第14讲 圆锥曲线的最值问题和参变量问题
【p38】
【命题趋势】
解析几何解答题的一般命题模式是先根据已知的关系确定一个曲线的方程，然后再结合直线方程与所求曲线方程把问题引向深入，其中的热点问题有：参变量范围、最值、直线或曲线过定点、某几何量为定值等．有关圆锥曲线的最值问题和参变量范围问题是高考命题的常见题型和基本问题，主要考查转化化归能力、推理论证能力、运算求解能力，充分体现了数形结合思想、函数与方程思想．可以预测2021年高考的命题，有关解析几何的综合性问题仍将是圆锥曲线的标准方程问题、定点与定值问题、最值问题、参变量范围问题、探究性问题和恒等证明问题中的两个的组合构建而成．
【p38】
1．强化直线与圆锥曲线位置关系的转化化归和函数方程思想培养，提升恰当运用一元二次方程的基础知识进行合理数学运算的能力．
2．强化数形结合思想和创新意识(构造函数)的运用意识，固化方程思想和数形结合思想运用的方法与技巧．
【p38】
探究一 最值问题和参变量范围问题的
客观题及解法
例1
(1)已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，F是抛物线的焦点，则|PQ|＋|PF|的最小值为( )
A．3
B．4
C．5
D.＋1
【解析】选A.
由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1，0)，过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PF|的最小值等于|MH|－1＝3.
(2)已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A、B，点P为椭圆C上不同于A、B两点的动点，若直线PA斜率的取值范围是[1，2]，则直线PB斜率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.
设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A(－a，0)，B(a，0)，
P(x0，y0)为椭圆上不同于A，B的任意一点，则kPA＝，kPB＝，
∴kPA·kPB＝，由P在椭圆上，
得＋＝1，
则＝－.
由椭圆C：＋＝1，
得kPA·kPB＝－＝－，
∵kPA∈[1，2]，∴kPB＝－∈.
(3)已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋3)2＝1，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则a的取值范围是________．
【解析】[0，3]
由题意易得∠APO＝∠APB＝30°，
|OP|＝＝＝2，
∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上，∴此圆与圆M有公共点，
∴2－1≤|OM|≤2＋1，即1≤|OM|2≤9.
∵|OM|2＝a2＋(a－3)2＝2a2－6a＋9，∴1≤2a2－6a＋9≤9，即解得0≤a≤3，∴a的取值范围是[0，3]．
(4)已知A，B，P为双曲线x2－＝1上不同三点，且满足＋＝2(O为坐标原点)，直线PA，PB的斜率记为m，n，则m2＋的最小值为__________．
【解析】4
由＋＝2得点O为线段AB的中点，
设A(x1，y1)，P(x2，y2)，则B(－x1，－y1)，∴直线PA的斜率m＝，直线PB的斜率n＝，
故mn＝＝.由于点A，P在双曲线上，
∴x－＝1，x－＝1，
即x＝1＋，x＝1＋.
代入上式中，有mn＝＝4，
∴m2＋≥2＝mn＝4，
当且仅当m2＝，即n＝2m时取等号，故m2＋的最小值为4.
【点评】求解有关最值问题和参变量范围问题的客观题时，既要充分利用几何条件转化化归，又要恰当运用函数、方程与不等式等基础知识运算推导．同时注重先猜后证等技巧的运用．
探究二 圆锥曲线中的最值问题
例2
如图，过抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(1，2)，作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时：
(1)求y1＋y2的值；
(2)若直线AB在y轴上的截距b∈[－1，3]时，求△ABP面积S△ABP的最大值．
【解析】(1)由抛物线y2＝2px(p>0)过点P(1，2)，得p＝2,
设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，
由PA，PB倾斜角互补可知kPA＝－kPB，即＝－，
由y＝4x1，y＝4x2，代入得y1＋y2＝－4.
(2)设直线AB的斜率为kAB，由y＝4x1，y＝4x2，得kAB＝＝(x1≠x2)，
由(1)得y1＋y2＝－4，将其代入上式得kAB＝＝－1.
因此设直线AB的方程为y＝－x＋b，由消去y得x2－(2b＋4)x＋b2＝0，
由Δ＝(2b＋4)2－4b2>0，得b>－1，这时x1＋x2＝2b＋4，x1x2＝b2,
＝·＝4，又点P到直线AB的距离为d＝，
所以S△ABP＝··d＝·4·＝2，
令f(x)＝(x＋1)(3－x)2(x∈[－1，3])，则由f′(x)＝3x2－10x＋3＝0，得x＝或x＝3，
当x∈时，f′(x)>0，所以f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，所以f(x)单调递减．
故f(x)的最大值为f＝，故△ABP面积S△ABP的最大值为2＝.
