第12讲 圆锥曲线标准方程及几何性质
【p32】
【命题趋势】
圆锥曲线的标准方程的考查一般以圆锥曲线解答题的第(1)小问形式出现，考查圆锥曲线的定义和几何性质等基础知识；圆锥曲线的几何性质也常与代数、三角函数、平面向量、不等式等知识交汇的形式进行考查，在考查几何性质的基础知识的同时，注重考查函数与方程思想、数形结合思想，新高考全国Ⅰ卷有关圆锥曲线模块的命题一般是“一大两小”，以2道客观题考查圆锥曲线的定义、离心率、标准方程以及几何性质，其中选择题可能单选也可能多选，以一道解答题(大题)的某小问考查圆锥曲线方程的求法，同时解答题一般涉及椭圆或抛物线．预计2021年高考对本节知识的考查趋势是：圆锥曲线模块内综合，以选择题、填空题的形式考查，或以解答题第一问形式考查，重点考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程或几何性质等，试题难度为容易题或中档题．
【备考建议】
圆锥曲线的标准方程和几何性质是高考考查的重点和热点内容之一，客观题与解答题均有试题，往往具有较大的信息量、思维量、运算量的特点．复习的目标既要注重基础知识的理解掌握，又要注重解题的基本方法、基本数学思想的综合运用．解析几何问题的基本解题策略是应用方程思想研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握应用韦达定理整体代入的技巧；同时又要具有较强的运算能力，灵活恰当运用数形结合、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等数学素质．
【p32】
探究一 圆锥曲线的定义及应用
(1)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点的横坐标x0的值为____________．
【解析】
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点P(x0，y0)，则由抛物线的定义得|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋.∵|AF|＋|BF|＝3，∴x1＋x2＝，x0＝(x1＋x2)＝，即线段AB的中点的横坐标x0的值为.
(2)设F1、F2是双曲线C的左、右焦点，过焦点F1的直线与曲线C的左支交于点A，B，若＝，且31＝，则双曲线C的渐近线方程为________．
【解析】y＝±x
如图，
由3＝，设＝2，＝6，由双曲线的定义知2a＝－＝2c－2，
即a＝c－1，－＝2a，则＝＋2a＝2c＋4，设D为线段AF1中点，则AF1⊥DF2，＝7，＝1，由勾股定理得－＝＝－，
即(2c＋4)2－49＝(2c)2－1，解得c＝2，a＝c－1＝1，所以b＝，所以渐近线方程为y＝±x.
(3)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，A为椭圆上一点，且·＝0，直线AF2交y轴于点M，若＝6，则△OMF2与△AF1F2的面积之比为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.
结合题意，可知＝2c，则＝，故tan∠MF2O＝，结合·＝0，可知∠F1AF2＝90°，故＝，设＝x，＝3x，所以2a＝3x＋x＝4x，4c2＝＋x2＝10x2，所以＝，所以＝＝.故选D.
【点评】1.涉及圆锥曲线上的点与焦点间的距离一般运用定义转化化简．
2．椭圆和双曲线的焦点三角形是描述椭圆的焦距、焦半径之间的相互制约关系的一个载体．由于其位置、边的特殊性决定了它易与同椭圆和双曲线的定义、长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩．
3．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，可以优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．
探究二 圆锥曲线标准方程
例2
(1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
【解析】选A.
圆C的方程可化为(x－3)2＋y2＝4，则圆心C(3，0)，半径r＝2，∴c＝3.又双曲线的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，∵两条渐近线均和圆C相切，∴＝2，
即3b＝2c＝6，b＝2，a2＝c2－b2＝5.∴所求双曲线方程为－＝1.故选A.
(2)已知圆x2＋y2－9x＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A、B两点，若△OAB(O为坐标原点)的垂心恰为抛物线的焦点，则抛物线的方程为____________．
【解析】y2＝4x
依题意，焦点F，设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)，
由得x＋(2p－9)x0＝0.①
因为OA⊥BF，所以kOA·kBF＝－1，得·＝－1，即＝－1，解得x0＝p.②
把②代入①，得p＝2.故所求抛物线方程为y2＝4x.
