第17讲 函数的图象、性质及应用
【p51】
【命题趋势】
高考对函数图象与性质的考查主要体现在函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性等方面．函数的单调性是考查的重点之一，且单调性和奇偶性有向抽象函数拓展的趋势．函数图象注重考查图象变换(平移变换、伸缩变换、对称变换)及基本初等函数图象的应用，考查比较灵活，涉及的知识点较多，且每年均有创新．试题考查角度有两个方面，一是函数解析式与函数图象的对应关系；二是利用图象研究函数性质、方程及不等式的解等，综合性较强．题型多以选择题、填空题为主，一般属于中档题．而函数的零点主要考查零点所在区间、零点个数的判断以及由函数零点个数求参数的取值范围，考查形式主要是选择题、填空题，也有可能以解答题中某一小问的形式出现，多为中偏低档题．
【备考建议】
函数的图象与性质是高考的热点之一，而函数与方程基本是高考的必考点，常以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性等．因此备考时要熟练掌握基本初等函数及几种常见函数的图象与性质，掌握图象变换及变换规律．要会求具体函数的定义域、值域；与分段函数有关的问题要分清自变量对应的解析式，分段求解；要会知式选图及知图选式，能够利用函数的图象研究函数的性质(特别是单调性、最值、零点)、方程解的问题及解不等式、比较大小等；要能够综合利用函数性质解决求值及取值范围，与不等式结合的解集问题．体会分类讨论思想、数形结合思想、转化化归思想、函数方程思想等数学思想在解题中的运用．
【p51】
探究一 函数的概念及表示
例1(1)设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )
A．(1，2)
B．(1，2]
C．(－2，1)
D．[－2，1)
【解析】选D.
由4－x2≥0得－2≤x≤2，所以A＝{x|－2≤x≤2}；由1－x>0得x<1，所以B＝{x|x<1}．故A∩B＝{x|－2≤x<1}，故选D.
(2)已知函数f(x)＝若f(a)＝1，则f(1－a)＝( )
A．2
B．－2
C．1
D．－1
【解析】选B.
当a≥1时，2a－1－1＝1，即a＝2，则f(1－a)＝－log24＝－2；当a<1时，－log2(3－a)＝1，即a＝，不合题意，故f(1－a)＝－2，故选B.
(3)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4
m和a
m(0
m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是( )
【解析】选B.
设AD＝x，则CD＝16－x，因为P在矩形ABCD内，所以a≤x≤12，
矩形面积S＝x(16－x)，当0当8所以u＝故选B.
(4)定义域为R的函数f(x)满足f(x＋3)＝2f(x)，当x∈[－1，2)时，f(x)＝若存在x∈[－4，－1)，使得不等式t2－3t≥4f(x)成立，则实数t的取值范围是________．
【解析】(－∞，1]∪[2，＋∞)
因为f(x＋3)＝2f(x)，所以当x∈[－4，－1)时，x＋3∈[－1，2)，
则f(x)＝f(x＋3)＝
当x∈[－4，－3)时，－≤f(x)≤0，
当x∈[－3，－1)时，－≤f(x)≤－.
所以当x∈[－4，－1)时，f(x)的最小值是－，
又因为存在x∈[－4，－1)，使得不等式t2－3t≥4f(x)成立，等价于t2－3t≥－2，则t≤1或t≥2，
则实数t的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．
【点评】函数的概念涉及的基本问题一般是定义域、值域、解析式、函数值等，命题形式有两种：一种是以基本初等函数为载体构造试题，另一种是以某新定义构建函数．
探究二 函数的性质及应用
例2(1)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________．
【解析】1
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，
∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，∴xln
a＝0恒成立，∴ln
a＝0，即a＝1.
(2)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
【解析】
因为f(－x)＝－x3＋2x＋e－x－ex＝－f(x)，f(0)＝0，所以f(x)是奇函数，则f(a－1)＋f(2a2)≤0可化为f(2a2)≤f(1－a)．又f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2＝3x2≥0，所以f(x)在R上单调递增，则2a2≤1－a，即－1≤a≤.
(3)设函数f(x)＝x|x－a|，若对?x1，x2∈[3，＋∞)，x1≠x2，不等式>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3]
B．[－3，0)
C．(－∞，3]
D．(0，3]
【解析】选C.
