(共41张PPT)
专题八
数列
【考试内容】
等差数列;等比数列;求数列的通项;求数列的前n项和Sn;已知数列{an}的前n项和Sn;求通项an
【近7年新课标卷考点统计】
年份
试卷类型
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
新课标Ⅰ卷
10
5
新课标Ⅱ卷
10
10
15
新课标Ⅲ卷
10
重要考点回顾
一、数列的概念
1.数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;数列中的每个数都叫这个数列的项,记作an,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位置的叫第2项,…,序号为n的项叫第n项(也叫通项)记作an.
2.数列的一般形式:a1,a2,a3,…,an,…,简记作{an}.
3.通项公式的定义:如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
说明:
①{an}表示数列,an表示数列中的第n项,an=f(n)表示数列的通项公式;
②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一.例如,
③不是每个数列都有通项公式.例如,1,1.4,1.41,1.414,…
④数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系:
二、等差数列
1.等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.用递推公式表示为an-an-1=d(n≥2)或an+1-an=d(n≥1).
2.等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d;
说明:等差数列的单调性:
d>0为递增数列,
d=0为常数列,
d<0为递减数列.
3.等差中项的概念:如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.其中
.
a,A,b成等差数列?
.
4.等差数列的前n项和公式:
5.等差数列的性质:
(1)在等差数列{an}中,从第2项起,每一项是它相邻两项的等差中项;
(2)在等差数列{an}中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列,
如:a1,a3,a5,a7,…;a3,a8,a13,a18,…;
(3)在等差数列{an}中,对任意m,n∈N+,an=am+(n-m)d,
;
(4)在等差数列{an}中,若m,n,p,q∈N+且m+n=p+q,则am+an=ap+aq;
6.数列最值
(1)在等差数列{an}中,a1>0,d<0时,Sn有最大值;
a1<0,d>0时,Sn有最小值;
(2)Sn最值的求法:
①若已知Sn的表达式形如二次函数,可用二次函数最值的求法(n∈N+);
②若已知an,则Sn取最值时n的值(n∈N+)可如下确定
或
三、等比数列
1.等比数列定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),
即:
(注意:“从第二项起”、“常数”q、等比数列的公比和项都不为零)
2.等比数列通项公式为:an=a1·qn-1(a1·q≠0).
说明:(1)由等比数列的通项公式可以知道:当公比q=1时该数列既是等比数列也是等差数列;
(2)由等比数列的通项公式知:若{an}为等比数列,则
3.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项(两个符号相同的非零实数,都有两个等比中项).
即:a与b的等比中项G?G2=ab?G=±
4.等比数列前n项和公式
一般地,设等比数列a1,a2,a3,…,an,…的前n项和是Sn=a1+a2+a3+…+an,
当q≠1时,
或
当q=1时,Sn=na1.
说明:(1)a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三个可求第四个;
(2)注意求和公式中是qn,通项公式中是qn-1不要混淆;
(3)应用求和公式时q≠1,必要时应讨论q=1的情况.
5.等比数列的性质
(1)等比数列任意两项间的关系:an=amqn-m;
(2)对于等比数列{an},若n+m=u+v,则an·am=au·av.
1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,则其通项an=
;
若它的第k项满足5
.
考点训练
2.已知{an}为等差数列,a1+a3=22,a6=7,则a5=
.
3.已知数列的通项an=-5n+2,则其前n项和Sn=
.
4.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=
(
)
A.-1
B.1
C.3
D.7
5.等差数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,S4=20,则该数列的公差
d=
(
)
A.2
B.3
C.6
D.7
6.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a1=4,则公差d=
(
)
7.已知等差数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和,若a2,a4是方程x2-6x+5=0的两个根,则S6的值为
.
8.等差数列{an}中,已知a1=
,a2+a5=4,an=33,则n为
(
)
A.48
B.49
C.50
D.51
9.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知
则m=
(
)
A.38
B.20
C.10
D.9
10.数列{an}满足
,则a1=
.
11.设首项为1,公比为
的等比数列{an}的前n项和为Sn,则(
)
A.Sn=2an-1
B.Sn=3an-2
C.Sn=4-3an
D.Sn=3-2an
12.已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=
.
13.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则
(
)
14.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2-a5=0,则
=
.
15.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,
则a5=
(
)
A.1
B.2
C.4
D.8
16.已知等比数列{an}的公比为正数,且
,
则a1=
(
)
17.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项Sn=
(
)
18.已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和,若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为
,则S5=
(
)
A.35
B.33
C.31
D.29
19.等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4=
(
)
A.7
B.8
C.15
D.16
20.等比数列{an}的公比q>0,已知a2=1,an+2+an+1=6an,则{an}的前4项和S4=
.
21.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=
.
22.等比数列{an}的前n项和为Sn,公比不为1.若a1=1,且对任意的n∈N+,都有an+2+an+1-2an=0,则S5=
.
23.已知等比数列{an}为递增数列.若a1>0,且2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的公比q=
.
24.(多选题)公差为d的等差数列{an},其前n项和为Sn,S11>0,S12<0,下列说法正确的有
( )
A.d<0
B.a7>0
C.{Sn}中S5最大
D.|a4|<|a9|
25.(多选题)已知正项等比数列{an}满足a1=2,a4=2a2+a3,若设其公比为q,前n项和为Sn,则
( )
A.q=2
B.an=2n
C.S10=2047
D.an+an+126.(多选题)设d,Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和,若S10=S20,则下列说法正确的有
( )
A.当n=15时,Sn取最大值
B.当n=30时,Sn=0
C.当d>0时,a10+a22>0
D.当d<0时,|a10|>|a22|
27.(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,且满足a1>0,S11=S18,则对Sn描述正确的有
( )
A.S14是唯一最小值
B.S15是最小值
C.S29=0
D.S15是最大值
28.(多选题)在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1+a4=18,a2+a3=12,则下列说法正确的是
( )
A.q=2
B.数列{Sn+2}是等比数列
C.S8=510
D.数列{log2an}是公差为2的等差数列
29.(多选题)等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a1>0,S10=S20,则
( )
A.d<0
B.a16<0
C.Sn≤S15
D.当且仅当Sn<0时n≥32
ABC 【解析】 设等差数列{an}的公差为d,∵a1>0,S10=S20,
∴10a1+45d=20a1+190d,化为2a1+29d=0,
∴d<0,a1+14d+a1+15d=0,
∴a15+a16=0,a15>0,a16<0,
∴Sn≤S15,S31=31a16<0,S30=15(a15+a16)=0.
综上可得,ABC正确,D不正确.
故选ABC.
30.(多选题)等差数列{an}的前n项和为Sn,a1+5a3=S8,则下列结论一定正确的是
( )
A.a10=0
B.当n=9或10时,Sn取最大值
C.|a9|<|a11|
D.S6=S13(共16张PPT)
专题二
复数
【考试内容】
复数的概念;复数的四则运算;复数的几何意义
【近7年新课标卷考点统计】
年份
试卷类型
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
新课标Ⅰ卷
5
5
5
5
5
5
5
新课标Ⅱ卷
5
5
5
5
5
5
5
新课标Ⅲ卷
5
5
5
5
5
重要考点回顾
一、复数的概念
1.定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,记作z=a+bi,其中i是虚数单位,i2=-1;a与b分别叫做复数z=a+bi的实部和虚部.
2.分类:设复数z=a+bi(a,b∈R)
(1)当b=0时,z为实数;
(2)当b≠0时,z为虚数;
(3)当a=0,且b≠0时,z为纯虚数.
3.复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
4.共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时.这两个复数互为共轭复数,也即z=a+bi,则
=a-bi.
5.z=a+bi(a,b∈R)的模(或绝对值):
6.复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴(不包含原点)叫虚轴.
则复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面上的点(a,b)建立了一一对应的关系.
二、复数的运算
设复数z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R),则
1.(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
2.(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
3.(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;
4.(a+bi)÷(c+di)=
(c+di≠0).
1.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b=(
)
A.-2
B.-
C.
D.2
2.设(1+2i)(a+i)的实部和虚部相等,其中a为实数,则a=
(
)
A.-3
B.-2
C.2
D.3
考点训练
3.i是虚数单位,1+i3等于
(
)
A.i
B.-i
C.1+i
D.1-i
4.i是虚数单位,若集合S={-1,0,1},则
(
)
A.i∈S
B.i2∈S
C.i3∈S
D.
∈S
5.设a,b∈R,则“ab=0”是“复数a+
为纯虚数”的
(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.设z的共轭复数是
,若
,则
等于
(
)
A.i
B.-i
C.±1
D.±i
7.复数
的共轭复数是
(
)
A.2+i
B.2-i
C.-1+i
D.-1-i
8.设a,b∈R,a+bi=
(i为虚数单位),则a+b的值为
.
9.i是虚数单位,复数
对应的点所在的象限为
(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
10.已知0)
A.(1,5)
B.(1,3)
C.(1,
)
D.(1,
)
11.若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则|z|为
(
)
A.4
B.-4
C.
D.-
12.在复平面内,复数
对应的点的坐标为
(
)
A.(1,3)
B.(3,1)
C.(-1,3)
D.(3,-1)
13.设复数z满足iz=1,其中i为虚数单位,则z=
(
)
A.-i
B.i
C.-1
D.1
14.若a为实数,且
,则a=
(
)
A.-4
B.-3
C.3
D.4
15.复数
(
)
A.i
B.-i
C.
D.
16.已知复数z=1-i,则
(
)
A.2
B.-2
C.2i
D.-2i
17.i是虚数单位,i(1+i)等于
(
)
A.1+i
B.-1-i
C.1-i
D.-1+i
18.设复数z=1+i(i是虚数单位),则
(
)
A.1+i
B.-1+i
C.1-i
D.-1-I
19.设复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m+6)i,(m∈R),则当z表示实数时,m的值为
(
)
A.3
B.5
C.3或5
D.2或3
20.复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i,(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上,则实数a满足
(
)
A.a≠2或a≠1
B.a≠2且a≠1
C.a=2或a=0
D.a=0(共36张PPT)
专题九
不等式
【考试内容】
均值不等式;一元二次不等式的解法;二元一次不等式组;简单线性规划问题
【近7年新课标卷考点统计】
年份
试卷类型
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
新课标Ⅰ卷
5
5
5
5
5
5
新课标Ⅱ卷
5
5
5
5
5
5
新课标Ⅲ卷
5
5
5
5
5
重要考点回顾
一、均值不等式
两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
若a,b>0,则
(当且仅当a=b时取等号)
基本变形:
基本应用:求函数最值:注意:①一正二定三取等;②积定和小,和定积大.
当ab=p(常数),当且仅当a=b时,a+b最小值为
当
a+b=S(常数),当且仅当a=b时,a·b最大值为
二、常用的基本不等式
1.设a,b∈R,则a2≥0,(a-b)2≥0(当且仅当a=b时取等号)
2.|a|≥a(当且仅当a≥0时取等号);|a|≥-a(当且仅当a≤0时取等号)
3.a>b,ab>0?
