(-x)+bsin(-x)=cos
x-bsin
x
=cos
x+bsin
x,即bsin
x=0对?x成立,可得b=0,故“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件.故选C.(共14张PPT)
第一章 集合、充要条件、
量词、复数
第3节
全称量词与存在量词
知识梳理
1.全称量词和存在量词
(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“?”表示.
(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“?”表示.
2.全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x,有p(x)成立
?x∈M,p(x)
?x0∈M,
p(x0)
特称命题
存在M中的一个x0,使p(x0)成立
?x0∈M,p(x0)
?x∈M,
p(x)
精选例题
【例题】
命题“?x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是
(
)
A.?x∈(0,+∞),x3+x<0
B.?x∈(-∞,0),x3+x≥0
C.?x0∈[0,+∞),
+x0<0
D.?x0∈[0,+∞),
+x0≥0
【答案】
C
【解析】由全称命题的否定得到“?x∈[0,+∞).x3+x≥0”的否定为“?x0∈[0,+∞),使得
+x0<0”.故选C.
1.命题“?x<0,1-x>ex”的否定是
(
)
A.?x0<0,1-x0≤
B.?x0≥0,1-x0≤
C.?x0<0,1-x0>
D.?x0≥0,1-x0>
【答案】
A
【解析】命题“?x<0,1-x>ex”的否定是“?x0<0,1-x0≤
”.故选A.
专题训练
【答案】
D
【解析】命题p的否定是把“?”改成“?”,再把“
”
改为“
”即可.故选D.
3.命题“?x0∈R,
+4x0+5≤0”的否定是
(
)
A.?x0∈R,
+4x0+5>0
B.?x0∈R,
+4x0+5≤0
C.?x∈R,x2+4x+5>0
D.?x∈R,x2+4x+5≤0
【答案】
C
【解析】命题“?x0∈R,
+4x0+5≤0”的否定是“?x∈R,
x2+4x+5>0”.故选C.
4.已知命题“?x∈R,使4x2+(a-2)x+
≤0”是假命题,则实数a的取值范围是
(
)
A.a<0
B.0≤a≤4
C.a≥4
D.0【答案】
D
【解析】
∵命题“?x∈R,使4x2+(a-2)x+
≤0”是假命题,
∴命题“?x∈R,使4x2+(a-2)x+
>0”是真命题,即判别式Δ=(a-2)2-4×4×
<0,
即Δ=(a-2)2<4,则-25.命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为
(
)
A.对任意x∈R,都有x2<0
B.不存在x∈R,都有x2<0
C.存在x0∈R,使得
≥0
D.存在x0∈R,使得
<0
【答案】
D
【解析】否定为:存在x0∈R,使得
<0.故选D.
6.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集,若命题p:?x∈A,2x∈B,则
(
)
A.
p:?x0∈A,2x0?B
B.
p:?x0?A,2x0?B
C.
p:?x0?A,2x0∈B
D.
p:?x0∈A,2x0?B
【答案】
A
【解析】由命题的否定易知选A
.
7.下列命题中,真命题是
(
)
A.?x0∈R,
≤0
B.?x∈R,2x>x2
C.a+b=0的充要条件是
=-1
D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件
【答案】
D
【解析】
∵?x∈R,ex>0,故排除A;取x=2,则22=22,故排除B;
a+b=0,取a=b=0,则不能推出
=-1,故排除C;故选D.
8.(2015浙江)命题“?n∈N
,
f(n)∈N
且
f(n)≤n”的否定形式是(
)
A.?n∈N
,
f(n)?N
且
f(n)>n
B.?n∈N
,
f(n)?N
或
f(n)>n
C.?n0∈N
,
f(n0)?N
且
f(n0)>n0
D.?n0∈N
,
f(n0)?N
或
f(n0)>n0
【答案】
D
【解析】写全称命题的否定时,要把量词?改为?,并且否定结论,注意把“且”改为“或”.故选D.
9.已知命题p:“?x0∈R,使得
+2ax0+1<0成立”为真命题,则实数a满足
(
)
A.[-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-1)
【答案】
B
【解析】
“?x0∈R,
+2ax0+1<0”是真命题,即不等式x2+2ax+1<0有解,由Δ=(2a)2-4>0,得a2>1,即a>1或a<-1.故选B.
10.已知命题“?x∈R,x2-5x+
a>0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是
.