由题意分析可知条件等价于f(x)在[3，＋∞)上单调递增，又∵f(x)＝x|x－a|，∴当a≤0时，结论显然成立，当a>0时，f(x)＝∴f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，∴0(4)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3，5]时，f(x)＝2－|x－4|，则( )
A．fB．f(sin
1)>f(cos
1)
C．fD．f(cos
2)>f(sin
2)
【解析】选D.
由题设知函数f(x)的周期为2，
则当x∈[－1，1]时，f(x)＝f(x＋4)＝2－|x|，
函数f(x)在[0，1]上单调递减．
由0011<1，
知A与B均不正确；
由f＝f，f＝f，
且0由f(cos
2)＝f(cos(π－2))，f(sin
2)＝f(sin(π－2))，又<π－2<，
∴0【点评】(1)函数的性质指奇偶性、单调性和周期性；由函数的奇偶性可以进行函数在其定义域内图象、函数值、解析式和单调性的转化，函数单调性可以比较大小，求函数最值，解不等式；周期性考纲要求是了解，应用时关键是利用周期性转化函数的解析式、图象和性质，同时应注意函数性质的“逆用”．
(2)应用函数性质解题时应：①数形结合，扬长避短；②等价转化，迅速破解；③含参变量，分类讨论，全面考虑．
探究三 函数的图象及应用
例3(1)函数f(x)＝的图象大致是( )
【解析】选B.
由已知可得该函数为奇函数，奇函数关于原点对称，故排除选项A中的图象；当x>0时，ex－e－x>0，f(x)>0，故排除选项D中的图象；取特殊值，当x＝1时，e－>2，而不接近函数值1，故排除选项C中的图象．
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R，有f(x＋2)＝2f(x)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝.若函数g(x)＝则函数y＝f(x)－g(x)在区间(－4，5)上的零点个数是( )
A．7
B．8
C．9
D．10
【解析】选C.
函数f(x)与g(x)在区间[－5，5]上的图象如图所示，由图可知，函数f(x)与g(x)的图象在区间(－4，5)上的交点个数为9，即函数y＝f(x)－g(x)在区间(－4，5)上零点的个数是9.
(3)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
【解析】[0，1)
由题意知g(x)＝
函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．
(4)在平面直角坐标系内，点M，N同时满足条件：①M，N都在函数y＝f(x)的图象上；②M，N关于原点对称，则称(M，N)是函数y＝f(x)的一个“相关点对”(点对(M，N)与(N，M)看作同一个“相关点对”)．若函数f(x)＝有两个“相关点对”，则实数k的取值范围是( )
A．(0，1)
B．(－1，0)
C．(0，＋∞)
D．(1，＋∞)
【解析】选B.
要使f(x)＝具有两个“相关点对”，需y＝kx＋1(x>0)与函数y＝－ln
x(x>0)有两个不同的交点(如图所示)，设切点为(x0，－ln
x0)，对函数y＝－ln
x进行求导，得y′＝－，所以计算得函数y＝－ln
x(x>0)过(1，0)的切线的斜率为－1，结合图象，得－1【点评】(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．
(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．
(3)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．
探究四 函数与方程的综合应用
例4(1)已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝－a(x≠0)有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是( )
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
【解析】选A.
当01≤x<2时，f(x)＝－a＝－a；
2≤x<3时，f(x)＝－a＝－a；….
f(x)＝－a的图象是把y＝的图象进行纵向平移而得到的，画出y＝的图象，如图所示，
通过数形结合可知a∈∪.
(2)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1A．(－1，＋∞)
B．(－1，1]
C．(－∞，1)
D．[－1，1)
【解析】选B.
由题意得x1＋x2＝－2，x3x4＝1，
所以x3(x1＋x2)＋＝－2x3＋.
由≤x3<1且－2x3＋在上单调递减，所以－1<－2x3＋≤1，
故x3(x1＋x2)＋的取值范围是.
