第21讲 数学选择题、填空题的解题方法与技巧
一、题型特点
今年，在新高考全国卷数学试题中选择题共12道题，其中单项选择题8道，多项选择题4道，填空题还是4道题，所占分值为80分，约占数学试题总分数的53%.“多选题”是继单选题、填空题和解答题之后在新高考数学卷中出现的一种新题型，全卷试题按单选题、多选题、填空题和解答题的顺序排列．突出一个主题，设计多个正确选项供考生选择，这是多项选择题主要的呈现方式．数学“多选题”具有无需解题过程，考试分值小、考查容量大、解题思路广、数学思想丰富、对考生进行多层次区分的特点，相对于传统单选题而言，学生作答“多选题”时会有更多得分模式，“多选题”的多级得分模式有利于提高低水平考生的得分，有利于区分出高水平的考生，也就是能够更精确地区分不同能力层次的考生．在高考题中，选择题、填空题属于中低难度的试题，仅有个别题属于较高难度试题，在一般的情况下分别按由易到难的顺序排列，在高考数学中选择题和填空题是一种只要求得到结果，不要求写出解答过程的试题．具有概括性强、小巧灵活、知识覆盖面广，其中融入多种数学思想和方法等特点，可以有效地检验考生的数学思维层次及分析问题和解决问题的能力．
二、解题步骤
(1)仔细审题、吃透题意
审题是正确解题的前提，其关键在于将有关概念、公式、定理等基础知识加以集中反映，并发现题目中的一些重要的隐含条件．
(2)反复析题、去伪存真
析题就是剖析题意．在认真审题的基础上，对全题进行细致的分析，为正确解题寻好路径．由于选择支相近、相关，因而在析题时对照选择支就显得非常重要，对于一些似是而非的选项，考生可以结合题目条件，加以分析与验证，提高选择的正确率．
(3)抓住关键、全面分析
通过审题、析题后找到解题的关键步骤，从关键处入手，快速地形成正确的解题思路，化难为易、化繁为简．高考选择题中的多数可用特殊的方法快速解答．例如：顺推破解法、逆推验证法、估值选择法、特值检验法、数形结合法、极限化法等都是解选择题常用的解法．
(4)反复检查、认真核对
对得出的结果细心检查、认真核对也是解选择题、填空题必不可少的一个步骤．
由于客观题解答轻过程重结果，因此，平时必须多训练一些解选择题、填空题的方法与技巧，力争做到解题准确、迅速，其基本原则是“小题不能大作”，基本策略是“巧做”．
三、解题方法与技巧
(一)直接演绎法
所谓直接演绎法，就是直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果．
例1(1)[2018·全国卷Ⅰ]已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.
记该正方体为ABCD－A′B′C′D′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A′A，A′B′，A′D′与平面α所成的角都相等，如图，
连接AB′，AD′，B′D′，因为三棱锥A′－AB′D′是正三棱锥，所以A′A，A′B′，A′D′与平面AB′D′所成的角都相等，分别取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中点E，F，G，H，I，J，连接EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六点共面，平面EFGHIJ与平面AB′D′平行，且截正方体所得截面的面积最大，又EF＝FG＝GH＝IH＝IJ＝JE＝，所以该正六边形的面积为6××＝，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为，故选A.
(2)0－1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列a1a2…an…满足ai∈{0，1}(i＝1，2，…)，且存在正整数m，使得ai＋m＝ai(i＝1，2，…)成立，则称其为0－1周期序列，并称满足ai＋m＝ai(i＝1，2，…)的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0－1序列a1a2…an…，C(k)＝iai＋k(k＝1，2，…，m－1)是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0－1序列中，满足C(k)≤(k＝1，2，3，4)的序列是( )
A．11010…
B．11011…
C．10001…
D．11001…
【解析】选C.
由ai＋m＝ai知，序列ai的周期为m，由已知，m＝5，
C(k)＝iai＋k，k＝1，2，3，4.