【答案】
【解析】
由“?x∈R,x2-5x+
a>0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x2-5x+
a>0对任意实数x恒成立.故Δ=25-4×
a<0,解得a>
.(共20张PPT)
第一章 集合、充要条件、
量词、复数
第4节
复
数
知识梳理
1.复数的概念:
(1)形如z=a+bi(a,b∈R)形式的数叫做复数.
其中i叫做复数的单位,且i2=-1,a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部.(复数集常用集合C表示.)
(2)复数的分类:对于复数z=a+bi(a,b∈R),
当b=0时,是实数;当b≠0时,是虚数;当a=0,b≠0时,是纯虚数.
(3)复数相等:a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)?
(4)共轭复数:复数z=a+bi的共轭复数
=a-bi.
(5)复数的模:|z|=|a+bi|=
.
2.复数的几何意义:Z=a+bi?点Z(a,b)?向量
.
3.复数的四则运算:若复数z1=a+bi,z2=c+di
,则
(1)z1+z2=(a+c)+(b+d)i
.
(2)z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
(3)z1·z2=(ac-bd)+(bc+ad)i
.
(4)
4.常用复数运算结论:
(1)(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i.
(2)
(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(周期为4).
(4)i+i2+i3+i4=0.
5.复数的三角形式:
z=a+bi=rcos
θ+rsin
θi=r(cos
θ+sin
θi).(其中r=
)
精选例题
【例1】
(2017新课标Ⅲ卷)
=
(
)
A.1+2i
B.1-2i
C.2+i
D.2-i
【答案】
D
【解析】
=2-i.故选D.
【例2】
(2019新课标Ⅰ卷,文)设z=
,则|z|=
(
)
A.2
B.
C.
D.1
1.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b=
(
)
A.-2
B.-
C.
D.2
【答案】
D
【解析】
(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i,要(2-b)+(2b+1)i是纯虚数,则要
解得b=2.故选D.
专题训练
2.设复数z满足(1-i)z=2i,则z=
(
)
A.-1+i
B.-1-i
C.1+i
D.1-i
3.复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于
(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】
B
【解析】
z=i(1+i)=-1+i,对应的点为(-1,1),位于第二象限.故选B.
4.(2014陕西)已知复数z=2-i,则z·
的值为
(
)
A.5
B.
C.3
D.
【答案】
A
【解析】
∵z=2-i,∴
=2+i,z·
=4+1=5.故选A.
5.(2014江苏)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为(
)
A.25
B.21
C.20
D.29
【答案】
B
【解析】
z=(5+2i)2=52+20i+(2i)2=21+20i,所以z的实部为21.故选B.
6.(2018新课标Ⅰ卷)设z=
+2i,则|z|=
(
)
A.0
B.
C.1
D.
【答案】
C
【解析】z=
+2i=i,所以|z|=1.故选C.
7.(2012新课标Ⅱ卷)复数z=
的共轭复数是
(
)
A.2+i
B.2-i
C.-1+I
D.-1-i
8.(2013新课标Ⅱ卷)
=
(
)
A.2
B.2
C.
D.1
9.(2014新课标Ⅱ卷)
=
(
)
A.1+2i
B.-1+2i
C.1-2i
D.-1-2i
11.将复数1+
i对应的向量
绕原点按顺时针方向旋转
,得到的向量为
,那么
对应的复数是
(
)
A.
-i
B.
+i
C.-
-i
D.-
+i
12.(2016新课标Ⅰ卷,理)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=(
)
A.1
B.
C.
D.2
【答案】
B
【解析】因为(1+i)x=1+yi,所以x+xi=1+yi,所以x=1,y=x=1,故|x+yi|=|1+i|=
.故选B.
13.(2016新课标Ⅱ卷,理)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是
(
)
A.(-3,1)
B.(-1,3)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-3)
【答案】
A
【解析】要使复数z对应的点在第四象限,应满足
解得-314.计算
的结果是
(
)
A.-9
B.9
C.-1
D.1
15.(2017新课标Ⅲ卷)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=
(
)
【答案】
C
【解析】由题意可得
故选C.
16.(2020新课标Ⅰ卷)若z=1+i,则|z2-2z|=
(
)
A.0
B.1
C.
D.2
【答案】
D
【解析】
∵z2-2z=(1+i)2-2(1+i)=1+2i+i2-2-2i=-2,∴|z2-2z|=2.