例3
过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知＝.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设动直线y＝kx＋m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q，若x轴上存在一定点M(1，0)，使得以PQ为直径的圆过点M，求椭圆的方程．
【解析】(1)∵A(－a，0)，设过A点的直线方程为y＝2(x＋a)，B(x1，y1)，
令x＝0，则y＝2a，∴C(0，2a)，∴＝(x1＋a，y1)，＝(－x1，2a－y1)，∵＝，
∴x1＋a＝(－x1)，y1＝(2a－y1)，
整理得x1＝－a，y1＝a，
∵B点在椭圆上，∴＋·＝1，
∴＝，∴＝，即1－e2＝，∴e＝.
(2)∵＝，可设b2＝3t，a2＝4t，
∴椭圆的方程为3x2＋4y2－12t＝0，
由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12t＝0，
∵动直线y＝kx＋m与椭圆有且只有一个公共点P，
∴Δ＝0，
即64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12t)＝0，整理得m2＝3t＋4k2t.
设P(x1，y1)，则有x1＝－＝－，y1＝kx1＋m＝，
∴P，又M(1，0)，Q(4，4k＋m)，
若x轴上存在一定点M(1，0)，使得PM⊥QM，
∴·＝0恒成立，整理得3＋4k2＝m2，
∴3＋4k2＝3t＋4k2t恒成立，故t＝1，所求椭圆方程为＋＝1.
【点评】求圆锥曲线的标准方程基本方法：(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程；(2)定义法和待定系数法适用于已知轨迹的曲线类型，其方程具有基本形式的情境．利用条件把待定系数求出来，使问题得解．
探究三 圆锥曲线几何性质及应用
例4
(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.
解法一：由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，P，∵PF1的中垂线过点F2，∴|F1F2|＝|F2P|，即2c＝，整理得y2＝3c2＋2a2－.∵y2≥0，∴3c2＋2a2－≥0，
即3e2－＋2≥0，解得e≥.∴e的取值范围是.
解法二：设直线x＝与x轴交于M点，则|F1F2|＝|F2P|≥|MF2|，即2c≥－c，整理得≤e2<1，≤e<1.∴椭圆离心率的取值范围是.故选D.
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．
【解析】2
如图，
由＝得F1A＝AB.又OF1＝OF2，得OA是三角形F1F2B的中位线，即BF2∥OA，BF2＝2OA.由·＝0，得F1B⊥F2B，OA⊥F1A，
则OB＝OF1，有∠AOB＝∠AOF1，又OA与OB都是渐近线，得∠BOF2＝∠AOF1，
又∠BOF2＋∠AOB＋∠AOF1＝π，得∠BOF2＝∠AOF1＝∠BOA＝60°.
又渐近线OB的斜率为＝tan
60°＝，所以该双曲线的离心率为e＝＝＝＝2.
【点评】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容，对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数．
2．要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a，c的齐次式，进而求解；要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征＋≥2c的运用；过焦点的弦被焦点所分成的线段成比例，一般可以寻找相似三角形，使用相似比．
例5
已知B是抛物线y＝x2＋1上任意一点，A(0，－1)，且点P为线段AB的中点．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)若F为点A关于原点O的对称点，过F的直线交曲线C于M、N两点，直线OM交直线y＝－1于点H，求证：|NF|＝|NH|.
【解析】(1)设P(x，y)，B(x0，y0)，∵P为AB中点，∴
∵B为曲线y＝x2＋1上任意一点．∴y0＝x＋1，代入得：x2＝4y.
∴点P的轨迹C的方程为：x2＝4y.
(2)依题意得F(0，1)，直线MN的斜率存在，其方程可设为：y＝kx＋1.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得：x2－4kx－4＝0，则Δ＝16k2＋16>0，
∴x1x2＝－4，∵直线OM的方程为y＝x，H是直线OM与直线y＝－1的交点．∴H，根据抛物线的定义，|NF|等于点N到准线y＝－1的距离．
∵H在准线y＝－1上，∴要证明|NF|＝|NH|，只需证明NH垂直准线y＝－1，
即证HN∥y轴，∵H的横坐标：－＝－＝＝＝x2，
∴HN∥y轴成立，∴|NF|＝|NH|成立．
【点评】对于几何关系的应用或判定证明问题，要能从几何特征的角度去分析引起图形变化的根本性原因，对几何对象的本质属性的把握越准确，代数化就越容易．
【p33】
1．圆锥曲线的定义是一个重要考点，在解答题中有广泛的应用，对圆锥曲线定义的理解注意以下几点：
①定义中对常数2a是有范围要求的，椭圆中要求2a>|F1F2|，而双曲线中则要求2a<|F1F2|.
