第11讲 直线与圆的方程
【p30】
【命题趋势】
直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系均是高考考点，通常以选择填空题形式进行考查，注重考查：(1)直线的方程及应用；(2)运用数形结合思想探究直线与圆相切或相交的必要条件．
【备考建议】
本节内容应结合直线与圆、圆与圆的平面几何性质，从“数形结合”的角度分析求解有关直线和圆、圆与圆的位置关系的综合问题．
【p30】
探究一 直线的方程和两条直线的位置关系
例1
(1)已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( )
A．－10
B．－2
C．0
D．8
【解析】选A.
∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2.解得m＝－8.又∵l2⊥l3，∴－×(－2)＝－1，解得n＝－2，∴m＋n＝－10.故选A.
(2)已知直线l过点M(2，1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求当||·||取得最小值时，直线l的方程．
【解析】x＋y－3＝0
设A(a，0)，B(0，b)，则a＞0，b＞0，直线l的方程为＋＝1，所以＋＝1.
故||·||＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)－5＝＋≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
(3)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．
【解析】4x＋3y－6＝0
法一：由方程组
得即P(0，2)．
∵l⊥l3，∴直线l的斜率k1＝－，∴直线l的方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.
法二：∵直线l过直线l1和l2的交点，
∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
∵l与l3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，
∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.
【点评】1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．
3．充分应用两直线平行与垂直的条件，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．
探究二 圆的方程及直线与圆的位置关系
例2
(1)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·的值是( )
A．－
B.
C．－
D．0
【解析】选A.
在△OAB中，|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝，可得∠AOB＝120°，所以·＝1×1×cos
120°＝－.故选A.
(2)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0
B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0
D．4x＋y－3＝0
【解析】选A.
根据平面几何知识，直线AB一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为，故直线AB的斜率一定是－2，只有选项A中直线的斜率为－2.故选A.
(3)若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x＋m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
【解析】4
由两圆在点A处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即AO1⊥AO2，在直角三角形AO1O2中，(2)2＋()2＝m2，∴m＝±5，|AB|＝2×＝4.
(4)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
【解析】5－4
两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C′1C2|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4.
(5)过直线2x＋y＋4＝0和圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的交点，并且面积最小的圆的方程为____________．
【解析】x2＋y2＋x－y＋＝0
设所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2－4＋k(2x＋y＋4)＝0，即x2＋y2＋2(k＋1)x＋(k－4)y＋1＋4k＝0，化为圆的标准方程得[x＋(k＋1)]2＋＝(k＋1)2＋(k－4)2－(4k＋1)，由(k＋1)2＋(k－4)2－(1＋4k)＞0，得5k2－16k＋16＞0，此时，所求圆的半径r＝＝.
显然，当k＝－，即k＝时，5k2－16k＋16有最小值，此时，圆的半径最小，从而面积最小．故所求的圆的方程为x2＋y2＋x－y＋＝0.
【点评】1.判断直线与圆的位置关系常见的方法：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系．(2)代数法：联立直线与圆方程，消元后运用Δ判断．
2．处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．
3．圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．
4．圆的方程的求法：(1)利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r或D，E，F的方程组．(2)利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．
5．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法；若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
探究三 对称问题
例3
(1)已知直线l：2x－3y＋1＝0.则点A(－1，－2)关于直线l的对称点A′的坐标为________；直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程为__________．
【解析】 9x－46y＋102＝0
设A′(x，y)，再由已知得
解得
故A′.
在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，
则得M′.
设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4，3)．
又∵m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(2)光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1，6)，求BC所在的直线方程．
【解析】作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1，6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.
故BC所在的直线方程为＝，即10x－3y＋8＝0.
【点评】解决对称问题的方法
(1)中心对称：①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(2)轴对称：①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
探究四 直线和圆的综合运用
例4
已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线3x－2y＝0与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，椭圆C的另一个焦点是F1，且·＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知圆F1：＋y2＝1，动圆P的圆心P在椭圆C上并且与圆F1外切，直线l是圆P和圆F1的外公切线，直线l与椭圆C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求三角形F1AB的面积．
【解析】(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，点M在直线y＝x上，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2(c，0)，则点M.
∵·＝·＝，即＝，∴c＝1，∴M，
又解得
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)设动圆P的半径为R，点P的坐标为(x，y)，
由已知得R＝3－≤3－＝2，当且仅当圆P的圆心为时，R＝2.
所以当圆P的半径最长时，其方程为＋y2＝4，
因为直线l是圆P和圆F1的外公切线，所以直线l的倾斜角不为90°且不平行x轴，
设l与x轴的交点为Q，则＝＝，可求得Q，
设l：y＝k，由l与圆F1相切得＝1，解得k＝±.