注意:(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此法尤其适用于不成立的命题.
(2)另外需要特别注意:
①若ab>0,则
时,有a②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.
③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象),直接比较大小.
④中介值法:先把要比较的代数式与“0”或“1”比,然后再比较它们的大小.
三、不等式的解法
1.一元一次不等式:
(1)ax>b(a≠0):①若a>0,则x>
;②若a<0,则x<
;
(2)ax0,则x<
;②若a<0,则x>
;
2.一元二次不等式:一元二次不等式二次项系数小于零的,同解变形为二次项系数大于零;
注:要对Δ进行讨论.
3.绝对值不等式:若a>0,则|x|a?;x<-a或x>a.
4.二次不等式与二次函数及二次方程的关系(a>0):
判别式
Δ=b2-4ac
二次函数
y=ax2+bx+c的图象
二次方程
ax2+bx+c=0的根
二次不等式
ax2+bx+c>0
的解集
二次不等式
ax2+bx+c<0
的解集
Δ>0
有两相异实根x1,x2(x1{x|xx2}?
{x|x1Δ=0
有两相等
实根
{x∈R|
x≠
}
?
Δ<0
没有实根
R
?
四、简单的线性规划
1.判断二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.只需在直线某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特别地,当C≠0时,通常把原点作为此特殊点.
一般地,我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把直线画成实线.
2.求线性规划问题的步骤是:
(1)根据实际问题的约束条件列出不等式;
(2)作出可行域,写出目标函数;
(3)确定目标函数最优位置,从而获得最优解.
1.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是
(
)
A.b-a>0
B.a3+b3<0
C.b+a>0
D.a2-b2<0
考点训练
2.设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:
①
②ac③logb(a-c)>loga(b-c),
其中所有的正确结论的序号是
(
)
A.①
B.①②
C.②③
D.①②③
3.不等式
的解集是
(
)
A.(1,+∞)
B.(-∞,-2)
C.(-2,1)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
4.不等式x2-5x+6≤0的解集为
.
5.不等式|x-1|<1的解集是
.
6.设函数
,则不等式f(x)>f(1)的解集是(
)
A.(-3,1)∪(3,+∞)
B.(-3,1)∪(2,+∞)
C.(-1,1)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(1,3)
7.在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为
(
)
A.(0,2)
B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞)
D.(-1,2)
※8.x,y,z∈R
,x-2y+3z=0,
的最小值为
.
※9.设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=
,则
最大值是(
)
A.2
B.
C.1
D.
10.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是
(
)
A.
B.
C.5
D.6
11.若变量x、y满足
,则z=3x+2y的最大值是
.
12.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组
给
定,若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为
,则
的最大值为
(
)
A.3
B.4
C.3
D.4
13.已知变量x,y满足约束条件
,则z=x+2y的最小值为(
)
A.3
B.1
C.-5
D.-6
14.满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y-x的最小值是
.
15.不等式组
所表示的平面区域的面积等于
(
)
16.设x,y满足
,则z=x+y
(
)
A.有最小值2,最大值3
B.有最小值2,无最大值
C.有最大值3,无最小值
D.既无最小值,也无最大值
17.在平面直角坐标系中,若不等式组
(a为常数)所表
示的平面区域内的面积等于2,则a的值为
(
)
A.-5
B.1
C.2
D.3
19.设x,y满足约束条件
,则z=2x-y的最大值为
.
20.若变量x,y满足约束条件
,从可行域内任意取一点
(x,y),则2x-y>0的概率为
(
)
21.变量x、y满足线性约束条件
,则目标函数z=kx-y,
仅在点(0,2)取得最小值,则k的取值范围是
(
)
A.k<-3
B.k>1
C.-3D.-122.若变量x,y满足约束条件
,则
的最小值为
.
23.设x,y满足约束条件
,且z=x+ay的最小值为7,则a=(
)
A.-5
B.3
C.-5或3
D.5或-3
24.若x,y满足约束条件
,则z=2x+3y-5的最大值为
.
25.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A,产品B的利润之和的最大值为
元.(共64张PPT)
专题六
函数与导数
【考试内容】
函数及其表示;函数的图象;函数的性质;指数函数;对数函数;幂函数;函数的零点;导数的应用
【近7年新课标卷考点统计】
年份
试卷类型
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
新课标Ⅰ卷
15
15
15
15
15
15
10
新课标Ⅱ卷
10
20
10
10
15
10
10
新课标Ⅲ卷
10
15
15
15
10
重要考点回顾
一、函数的基本性质
1.函数的单调性:
(1)f(x)在区间M上是增函数??x1,x2∈M,当x1(2)f(x)在区间M上是减函数??x1,x2∈M,当x1f(x2).
(记忆方法:不等号相同为增,不同为减,即同增异减)
2.函数的奇偶性:
(1)奇函数、偶函数的定义:
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称函数y=f(x)是偶函数;
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称函数y=f(x)是奇函数.
(2)奇、偶函数的性质:
①偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
②奇函数f(x)的定义域中若含有0,则必有f(0)=0.
(3)常见的奇函数与偶函数:
①常见的奇函数:
正比例函数:f(x)=kx(x∈R);
反比例函数:f(x)=(x∈(-∞,0)∪(0,+∞));
正弦函数:f(x)=sinx(x∈R);
正切函数:f(x)=tanx
幂函数:f(x)
=xn(x∈R)当n为奇数时f(x)=xn为奇函数.
几种特殊的奇函数:
②常见的偶函数:
余弦函数:f(x)=cosx(x∈R);
幂函数:f(x)=xn(x∈R)当n为偶数时f(x)=xn为偶函数.
几种特殊的偶函数:
f(x)=c(c为常数);
f(x)=|x|;
f(x)=
;
f(x)=|x+1|+|x-1|.
③在定义域符合要求的前提下:
奇函数与奇函数的和是奇函数;偶函数与偶函数的和是偶函数;
奇函数与奇函数的积是偶函数;偶函数与偶函数的积是偶函数;
奇函数与偶函数的积是奇函数;
奇函数与偶函数的和是非奇非偶函数;
如:f(x)=ax3+bx,f(x)=ax+
是奇函数;
f(x)=ax2+c,f(x)=
ax4+bx2+c,f(x)=
·x是偶函数;
f(x)=x2-x+1是非奇非偶函数.
3.函数的周期性:
(1)定义:对定义域内的任意x,若有f(x+T)=f(x)(其中T为非零常数),则称函数f(x)为周期函数,T为它的一个周期.所有正周期中最小的称为函数的最小正周期.如没有特别说明,文中所指的周期都指最小正周期.
(2)三角函数的最小正周期:
①y=sinx:T=2π;
②y=cosx:T=2π;
③y=tanx:T=π;
④y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ):T=
;
⑤y=tanωx:T=
4.函数定义域的求法:列出使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.常涉及的依据为:
①分母不为0;
②偶次根式中被开方数不小于0;
③对数的真数大于0,底数大于0且不等于1;
④零指数幂的底数不等于0;
⑤实际问题要考虑实际意义.
二、基本初等函数
指数、对数的运算性质:
(1)幂的运算性质:aman=am+n;
(am)n=amn;
(ab)m=ambm;
a0=1(a≠0);
(2)对数的概念:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作:logaN
其中a叫做对数的底数,N叫做对数的真数.
以10为底的对数叫做常用对数;记作:lg.
以e为底的对数叫做自然对数;记作:ln.
(3)对数的简单性质:
①负数和零没有对数;
②底的对数是1,即logaa=1;
③1的对数是零,即loga1=0.
(4)对数的运算法则:如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
①loga(MN)=logaM+logaN;
②loga(
)=logaM-logaN;
③logaMn=nlogaM(n∈R);
④logab=
(a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0)(对数换底公式);
⑤对数恒等式:
(5)幂函数:一般地,函数y=xa叫做幂函数.其中x是自变量,a是常数.
要求:掌握a=1,2,3,
,-1时的函数图象.
y=x
y=x2
y=x3
y=x-1
定义域
R
R
R
[0,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞)
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
增
(-∞,0)减
(0,+∞)增
增
增
(-∞,0)减
(0,+∞)减
公共点
(1,1)
图象:
(6)指数函数:y=ax(a>0,a≠1)
图象恒过点(0,1),单调性与a的值有关,在解题中,往往要对a分a>1和0(7)对数函数:y=logax(a>0,a≠1)
图象恒过点(1,0),单调性与a的值有关,在解题中,往往要对a分a>1和0名称
指数函数
对数函数
一般形式
y=ax(a>0,a≠1)
y=logax(a>0,a≠1)?
定义域
R
(0,+∞)
值域
?(0,+∞)
R
单调性
a>1
单调递增
a>1
?单调递增
0单调递减
0单调递减
特殊点
(0,1)
(1,0)
图象
(8)注意的几个问题:
①y=ax与y=logax
的图象关系是关于直线y=x对称;这两个函数互为反函数.
②比较两个指数式或对数式的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数,若底数不相同时转化为同底数的指数或对数,还要注意与1或0比较.
三、导数
1.意义:函数f(x)在点P处的导数就是函数f(x)的图象在点P处的切线的斜率.
即:k=f'(x0)表示过曲线y=f(x)上的点P(x0,f(x0))的切线的斜率.
2.几种常见的函数导数:
①C'=0(C为常数)
⑤(lnx)'=
②(xn)'=nxn-1(n∈R)
⑥(logax)'=
③(sinx)'=cosx
⑦(ex)'=ex
④(cosx)'=-sinx
⑧(ax)'=axlna
3.求导数的四则运算法则:
[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
4.导数的应用:
(1)求切线的斜率,以及求切线方程.
(2)利用导数判断函数的单调性:
若f'(x)>0,x∈(a,b)则f(x)在(a,b)上为增函数;
若f'(x)<0,x∈(a,b)则f(x)在(a,b)上为减函数.
(3)单调区间的求解过程,已知y=f(x)
①分析y=f(x)的定义域;
②求导数y'=f'(x);
③解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为增区间;
④解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为减区间.
(4)求极值、求最值.
①求函数y=f(x)的极值的方法:
先解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时:
(Ⅰ)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值;
(Ⅱ)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值.
②求函数y=f(x)在[a,b]上的最值的步骤:
(Ⅰ)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
注意:
(1)若当x=x0时函数f(x)有极值,必有f'(x0)=0.但反之不成立;
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;
函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
四、函数的零点及二分法
1.对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.即:
方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.
2.定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有:f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
3.二分法的定义:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
4.二分法的步骤:
(1)确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0,给定精确度ε;
(2)求区间的中点x1;
(3)计算f(x1):
①若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;
②若f(a)f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1));
③若f(a)f(x1)>0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)).