②抛物线定义中，定点F不能在定直线l上．
③利用抛物线的定义解题是一种重要题型，其实质是通过抛物线的定义实现一种转化，即抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转化．
④用圆锥曲线的定义求轨迹方程是一种重要的方法．
2．圆锥曲线标准方程及应用
①求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定位，后定量”．所谓“定位”，是指确定类型，也就是确定焦点所在的坐标轴，从而设出相应的标准方程的形式；“定量”就是指利用待定系数法求出方程中的a2、b2、p的值，最后代入所设的椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．
②根据圆锥曲线的方程求基本量时，必须先把方程化为标准方程的形式再进行求解计算．
③椭圆的标准方程中a≠b，应特别注意这一条件，若a＝b，则方程表示圆．
3．椭圆和双曲线的离心率是反映椭圆的扁平程度和双曲线开放程度，求解圆锥曲线离心率是高考的热点．在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题设结合椭圆或双曲线的几何特征，建立关于参量c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．
4．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；
②在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.
5．几个重要结论
①设点P是椭圆上一点，F为焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.
②双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
③若P是双曲线右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
④以抛物线焦点为圆心，焦点弦为直径的圆必与准线相切．
6．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
①焦半径|AF|＝x1＋；
②弦长|AB|＝x1＋x2＋p；
③x1x2＝，y1y2＝－p2.
7．弦长公式
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|＝·
＝·|y1－y2|＝·.
【p34】
[2020·新高考卷Ⅰ]斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________．
【解析】
∵抛物线的方程为y2＝4x，∴抛物线的焦点坐标为F(1，0)，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为y＝(x－1)．
代入抛物线方程消去y并化简得3x2－10x＋3＝0，
解法一：解得x1＝，x2＝3，
所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝.
解法二：Δ＝100－36＝64>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
过A、B分别作准线x＝－1的垂线，设垂足分别为C、D，如图所示，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝.
故答案为.
【命题立意】本题主要考查抛物线的定义和焦点弦等基础知识，考查数学运算能力和转化化归和数形结合思想及运用，属容易题．
[2020·新高考卷Ⅰ](多选题)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
【解析】选ACD.
对于A，若m>n>0，则mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，
因为m>n>0，所以<，
即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若m＝n>0，则mx2＋ny2＝1可化为x2＋y2＝，
此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若mn<0，则mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，
此时曲线C表示双曲线，
由mx2＋ny2＝0可得y＝±x，故C正确；
对于D，若m＝0，n>0，则mx2＋ny2＝1可化为y2＝，
y＝±，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；
故选ACD.
【命题立意】本题主要考查曲线方程的特征及运用，考查常见曲线方程特征之间的识别能力，侧重考查数学运算的核心素养．
[2020·全国Ⅱ卷]已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点．若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．
【解析】(1)∵F(c，0)，AB⊥x轴且与椭圆C1相交于A、B两点，
则直线AB的方程为x＝c，
联立解得则|AB|＝，
抛物线C2的方程为y2＝4cx，联立
解得∴|CD|＝4c，
∵|CD|＝|AB|，即4c＝，2b2＝3ac，
即2c2＋3ac－2a2＝0，即2e2＋3e－2＝0，
∵0(2)由(1)知a＝2c，b＝c，椭圆C1的方程为＋＝1，
联立消去y并整理得3x2＋16cx－12c2＝0，
解得x＝c或x＝－6c(舍去)，
由抛物线的定义可得|MF|＝c＋c＝＝5，解得c＝3.
因此，曲线C1的标准方程为＋＝1，
曲线C2的标准方程为y2＝12x.