对于选项A，
C(1)＝iai＋1＝(a1a2＋a2a3＋a3a4＋a4a5＋a5a6)＝(1＋0＋0＋0＋0)＝≤，
C(2)＝iai＋2＝(a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a6＋a5a7)＝(0＋1＋0＋1＋0)＝，不满足；
对于选项B，
C(1)＝iai＋1＝(a1a2＋a2a3＋a3a4＋a4a5＋a5a6)＝(1＋0＋0＋1＋1)＝，不满足；
对于选项D，
C(1)＝iai＋1＝(a1a2＋a2a3＋a3a4＋a4a5＋a5a6)＝(1＋0＋0＋0＋1)＝，不满足；
故选：C.
【点评】本题考查数列的新定义问题，涉及周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题．
例2(1)(多选题)已知函数f(x)＝cos，下列结论正确的是( )
A．f(x)的一个周期是－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)的一个零点为
D．f在上单调递减
【解析】选ABC.
f(x)最小正周期为2π，所以－2π是f(x)的一个周期，所以选项A正确；
由x＋＝kπ得x＝kπ－，令k＝3，得x＝，所以选项B正确；
由x＋＝kπ＋得x＝kπ＋(k∈Z)，令k＝0，得x＝，所以选项C正确；
由kπ≤x＋≤kπ＋π，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以f(x)不可能在上单调递减，故选项D错误．
故选ABC.
【点评】本题通过设置多个正确选项，较为全面地考查了三角函数的图象和性质．这里是通过直接计算作出选择判断的．
(2)(多选题)已知数列{an}中，a1＝，1＋＝(n≥2，n∈N
)，则下列结论正确的是( )
A．数列是等差数列
B．数列是等差数列
C．an＝
D．数列中最大的项为a4
【解析】选ACD.
因为1＋＝，所以anan－1＋1＝2an－1，所以－＝＝＝＝1，故A正确，B错误；
因为a1＝，＝－，所以数列是首项为－，公差为1的等差数列，所以＝－＋n－1＝n－，从而an＝1＋.故C、D正确．
故选ACD.
【点评】本题依据题中的递推公式，转化、构造等差数列并利用定义作出判断，很好地考查了对应、转化、配凑和构造等数学意识．
例3(1)在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是____________．
【解析】[－5，1]
设P(x，y)．因为·≤20，
所以(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，
化简得x2＋y2＋12x－6y≤20.
又x2＋y2＝50，所以12x－6y＋30≤0，即2x－y＋5≤0.
故点P的轨迹为劣弧CE，由图可知，点P的横坐标的取值范围为[xD，xC]．
联立消去y，得x2＋4x－5＝0，
解得x＝－5或x＝1，即xC＝1，
又因为xD＝－5，所以点P的横坐标的取值范围是[－5，1]．
(2)(2020·浙江)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________，E(ξ)＝________．
【解析】；1
因为ξ＝0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以P(ξ＝0)＝＋×＝.
随机变量ξ＝0，1，2，
P(ξ＝1)＝×＋××＋××＝，
P(ξ＝2)＝1－－＝，
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.
故答案为：；1.
【小结】直接演绎法是解选择填空题最基本的方法，涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目，充分挖掘题设条件，通过严谨的推理，正确的运算必能得出正确的答案．因此，学会熟练运用基本知识，并能迅速分析题目，抓住主干，吃透题意是用直接演绎法解题的不二法宝．
(二)特例(值)法
所谓特例(值)法，就是利用满足题设条件的一些特殊数值、特殊函数、特殊方程、特殊数列、特殊点、特殊角、特殊图形、特殊位置等进行求解，从而得出正确答案．
例4已知钝角△ABC中，∠C为钝角，若m＝sin
A＋sin
B，n＝cos
A＋cos
B，p＝sin(A＋B)，则m、n、p的大小关系是( )
A．m
B．nC．pD．m【解析】选C.
方法一：在△ABC中，令A＝B＝30°，C＝120°，可求得m＝1，n＝，p＝，显然有p方法二：由已知得，A<－B，则sin
AB，即sin
AB，同理sin
BA，所以sin
A＋sin
BA＋cos
B，即mp＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
BA＋sin
B＝m.
【点评】本小题主要考查了三角函数的大小比较问题，在解决这类问题时，如果能够从选项提供的信息中确定这些代数式的大小关系是唯一确定的，那么就可以采用特例检验法进行求解，即将代数式中的参数赋以特殊的、有利于计算的值(本题中是特殊角)，代入代数式中求出它们的值，进行比较，从而确定它们的大小关系．
例5(多选题)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是( )
A．AC⊥AF
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
【解析】选AD.