(4)判断是否达到精确度ε:即|a-b|<ε,则得到零点的近似值a或b;否则重复步骤(2)、(3)、(4).
1.函数
的定义域是
(
)
考点训练
2.已知函数
,且f(a)=-3,则f(6-a)=
(
)
3.奇函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=
.
4.
的定义域为
(
)
A.[-2,0)∪(0,2]
B.(-1,0)∪(0,2]
C.[-2,2]
D.(-1,2]
5.设集合A={x|-3≤2x-1≤3},集合B是函数y=lg(x-1)的定义域,则A∩B=
(
)
A.(1,2)
B.[1,2]
C.[1,2)
D.(1,2]
6.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是(
)
A.(-∞,-2]
B.(-∞,-1]
C.[2,+∞)
D.[1,+∞)
7.下列函数中,既是奇函数又是增函数的是
(
)
A.y=x+1
B.y=-x2
C.y=
D.y=x|x|
8.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是
(
)
9.下列函数为偶函数的是
(
)
A.y=sinx
B.y=x3
C.y=ex
D.
10.若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则
(
)
A.f(x)与g(x)均为偶函数
B.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数
C.f(x)与g(x)均为奇函数
D.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数
11.若函数
为奇函数,则a=
(
)
12.设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f(
)=(
)
13.已知幂函数y=f(x)的图象过点
,则log4f(2)的值为(
)
14.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=
(
)
15.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,
f(x)=x+1,则f(
)=
.
16.若a>b>0,0(
)
A.logacB.logcaC.acD.ca>cb
17.已知y=f(x)是奇函数.若g(x)=f(x)+2且g(1)=1.则g(-1)=
.
18.设a=log54,b=(log53)2,c=log45,则
(
)
A.aB.bC.aD.b19.设
,则a,b,c的大小关系是
(
)
A.a>c>b
B.a>b>c
C.c>a>b
D.b>c>a
20.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于
(
)
A.2
B.3
C.6
D.9
21.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是
(
)
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
22.函数y=
x2-lnx的单调递减区间为
(
)
A.(-1,1]
B.(0,1]
C.[1,+∞)
D.(0,+∞)
23.设函数
,则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是
.
24.设函数
,则f(f(3))=
(
)
25.已知实数a≠0,函数
,若f(1-a)=f(1+a),则a的
值为
.
26.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则( )
A.a=1,b=1
B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1
D.a=-1,b=-1
27.曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为
.
28.已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),
a=
.
29.设函数f(x)=x3cosx+1.若f(a)=11,则f(-a)=
.
30.函数f(x)=x3-3x2+1在x=
处取得极小值.
31.若函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是
.
32.下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的是
(
)
A.y=2-3x2
B.y=lnx
C.
D.y=sinx
33.函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在区间[0,3]上的最大值和最小值分别是
(
)
A.5,-15
B.5,-4
C.-4,-15
D.-5,-15
34.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),其中g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=
.
35.设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=
(
)
A.-1
B.1
C.2
D.4
36.(多选题)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,下列函数中具有T性质的是
( )
A.y=cos
x
B.y=lnx
C.y=ex
D.y=x2
37.(多选题)已知函数f(x)=ex-f(0)x+
x2,则
( )
A.f(0)=1
B.函数f(x)的极小值点为0
C.函数f(x)的单调递减区间是(0,+∞)
D.?x∈R,不等式f(x)≥e恒成立
39.(多选题)已知函数f(x)=ex+asin
x,则
( )
A.当a=-1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增
B.当a=-1时,f(x)在(0,f(0))处的切线为x轴
C.当a=1时,f(x)在(-π,0)存在唯一极小值点x0,且-1D.对任意a>0,f(x)在(-π,+∞)上均存在零点(共67张PPT)
专题七
三角函数与解三角形
【考试内容】
角的概念的推广;弧度制;任意角的三角函数;单位圆中的三角函数线;同角三角函数的基本关系式;正弦、余弦的诱导公式;两角和与差的正弦、余弦、正切;二倍角的正弦、余弦、正切;正弦函数、余弦函数的图象和性质;周期函数;函数y=Asin(ωx+φ)的图象;正切函数的图象和性质;已知三角函数值求角;正弦定理;余弦定理;解斜三角形
【近7年新课标卷考点统计】
年份
试卷类型
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
新课标Ⅰ卷
10
5
15
10
15
15
10
新课标Ⅱ卷
5
15
15
15
15
5
新课标Ⅲ卷
15
15
15
15
重要考点回顾
一、基本知识
1.角度制与弧度制的互化
1rad=
≈57.30°=57°18′
1°=
≈0.01745(rad)
πrad=180°
2.弧长公式:l=|α|·r.
扇形面积公式:S扇形=
lr=
|α|·r2.
3.任意角的三角函数的定义:
(1)设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于
原点的)一点P(x,y),P与原点的距离为r,则:
(2)单位圆定义法:如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;
叫做α的正切,记作tanα,
即tanα=
(x≠0).
4.三角函数在各象限中的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
5.特殊角的三角函数值:
α
0°
30°
45°
60°
90°
弧度
0
sinα
0
1
cosα
1
0
tanα
0
1
/
α
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
π
2π
sinα
0
-1
0
cosα
-1
0
1
tanα
-1
0
/
0
6.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系:sin2θ+cos2θ=1
(2)倒数关系:
二、诱导公式
1.诱导公式(k∈Z)
函数
角
正弦
余弦
记忆口诀
2kπ+α
sinα
cosα
函数名不变
符号看象限
π+α
-sinα
-cosα
-α
-sinα
cosα
π-α
sinα
-cosα
2π-α
-sinα
cosα
-α
cosα
sinα
函数名改变
符号看象限
+α
cosα
-sinα
-α
-cosα
-sinα
+α
-cosα
sinα
2.求任意角的三角函数值的问题,都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值.
3.诱导公式解决常见题型
(1)求值:已知一个角的某个三角函数,求这个角的其他三角函数;
(2)化简:要求是能求值则求值,次数、种类尽量少,尽量化去根式,尽可能不含分母.
三、两角和与差及二倍角的三角函数
1.两角和与差的三角函数公式
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;
cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ;
tan(α±β)=
2.二倍角公式
sin2α=2sinαcosα;
tan2α=
;
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
3.几个常用的结论:
四、三角函数的图象与性质
1.结合五点法作图画出正弦函数y=sinx(x∈R)、余弦函数y=cosx(x∈R)的图象.
(1)定义域:都是R.
(2)值域:都是[-1,1].
对于y=sinx,当
时,y取最大值1;
当
时,
y取最小值-1;
对于y=cosx,当
时,y取最大值1,
当
时,
y取最小值-1.
(3)周期性:
①y=sinx、y=cosx
的最小正周期都是2π
②f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)的最小正周期都是
(4)单调性:
y=sinx在区间
上单调递增,
在区间
上单调递减;
y=cosx在区间
上单调递增,
在区间
上单调递减.
(5)奇偶性与对称性:
正弦函数y=sinx(x∈R)是奇函数,
对称中心是(kπ,0)(k∈Z),
对称轴是直线
余弦函数y=cosx(x∈R)是偶函数,
对称中心是
对称轴是直线x=kπ(k∈Z).
2.正切函数y=tanx的图象和性质:请画图象:
(1)定义域:{x|x≠
+kπ,k∈Z}.
(2)值域是R,在定义域{x|x≠
+kπ,k∈Z}上无最大值也无最小值;
(3)周期性:T=π;
(4)奇偶性与对称性:奇函数,对称中心是
(5)单调性:正切函数在开区间
内都是增函数.
3.函数y=Asin(ωx+φ)图象的画法:
①“五点法”——设X=ωx+φ,令X=0,
,π,
,2π求出相应的x值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;
②图象变换法:这是作函数简图常用方法.
4.函数y=Asin(ωx+φ)+k的图象与y=sinx图象间的关系:
①将函数y=sinx的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位得y=sin(x+φ)的图象;
②函数y=sin(x+φ)图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的
,得到函数y=sin(ωx+φ)的图象;
③函数y=sin(ωx+φ)图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象;
④将函数y=Asin(ωx+φ)的图象向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位,得到y=Asin(ωx+φ)+k的图象.
要特别注意,若由y=sin(ωx)得到y=sin(ωx+φ)的图象,则向左或向右平移
个单位.
5.研究函数y=Asin(ωx+φ)性质的方法:
类比于研究y=sinx的性质,只需将y=Asin(ωx+φ)中的ωx+φ看成y=sinx中的x,但在求y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,要特别注意A和ω的符号,通过诱导公式先将ω化正.
五、正弦、余弦定理,面积定理
1.正弦定理
2.余弦定理
(1)a2=b2+c2-2bccosA;
b2=c2+a2-2cacosB;
c2=a2+b2-2abcosC.
3.面积定理
(1)S=
aha=
bhb=
chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高).
(2)S=
absinC=
bcsinA=
casinB.
1.点A(sin2015°,cos2015°)位于
(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
考点训练
2.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos(2θ-
)=
(
)
3.若cosα=
且角α的终边经过点P(x,2),则P点的横坐标x=
.
4.已知α∈(π,
),tanα=2,则cosα=
.
5.已知α为第二象限的角,sinα=
,则tan2α=
.
6.设sin(
+θ)=
,则sin2θ等于
(
)
7.若sin(
-α)=
,则cos(
+2α)=
(
)
8.已知sin2α=
,则cos2(α+
)=
(
)
9.若
=2,则tanα=
(
)
10.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如下图所示,则其解析式可以
是
(
)
11.函数f(x)=cos2(x-
)-cos2(x+
)(x∈R)是
(
)
A.周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数
D.周期为2π的偶函数
12.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,
则f(x)的单调递减区间为
(
)
13.函数y=2cos2(x-
)-1是
(
)
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为
的奇函数
D.最小正周期为
的偶函数
14.函数f(x)=sin2x-4sinxcos3x(x∈R)的最小正周期为
.
15.现有四个函数:①y=xsinx,②y=xcosx,③y=x|cosx|,④y=x·2x的部分图象如下,但顺序被打乱了,则按从左到右将图象对应函数序号排列正确的是
(
)
A.①②③④
B.②①③④
C.③①④②
D.①④②③
16.在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos(2x+
),④y=tan(2x-
)中,最小正周期为π的所有函数为
(
)
A.①②③
B.①③④
C.②④
D.①③
17.若函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(
,0)中心对称,那么|φ|的最小值为
(
)
18.函数y=sin(2x+
)的图象的一条对称轴方程是
(
)
19.已知ω>0,0<φ<π,直线x=
和x=
是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=
(
)
20.设函数f(x)=sin(2x+
)+cos(2x+
),则
(
)
A.y=f(x)在(0,
)单调递增,其图象关于直线x=
对称
B.y=f(x)在(0,
)单调递增,其图象关于直线x=
对称
C.y=f(x)在(0,
)单调递减,其图象关于直线x=
对称
D.y=f(x)在(0,
)单调递减,其图象关于直线x=
对称
21.函数f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值为
.