当k＝时，将y＝x＋代入＋＝1并整理得7x2＋8x－8＝0，
解得x1，2＝，
所以＝＝.
当k＝－时，由图形的对称性可知＝，
又点F1到直线l的距离d＝1，所以三角形F1AB的面积为S＝d＝××1＝.
【点评】圆锥曲线解答题的考查有时将直线和圆渗透其中，注重考查直线方程和直线与圆的几何性质的应用．考查数形结合思想．
【p31】
1．直线的应用中应注意：(1)用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．(2)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．
2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
3．圆的切线问题
(1)过圆x2＋y2＝r2(r＞0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
(2)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0，y0)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为T的切线长公式为|MT|＝＝(其中C为圆C的圆心，r为其半径)．
4．求圆的弦长的常用方法
(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则＝r2－d2.
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：
|AB|＝|x1－x2|＝.
5．对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．归纳起来常见的命题角度有：1.点关于点对称；2.点关于线对称；3.线关于线对称；4.对称问题的应用．
【p32】
考题1
[2020·全国Ⅱ卷]若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.
由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为a，
圆的标准方程为2＋2＝a2.
由题意可得2＋2＝a2，
可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，
所以圆心的坐标为或，
圆心(1，1)与(5，5)到直线2x－y－3＝0的距离均为
d＝＝；
所以，圆心到直线2x－y－3＝0的距离为.
故选：B.
【命题立意】本题主要考查直线与圆相切和点到直线距离等知识，依题设条件求得圆心坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．
考题2
[2020·全国Ⅲ卷]若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为( )
A．y＝2x＋1
B．y＝2x＋
C．y＝x＋1
D．y＝x＋
【解析】选D.
设直线l在曲线y＝上的切点为，则x0>0，
函数y＝的导数为y′＝，则直线l的斜率k＝，
设直线l的方程为y－＝，即x－2y＋x0＝0，
由于直线l与圆x2＋y2＝相切，则＝，
两边平方并整理得5x－4x0－1＝0，解得x0＝1，x0＝－(舍)，
则直线l的方程为x－2y＋1＝0，即y＝x＋.
故选：D.
【命题立意】本题主要考查导数的几何意义及应用和直线与圆的位置关系，考查数学运算能力，属于中档题．
考题3
[2020·全国Ⅰ卷]已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( )
A．2x－y－1＝0
B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0
D．2x＋y＋1＝0
【解析】选D.
圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝4，点M到直线l的距离为d＝＝>2，所以直线l与圆相离．依圆的知识可知，A，P，B，M四点共圆，且AB⊥MP，所以|PM|·|AB|＝4S△PAM＝4××|PA|×|AM|＝4|PA|，
而|PA|＝，当直线MP⊥l时，|MP|min＝，|PA|min＝1，此时|PM|·|AB|最小．∴MP：y－1＝(x－1)，即y＝x＋，由解得
所以以MP为直径的圆的方程为(x－1)(x＋1)＋y(y－1)＝0，即x2＋y2－y－1＝0，
两圆的方程相减可得：2x＋y＋1＝0，即为直线AB的方程．故选：D.
【点评】本题主要考查圆的几何性质和直线与圆、圆与圆的位置关系及应用，考查学生的数学运算能力和转化化归数学思想，属于中档偏难题．【p101】
A组 基础演练
1．“a＝2”是“直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选C.
当a＝2时，直线ax＋2y＝0即x＋y＝0与直线x＋y＝1平行；当直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行时，－＝－1，a＝2.综上所述，“a＝2”是“直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行”的充要条件，故选C.
2．光线沿直线y＝2x＋1射到直线y＝x上，被y＝x反射后的光线所在的直线方程为( )
A．y＝x－1
B．y＝x－
C．y＝x＋
D．y＝x＋1
【解析】选B.
由得即所求直线过点(－1，－1)．又直线y＝2x＋1上一点(0，1)关于直线y＝x对称的点(1，0)在所求直线上，∴所求直线方程为＝，
即y＝x－.故选B.
3．已知两点A(－1，0)，B(1，0)以及圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)，若圆C上存在点P，满足·＝0，则r的取值范围是( )
A．[3，6]
B．[3，5]
C．[4，5]
D．[4，6]
【解析】选D.
∵·＝0，∴点P在以A(－1，0)，B(1，0)两点为直径的圆上，
该圆方程为：x2＋y2＝1，又点P在圆C上，∴两圆有公共点．两圆的圆心距d＝＝5，∴|r－1|≤5≤r＋1，解得：4≤r≤6，故选D.