A．由题意及图形知，当点F与点B1重合时，∠CAB1＝60°.故选项A错误；
B．EF∥平面ABCD，由正方体ABCD－A1B1C1D1的两个底面平行，EF?平面A1B1C1D1，故有EF∥平面ABCD，此命题正确，不是正确选项；
C．三棱锥A－BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，△BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A－BEF的体积为定值，此命题正确，不是正确选项；
D．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故D是错误的．
故选：AD.
例6设P是椭圆＋＝1上异于长轴端点的一动点，F1、F2是椭圆的焦点，I是△PF1F2的内心，PI的延长线交F1F2于点B，则│PI│∶│IB│＝________．
【解析】
令P是椭圆短轴的一端点，在△F1BP中，由三角形内角平分线定理知，│PI│∶│IB│＝|PF1|∶│F1B│＝|PF2|∶|F2B|＝(|PF1|＋|PF2|)∶(|F1B|＋|F2B|)＝5∶3.
【点评】P是椭圆上的一动点，又由选项知道，│PI│∶│IB│的值确定，因此当P是椭圆短轴端点时(特殊化)，结论不变．
【小结】特例(值)法是高考数学解选择填空题的最佳方法之一，能降低解题难度，提高解题效率．当正确的选择对象在题设条件普遍都成立的情况下，用特例(值)法(取得越简单越好)进行探究，从而清晰、快捷地得到正确答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律．
(三)排除法
例7(1)过抛物线y2＝4x的焦点作直线，与此抛物线相交于两点P和Q，那么线段PQ中点的轨迹方程是( )
A．y2＝2x－1
B．y2＝2x－2
C．y2＝－2x＋1
D．y2＝－2x＋2
【解析】选B.
(排除法)由已知可知轨迹曲线过点(1，0)，开口向右，由此排除答案A、C、D.
另解：(直接法)设过焦点的直线y＝k(x－1)，则消y得：k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，故中点坐标为消k得y2＝2x－2，选B.
(2)已知长方形的四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1)，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角)，设P4的坐标为(x4，0)，若1θ的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.
考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tan
θ＝，由题设条件知，1＜x4＜2，则tan
θ≠，排除A、B、D，故选C.
(3)[2020·浙江]设集合S，T，S?N
，T?N
，S，T中至少有2个元素，且S，T满足：①对于任意的x，y∈S，若x≠y，则xy∈T；②对于任意的x，y∈T，若xA．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
【解析】选A.
首先利用排除法：
若取S＝，则T＝，此时S∪T＝，包含4个元素；
若取S＝，则T＝，此时S∪T＝，包含5个元素，排除选项C，D；
若取S＝，则T＝，此时S∪T＝，包含7个元素，排除选项B；
下面来说明选项A的正确性：
设集合S＝，且p1，
则p1p2同理∈S，∈S，∈S，∈S，∈S，
若p1＝1，则p2≥2，则又p4>>>1，故＝＝p2，所以p4＝p，
故S＝，此时p∈T，p2∈T，故p∈S，矛盾，舍．
若p1≥2，则<又p4>>>>1，故＝＝p1，所以p4＝p，
故S＝，此时?T.
若q∈T，则∈S，故＝p，i＝0，1，2，3，4，故q＝p，i＝0，1，2，3，4，
即q∈，故＝T，
此时S∪T＝，即S∪T中有7个元素．
故A正确．
故选：A.
【点评】“新定义”主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．
例8(多选题)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝，将△ADC沿对角线AC进行翻折，得到四棱锥D－ABC，则在翻折的过程中，下列结论正确的是( )
A．四棱锥D－ABC体积的最大值为
B．四棱锥D－ABC外接球体积不变
C．异面直线AB与CD所成角的最大值为60°
D．异面直线AB与CD所成角的最大值为90°
【解析】选ABD.