22.设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=
.
23.已知平面向量a=(sin2x,cos2x),b=(sin2x,-cos2x),
f(x)=a·b+4cos2x+2
sinxcosx若存在m∈R使f(x)≥f(m)在R上恒成立,则f(m)=
.
24.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
)的部分图象如图示,则将y=f(x)的图象向右平移
个单位后,得到的图象的函数解析式为
25.函数y=f(x)的图象沿x轴向左平移
个单位,沿y轴向下平移1个单位,再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sinx的图象,则y=f(x)的解析式为
(
)
26.为得到函数y=
cos2x的图象,可把函数y=
sin(2x+
)图象上所有点
(
)
A.向右平移
个单位
B.向右平移
个单位
C.向左平移
个单位
D.向左平移
个单位
27.设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移
个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于
(
)
A.
B.3
C.6
D.9
28.函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移
个单位后,与函数y=sin(2x+
)的图象重合,则φ=
.
29.将函数f(x)=cosx-
sinx(x∈R)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后,所得图象关于原点对称,则φ的最小值是
(
)
30.已知△ABC中,
,B=60°,那么角A等于
(
)
A.135°
B.90°
C.45°
D.30°
31.在△ABC中,A,B,C所对的边长分别是a,b,c,且A=
,a=
,b=1,则c=
(
)
A.1
B.2
C.
D.
32.在△ABC中,AB=3,BC=
,AC=4,则△ABC的面积是
(
)
33.已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C所对的边且
(b-c)(sinB+sinC)=(a-
c)·sinA,则角B的大小为
(
)
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
34.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C所对的边,b=2,B=
,
C=
,则△ABC的面积为
(
)
35.锐角△ABC中,a,b,c是角A,B,C所对的边,(a2+c2-b2)·tanB=
ac,
则B=
.
36.若△ABC的内角A满足sin2A=
,则sinA+cosA=
(
)
37.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.
从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,
C点的仰角
∠CAB=45°以及∠MAC=75°;
从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,
则山高MN=
m.
38.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c且满足
csinA=
acosC,则sinA+sinB的最大值是
(
)
39.在△ABC中,B=
,BC边上的高等于
BC,则sinA=
(
)
40.(多选题)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象与y轴交于点
,与x轴的一个交点为(1,0),如图所示,则下列说法正确的是
( )
41.(多选题)已知ω>0,函数f(x)=sin
的图象在区间
上有且仅有一条对称轴,则实数ω的可能取值是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
45.(多选题)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=
( )(共53张PPT)
专题三
向量
【考试内容】
向量的概念;向量的表示法;向量的运算及运用
【近7年新课标卷考点统计】
年份
试卷类型
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
新课标Ⅰ卷
5
5
5
5
10
5
5
新课标Ⅱ卷
5
5
5
5
5
5
5
新课标Ⅲ卷
5
5
5
5
5
重要考点回顾
一、平面向量
（一）向量的概念
1.向量:既有大小又有方向的量,向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
2.零向量:长度为0的向量,记为
,其方向是任意的,
与任意向量平行.
3.单位向量:模为1个单位长度的向量.
4.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.
5.相等向量:长度相等且方向相同的向量.
（二）向量的表示
1.几何表示:用一条有向线段表示向量.如
或a,b等.
2.坐标表示:在平面直角坐标系中,设向量
的起点O为坐标原点,终点A坐标为(x,y),
则(x,y)称为
的坐标,记为
=(x,y).
当向量起点不在原点时,向量
坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x1,y1),B(x2,y2),
则
=(x2-x1,y2-y1).
注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
（三）向量的运算
1.每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言.
主要内容列表如下:
运算
图形语言
符号语言
坐标语言
加法与
减法
实数与向量的乘积
=λa
λ∈R
记a=(x,y)
则λa=(λx,λy)
两个向量的数量积
a·b=|a|·|b|cos
记a=(x1,y1),b=(x2,y2)
则a·b=x1x2+y1y2
2.向量的运算律
加法:①a+b=b+a(交换律);②(a+b)+c=a+(b+c)(结合律)
实数与向量的乘积:①λ(a+b)=λa+λb;②(λ+μ)a=λa+μa;
③λ(μa)=(λμ)a
两个向量的数量积:①a·b=b·a;②(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b);
③(a+b)·c=a·c+b·c
注意:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,
例如(a±b)2=a2±2a·b+b2
3.两个向量数量积的重要性质:
①a2=|a|2即|a|=
(求线段的长度);
②求向量的夹角:已知两个非零向量a与b,作
则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角,
cosθ=cos=
特别注意:当且仅当两个非零向量a与b同方向时,θ=0°,当且仅当a与b反方向时θ=180°,同时
与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题.
（四）向量的应用
1.两个向量平行的充要条件
符号语言:a∥b?a=λb(b≠
)
坐标语言为:设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?(x1,y1)=λ(x2,y2)?x1y2-x2y1=0
2.两个向量垂直的充要条件
符号语言:a⊥b?a·b=0
坐标语言:设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1x2+y1y2=0
二、空间向量
(一)空间向量及其运算
1.空间向量的有关概念
(1)空间向量:在空间中,具有大小和方向的量;
(2)相等向量:方向相同且模相等的向量;
(3)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合;
(4)共面向量:平行于同一平面的向量.
2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b?存在λ∈R,使a=λb;
(2)共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面?存在唯一的有序实数对(x,y)使p=xa+yb;
(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}使得p=xa+yb+zc,其中{a,b,c}叫做空间的一个基底.
3.两个向量的数量积
(1)非零向量a,b的数量积a·b=|a||b|cos.
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律:(λa)·b=λ(a·b);
②交换律:a·b=b·a;
③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.
4.空间向量的坐标表示及其应用
设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则
(1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2);
(2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2);
(3)λa=(λx1,λy1,λz1);
(4)a·b=x1x2+y1y2+z1z2;
(5)若a,b为非零向量,且a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2+z1z2=0;
(6)若b≠0,且a∥b?a=λb?x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2;
(7)|a|=
=
;
(8)cos=
(9)点A=(x1,y1,z1),B=(x2,y2,z2),
则dAB=|
|=
(10)共面向量定理:p,a,b共面?p=xa+yb(x,y∈R);
P,A,B,C四点共面
(11)空间向量基本定理p=xa+yb+zc(x,y,z∈R)(不共面的三个向量a,b,c构成一组基底,任意两个向量都共面).
(二)立体几何中的向量方法
1.设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为u,v,则
(1)平行:
线线平行:m∥l?a∥b?a=kb(k∈R且k≠0)
线面平行:l∥α?a⊥u?a·u=0
面面平行:α∥β?u∥v?u=kv(k∈R且k≠0)
(2)垂直:
线线垂直:l⊥m?a⊥b?a·b=0
线面垂直:l⊥α?a∥u?u=ka(k∈R且k≠0)
面面垂直:α⊥β?u⊥v?u·v=0
2.空间角的求法
(1)异面直线所成的角
设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则
(2)求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,则sin
θ=|cos|=
a与b的夹角β
l1与l2所成的角θ
范围
(0,π)
求法
(3)求二面角的大小
①如图①,AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=<
>.
① ②
③
②如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cos
θ|=|cos|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
1.已知点A(0,1),B(3,2),向量
=(-4,-3),则向量
=
(
)
A.(-7,-4)
B.(7,4)
C.(-1,4)
D.(1,4)
2.若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·a+a·b=
(
)
考点训练
3.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)·c=30,则x=(
)
A.6
B.5
C.4
D.3
4.如图,设P是△ABC所在平面内的一点,
,则(
)
5.如图,△ABC中,AB边的高为CD,若
,a·b=0,|a|=1,
|b|=2,则
(
)
6.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d那么(
)
A.k=1且c与d同向
B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向
D.k=-1且c与d反向
7.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|=
(
)
8.若向量a、b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为
,则|a+b|=
.
9.已知|a|=3,|b|=2.若a·b=-3,则a与b夹角的大小为
.
10.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=
,则|b|=
(
)
A.
B.
C.5
D.25
11.平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=
(
)
A.
B.2
C.4
D.12
12.已知向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b=
(
)
A.(-5,-10)
B.(-4,-8)
C.(-3,-6)
D.(-2,-4)
13.已知向量
,则∠ABC=
(
)
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
14.向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c则λ=
(
)
A.
B.
C.1
D.2
15.已知向量a=(1,0),b=(1,1),则与2a+b同向的单位向量的坐标表示为
.
16.设a、b都是非零向量,下列四个条件中,使
成立的充分条件是
(
)
A.|a|=|b|且a∥b
B.a=-b
C.a∥b
D.a=2b
17.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),
则c=
(
)
18.已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b与a垂直,则λ=
(
)
A.-1
B.1
C.-2
D.2
19.设向量a=(1,cosθ)与b=(-1,2cosθ)垂直,则cos2θ等于
(
)
A.
B.
C.0
D.-1
20.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则
的值为(
)
21.空间直角坐标系中,已知点P(3,-2,-5),点Q与点P关于平面xOz对称,则点Q的坐标是
( )
A.(-3,2,5)
B.(3,-2,5)
C.(3,2,-5)
D.(-3,-2,-5)
C 【解析】空间直角坐标系中,点P(3,-2,-5),
∵点Q与点P关于平面xOz对称,∴Q点的坐标是(3,2,-5).故选C.
22.已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过A(0,y,3)和
B(-1,2,z)两点,则y-z=
( )
A.0
B.1
C.
D.3
23.已知向量a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ).若a∥b,则λ与μ的值可以是
( )
24.在三棱锥P-ABC中,M为PA的中点,N在BC上,且BN=2NC,则( )
25.若向量a=(2,-3,1)和b=(1,x,4)满足条件a·b=0,则x的值是( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
D 【解析】因为向量a=(2,-3,1)和b=(1,x,4)满足条件a·b=0,
即2-3x+4=0,解得x=2.故选D.
26.在下列条件中,使点M与A,B,C一定共面的是
( )
28.已知空间三点A(0,1,2),B(1,3,5),C(2,5,4-k)在一条直线上,则实数k的值是
( )
A.2
B.4
C.-4
D.-2
29.已知向量a=(0,3,3)和b=(-1,1,0)分别是直线l和m的方向向量,则直线l与m所成的角为
( )
30.若向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),则|a+b|=
( )
31.长方体ABCD
-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,高为2,M,N分别是四边形BB1C1C和正方形A1B1C1D1的中心,则向量
与
的夹角的余弦值是
( )
32.若直线l的方向向量m=(x,-1,2),平面α的法向量n=(-2,-2,4),且直线l⊥平面α,则实数x的值是
( )
A.1
B.5
C.-1
D.-5
33.已知向量a=(-2,1,3),b=(-1,2,1)若a⊥(a-λb),则实数λ的值为( )
D 【解析】
a-λb=(-2+λ,1-2λ,3-λ).