【点评】本题是一道涉及三角形面积的最值问题，求解的关键是依题设条件建立目标函数，应用导数求得目标函数的最值，对数学运算的能力要求较高．
例3
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F1、F2为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且|PF1|＝.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线l：x＝－2，过点F2的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l、直线AB于M、N两点，当∠MAN最小时，求直线AB的方程．
【解析】(1)设椭圆的左焦点F1(－c，0)(c>0)，则＝＝，
解得c＝1，所以|PF2|＝，则由椭圆定义＋＝2a＝2，∴a＝，b＝1.
故椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)由题意直线AB的斜率必定不为零，于是可设直线AB：x＝ty＋1，
联立方程得y2＋2ty－1＝0，
∵直线AB交椭圆于A，B，
∴Δ＝4t2＋4＝8>0.
由韦达定理y1＋y2＝，y1y2＝－，
则yN＝－，∴xN＝tyN＋1＝－＋1＝.
∵MN⊥AB，∴kMN＝－t，∴|MN|＝·＝·.
又|AN|＝|AB|＝·＝·，
∴tan∠MAN＝＝＝≥·2＝4，
当且仅当＝，即t＝±1时取等号.
此时直线AB的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
【点评】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何的相关性质等进行分析求解．二是运用代数方法，即将要求最值的几何量通过恰当引入参数表示为该参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
探究三 圆锥曲线中的参变量范围问题
例4
设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足F1为线段BF2的中点，且AB⊥AF2.
(1)若过A、B、F2三点的圆与直线l：x－y－3＝0相切，求椭圆C的方程；
(2)在(1)的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线与椭圆C交于M，N两点，在x轴上存在点P(m，0)使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，求出m的取值范围．
【解析】(1)∵AB⊥AF2，F1为BF2的中点，
∴＝，即＝2c.
∵a2＝b2＋c2，∴a＝2c,
又过A、B、F2三点的圆的圆心为F1(－c，0)，半径r＝＝2c.
∵直线l：x－y－3＝0与圆F1相切，∴＝2c，
解得c＝1.∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)知，F2(1，0)，直线MN的方程为
y＝k(x－1)(k≠0)，
由消去y整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
∴Δ＝64k4－4(3＋4k2)(4k2－12)＝144(k2＋1)＞0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，
∴y1＋y2＝k(x1－1)＋k(x2－1)＝k(x1＋x2－2)＝，
∴MN的中点Q的坐标为，
若以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，则MN⊥PQ，
∴kPQ·k＝·k＝－1，整理得m＝＝，∵k2＞0，
∴＋4＞4，∴0＜＜.∴0＜m＜.
故存在满足题意的点P，且m的取值范围是.
【点评】求解参变量取值范围问题的常用方法之一为构造函数法：根据题设条件，建立关于待求范围的量与某参变量的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围．
例5
如图，已知P为抛物线y2＝4x上在x轴下方的一点，直线PA，PB，PC与抛物线在第一象限的交点从左到右依次为A，B，C，与x轴的正半轴分别相交于点L，M，N，且＝＝t(0＜t＜2)，直线PB的方程为2x－y－4＝0.
(1)当t≠1时，设直线PA，PC的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2＝k1k2；
(2)求关于t的表达式，并求出的取值范围．
【解析】(1)由
解得x＝1或x＝4，则P(1，－2)．
易知M(2，0)，由题意可得L(2－t，0)，N(2＋t，0)(0＜t＜2且t≠1)，
所以k1＝，k2＝，所以k1＋k2＝＋＝，k1k2＝×＝，
所以k1＋k2＝k1k2.
(2)由(1)得，当t≠1时，直线PA的方程为2x＋(t－1)y＋2t－4＝0，
当t＝1时，直线PA的方程为x＝1，适合上式，
所以直线PA的方程为2x＋(t－1)y＋2t－4＝0.
由消去x得y2＋(2t－2)y＋4t－8＝0，
所以－2＋yA＝2－2t，解得yA＝4－2t，所以点A的坐标为((2－t)2，4－2t)．
由(1)得，直线PC的方程为2x－(t＋1)y－2t－4＝0，
由消去x得y2－(2t＋2)y－4t－8＝0，
所以－2＋yC＝2＋2t，解得yC＝4＋2t，所以点C的坐标为((2＋t)2，4＋2t)．
则点A到直线PB的距离为d1＝＝，
点C到直线PB的距离为d2＝＝，
所以＝＝＝＝(0＜t＜2)．
因为0＜t＜2，所以3＜3＋t＜5，所以＜＝－1＜1，
所以的取值范围是.