(3)如果函数y＝f(x)在其定义域内总存在三个不同实数x1，x2，x3，满足|xi－2|f(xi)＝1(i＝1，2，3)，则称函数f(x)具有性质Ω.已知函数f(x)＝aex具有性质Ω，则实数a的取值范围是________．
【解析】
∵若f(x)具有性质Ω，∴在定义域内|x－2|f(x)＝1有3个不同的实数根，
∵f(x)＝aex，∴＝|x－2|·ex，即方程＝|x－2|·ex在R上有三个不同的实数根．
设g(x)＝|x－2|·ex＝
当x≥2时，g′(x)＝(x－1)ex>0，即g(x)在[2，＋∞)上单调递增；
当x<2时，g′(x)＝(1－x)ex，所以g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．
又∵g(1)＝e，g(2)＝0，∴方程＝|x－2|·ex在R上有三个不同的实数根，即函数g(x)与y＝的图象有三个交点．∴0<.故答案为.
(4)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A.
B.∪(1，＋∞)
C.
D.∪
【解析】选A.
∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
在(0，＋∞)上，y＝ln(1＋x)递增，y＝－也递增，
根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
综上可知：f(x)>f(2x－1)?f(|x|)>f(|2x－1|)?|x|>|2x－1|?x2>(2x－1)2?3x2－4x＋1<0?【点评】函数的零点与方程根的问题处理方法
(1)函数的零点、方程的根，都可以转化为函数图象与x轴的交点，数形结合法是解决此类问题的一个有效方法．
(2)解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．
(备选题)例5对于定义域为[0，＋∞)的函数f(x)，如果同时满足下列三条：
①对任意的x∈[0，＋∞)，总有f(x)≥0；
②若x1≥0，x2≥0，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立；
③若x1，x2∈[0，1)，且x1≠x2，则>1.
则称函数f(x)为超级囧函数．
则下列是超级囧函数的为________．
(1)f(x)＝sin
x；
(2)g(x)＝x2；
(3)h(x)＝2x－1；
(4)p(x)＝ln(x＋1)．
【解析】(3)
对于条件③，若0≤x11.
故>0，
即>0.
又因为x1，x2∈[0，1)，所以x1＋1，x2＋1∈[1，2)．
所以函数F(x)＝f(x)－x在[1，2)上为增函数．
(1)f＝sin＝－1<0，不符合①，所以函数f(x)不是超级囧函数．
(2)因为x∈[0，＋∞)，所以g(x)＝x2∈[0，＋∞)，故①成立；
若x1≥0，x2≥0，则g(x1＋x2)＝(x1＋x2)2＝x＋x＋x1x2≥x＋x，
即g(x1＋x2)≥g(x1)＋g(x2)，所以②成立；
函数G(x)＝g(x)－x＝x2－x(x∈[0，＋∞))，
函数G′(x)＝x－1，显然当x∈[1，2)时，G′(x)<0，函数递减，所以不满足条件③.故函数g(x)＝x2，x∈[0，＋∞)不是超级囧函数．
(3)当x∈[0，＋∞)时，函数h(x)≥0，满足条件①；
若x1≥0，x2≥0，则h(x1＋x2)－[h(x1)＋h(x2)]
＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]
＝(2x1－1)(2x2－1)≥0，
满足条件②；
函数H(x)＝h(x)－x＝2x－x－1(x∈[1，＋∞))，
所以H′(x)＝2xln
2－1，当x∈[1，2)时，H′(x)＝2xln
2－1≥2ln
2－1>0，即函数H(x)＝2x－x－1在[1，2)上为增函数，故满足条件③.
故函数h(x)是超级囧函数．
(4)当x∈[0，＋∞)时，x＋1∈[1，＋∞)，
所以p(x)＝ln(x＋1)≥0，满足条件①；
当x1＝x2＝2时，p(x1＋x2)－[p(x1)＋p(x2)]＝p(4)－2p(2)＝ln
5－2ln
3＝ln
<0，不符合条件②.故该函数不是超级囧函数．
【p53】
考题1[2020·新高考卷Ⅰ]若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1，1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞)
D．[－1，0]∪[1，3]
【解析】选D.
因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上也是单调递减，且f(－2)＝0，f(0)＝0，
所以当x∈(－∞，－2)∪(0，2)时，f(x)>0，当x∈(－2，0)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，
所以由xf(x－1)≥0可得：
或
或x＝0，
解得－1≤x≤0或1≤x≤3，
所以满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]，
故选：D.
【命题立意】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法．
考题2[2020·全国卷Ⅱ]设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在单调递增
B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在单调递减
【解析】选D.