∵a⊥(a-λb),∴a·(a-λb)=-2(-2+λ)+(1-2λ)+3(3-λ)=0.
解得实数λ=2.故选D.
34.已知向量a=(0,2,1),b=(-1,1,m),若a,b分别是平面α,β的法向量,且α⊥β,则m=
( )
A.-1
B.1
C.-2
D.2
C 【解析】
∵向量a=(0,2,1),b=(-1,1,m),a,b分别是平面α,β的法向量,且α⊥β,
∴a·b=2+m=0,解得m=-2.故选C.
35.在长方体ABCD
-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
( )
36.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑,如下图,在鳖臑中P
-ABC,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=AB=
BC=1,则二面角A-PC-B的大小是
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
37.(多选题)在△ABC中,AB=AC,BC=4,D为BC的中点,则以下结论正确的是
( )
38.(多选题)已知向量a=(2,-1),b=(-3,2),c=(1,1),则
( )
A.a∥b
B.(a+b)⊥c
C.a+b=c
D.c=5a+3b
39.(多选题)已知正方形ABCD的边长为2,向量a,b满足
=2a,
=2a+b,则
( )
A.|b|=
B.a⊥b
C.a·b=2
D.(4a+b)⊥b
41.(多选题)若a,b,c是任意的非零向量,则下列叙述正确的是( )
A.若a=b,则|a|=|b|
B.若a·c=b·c,则a=b
C.若a∥b,b∥c,则a∥c
D.若|a+b|=|a-b|,则a⊥b
ACD 【解析】
对于A,若a=b,则向量a,b长度相等,方向相同,故|a|=|b|,故A正确;
对于B,当a⊥c且b⊥c时,a·c=b·c=0,但a,b可以不相等,故B错误;
对于C,若a∥b,b∥c,则a,b方向相同或相反,b,c方向相同或相反,故a,c的方向相同或相反,故a∥c,故C正确;
对于D,若|a+b|=|a-b|,则a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,则a⊥b,故D正确.故选ACD.
42.(多选题)若向量a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120°,则λ的值为
( )
A.17
B.-17
C.-1
D.1
43.(多选题)已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3)下列等式中正确的是
( )
A.(a·b)c=b·c
B.(a+b)·c=a·(b+c)
C.(a+b+c)2=a2+b2+c2
D.|a+b+c|=|a-b-c|
44.(多选题)已知v为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),那么下列选项中,正确的是
( )
A.n1∥n2?α∥β
B.n1⊥n2?α⊥β
C.v∥n1?l∥α
D.v⊥n1?l∥α
AB 【解析】
v为直线l的方向向量,
n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),
则n1∥n2?α∥β,n1⊥n2?α⊥β,
v∥n1?l⊥α,v⊥n1?l∥α或l?α.
因此AB正确.故选AB.(共37张PPT)
专题十
直线与圆
【考试内容】
直线方程;圆的方程;直线与圆的位置关系;圆与圆的关系
【近7年新课标卷考点统计】
年份
试卷类型
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
新课标Ⅰ卷
5
5
5
新课标Ⅱ卷
5
5
5
5
新课标Ⅲ卷
5
5
5
重要考点回顾
一、直线
1.直线的倾斜角与斜率:k=tanα,直线的倾斜角α一定存在,范围是[0,π),当α=90°时,k不存在.
斜率的求法:
(1)若直线方程Ax+By+C=0(B≠0),则k=
(2)若直线的倾斜角为α
,则k=tanα(α≠90°);
(3)若直线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2),
则k=
(x2≠x1).
2.直线方程的几种形式
(1)点斜式
y-y1=k(x-x1)(直线l过点P1(x1,y1),且斜率为k).
(2)斜截式
y=kx+b(b为直线l在y轴上的截距).
(3)两点式
(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1≠x2)(y1≠y2)).
(4)截距式
(a,b不为零).
(5)一般式
Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0).
3.两条直线的位置关系
(1)若l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2
①l1∥l2?k1=k2且b1≠b2;
②l1⊥l2?k1k2=-1.
(2)若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,且A1,A2,B1,B2都不为零,
①l1∥l2?
②l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.
4.基本公式
(1)两点间的距离:
(2)点到直线的距离
(点P(x0,y0),
直线l:Ax+By+C=0)
(3)两条平行线间的距离:可转化为点到直线间的距离.
二、圆
1.圆的方程
(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
(2)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
2.点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系比较.
3.圆上一点的切线方程:点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,那么过点P的切线方程为:x0x+y0y=r2.
4.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x轴垂直的直线.
5.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心到直线的距离与半径的关系.
d>r?相离
d=r?相切
d6.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为r,R
d>r+R?两圆相离
d=r+R?两圆相外切
|R-r|d=|R-r|?两圆相内切
d<|R-r|?两圆内含
d=0,两圆同心
7.两圆相交弦所在直线方程的求法:
圆C1的方程为:x2+y2+D1x+E1y+F1=0.
圆C2的方程为:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.
把两式相减得相交弦所在直线方程为:
(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0
1.经过圆x2+2x+y2=0的圆心G,且与直线x+y=0垂直的直线方程
是
(
)
A.x-y+1=0
B.x-y-1=0
C.x+y-1=0
D.x+y+1=0
考点训练
2.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是
(
)
A.x-2y-1=0
B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0
D.x+2y-1=0
3.设a∈R,则“a=1”是直线l1:ax+2y=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行的
(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分成两部分,使这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为
(
)
A.x+y-2=0
B.y-1=0
C.x-y=0
D.x+3y-4=0
5.将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是
(
)
A.x+y-1=0
B.x+y+3=0
C.x-y+1=0
D.x-y+3=0
6.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为
(
)
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
7.已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则
(
)
A.l与C相交
B.l与C相切
C.l与C相离
D.以上三个选项均有可能
8.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=(
)
9.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为
(
)
A.内切
B.相交
C.外切
D.相离
10.已知点A(1,-2),B(m,2),且线段AB的垂直平分线方程是
x+2y-2=0,则实数m的值是
(
)
A.-2
B.-7
C.3
D.1
11.在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长等于
(
)
12.过点P(0,1)且与圆x2+y2-2x-3=0相交的所有直线中,被圆所截得的弦最长时的直线方程是(
)
A.x=0
B.y=1
C.x+y-1=0
D.x-y+1=0
13.已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l:x-y+3=0.当直线l被C截得的弦长为
时,则a=
(
)
14.过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P,Q,
则线段PQ的长为
.
15.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为
,
则a=
.
16.直线x+
y-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长度等于
(
)
17.以点(2,-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是
.
19.若圆心在x轴上、半径为
的圆O位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程是
(
)
20.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴相切,则该圆的标准方程是
(
)
21.若圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1与圆C2关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为
(
)
A.(x+2)2+(y-2)2=1
B.(x-2)2+(y+2)2=1
C.(x+2)2+(y+2)2=1
D.(x-2)2+(y-2)2=1
22.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为
(
)
A.x2+(y-2)2=1
B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1
D.x2+(y-3)2=1
23.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为
(
)
A.(x+1)2+(y-1)2=2
B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2
D.(x+1)2+(y+1)2=2
24.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是(
)
A.(x-2)2+(y+1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4
D.(x+2)2+(y-1)2=1
25.已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
.
26.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a取值范围
是
(
)
A.[-3,-1]
B.[-1,3]
C.[-3,1]
D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
27.已知直线l:x-
y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|=
.
28.若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为
,则m的倾斜角可以是①15°;②30°;③45°;④60°;
⑤75°,其中正确答案的序号是
.(写出所有正确答案的序号)
29.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,
),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为
(
)(共71张PPT)
专题四
概率与统计
【考试内容】
变量的相关性;回归分析;独立性检验;古典概型;互斥事件的概率加法公式;几何概型;概率统计初步综合问题
【近7年新课标卷考点统计】
年份
试卷类型
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
新课标Ⅰ卷
5
5
5
10
5
5
5
新课标Ⅱ卷
5
5
5
10
5
10
5
新课标Ⅲ卷
10
5
10
10
5
重要考点回顾
一、三种抽样方法的联系与区别
类别
共同点
不同点
相互联系
适用范围
简单随
机抽样
都是等概率抽样
从总体中逐个抽取
总体中个体比较少
系统抽样
将总体均匀分成若干部分;按事先确定的规则在各部分抽取
在起始部分采用简单随机抽样
总体中个体比较多
分层抽样
将总体分成若干层,按个体个数的比例抽取
在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体中个体有明显差异
1.从含有N个个体的总体中抽取含n个个体的样本,每个个体被抽到的概率为
2.系统抽样的步骤:
(1)将总体中的个体随机编号;
(2)将编号分段;
(3)在第1段中用简单随机抽样确定起始的个体编号;
(4)按照事先确定的规则抽取样本.
3.分层抽样的步骤:
(1)分层;
(2)按比例确定每层抽取个体的个数;
(3)各层抽样;
(4)汇合成样本.
4.要懂得从图表中提取有用信息
如:在频率分布直方图中①小矩形的面积=组距×
=频率;②众数是最高矩形的中点的横坐标;③中位数的左边与右边的直方图的面积相等,可以由此估计中位数的值.
二、用样本的数字特征估计总体的数字特征
1.众数:在一组数据中,出现次数最多的数称为众数.
在频率分布直方图中用面积最大的矩形的横轴中点对应的数来估计众数.(最高矩形的横坐标中点)
2.中位数:在按大小顺序排列的一组数据中,当一组数据有奇数个时,居于中间的数称为中位数;当一组数据有偶数个时,居于中间两数的平均数称为中位数.
在频率分布直方图中,是用使图形左右两边面积相等的与横轴垂直的直线所对应的横坐标来估计中位数.
3.平均数:是指一组数据的算术平均数.
在频率分布直方图中,利用每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和来估计平均数.
平均数计算公式:
4.极差:在一组数据中,最大值与最小值的差.
5.标准差:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示.标准差越大,数据的离散程度就越大;标准差越小,数据的离散程度就越小.
标准差计算公式:
6.方差:在刻画样本数据的分散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.
样本方差计算公式:
三、古典概型和几何概型的概率
1.古典概型的解题步骤
(1)求出总的基本事件数;
(2)求出事件A所包含的基本事件数,然后利用公式
2.几何概型及均匀随机数的产生
(1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型;
(2)几何概型的概率公式:
几何概型的特点:
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;
②每个基本事件出现的可能性相等.
四、两个变量的线性相关
1.两个相关变量数据的散点图,会利用散点图认识变量的相关关系.