在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，可得AC＝2，在翻折的过程中，当面ACD⊥面ACB时，D到底面的距离最大，且直角三角形ACD斜边AC边上的高为，得四棱锥D－ABC体积的最大值为××1××＝，选项A正确．
取AC中点O，连接OB，OD，可得OA＝OB＝OC＝OD，即O为三棱锥D－ABC外接球的球心，且半径为1，体积为π，选项B正确．
若AB⊥CD，又AB⊥BC，可得AB⊥平面BCD，即有AB⊥BD.由AB＝1，AD＝，BD＝成立，故选项C错误，选项D正确．
综上选ABD.
【点评】本题是立体几何中的折叠问题，综合性强，空间观念要求高．解题的关键，一是要明确折叠前、后量的“变”与“不变”，二是需要充分利用空间几何体中的线、面位置关系的判定定理和性质定理进行分析论证，进而作出判断．
【小结】排除法也称筛选法(或淘汰法)，结合估算、特例、逻辑分析等方法否定三个选项，从而得到正确的选项．
排除法适用于不易直接求解的选择题，当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小的选项范围内找出矛盾，这样逐步排除，直到得到正确的选项，它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用而有效的方法．
(四)极限化法
在一些选择填空题中，有一些任意选取或者变化的元素，我们对这些元素的变化趋势进行研究，分析它们的极限情况或者极端位置，并进行计算，以此来判断结果．这种通过动态变化，或对极端取值来解选择填空题的策略是一种极限化法．
例9P为双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上的一点，F1，F2分别是左、右焦点，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为( )
A．a
B．b
C.
D．a＋b－
【解析】选A.
如图，点P沿双曲线向右顶点无限接近时，△PF1F2的内切圆越来越小，直至“点圆”，此“点圆”应为右顶点，则内切圆圆心的横坐标为a.故选A.
例10在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是__________．
【解析】(－，＋)
如图，作△PBC，使∠B＝∠C＝75°，BC＝2，
作直线AD分别交线段PB、PC于A、D(不与端点重合)，且使∠BAD＝75°，
则四边形ABCD就是符合题意的四边形．将AD在该等腰△PBC内平行移动，平移AD，当点C与点D重合时，AB最短，此时，求得AB＝－；
当点A与点P重合时，AB最长，此时求得AB＝＋，
所以AB的取值范围是(－，＋)．
【小结】用极限化法是解选择填空题的一种有效方法，也是在选择填空题中避免“小题大做”的有效途径．它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小做题难度，简化运算，能迅速得到答案．
(五)数形结合法
所谓数形结合法是把抽象的数学语言同直观的图形结合起来，通过“以形助数”、“以数辅形”，使抽象思维与形象思维相结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题．
例11设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.
设g(x)＝ex(2x－1)，y＝ax－a，
由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线y＝ax－a的下方，
因为g′(x)＝ex(2x＋1)，
所以当x<－时，g′(x)<0，
当x>－时，g′(x)>0，
所以当x＝－时，[g(x)]min＝－2e－.
作出大致图象如图所示，当x＝0时，g(0)＝－1，g(1)＝e>0，
直线y＝ax－a恒过(1，0)，斜率为a，
故－a>g(0)＝－1，且g(－1)＝－3e－1≥－a－a，解得≤a<1.故选D.
例12已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是( )
A.
B.
C．[－2，2]
D.
【解析】选A.
根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示，
当x≤1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x2－x＋3≥－，即x2－＋3＋a≥0，故对于方程x2－＋3＋a＝0，Δ＝－4(3＋a)≤0，解得a≥－；当x>1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x＋≥＋a，即＋≥a，又＋≥2，当且仅当＝，即x＝2时等号成立，所以a≤2，综上，a的取值范围是.选A.
例13(多选题)定义域和值域均为[－a，a]的函数y＝f和y＝g(x)的图象如图所示，其中a＞c＞b＞0，给出下列四个结论，其中正确的结论是( )
A．方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解
B．方程g[f(x)]＝0有且仅有三个解
C．方程f[f(x)]＝0有且仅有九个解
D．方程g[g(x)]＝0有且仅有一个解
【解析】选ABCD.