【命题立意】本题主要考查椭圆的离心率、抛物线的定义、抛物线和椭圆的标准方程等基础知识，考查数学运算能力和数形结合思想，属于中等题．(共89张PPT)
第12讲 圆锥曲线标准方程及几何性质
专题探究>。●。。。
典例剖析>●。·。
规律总结>●。。
高考
●●●●●
限时训练>●。。【p103】
A组 基础演练
1．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选C.
将方程mx2＋ny2＝1变形为＋＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上，必须满足＞0，＞0，且＞，所以m＞n＞0.故选C.
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝0
B.＋y2＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
【解析】选A.
若△AF1B的周长为4，由椭圆的定义可知4a＝4，∴a＝，
∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴方程为＋＝1，故选A.
3．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
【解析】选A.
∵＝，∴c＝a，根据双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝±2a，
S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝4，即|PF1|·|PF2|＝8，
∵F1P⊥F2P，∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，
∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，即a2－5a2＋4＝0，解得a＝1，故选：A.
4．设F1、F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右两焦点，P为双曲线上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
【解析】(1，3]
∵|PF1|＝2|PF2|，∴P点在双曲线的右支上．又由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.∵|PF1|＋|PF2|≥2c，
∴6a≥2c，即≤3.∵e＞1，∴1＜e≤3.故填(1，3]．
5．已知一动圆M与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，则动圆圆心的轨迹方程为____________．
【解析】＋＝1
两圆的方程可以分别化为C1：(x＋3)2＋y2＝4，C2：(x－3)2＋y2＝100，∴两圆的圆心分别为C1(－3，0)，C2(3，0)，半径分别为r1＝2，r2＝10.
设动圆的圆心为M(x，y)，半径为r，两切点为T1，T2.
由平面几何的知识知：＝r1＋r，＝r2－r，∴＋＝r1＋r2.
∴动圆圆心M到C1与C2的距离之和为定值．
由椭圆的定义知，动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点，以(r1＋r2)＝(2＋10)＝6为长半轴长的椭圆，其方程为＋＝1.
6．椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)与双曲线Ω：－＝1(m>0，n>0)焦点相同，F为左焦点，曲线Γ与Ω在第一象限、第三象限的交点分别为A，B，且∠AFB＝，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线方程是________．
【解析】x－y＝0或x＋y＝0
设双曲线的右焦点为F1，由题意点A与点B关于原点对称，因此|AF|＝|BF1|，又∠AFB＝，所以∠FAF1＝，
由椭圆与双曲线定义可得|AF|＋|AF1|＝2a，|AF|－|AF1|＝2m，
所以|AF|＝a＋m，|AF1|＝a－m，
根据余弦定理可得|FF1|2＝|AF|2＋|AF1|2－2|AF||AF1|cos∠F1AF，
即4c2＝(a＋m)2＋(a－m)2－2(a＋m)(a－m)cos
，
化简得4c2＝3m2＋a2≥2＝2ma，
所以离心率乘积为·＝≥，当且仅当3m2＝a2①时，取等号，
由a2－b2＝m2＋n2，所以4c2－3m2－b2＝m2＋n2，所以b2＝3n2②，
再将①②代入a2－b2＝m2＋n2可得m2＝2n2，
所以双曲线的渐近线方程为x－y＝0或x＋y＝0.
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且PF2垂直于x轴，连接PF1，并延长交椭圆于另一点Q，设＝λ.
(1)若点P的坐标为，求椭圆C的方程；
(2)若3≤λ≤4，求椭圆C的离心率的取值范围．
【解析】(1)∵PF2垂直于x轴，且点P的坐标为，
∴a2－b2＝c2＝1，＋＝1，解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)∵PF2⊥x轴，不妨设P在x轴上方，P，y0>0.设Q，
∵P在椭圆上，∴＋＝1，解得y0＝，即P.
方法一：∵F1，由＝λ，
得x1－c＝λ，y1－＝λy1，
解得x1＝－c，y1＝－，
∴Q.
∵点Q在椭圆上，∴e2＋＝1，即e2＋＝，
∴(λ＋2)e2＝λ－2，从而e2＝＝1－.∵3≤λ≤4，∴≤e2≤.解得≤e≤，
∴椭圆C的离心率的取值范围是.