2.求回归直线方程:
注意:线性回归直线经过定点
3.相关系数
|r|≤1,且|r|越接近于1,相关程度越大;|r|越接近于0,相关程度越小.
五、独立性检验(分类变量关系)
独立性检验
为了研究事件X与Y的关系,经调查得到一张2×2列联表,如下表所示
Y1
Y2
合计
X1
a
b
a+b
X2
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
n=a+b+c+d
统计中有一个有用的(读做“卡方”)统计量,它的表达式是:
经过对统计量分布的研究,已经得到了两个临界值:3.841与6.635.
当根据具体的数据算出的k>3.841时,有95%的把握说事件A与B有关;
当k>6.635时,有99%的把握说事件A与B有关;
当k≤3.841时,认为事件A与B是无关的.
【规律总结】
独立性检验解题的步骤为:
第一步,提出假设H0:两个分类变量Ⅰ和Ⅱ没有关系;
第二步,根据2×2列联表和公式计算K2统计量;
第三步,查对临界值表,作出判断.
P(K2≥k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P(K2≥k)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
六、离散型随机变量的分布列
1.离散型随机变量:随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.所有取值可以一一列出的随机变量.
2.一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,
X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则称表
为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,具有如下性质:
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
3.两点分布:如果随机变量X的分布列为
其中0其中p=P(X=1)称为成功概率.
X
0
1
P
1-p
p
4.超几何分布:一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有x件次品,则P(X=k)=
(k=0,1,2,…,m),其中m=min
{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N
.
称分布列
为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.
X
0
1
…
m
P
…
七、二项分布及其应用
1.条件概率及其性质
(1)条件概率:对于两个事件A和B,称P(B|A)=
,P(A)>0为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.其中:P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率.
在古典概型中,若用n(A)表示事件A中基本事件的个数,则P(B|A)=
.
(2)条件概率的性质
①0≤P(B|A)≤1;
②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
2.事件的相互独立:设事件A,B,若事件A的发生与事件B的发生互不影响,则称事件A与B相互独立.即:P(AB)=P(A)P(B).
3.独立重复试验与二项分布
(1)n次独立重复试验:一般地,在相同条件下重复做的n次试验.即:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An),其中Ai(i=1,2…,n)是第i次试验的结果;
(2)二项分布:一般地在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=
pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,此时称随机变量X服从二项分布,记为X~B(n,p),并称p为成功概率;
(3)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p);
(4)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).
4.离散型随机变量的均值与方差
一般地,若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值:称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平;
(2)方差:称D(X)=
(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,并称其算术平方根
为随机变量X的标准差;
(3)均值与方差的性质:
①E(aX+b)=aE(X)+b;②D(aX+b)=a2D(X);(a,b为常数)
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
5.正态分布
(1)正态曲线:若概率密度曲线就是(或近似地是)函数φμ,σ(x)=
,x∈(-∞,+∞)的图象,其中实数μ,σ(σ>0)是参数.
称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线;
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
③曲线在x=μ处达到峰值
;
④曲线与x轴之间的面积为1;
⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图甲所示;
⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示;
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值:
①P(μ-σ②P(μ-2σ③P(μ-3σ甲
乙
1.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率为
(
)
考点训练
2.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
(
)
3.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于
(
)
4.ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O的距离大于1的概率为
(
)
5.在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为(
)
6.设不等式组
,表示平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
(
)
7.在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为
.
8.从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是
.
9.从一堆苹果中任取10个,称得它们的质量如下(单位:克)
125
120
122
105
130
114
116
95
120
134
则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为
(
)
A.0.2
B.0.3
C.0.4
D.0.5
12.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为
(
)
A.101
B.808
C.1212
D.2012
13.某单位200名职工的年龄分布情况,如图,现要从中抽取40名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机按1-200编号,并按编号顺序平均分为40组(1—5号,6—10号,…,196—200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号
码应是
.若用分层抽样方法,
则40岁以下年龄段应抽取
人.
14.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表:
则以上两组数据的方差中较小的一个为s2=
.
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
15.由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为
.(从小到大排列)
16.右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样本数据的分组为[20.5,21.5),[21.5,22.5),
[22.5,23.5),[23.5,24.5),[24.5,25.5),[25.5,26.5].
已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数
为11,则样本中平均气温不低于25.5℃的城市
个数为
.
17.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
根据上表可得回归方程
中的
的值为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
(
)
A.63.6万元
B.65.5万元
C.67.7万元
D.72.0万元
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
18.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:小时)与当天投篮命中率y之间的关系:
小李这5天的平均投篮命中率为
;用线性回归分析的方法,预测小李某月6号打篮球6小时的投篮命中率为
.
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
19.某装饰品的广告费投入x(单位:万元)与销售y(单位:万元)之间有如下表所示的对应数据,则回归直线方程为
(
)
x
3
4
5
6
7
y
40
60
65
75
70
20.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
由
算得,
附表:
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
p(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表,得到的正确结论是
(
)
A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
21.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是
(
)
A.若K2的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病
B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患有肺病
C.若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有5%的可能性使得推断出现错误
D.以上三种说法都不正确
22.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分
组区间为[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),
[85,95),由此得到频率分布直方图,则这20
名工人中一天生产该产品数量的中位数
和平均数分别为
、
.
23.冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备,为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系,调查结果如下表所示:
根据以上数据,则
(
)
A.含杂质的高低与设备改造有关
B.含杂质的高低与设备改造无关
C.设备是否改造决定含杂质的高低
D.以上答案都不对
杂质高
杂质低
旧设备
37
121
新设备
22
202
杂质高
杂质低
合计
旧设备
37
121
158
新设备
22
202
224
合计
59
323
382
24.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)( )
A.0.7
B.0.6
C.0.4
D.0.3
25.设0 则当p在(0,1)内增大时,
( )
A.D(ξ)减小
B.D(ξ)增大
C.D(ξ)先减小后增大
D.D(ξ)先增大后减小
ξ
0
1
2
P
26.已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0,则
( )
A.E(ξ1)B.E(ξ1)D(ξ2)
C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
A 【解析】
由题意可得
由两点分布E(ξ1)=p1,E(ξ2)=p2;D(ξ1)=(1-p1)p1,D(ξ2)=(1-p2)p2,
∵D(ξ2)-D(ξ1)=(1-p2)p2-(1-p1)p1=(p2-p1)-(-)=(p2-p1)(1-p2-p1)
∵0,∴p2-p1>0,1-p2-p1>0,
∴E(ξ1)ξ1
0
1
ξ2
0
1
P
1-p1
p1
P
1-p2
p2
27.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX= .?
1.96 【解析】
由题意可得,抽到二等品的件数符合二项分布,
即X~B(100,0.02),
由二项分布的期望公式可得DX=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
29.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为
( )
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,
P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)
A.4.56%
B.13.59%
C.27.18%
D.31.74%
30.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是
( )
A.0.8
B.0.75
C.0.6
D.0.45
31.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=
( )
A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2
C 【解析】
如图,正态分布的密度函数示意图所示,
函数关于直线x=2对称,
所以P(ξ<2)=0.5,
并且P(0<ξ<2)=P(2<ξ<4)
则P(0<ξ<2)=P(ξ<4)-P(ξ<2)=0.8-0.5=0.3.
故选C.
32.(多选题)在疫情防控阻击战之外,另一条战线也日渐清晰——恢复经济正常运行.国人万众一心,众志成城,防控疫情、复工复产,某企业对本企业1644名职工关于复工的态度进行调查,调查结果如图所示,则下列说法正确的是
( )
疫情防控期间某企业职工复工态度调查
A.x=0.384
B.从该企业中任取一名职工,该职工是倾向于在家办公的
概率为0.178
C.不到80名职工倾向于继续申请休假
D.倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名
BD 【解析】
对于A,x%=100%-42.3%-17.8%-5.1%=34.8%,
∴x=34.8,故A错误;
对于B,从该企业中任取一名职工,该职工是倾向于在家办公的概率为17.8%=0.178,故B正确;
对于C,1644×5.1%≈84名职工倾向于继续申请休假,故C错误;
对于D,倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工人数为1644×(17.8%+42.3%)≈988名,超过986名,故D正确.
故选BD.
33.(多选题)某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位:°C)的数据,绘制了如图的折线图.已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系,则根据折线图,下列结论正确的是
( )
A.最低气温与最高气温为正相关
B.10月的最高气温不低于5月的最高气温
C.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月
D.最低气温低于0°C的月份有4个
ABC 【解析】
由该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位:℃)的数据的折线图得,
对于A,最低气温与最高气温为正相关,故A正确;
对于B,10月的最高气温不低于5月的最高气温,故B正确;
对于C,月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月,故C正确;
对于D,最低气温低于0℃的月份有3个,故D错误.
故选ABC.
34.(多选题)我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策,为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响,某地从育龄群体中随机抽取了容量为200的调查样本,其中城镇户籍与农村户籍各100人;男性120人,女性80人,绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示,其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例,则下列叙述正确的是
( )
A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B.是否倾向选择生育二胎与性别无关
C.调查样本中倾向选择生育二胎的群体中,男性人数与女性
人数相同
D.倾向选择不生育二胎的群体中,农村户籍人数多于城镇户
籍人数
AB 【解析】
由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图知,
对于A,城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%,农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%,
∴是否倾向选择生育二胎与户籍有关,故A正确;
对于B,男性倾向选择生育二胎的比例为60%,女性倾向选择生育二胎的比例为60%,
∴是否倾向选择生育二胎与性别无关,故B正确;
对于C,男性倾向选择生育二胎的比例为60%,人数为120×60%=72人,女性倾向选择生育二胎的比例为60%,人数为80×60%=48人,
∴倾向选择生育二胎的人员中,男性人数与女性人数不相同,故C错误;
对于D,倾向选择不生育二胎的人员中,农村户籍人数为100×(1-80%)=20人,城镇户籍
人数为100×(1-40%)=60人,
∴倾向选择不生育二胎的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数,故D错误.故选AB.
35.(多选题)已知甲罐中有四个相同的小球,标号1,2,3,4;乙罐中有五个相同的小球,标号为1,2,3,5,6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”,事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”,则
( )
36.(多选题)从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球,下列各对事件中,互斥而不对立的是
( )
A.“至少一个红球”和“都是红球”
B.“恰有一个红球”和“都是红球”
C.“恰有一个红球”和“都是黑球”
D.“至少一个红球”和“都是黑球”
BC 【解析】
从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球,
对于A,“至少一个红球”和“都是红球”能同时发生,不是互斥事件,故A错误;
对于B,“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生,是互斥而不对立事件,故B正确;
对于C,“恰有一个红球”和“都是黑球”不能同时发生,是互斥而不对立事件,故C正确;
对于D,“至少一个红球”和“都是黑球”是对立事件,故D错误.故选BC.