由图象可知对于函数y＝f，当－a≤y<－c时，方程有一解，当y＝－c时，方程有两解，当－c对于A中，设t＝g，则由f[g]＝0，即f＝0，此时方程有三个t的值，即t＝g有三个不同的值，又由函数g为单调递减函数，所以方程f[g]＝0有三个不同的解，所以是正确的；
对于B中，设t＝f，则由g[f]＝0，即g＝0，此时只有唯一的解t＝b，即方程b＝f，此时有三解，所以正确；
对于C中，设t＝f，则由f[f]＝0，即f＝0，此时t＝－b或t＝0或t＝b，
则方程t＝f有9个解，所以正确；
对于D中，设t＝g，则由g[g]＝0，即g＝0，此时t＝b，对于方程b＝g，只有唯一的解，所以是正确的．故选ABCD.
例14已知＝(2，0)，＝(2，2)，＝(cos
α，sin
α)，则向量与夹角的取值范围是________________．
【解析】
∵＝(2，2)，＝(2，0)，∴B(2，0)，C(2，2)，
∵＝(cos
α，sin
α)，
∴点A的轨迹是以C(2，2)为圆心，为半径的圆．
过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连接CM，CN，如图所示，
则向量与的夹角范围是∠MOB≤〈，〉≤∠NOB.
∵||＝2，∴||＝||＝||，
知∠COM＝∠CON＝，但∠COB＝，
∴∠MOB＝，∠NOB＝，故≤〈，〉≤.
【点评】数形结合大致有以下两条途径：
(1)以数解形：通过对数量关系的讨论，去研究曲线的几何性质，这种思想在解析几何中最常见；
(2)以形助数：一些具有几何背景的数学关系或数学结构，如果能通过构造与之相应的图形进行分析，则能使问题获得更直观的解法，这种解题思想在函数、不等式、向量以及数列中都有所体现，特别是在求方程解的个数，解不等式，求最值等问题中的应用更常见．
(3)“数”与“形”是数学的重要基石，二者在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化，如果在解答选择填空题的过程中能够很好地运用这一数学方法，就能够使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，进而简化解题过程，从而达到事半功倍的效果．
(六)构造法
所谓构造法就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式；或者利用具体问题的特殊性，为待解决的问题设置一个框架，从而使问题转化并得到解决的方法．
例15设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
【解析】选A.
构造函数g(x)＝，
则g′(x)＝，
当x>0时，总有xf′(x)－f(x)<0，
即当x>0时，g′(x)恒小于0，
∴当x>0时，函数g(x)为减函数，
又∵g(－x)＝g(x)，∴g(x)为定义域上的偶函数，
又∵g(－1)＝＝0，
∴g(x)的图象类似如图：
数形结合可得，不等式f(x)>0?xg(x)>0
?或
?0故选A.
例16如图，已知球O的球面上有四个点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．
【解析】π
如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，
所以＝＝2R，所以R＝，故球O的体积V＝＝π.
【小结】构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．【p129】
一、单项选择题
1．已知集合A＝，B＝，则A∩B＝( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.
由A＝，B＝＝，
则A∩B＝.
故选：B.
2．设复数z满足＝，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．2x－4y－3＝0
B．2x＋4y－3＝0
C．4x＋2y－3＝0
D．2x－4y＋3＝0
【解析】选B.
设z＝x＋yi，
∵|z－2i|＝|z＋1|，∴x2＋(y－2)2＝(x＋1)2＋y2，解得2x＋4y－3＝0.
故选：B.
3．某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名职工，乙单位招聘2名职工，丙单位招聘1名职工，并且甲单位至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为( )
A．36
B．72
C．108
D．144
【解析】选D.
根据题意，分3步进行分析：
①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有C－C＝12种情况，
②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有C＝6种情况，
③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有C＝2种情况，
则有12×6×2＝144种不同的录取方案．
故选：D.
4．已知△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，则( )
A.＝＋
B.＝－＋
C.＝－
D.＝－－
【解析】选A.
依题意，＝(＋)＝－＋，故＝＋＝＋.
故选A.
5．三个数a＝0.43，b＝log34，c＝log40.3之间的大小关系是( )
A．cB．cC．aD．b【解析】选B.
由于a＝0.43∈，b＝log34>log33＝1，c＝log40.3所以c故选：B.
6．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是( )
A．f＝
B．f＝
C．f＝
D．f＝
【解析】选D.
由图象得函数的定义域为，排除B，C.
由f>0，排除A.
故选：D.
7．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线l：x＝－，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，且直线AF的斜率kAF＝－，则△AFM的面积为( )
A．3
B．6
C．9
D．12
【解析】选C.