方法二：∵F1，
∴直线PF1的方程为y＝(x＋c)．
由
得x2＋2b2cx＋c2＝0.
∵直线PF1与椭圆有一个交点为P，
∴x1＋c＝－，
∵＝λ，∴λ＝＝1－＝1＋2c×＝－2＋，
∵3≤λ≤4，∴≤e2≤，解得≤e≤，
∴椭圆C的离心率的取值范围是.
8．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M，N两点，问是否存在直线l，使得F为△BMN的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【解析】(1)由已知可得：解得a2＝2，b2＝1，c＝1，
所以椭圆C：＋y2＝1.
(2)由已知可得，B(0，1)，F(1，0)，∴kBF＝－1，∵BF⊥l，
设直线l的方程为：y＝x＋m，代入椭圆方程整理得
3x2＋4mx＋2m2－2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝，
∵BN⊥MF，∴·＝－1.即y1y2＋x1x2－y1－x2＝0，
因为y1＝x1＋m，y2＝x2＋m，(x1＋m)(x2＋m)＋x1x2－(x1＋m)－x2＝0，
即2x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＋m2－m＝0.得2·＋(m－1)·＋m2－m＝0.
所以3m2＋m－4＝0，m＝－或m＝1.
又m＝1时，直线l过B点，不合要求，所以m＝－.
故存在直线l：y＝x－满足题设条件．
B组 能力提升
9．(多选题)设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点为F1、F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A.＋＝2
B．离心率e＝
C．△PF1F2面积的最大值为
D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切
【解析】选AD.
根据椭圆的定义判断A选项正确性，根据椭圆离心率判断B选项正确性，求得△PF1F2面积的最大值来判断C选项的正确性，求得圆心到直线x＋y－＝0的距离，与半径c比较，由此判断D选项的正确性．
对于A选项，由椭圆的定义可知＋＝2a＝2，所以A选项正确．
对于B选项，依题意a＝，b＝1，c＝1，所以e＝＝＝，所以B选项不正确．
对于C选项，＝2c＝2，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值为·2c·b＝c·b＝1，所以C选项错误．
对于D选项，以线段F1F2为直径的圆圆心为，半径为c＝1，圆心到直线x＋y－＝0的距离为＝1，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切，所以D选项正确．
综上所述，正确的为AD.故选：AD.
10．(多选题)如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是( )
A．a1＋c1>2
B．a1－c1＝a2－c2
C．e1＝
D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
【解析】选ABC.
由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得2a2＝a1，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得a2＋c2＝c1；所以a1＋c1＝2a2＋a2＋c2，且a2>c2，
则a1＋c1＝2a2＋a2＋c2>2(a2＋c2)，所以A正确；
因为a1－c1＝2a2－(a2＋c2)＝a2－c2，所以B正确；
因为e1＝＝＝，所以C正确；因为e1－e2＝－＝＝>0，即e1>e2，则椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁，所以D错误，故选ABC.
11．(多选题)已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知抛物线上一点A(m，3)(其中m>0)到焦点F的距离为5，则抛物线的方程可能是( )
A．x2＝8y
B．x2＝－8y
C．y2＝2x
D．y2＝18x
【解析】选ACD.
∵抛物线过点A(m，3)(其中m>0)，∴抛物线的开口向上或向右．
①当抛物线开口向上时，设抛物线的方程为x2＝2py(p＞0)，准线方程为y＝－，
由抛物线的定义得＋3＝5，解得p＝4，抛物线的方程为x2＝8y.
②当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为y2＝2ax(a>0)，准线方程为x＝－.
由题意可得解得或(舍)或或(舍)
∴当m＝时，抛物线的方程为y2＝2x；当m＝时，抛物线的方程为y2＝18x.
故选ACD.
12．(多选题)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与双曲线左、右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过F2，且·＝2，则以下结论正确的是( )
A．∠F1MF2＝120°
B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
D.
直线l的斜率为1
【解析】选BC.