37.(多选题)若X的分布列为
则
( )
A.P(X>0)=0.8
B.E(X)=3
C.P(X<4)=0.4
D.D(X)=1.8
X
0
2
4
P
0.1
0.3
0.6
BCD 【解析】
由X的分布列知,
对于A,P(X>0)=0.3+0.6=0.9,故A错误;
对于B,E(X)=0×0.1+2×0.3+4×0.6=3,故B正确;
对于C,P(X<4)=0.1+0.3=0.4,故C正确;
对于D,D(X)=(0-3)2×0.1+(2-3)2×0.3+(4-3)2×0.6=1.8,故D正确.故选BCD.
38.(多选题)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=
,E(X),
D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是( )
A.P(X=1)=E(X)
B.E(4X+1)=4
C.D(X)=
D.D(4X+1)=4
39.(多选题)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期,某农户利用精准扶贫政策,贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ,302)和N(280,402),则下列选项正确的是
( )
(附:若随机变量服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σA.若红玫瑰日销售量范围在(μ-30,280)的概率是0.6826,则
红玫瑰日销售量的平均数约为250
B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D.白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413
ABD 【解析】
若红玫瑰日销售量范围在(μ-30,280)的概率是0.6826,则μ+30=280,即μ=250.
∴红玫瑰日销售量的平均数约为250,故A正确;
∵红玫瑰日销售量的方差σ1=900,白玫瑰日销售量的方差σ2=1600,
红玫瑰日销售量的方差小于白玫瑰日销售量的方差,则红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中,故B正确,C错误;
白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率P=(μP(μ-σ40.(多选题)已知在某市的一次学情检测中,学生的数学成绩X服从正态分布N(105,100),其中90分为及格线,120分为优秀线,下列说法正确的是
( )
(附:随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974.)
A.该市学生数学成绩的期望为105
B.该市学生数学成绩的标准差为100
C.该市学生数学成绩及格率超过0.99
D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
AD 【解析】
由题意,正态分布曲线的对称轴为x=105,σ=10.
∴该市学生数学成绩的期望为105,故A正确;
该市学生数学成绩的标准差为10,故B错误;
∵P(85∴P(X≤85)=P(X≥125)=
[1-P(85×(1-0.9544)
=0.0228,
则P(X<90)>0.0228,P(X≥90)<0.9772<0.99,故C错误;
由正态分布曲线的对称性可知,P(X<90)=P(X>120),可知该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等,故D正确.
故选AD.(共51张PPT)
专题五
立体几何
【考试内容】
空间几何体的三视图;空间几何体的表面积及体积;线与线、线与面、面与面之间的平行关系及垂直关系;点到平面的距离
【近7年新课标卷考点统计】
年份
试卷类型
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
新课标Ⅰ卷
10
10
10
10
15
5
15
新课标Ⅱ卷
10
10
10
10
10
10
10
新课标Ⅲ卷
10
10
10
10
10
重要考点回顾
一、简单几何体的表面积和体积的计算公式
1.圆柱、圆锥、球的表面积(c是底面周长,l为母线长)
圆柱的侧面积S=cl=2πrl,表面积S=2πrl+2πr2=2πr(r+l);
圆锥的侧面积S=
cl=πrl,表面积S=πr2+πrl=πr(r+l);
球的表面积S=4πR2.
2.简单几何体的体积
棱柱和圆柱的体积V=S底×h(S底为底面积,h为高);
棱锥和圆锥的体积V=
S底×h(S底为底面积,h为高);
球的体积V=
πR3.
特殊的正四面体:
对于棱长为a的正四面体的问题可将它补成一个边长为
a的正方体问题.
对棱间的距离为
(正方体的边长)
正四面体的高
(=
l正方体体对角线)
正四面体的体积为
(V正方体-4V小三棱锥=
V正方体)
正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为1∶3
(=
l正方体体对角线∶
l正方体体对角线)
二、空间几何体的三视图和直观图
投影:把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点;
把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影,平行投影的投影线是平行的.
正视图:光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图.
侧视图:光线从几何体的左边向右边正投影,得到的投影图.
俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图.
★画三视图的原则:
正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样
注:球的三视图都是圆;长方体的三视图都是矩形
三、点、直线、平面之间的位置关系
1.空间图形的公理
公理1
文字语言:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直
线上的所有点都在这个平面内(即直线在平面内).
符号语言:A∈l,B∈l,A∈α,B∈α?l?α.
应用:证明或说明点在平面内,线在平面内.
公理2
文字语言:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面).
符号语言:若点C?直线AB,则点A、B、C确定一个平面α,又可记作:平面ABC.
推论1
经过直线和直线外的一点,确定一个平面;
推论2
经过两相交直线,确定一个平面;
推论3
经过两平行直线,确定一个平面.
应用:证明点或线共面,确定平面.
公理3
文字语言:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线.
符号语言:A∈α∩β?α∩β=a,A∈a.
应用:证明多点共线,多线共点,判定两平面相交.
公理4
文字语言:平行于同一直线的两条直线平行.
符号语言:a∥b,b∥c?a∥c.
应用:证明线线平行.
2.直线、平面之间的位置关系
(1)空间两条直线
异面:没有公共点,不同在任何一个平面内
(2)空间角
①异面直线所成角:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b,我们把a',b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说两条异面直线互相垂直.异面直线所成的角的范围为(0°,90°].
②直线与平面所成角:直线与平面斜交时,直线与其在平面内的射影所夹的锐角叫做直线与平面的夹角.直线与平面平行或在平面内时,直线与平面的夹角为0°.直线与平面垂直时,直线与平面的夹角为90°.直线与平面夹角的范围为[0°,90°].
(3)线面关系网络图
(4)线面关系判定与性质
条件
结论
线线平行
线面平行
面面平行
垂直关系
线线
平行
如果a∥b,b∥c,
那么a∥c
如果a∥α,a?β,
β∩α=b,那么a∥b
如果α∥β,
α∩γ=a,β∩γ=b,
那么a∥b
如果a⊥α,b⊥α,
那么a∥b
线面
平行
如果a∥b,
a?α,b?α,
那么a∥α
——
如果α∥β,a?α,
那么a∥β
——
面面
平行
如果a?α,b?α,
c?β,d?β,a∥c,
b∥d,a∩b=P,
那么α∥β
如果a?α,b?α,
a∩b=P,a∥β,
b∥β,
那么α∥β
如果α∥β,β∥γ,
那么α∥γ
如果a⊥α,a⊥β,
那么α∥β
条件
结论
线线垂直
线面垂直
面面垂直
平行关系
线线
垂直
勾股定理;
两线夹角90°
如果a⊥α,b?α
那么a⊥b
如果三个平面两两垂直,那么它们交线两两垂直
如果a∥b,a⊥c,
那么b⊥c
线面
垂直
如果a⊥b,
a⊥c,b?α,
c?α,b∩c=P,那么a⊥α
——
如果α⊥β,
α∩β=b,a?α,
a⊥b,
那么a⊥β
如果a⊥α,b∥a,
那么b⊥α
面面
垂直
定义(二面角等于90°)
如果a⊥α,a?β,
那么β⊥α
——
——
3.距离的求法
点点、点线、点面距离:点与点之间的距离就是两点之间线段的长;点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长.求它们首先要找到表示距离的线段,然后再计算.
注意:求点到面的距离的方法:
(1)直接法:直接确定点到平面的垂线段长;
(2)转移法:转化为另一点到该平面的距离(利用线面平行的性质);
(3)体积法:利用三棱锥体积公式.
1.若l,m,n是互不相同的空间直线,α,β是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是
(
)
A.若α∥β,l?α,n?β,则l∥n
B.若α⊥β,l?α,则l⊥β
C.若l⊥n,m⊥n,则l∥m
D.若l⊥α,l∥β,则α⊥β
考点训练
2.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A?l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是(
)
A.AB∥m
B.AC⊥m
C.AB∥β
D.AC⊥β
3.给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题:
①若m?α,l∩α=A,点A?m,则l与m不共面;
②若m、l是异面直线,l∥α,m∥α,且n⊥l,n⊥m,则n⊥α;
③若l∥α,m∥β,α∥β,则l∥m;
④若l?α,m?α,l∩m=A,l∥β,m∥β,则α∥β.
其中为假命题的是
(
)
A.①
B.②
C.③
D.④
4.给出以下四个命题:
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;
③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是
(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
5.给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,为真命题的是
(
)
A.①和②
B.②和③
C.③和④
D.②和④
6.网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体为
(
)
A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱
7.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;
③设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;
④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.
上面命题中,真命题的序号是
(写出所有真命题的序号).
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;
【解析】
由两个平面平行的判定定理可知,若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β,故知①正确;
由线面平行的判定定理可知,若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行.故②正确.
③设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;
④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.
【解析】
由线面垂直的判定可知,若α内有一条直线垂直于l,虽然有l?β,但也不能得出这条直线与平面β垂直,故也得不到α和β垂直,所以③不正确.
由线面垂直的判定可知,直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直,若两条直线平行,则判断不成立.故④不成立.
综上可知:真命题的序号是①②.
8.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱的对角线条数共有(
)
A.20
B.15
C.12
D.10
9.对于四面体ABCD,下列命题正确的是
(写出所有正确命题编号).
①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线;
②由顶点A作四面体的高,其垂足是△BCD的三条高线的交点;
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条高的垂足重合;
④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;
⑤分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点.
①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线;
②由顶点A作四面体的高,其垂足是△BCD的三条高线的交点;
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条高的垂足重合;
【解析】
如图,易知AB与CD是异面直线,故①正确;
由于A点的不确定性,可知由顶点A作四面体的高,
其垂足所在的位置是不确定的,故②不正确;
若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,且这两条高的垂足重合,则必有AB垂直于平面EDC(如图1)从而AB⊥CD,但本题中未给出AB⊥CD这样的条件,故③不正确;
④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;
⑤分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点.
【解析】
易知④是正确的;
如图2,E、F、G、H、I、J分别是各条棱的中点,
则易知EFHG是平行四边形,所以EH与FG的交点是FG的中点P,
同理可知IJ与FG的交点也是FG的中点P,
故可知三条线段相交于一点.故⑤正确.
综上可知,①④⑤正确.
10.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是
,则它的表面积是(
)
A.17π
B.18π
C.20π
D.28π
11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r=
(
)
A.1
B.2
C.4
D.8
12.已知高为3的直棱柱ABC—A'B'C'的底面是边长为1的正三角形(如图所示),则三棱锥B'—ABC的体积为
(
)
13.棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为
.
14.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积为
(
)
15.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(
)
16.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
(
)
A.20π
B.24π
C.28π
D.32π
17.如图是一个几何体的三视图,若它的体积是
,则a=
.
18.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是
cm3.
19.设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为cm).则该几何体的体积为
cm3.
20.如图△ABC为正三角形,AA’∥BB’∥CC’,CC’⊥平面ABC且3AA’=BB’=CC’
=AB,则多面体ABC—A’B’C’的正视图(也称主视图)是
(
)
A.