4．已知直线l1：kx＋y＝0(k∈R)与直线l2：x－ky＋2k－2＝0相交于点A，点B是圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝2上的动点，则|AB|的最大值为( )
A．3
B．5
C．5＋2
D．3＋2
【解析】选C.
由消去参数k得(x－1)2＋(y－1)2＝2，
所以A在以C(1，1)为圆心，为半径的圆上(除去点(0，2))，又点B是圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝2上的动点，此圆圆心为D(－2，－3)，半径为，|CD|＝＝5，∴|AB|的最大值为|CD|＋＋＝5＋2.故选：C.
5．(多选题)下列说法正确的是( )
A．截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行y轴的直线
C．经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan
θ(x－1)
D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
【解析】选BD.
根据直线方程的使用条件，逐项判断即可得出．
对于A，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程＋＝1表示，所以A不正确；
对于B，当m＝0时，平行于y轴的直线方程形式为x＝2，所以B正确；
对于C，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y－1＝tan
θ(x－1)表示，所以C不正确；
对于D，设点P是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据∥可得(y2－y1)·(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，所以D正确．故选：BD.
6．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________．
【解析】x＋4y－4＝0
设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
7．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
【解析】5
∵直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0分别过定点A，B，∴A(0，0)，B(1，3)．当点P与点A(或B)重合时，|PA|·|PB|为零；
当点P与点A，B均不重合时，∵P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，
且易知此两直线垂直，∴△APB为直角三角形，
∴|AP|2＋|BP|2＝|AB|2＝10，
∴|PA|·|PB|≤＝＝5，当且仅当|PA|＝|PB|时，上式等号成立．
8．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
【解析】(1)由题意得F(1，0)，
l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
B组 能力提升
9．(多选题)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】选AB.
先得到P的轨迹方程为圆，与直线y＝k有交点，得到k的范围，得到答案．x2＋y2－4x＝0，∴(x－2)2＋y2＝4.
P所作的圆的两条切线相互垂直，所以P，圆点C，两切点构成正方形，
PC＝2，即(x－2)2＋y2＝8，
P在直线y＝k上，圆心到直线的距离d＝≤2，
计算得到－2≤k≤2.故答案选AB.
10．(多选题)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A，B两点，下列结论正确的有( )
A．a＋b＝0
B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝a
D．y1＋y2＝2b
【解析】选ABC.
根据两圆的方程相减，求得公共弦所在直线的方程，代入点A，B的坐标，结合圆的性质，即可求解，得到答案．
由题意，圆C2的方程可化为：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.
两圆的方程相减可得直线AB的方程为：2ax＋2by－a2－b2＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，
分别把A，B两点代入可得：2ax1＋2by1＝a2＋b2，2ax2＋2by2＝a2＋b2，
两式相减可得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，
所以选项A、B是正确的；
由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，
所以选项C是正确的，选项D是不正确的．故选：ABC.
11．(多选题)以下四个命题表述正确的是( )
A．直线x＋4y－3＋3m＝0恒过定点
B．圆x2＋y2＝4上有且仅有3个点到直线l：x－y＋＝0的距离都等于1
C．曲线C1：x2＋y2＋2x＝0与曲线C2：x2＋y2－4x－8y＋m＝0恰有三条公切线，则m＝4
D．已知圆C：x2＋y2＝4，点P为直线＋＝1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点(1，2)
【解析】选BCD.
选项A，直线x＋4y－3＋3m＝0得m(x＋3)＋3x＋4y－3＝0，
由得即直线恒过定点，故A错误；
选项B，圆心C(0，0)到直线l：x－y＋＝0的距离d＝1，圆的半径r＝2，故圆C上有3个点到直线l的距离为1，故B正确；
选项C，曲线C1：x2＋y2＋2x＝0，即＋y2＝1，
曲线C2：x2＋y2－4x－8y＋m＝0，即＋＝20－m，
两圆心的距离为＝5＝1＋，解得m＝4，故C正确；
选项D，因为点P为直线＋＝1上一动点，设点P(4－2t，t)，
圆C：x2＋y2＝4的圆心为C(0，0)，
以线段PC为直径的圆Q的方程为(x－4＋2t)x＋(y－t)y＝0，
即x2＋(2t－4)x＋y2－ty＝0，
故圆Q与圆C的公共弦方程为：x2＋(2t－4)x＋y2－ty－(x2＋y2)＝0－4，
即(2t－4)x－ty＋4＝0，此直线即为直线AB，经验证点(1，2)在直线(2t－4)x－ty＋4＝0上，即直线AB经过定点(1，2)，故D正确．故选：BCD.
12．(多选题)瑞士数学家欧拉(Leonhard
Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A，B，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选AD.