由f＝ln－ln得f定义域为，关于坐标原点对称，
又f＝ln－ln＝ln－ln＝－f，
∴f为定义域上的奇函数，可排除AC；
当x∈时，f＝ln－ln，
∵y＝ln在上单调递增，
y＝ln在上单调递减，
∴f在上单调递增，排除B；
当x∈时，f＝ln－ln＝ln＝ln，
∵μ＝1＋在上单调递减，f＝ln
μ在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：f在上单调递减，D正确．
故选：D.
【命题立意】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f与f的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论．
考题3[2020·全国卷Ⅲ]已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则( )
A．aB．bC．bD．c【解析】选A.
由题意可知a、b、c∈，＝＝·<·＝＝<1，∴a由b＝log85，得8b＝5，由55<84，得85b<84，∴5b<4，可得b<；
由c＝log138，得13c＝8，由134<85，得134<135c，∴5c>4，可得c>.
综上所述，a故选：A.
【命题立意】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力．
考题4[2020·全国卷Ⅰ]若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )
A．a>2b
B．a<2b
C．a>b2
D．a【解析】选B.
设f(x)＝2x＋log2x，则f(x)为增函数，因为2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b，
所以f(a)－f(2b)＝2a＋log2a－(22b＋log22b)＝22b＋log2b－(22b＋log22b)＝log2＝－1<0，
所以f(a)f(a)－f(b2)＝2a＋log2a－(2b2＋log2b2)＝22b＋log2b－(2b2＋log2b2)＝22b－2b2－log2b，
当b＝1时，f(a)－f(b2)＝2>0，此时f(a)>f(b2)，有a>b2；
当b＝2时，f(a)－f(b2)＝－1<0，此时f(a)故选：B.
【命题立意】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及构造函数，利用函数的单调性比较大小．(共78张PPT)
专题七 函数与导数
第17讲 函数的图象、性质及应用
知识网络>●●。。
L导数的概念与运算」
导数
导数的应用
定义域|解析式|值域、最值
求
单调性
性质
奇偶性
由由
周期性
图性
函数
象|质
函数的概念
表|研
对称性
f(a)
达究
函数的
网数的
应用
零点
性图
作图
综合应用
质|象
识图
基本初等函数
图象
用图
匚变换
专题探究>。●。。。
典例剖析>●。·。
高考
●●●●●
限时训练>●。。【p122】
A组 基础演练
1．函数f(x)＝cos
x的图象大致为( )
【解析】选C.
f(－x)＝cos
x＝cos
x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，又x∈时，f(x)<0，故答案为C.
2．图中阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是( )
【解析】选B.
由图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.
3．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x－2)<5的解集是( )
A．(－3，7)
B．(－7，3)
C．(－7，－1)∪(1，7)
D．(1，5)
【解析】选A.
f(x－2)＝f(|x－2|)<5＝f(5)，所以|x－2|<5，
∴x∈(－3，7)．
4．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．aB．aC．bD．b【解析】选C.
因为函数y＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b10.6＝1，即c>1.综上，b5．已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f.则f(6)＝( )
A．－2
B．－1
C．0
D．2
【解析】选D.
当x>时，f＝f，所以当x>时，函数f(x)是周期为1的周期函数，所以f(6)＝f(1)，又函数f(x)是奇函数，
所以f(1)＝－f(－1)＝－＝2.
6．已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aB．cC．bD．b【解析】选C.
由函数f(x)为奇函数且在R上单调递增，可知当x>0时，f(x)>0，∴g(x)＝xf(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，∴c＝g(3)>a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)>g(2)，b＝g(20.8)7．已知的展开式中的常数项为T，f(x)是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，若在区间[－1，3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－2k有4个零点，则实数k的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.
的通项Tr＋1＝C(x2)5－r(－5－x－3)r＝(－1)r5－Cx10－5r；
令10－5r＝0，得r＝2；
则常数项为C×＝2，f(x)是以2为周期的偶函数，
因为区间[－1，3]是两个周期，所以在区间[－1，3]内函数g(x)＝f(x)－kx－2k有4个零点，
可转化为f(x)与r(x)＝kx＋2k有四个交点，
当k＝0时，
两函数图象只有两个交点，不合题意；当k≠0时，
因为函数r(x)的图象恒过点(－2，0)，
则若使两函数图象有四个交点，必有0解得，08．已知a>b>1.若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________．
【解析】4；2
设logba＝t，则t>1，
因为t＋＝?t＝2?a＝b2，
因此ab＝ba?b2b＝bb2?2b＝b2?b＝2，a＝4.