B.
C.
D.
21.某几何体的三视图如图所示,它的体积为
(
)
A.72π
B.48π
C.30π
D.24π
22.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为(
)
A.36π
B.64π
C.144π
D.256π
23.如图是某几何体的三视图,正视图是等边三角形,侧视图和俯视图为直角三角形,则该几何体外接球的表面积为
(
)
24.在正三棱柱ABC
-A1B1C1中,AB=AA1,则B1C与平面AA1B1B所成角的余弦值为
( )
25.如图,在四棱锥P
-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,PA=1,则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
B 【解析】 ∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,∴CD⊥PA,
又底面ABCD是正方形,∴CD⊥AD,
而PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,得CD⊥PD,
可知∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角.
在Rt△PAD中,由PA=AD=1,可得∠PDA=45°.
即侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是45°.故选B.
26.(多选题)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题不正确的是
( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m∥n,m⊥α,则n⊥α
D.若m∥α,α⊥β,则m⊥β
ABD 【解析】 由m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面知,
对于A,若m∥α,n∥α,则m与n相交,平行或异面,故A不正确;
对于B,若m∥α,m∥β,则α与β平行或相交,故B不正确;
对于C,若m∥n,m⊥α,则由线面垂直的判定定理得n⊥α,故C正确;
对于D,若m∥α,α⊥β,则m与β平行、相交或m?β,故D不正确.故选ABD.
27.(多选题)如图,棱长为1的正方体ABCD
-A1B1C1D1中,P为线段A1B上的动点(不含端点),则下列结论正确的是
( )
A.直线D1P与AC所成的角可能是
B.平面D1A1P⊥平面A1AP
C.三棱锥D1-CDP的体积为定值
D.平面APD1截正方体所得的截面可能是直角三角形
28.(多选题)《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”;底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”;四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图在堑堵ABC
-A1B1C1中,AC⊥BC,且AA1=AB=2.下列说法正确的是
( )
A.四棱锥B
-A1ACC1为“阳马”
B.四面体A1C1CB为“鳖臑”
C.四棱锥B
-A1ACC1体积最大为
D.过A点分别作AE⊥A1B于点E,AF⊥A1C于点F,则EF⊥A1B
29.(多选题)已知正方体ABCD
-A1B1C1D1的棱长为1,E是DD1的中点,则下列选项中正确的是
( )
A.AC⊥B1E
B.B1C∥平面A1BD
C.三棱锥C1-B1CE的体积为
D.异面直线B1C与BD所成的角为45°
30.(多选题)正方体ABCD
-A'B'C'D'的棱长为1,则下列四个命题正确的是
( )
A.若点M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,则MN∥BC'
B.点C到平面ABC'D'的距离为
C.直线BC与平面ABC'D'所成的角等于
D.三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球的表面积为3π(共29张PPT)
专题一
集合与逻辑用语
【考试内容】
集合;子集;补集;交集;并集;逻辑联结词;四种命题;充分条件;必要条件
【近7年新课标卷考点统计】
年份
试卷类型
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
新课标Ⅰ卷
5
5
5
5
5
5
5
新课标Ⅱ卷
10
5
10
5
5
5
5
新课标Ⅲ卷
5
5
5
5
5
重要考点回顾
一、常用符号及其含义
1.元素与集合的关系是:属于或不属于关系,用符号∈或?表示.
2.集合与集合的关系:用?,?,=表示;A是B的子集记为A?B;
A是B的真子集记为A?B.特别地:
①任何一个集合是它本身的子集,记为A?A;
②空集是任何集合的子集,记为??A;空集是任何非空集合的真子集;
③如果A?B,同时B?A,那么A=B;如果A?B,B?C,那么A?C.
④n个元素的集合子集有2n个;n个元素的集合真子集有2n-1个;
n个元素的集合非空真子集有2n-2个.
3.常用数集的符号
名称
非负整数集
(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
或N+
Z
Q
R
二、集合的运算
特别地,集合运算中常用到以下结论:
①A?B?A∩B=A;A?B?A∪B=B;A∩A=A;A∩?=?
②A∪B?A;A∪B?B;A∪A=A;A∪?=A
③A∪(?UA)=U;?UU=?
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号
表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A的补集为?UA
图形
表示
意义
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
?UA={x|x∈U且x?A}
三、命题与简易逻辑
1.充要条件的判断:如果p?q,则p是q的充分条件;如果q?p,则p是q的必要条件;如果既有p?q,又有q?p,记作p?q,则p是q的充要条件.
2.且、或、非
p或q
记作p∨q
p且q
记作p∧q
非p(命题的否定)
记作﹁
p
记忆:“同假为假”
“同真为真”
“真假相反”
(其余为真)
(其余为假)
p
q
p或q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
p
q
p且q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
p
非p
真
假
假
真
3.四种命题
①若p为原命题条件,q为原命题结论.则:
原命题:若p则q
逆命题:若q则p
否命题:若﹁p则﹁q
逆否命题:若﹁q则﹁p
②四种命题关系:原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的真假性.
4.量词
①全称量词:“任意:?”;存在量词:“存在:?”.
②含有全称量词的命题称为全称命题;含有存在量词的命题称为特称命题.
③含有量词的命题的否定:
全称命题p:?x∈M,p(x),它的否定﹁p:?x∈M,﹁p(x)
存在性命题p:?x∈M,p(x),它的否定﹁p:?x∈M,﹁p(x)
1.设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则S∩T=(
)
A.{0}
B.{0,2}
C.{0,-2}
D.{2,0,-2}
2.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=
(
)
A.{1,4}
B.{2,3}
C.{9,16}
D.{1,2}
考点训练
3.已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是
(
)
A.
B.
C.
D.
4.若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合A∪B=
(
)
A.{0,1,2,3,4}
B.{1,2,3,4}
C.{1,2}
D.{0}
5.已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},集合B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为
(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
6.已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中的元素个数为
(
)
A.5
B.4
C.3
D.2
7.集合U={1,2,3,4,5,6},S={1,4,5},T={2,3,4},则S∩(?UT)等于(
)
A.{1,4,5,6}
B.{1,5}
C.{4}
D.{1,2,3,4,5}
8.已知集合P={x|x2≤1},M={a},若P∪M=P,则a的取值范围是(
)
A.(-∞,-1]
B.[1,+∞)
C.[-1,1]
D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
9.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为(
)
A.0
B.1
C.2
D.4
10.设集合A={x|-3≤2x-1≤3},集合B为函数y=lg(x-1)的定义域,则A∩B=
(
)
A.(1,2)
B.[1,2]
C.[1,2)
D.(1,2]
11.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1(
)
A.A?B
B.B?A
C.A=B
D.A∩B=?
12.已知集合A={x|-1(
)
A.(-1,3)
B.(-1,0)
C.(0,2)
D.(2,3)
13.集合M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则M∩N=
(
)
A.(1,2)
B.[1,2)
C.(1,2]
D.[1,2]
14.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
15.若集合A={x|2x-1>0},B={x||x|≤1},则A∩B=
.
16.集合A={x∈R||x-2|≤5}中最小整数是
.
17.“x>0”是“
”成立的
(
)
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.非充分非必要条件
D.充要条件
18.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是
(
)
A.所有不能被2整除的数都是偶数
B.所有能被2整除的数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的数是偶数
D.存在一个能被2整除的数不是偶数
19.若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的
(
)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
20.命题“存在实数x,使x>1”的否定是
(
)
A.对任意实数x,都有x>1
B.不存在实数x,使x≤1
C.对任意实数x,都有x≤1
D.存在实数x,使x≤1
21.设命题p:函数y=sin2x的最小正周期为
;命题q:函数y=cosx的图象关于直线x=
对称.则下列判断正确的是
(
)
A.p为真
B.﹁q为假
C.p∧q为假
D.p∨q为真
22.命题“若p则q”的否命题是
(
)
A.若q则p
B.若﹁
p则﹁q
C.若﹁q则﹁p
D.若p则﹁q
23.命题“若α=
,则tanα=1”的逆否命题是
(
)
A.若α≠
,则tanα≠1
B.若α=
,则tanα≠1
C.若tanα≠1,则α≠
D.若tanα≠1,则α=
24.下列命题是真命题的为
(
)
25.设x∈R,则“x>
”是“2x2+x-1>0”的
(
)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
26.(多选题)设全集U=R,集合A={y|y=x-2,x∈R},集合B={x|x2+x-2<0,
x∈R},则
( )
A.A∩B=(0,1)
B.A∪B=(-2,+∞)
C.A∩(?RB)=(0,+∞)
D.A∪(?RB)=R
AB 【解析】
集合A={y|y>0},B={x|-2∴A∩B=(0,1),A∪B=(-2,+∞),
?RB={x|x≤-2或x≥1},A∩(?RB)=[1,+∞),
A∪(?RB)={x|x≤-2或x>0}≠R.故选AB.
27.(多选题)设集合M={x|x2+x-2≤0},N={x|log2x<1},若实数a∈(M∩N),则a的值可以是( )
A.1
B.-2
C.0.5
D.1.5
AC 【解析】
集合M={x|-2≤x≤1},N={x|0∴M∩N={x|0又a∈(M∩N),∴a的值可以是1或0.5.故选AC.
28.(多选题)已知集合A=[2,5),B=(a,+∞).若A?B,则实数a的值可能是
( )
A.-3
B.1
C.2
D.5
AB 【解析】
∵A?B,∴a<2.故选AB.
29.(多选题)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的是
( )
A.若两直线的斜率相等,则两直线平行
B.若x>5,则x>10
C.若ac=bc,则a=b
D.若sin
α=sin
β,则α=β
BCD 【解析】
A.两直线的斜率相等与两直线平行相互推不出.
B.若x>5,则x>10,p?/
q,但q?p.
C.若ac=bc,则a=b,p?/
q,但q?p.
D.若sin
α=sin
β,则α=β,p?/
q,但q?p.
∴只有B,C,D中p是q的必要条件.故选BCD.
30.(多选题)下列命题中的真命题是
( )
A.?x∈R,2x-1>0
B.?x∈N
,(x-1)2>0
C.?x0∈R,lgx0<1
D.?x0∈R,tan
x0=2
ACD 【解析】
∵指数函数y=2t的值域为(0,+∞),
∴任意x∈R,均可得到2x-1>0成立,故A项正确;
∵当x∈N
时,x-1∈N,可得(x-1)2≥0,当且仅当x=1时取等号,
∴存在x∈N
,使(x-1)2>0不成立,故B项不正确;
∵当x=1时,lgx=0<1,∴存在x0∈R,使得lgx0<1成立,故C项正确;
∵正切函数y=tan
x的值域为R,∴存在锐角x0,使得tan
x0=2成立,故D项正确.故选ACD.