设C(x，y)，AB的垂直平分线为y＝－x，
△ABC的外心为欧拉线方程x－y＋2＝0与直线y＝－x的交点M(－1，1)，
∴|MC|＝|MA|＝，∴(x＋1)2＋(y－1)2＝10，①
由A，B，△ABC重心为，
代入欧拉线方程x－y＋2＝0，得x－y－2＝0，②
由①②可得x＝2，y＝0或x＝0，y＝－2.故选：AD.
13．(多选题)已知点A是直线l：x＋y－＝0上一定点，点P、Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选AC.
设点A的坐标为，可得当AP、AQ均为圆x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ取得最大值90°，可得出四边形APOQ为正方形，可得出＝，进而可求出点A的坐标．
如下图所示：
原点到直线l的距离为d＝＝1，则直线l与圆x2＋y2＝1相切，
由图可知，当AP、AQ均为圆x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ取得最大值，
连接OP、OQ，由于∠PAQ的最大值为90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，＝＝1，则四边形APOQ为正方形，所以＝＝，
由两点间的距离公式得＝＝，
整理得2t2－2t＝0，解得t＝0或，因此，点A的坐标为或.
故选：AC.
14．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点．
(1)求椭圆标准方程；
(2)已知点C满足3＝，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．
【解析】(1)∵椭圆＋＝1的一个顶点为A，∴b＝3，
由＝，得c＝b＝3，又由a2＝b2＋c2，
得a2＝32＋32＝18，所以，椭圆的方程为＋＝1；
(2)∵直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以CP⊥AB，
根据题意可知，直线AB和直线CP的斜率均存在，
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＋3＝kx，即y＝kx－3，
消去y，可得x2－12kx＝0，解得x＝0或x＝.
将x＝代入y＝kx－3，
得y＝k·－3＝，
所以，点B的坐标为，
因为P为线段AB的中点，点A的坐标为，
所以点P的坐标为，
由3＝，得点C的坐标为，
所以，直线CP的斜率为kCP＝＝，
又因为CP⊥AB，所以k·＝－1，
整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝或k＝1.
所以，直线AB的方程为y＝x－3或y＝x－3.
15．在平面直角坐标系xOy中，过点F(2，0)的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径，设点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过点A(2，4)且不过原点的直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B作x轴的平行线交曲线C于点D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其他公共点？说明理由．
【解析】(1)如图，过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线x＝－2于P′，
设动圆的圆心为E，半径为r，则E到y轴的距离为r，在梯形OFPH中，由中位线性质可得PH＝2r－2，|PP′|＝2r－2＋2＝2r，
又|PF|＝2r，所以|PF|＝|PP′|，
由抛物线的定义知，点P是以F(2，0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，所以曲线C的方程为y2＝8x.
(2)由A(2，4)可得A在曲线C上，
(ⅰ)当l的斜率存在时，设M(x1，y1)(x1≠2)，
则y＝8x1，
AM的中点B，即B，
在方程y2＝8x中，令y＝＋2，得x＝，所以D.
设N(x2，y2)，由中点坐标公式可得
x2＝－， ①
又y＝8x1，代入①式化简得x2＝，所以N，
直线MN的斜率为：＝＝，
所以直线MN的方程为：y＝(x－x1)＋y1，②
将x1＝代入②化简可得：y＝x＋，③
将x＝代入③式整理可得y2－2y1y＋y＝0，Δ＝4y－4y＝0，
所以直线MN与抛物线相切，
所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点．
(ⅱ)当直线l的斜率不存在时，M(2，－4)，B(2，0)，D(0，0)，N(－2，0)，
直线MN的方程为：y＝－x－2，代入抛物线的方程可得x2－4x＋4＝0，Δ＝42－4×4＝0，
所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点．
综上所述，除M点外，直线MN与C没有其他的公共点．(共81张PPT)
专题五 解析几何
第11讲 直线与圆的方程
知识网络>●●。。
倾斜角、斜率
直
点斜式
线
斜截式
直
重合
直线方程
两点式
截距式
线位置关系
[半行}[距离
垂直
般式
相交
点到直线的距离
交点
解析儿何
标准方程卜
点与园的位置关系
圆的
园的
方程
性质
直线与园的位置关系
般方程
圆与圈的位置关系
对称性
应
焦点
质
顶点
用
离心率
椭网
义
标准
方程
直线与椭圆的位置关系
圆锥曲线
对称性
渐近线
双曲线定义
标准
方程
「性质焦点
顶点
离心率
直线与双曲线的位置关系
直线与抛物线的位置关系
焦点
抛物线
「定义标
准
方程
性质顶点
对称性
准线
考情分析>●。。
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典例剖析>●。·。
规律总结>●。。
高考
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限时训练>●。。