如图，作F2D⊥MN于D，则
·＝·cos∠F2MN＝＝2＝，
所以＝，所以D是MN中点，从而＝，
根据双曲线定义－＝2a，－＝2a，所以－＋－＝＝4a，
又以MN为直径的圆过F2，所以MF2⊥NF2，∠MNF2＝∠NMF2＝45°，
于是∠F1MF2＝135°，A错；
又得＝＝2a，＝(2＋2)a，
由余弦定理得＝＋－2cos
45°，
即4c2＝(2a)2＋(2＋2)2a2－2×2a×(2＋2)a×，化简得＝3，
所以e＝＝，B正确；
由＝＝3得＝2，即＝，所以渐近线方程为y＝±x，C正确；
易知∠NF1F2<∠NMF2＝45°，所以kMN＝tan∠NF1F2<1，D错．
故选：BC.
13．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且经过点A.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，若椭圆上存在点P，使得四边形OMPN为平行四边形(其中O是坐标原点)，求平行四边形OMPN的面积．
【解析】(1)由题意可知椭圆的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，
又椭圆C经过点A，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，
即＋＝2a，
所以2a＝＋＝4，即a＝2，
又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，由消去y得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(xP，yP)，
则有Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，即4k2＋1>m2，
又x1＋x2＝，x1x2＝.
因为四边形OMPN为平行四边形，所以＝＋，故xP＝x1＋x2＝，
yP＝y1＋y2＝(kx1＋m)＋(kx2＋m)＝k·＋2m＝，所以P，
由点P在椭圆上可得＋＝1，化简得4m2＝4k2＋1.
而(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×＝.
又因为4m2＝4k2＋1，所以(x1－x2)2＝＝，所以|x1－x2|＝，
所以|MN|＝·|x1－x2|＝·.又点O到直线l的距离d＝，
故△OMN的面积S△OMN＝|MN|·d＝··＝.
所以平行四边形OMPN的面积为S＝2×＝.
14．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，A为椭圆C上一点，AF1与y轴相交于B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点为A1、A2，过A1、A2分别作x轴的垂线l1、l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m(k≠0)与l1、l2交于M、N两点，求证：∠MF1N＝∠MF2N.
【解析】(1)连接AF2，由题意得|AB|＝|F2B|＝|F1B|，
所以BO为△F1AF2的中位线，
又因为BO⊥F1F2，所以AF2⊥F1F2，且|AF2|＝2|BO|＝＝，
又e＝＝，a2＝b2＋c2，得a2＝9，b2＝8，
故所求椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由题可知，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3.
直线l与直线l1、l2联立得M(－3，－3k＋m)、N(3，3k＋m)，
所以＝(－2，－3k＋m)，＝(4，3k＋m)，所以·＝－8＋m2－9k2.
联立得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0.
因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)·(9m2－72)＝0，
化简得m2＝9k2＋8.所以·＝－8＋m2－9k2＝0，
所以⊥，故∠MF1N为定值.
同理＝(－4，－3k＋m)，＝(2，3k＋m)，所以⊥，∠MF2N＝.
故∠MF1N＝∠MF2N.
15．如图，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过抛物线C2：x2＝4by焦点F的直线交抛物线于M，N两点，当|MF|＝时，M点在x轴上的射影为F1，连接NO，MO，并延长分别交C1于A，B两点，连接AB，△OMN与△OAB的面积分别记为S△OMN，S△OAB，设λ＝.
(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；
(2)求λ的取值范围．
【解析】(1)由抛物线定义可得M，
∵点M在抛物线x2＝4by上，∴c2＝4b，即c2＝7b－4b2， ①
又由＝，得c2＝3b2.将上式代入①，得7b2＝7b，解得b＝1，
∴c＝，∴a＝2，
所以曲线C1的方程为＋y2＝1，曲线C2的方程为x2＝4y.
(2)设M(x1，y1)，N.直线MN的方程为y＝kx＋1，
由消去y整理得x2－4kx－4＝0，则x1x2＝－4.
设kON＝m，kOM＝m′，则mm′＝·＝x1x2＝－，所以m′＝－， ②
设直线ON的方程为y＝mx(m>0)，
由解得xN＝4m，
所以＝＝4m，
由②可知，用－代替m，
可得＝＝·，
由解得xA＝，
所以＝＝，
用－代替m，
可得＝＝，
所以λ＝＝
＝
＝·＝＝2m＋≥2，当且仅当m＝1时等号成立．所以λ的取值范围为.