设准线l与x轴交于N，所以＝3，直线AF的斜率kAF＝－，所以∠AFN＝60°，在直角△ANF中，＝3，|AF|＝6，根据抛物线定义知，＝，又∠NAF＝30°，MA⊥l，所以∠MAF＝60°，因此△AMF是等边三角形，故＝6，所以△AFM的面积为S＝＝×6×3＝9，故选C.
8．若存在a>0，使得函数f(x)＝6a2ln
x与g(x)＝x2－4ax－b的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为( )
A．－
B．－
C.
D.
【解析】选D.
设曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为，
因为f′(x)＝，g′(x)＝2x－4a，
所以2x0－4a＝，则x－2ax0－3a2＝0，
解得x0＝－a或3a，
又x0>0，且a>0，则x0＝3a.
因为f＝g，
所以x－4ax0－b＝6a2ln
x0，b＝－3a2－6a2ln
3a(a>0)．
设h(a)＝b，所以h′(a)＝－12a(1＋ln
3a)，
令h′(a)＝0，得a＝.所以当00；
当a>时，h′(a)<0.
所以b的最大值为h＝.
故选：D.
二、多项选择题
9．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是( )
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．
A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
【解析】选ABC.
选项A，因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56%，其中从事技术和运营岗位的人数占比分别为39.6%和17%，则“90后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的56%×(39.6%＋17%)≈31.7%.“80前”和“80后”中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成，故选项A正确；
选项B，因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56%，其中从事技术岗位的人数占比为39.6%，则“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%×39.6%≈22.2%.“80前”和“80后”中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过20%，故选项B正确；
选项C，“90后”从事运营岗位的人数占总人数的比为56%×17%≈9.5%，大于“80前”的总人数所占比3%，故选项C正确；
选项D，“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%×39.6%≈22.2%，“80后”的总人数所占比为41%，条件中未给出从事技术岗位的占比，故不能判断，所以选项D错误．
故选：ABC.
10．已知函数f(x)＝e|x|sin
x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是周期为2π的奇函数
B．f(x)在上为增函数
C．f(x)在(－10π，10π)内有21个极值点
D．f(x)≥ax在上恒成立的充要条件是a≤1
【解析】选BD.
∵f(x)的定义域为R，f(－x)＝esin(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，
但是f(x＋2π)＝esin(x＋2π)＝esin
x≠f(x)，
∴f(x)不是周期为2π的函数，故选项A错误；
当x∈时，f(x)＝e－xsin
x，
f′(x)＝e－x(cos
x－sin
x)>0，f(x)单调递增，
当x∈时，f(x)＝exsin
x，
f′(x)＝ex(sin
x＋cos
x)>0，f(x)单调递增，
且f(x)在连续，故f(x)在单调递增，
故选项B正确；
当x∈[0，10π)时，f(x)＝exsin
x，f′(x)＝ex(sin
x＋cos
x)，
令f′(x)＝0得，x＝－＋kπ(k＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10)，
当x∈(－10π，0)时，f(x)＝e－xsin
x，f′(x)＝e－x(cos
x－sin
x)，
令f′(x)＝0得，x＝＋kπ(k＝－1，－2，－3，－4，－5，－6，－7，－8，－9，－10)，
因此，f(x)在(－10π，10π)内有20个极值点，故选项C错误；
当x＝0时，f(x)＝0≥0＝ax，则a∈R，
当x∈时，f(x)≥ax?a≤.
设g(x)＝，
∴g′(x)＝.
令h(x)＝xsin
x＋xcos
x－sin
x，x∈，
∴h′(x)＝sin
x＋x(cos
x－sin
x)>0，h(x)单调递增，
∴h(x)>h(0)＝0，
∴g′(x)>0，g(x)在单调递增，
又由洛必达法则知：
当x→0时，g(x)＝＝＝1，
∴a≤1，故答案D正确．
故选：BD.
11．若存在m，使得f(x)≥m对任意x∈D恒成立，则函数f(x)在D上有下界，其中m为函数f(x)的一个下界；若存在M，使得f(x)≤M对任意x∈D恒成立，则函数f(x)在D上有上界，其中M为函数f(x)的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界．下列说法正确的是( )
A．1不是函数f(x)＝x＋(x>0)的一个下界
B．函数f(x)＝xln
x有下界，无上界
C．函数f(x)＝有上界，无下界
D．函数f(x)＝有界
【解析】选BD.