9．已知函数f(x)＝若f(x)的最小值是a，则a＝________．
【解析】－4
若a≥0，函数的值域为(0，＋∞)，不符合题意；若a<0，则函数的最小值为1＋a或－，所以1＋a＝a或－＝a，解得a＝－4.
10．已知函数f(x)＝ex－(x＜0)与g(x)＝ln(x＋a)图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是______________．
【解析】(－∞，)
函数f(x)与g(x)图象上存在关于y轴对称的点，
就是f(－x)＝g(x)有解，也就是函数y＝f(－x)与函数y＝g(x)有交点，
在同一坐标系内画函数y＝f(－x)＝e－x－＝－(x>0)与函数y＝g(x)＝ln(x＋a)的图象：
∴当y＝ln(x＋a)过时，这时a取临界值，把点代入y＝ln(x＋a)得，＝ln
a，
∴a＝e＝，∴a<.
B组 能力提升
11．对于实数m，n定义运算“?”：m?n＝设f(x)＝(2x－1)?(x－1)，且关于x的方程f(x)＝a恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.
由2x－1≤x－1，得x≤0，
此时f(x)＝(2x－1)?(x－1)
＝－(2x－1)2＋2(2x－1)(x－1)－1＝－2x，
由2x－1>x－1，得x>0，
此时f(x)＝(2x－1)?(x－1)＝(x－1)2－(2x－1)(x－1)＝－x2＋x，
所以f(x)＝(2x－1)?(x－1)＝作出函数的图象可得，
要使方程f(x)＝a(a∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，不妨设x1则0所以x2＋x3＝2×＝1，∴x1＋x2＋x3＝1＋x1，
当－2x＝时，解得x＝－，当－2x＝0时，解得x＝0，∴－∴x1＋x2＋x3∈，
即x1＋x2＋x3的取值范围是，故选A.
12．规定[x]表示不超过x的最大整数，例如：[3.1]＝3，[－2.6]＝－3，[－2]＝－2.若f′(x)是函数f(x)＝ln
|x|的导函数，设g(x)＝f(x)·f′(x)，则函数y＝[g(x)]＋[g(－x)]的值域是( )
A．{y|y为偶数}
B．{0，1}
C．{0}
D．{－1，0}
【解析】选D.
由题意可知：g(x)＝f(x)·f′(x)＝
不妨设x>0，则y＝[g(x)]＋[g(－x)]＝＋，当∈，则∈，＋＝0＋(－1)＝－1，即y＝[g(x)]＋[g(－x)]＝－1；当＝0，则＝0，y＝[g(x)]＋[g(－x)]＝0，依此类推当在其他范围情况，可得y＝[g(x)]＋[g(－x)]的值域是{－1，0}．
13．(多选题)给出定义：若m－A．y＝f(x)的定义域是R，值域是
B．点(k，0)(k∈Z)是y＝f(x)的图象的对称中心
C．函数y＝f(x)的最小正周期为1
D．函数y＝f(x)在上是增函数
【解析】选AC.
依题意知f(x)＝画图可知AC正确．
14．已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有3个互异的实数根，则实数a的值为________．
【解析】a＝1或a＝9
在同一坐标系内分别作出y＝f(x)与y＝a|x－1|的图象如图所示．
由y＝a|x－1|与y＝f(x)的图象相切，得或
整理得x2＋(3－a)x＋a＝0，
则Δ＝a2－10a＋9＝0，
解得a＝1或a＝9.
15．函数f＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于________．
【解析】2
解法一：因f＝＝＋1，故由函数的奇偶性与对称性可设M＝f＝＋1，则m＝f＝＋1，故M＋m＝2，应填答案2.
解法二：因f＝＝＋1＝y，故原方程可化为2－cos
x＝sin
x，即sin
x＋cos
x＝2，所以≤1，解之得1－≤y≤1＋，即m＝1－，M＝1＋，故M＋m＝2，应填答案2.
16．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若?x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为________．
【解析】
因为当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x；
当a2当x≥2a2时，f(x)＝(x－a2＋x－2a2－3a2)＝x－3a2.
综上，函数f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)在x≥0时的解析式等价于f(x)＝
因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，
观察图象可知，要使?x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－≤a≤.