对于A项，当x>0时，x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，∴f>1恒成立，∴1是f的一个下界，A错误；
对于B项，f′＝ln
x＋1，
∴x∈时，f′<0；x∈时，f′>0，
∴f在上单调递减，在上单调递增，
∴f≥f＝－，∴f有下界，
又x→＋∞时，f→＋∞，∴f无上界，
综上所述：f＝xln
x有下界，无上界，B正确；
对于C项，∵x2>0，ex>0，∴>0，∴f有下界，C错误；
对于D项，∵sin
x∈，∴≤≤，
又≥－1，≤1，∴－1≤≤1，
∴f既有上界又有下界，
即f有界，D正确．
故选：BD.
12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN的最小值为－1，则( )
A．正方体的外接球的表面积为12π
B．正方体的内切球的体积为
C．正方体的棱长为2
D．线段MN的最大值为2
【解析】选ABC.
设正方体的棱长为a，
则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即a；内切球半径为棱长的一半，即.
∵M，N分别为外接球和内切球上的动点，
∴MNmin＝a－＝a＝－1，解得：a＝2，即正方体棱长为2，C正确；
∴正方体外接球表面积为4π×＝12π，A正确；内切球体积为，B正确；
线段MN的最大值为a＋＝＋1，D错误．
故选：ABC.
三、填空题
13．曲线y＝x＋2ex在x＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为________．
【解析】
由函数y＝x＋2ex，可得导数为y′＝1＋2ex，
当x＝0时，y′＝3，所以曲线y＝x＋2ex在点处的切线方程为y－2＝3x，
即3x－y＋2＝0，
令x＝0，可得y＝2，令y＝0，可得x＝－，
所以曲线y＝x＋2ex在x＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为×2×＝.
14．生活中，我们还常用“水滴石穿”“有志者，事竟成”“坚持就是胜利”等熟语来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力．在这些熟语里，“石穿”、“事成”、“胜利”分别是“水滴”、“有志”、“坚持”的______(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或者“既不充分也不必要”)条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步．
【解析】必要不充分
由“石穿”“事成”“胜利”不能推出“水滴”“有志”“坚持”，
如“石穿”可能推出“化学腐蚀”；
由“水滴”“有志”“坚持”能推出“石穿”“事成”“胜利”，
如“水滴”可以推出“石穿”；
综上所述，“石穿”“事成”“胜利”是“水滴”“有志”“坚持”的必要不充分条件．
15．已知抛物线y2＝2px的焦点为F(4，0)，过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p＝________，－的最小值为______．
【解析】8
∵抛物线y2＝2px的焦点为F(4，0)，
∴p＝8，
∴抛物线的方程为y2＝16x，
设直线l的方程为x＝my＋4，设M，N，
由得y2－16my－64＝0，
∴y1＋y2＝16m，y1y2＝－64，
由抛物线的定义得
＋＝＋＝＝＝＝＝＝，
∴－＝－4＝＋－1≥2－1＝，
当且仅当＝即＝6时，等号成立．
16．在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，且cos
A＝，以BD为折痕，将△BDC折起，使点C到达点E处，且满足AE＝AD，则三棱锥E－ABD的外接球的表面积为__________．
【解析】13π
在△ABD中，AB＝2，BC＝3，且cos
A＝，
由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos
A，
即：BD2＝＋32－2×2×3×＝9，
解得：BD＝3.
在四面体ABED中，AE＝BD＝3，AD＝BE＝3，AB＝ED＝2，
三组对棱长相等，可将四面体ABED放在长方体中．
设长方体的相邻三棱长分别为x，y，z，设外接球半径为R，
则x2＋y2＝9，y2＋z2＝9，z2＋x2＝8，
则x2＋y2＋z2＝13，即2R＝，所以R＝.
所以，四面体E－ABD外接球的表面积为：
4πR2＝4π×＝13π.
故答案为：13π.(共97张PPT)
专题八 解题方法与策略
第21讲 数学选择题、填空题的解题方法与技巧
限时训练>●。。