【点评】求解有关变量的取值范围问题的常用方法之二是构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围．
【p39】
1．圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
2．求曲线方程中参数的取值范围问题，关键是根据题设条件及曲线的几何性质(曲线的范围、对称性、位置关系等)构造参数满足的不等式，通过解不等式(组)求得参数的取值范围，或建立关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．
【p40】
考题1
[2020·全国卷Ⅱ]设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若?ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A．4
B．8
C．16
D．32
【解析】选B.
∵C：－＝1(a＞0，b＞0)，∴双曲线的渐近线方程是y＝±x.
∵直线x＝a与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于D，E两点，
不妨设D在第一象限，E在第四象限．
联立解得故D(a，b)，联立解得故E(a，－b)．
∴＝2b，
∴?ODE面积为：S?ODE＝a×2b＝ab＝8.
∵双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，
∴其焦距为2c＝2≥2＝2＝8.
当且仅当a＝b＝2取等号．
∴C的焦距的最小值为8.
【命题立意】本题主要考查双曲线的渐近线、焦距和均值不等式等知识，考查数学运算能力，属于中档题．
考题2
[2019·全国卷Ⅱ]已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
(Ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；
(Ⅱ)求△PQG面积的最大值．
【解析】(1)由题设得·＝－，化简得＋＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．
(2)(Ⅰ)设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0)．
由得x＝±.
记u＝，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u，0)．
于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u)．
由得
(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0. ①
设G(xG，yG)，则－u和xG是方程①的解，
故xG＝，由此得yG＝.
从而直线PG的斜率为＝－.
所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得|PQ|＝2u，|PG|＝，
所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝
＝.
设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．
因为S＝在[2，＋∞)单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为.因此，△PQG面积的最大值为.
【命题立意】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了利用导数求函数最大值问题．
考题3
[2020·新高考卷Ⅱ]已知椭圆C：＋＝1，过点M(2，3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为.
(1)求C的方程；
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．
【解析】(1)由题意可知直线AM的方程为：
y－3＝(x－2)，即x－2y＝－4.
当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4，
椭圆C：＋＝1过点M(2，3)，
可得＋＝1，解得b2＝12.
所以C的方程：＋＝1.
(2)设与直线AM平行的直线方程为：x－2y＝m，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．
联立直线方程x－2y＝m与椭圆方程＋＝1，可得：
3(m＋2y)2＋4y2＝48，
化简可得：16y2＋12my＋3m2－48＝0，
所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，即m2＝64，解得m＝±8，
与AM距离比较远的直线方程：x－2y＝8，直线AM方程为：x－2y＝－4，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得：d＝＝，
由两点之间距离公式可得|AM|＝＝3.
所以△AMN面积的最大值：×3×＝18.
【命题立意】本题主要考查椭圆的标准方程和最值问题，考查数学运算能力，考查函数方程思想、转化化归思想和数形结合思想，属难题．【p109】
A组 基础演练
1．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为( )
A．6
B．2＋4
C．2
D．4＋2
【解析】选C.
易知抛物线的准线方程为x＝2，由抛物线的定义知2－xA＝＝4，得xA＝－2，则点A的坐标为(－2，±4)．作原点O关于准线x＝2的对称点B(4，0)，
则＋＝＋≥＝2(当且仅当点P在线段AB上时取等号)．
2．设F1、F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右两焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞)
B．(1，)
C．(－1，＋1)
D．(1，1＋)
【解析】选D.
由方程组得A，B，
∴|AF1|＝.易知|F1F2|＝2c.
∵△ABF2为锐角三角形，∴∠F1F2A＜45°，|AF1|＜|F1F2|，即＜2c，有b2＝c2－a2<2ac，
整理得e2－2e－1＜0(e＞1)，解得1＜e＜1＋.
3．已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值为( )
A．1
B.
C.
D.
【解析】选C.
由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，∴a＝2，∵过F1的直线交椭圆于A，B两点，∴|BF2|＋|AF2|＋|BF1|＋|AF1|＝2a＋2a＝4a＝8，
∴|BF2|＋|AF2|＝8－|AB|.
当AB垂直x轴时，|AB|最小，|BF2|＋|AF2|值最大，此时|AB|＝＝b2，
∴5＝8－b2，解得b＝.
4．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.
由题意知点P在第一象限，设P点横坐标为x，则其纵坐标y＝·，由PA2的斜率知－2≤≤－1，∵2－x>0，2＋x>0，∴上式可化为1≤·≤2，即≤≤.∴PA1的斜率k＝＝·∈.
5．点P为椭圆C：＋＝1(a>1)上的任意一点，AB为圆M：(x－1)2＋y2＝1的任意一条直径，若·的最大值为15，则a＝________．
【解析】3
·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝||2－||2＝||2－1，
又点M为椭圆C的右焦点，∴||2－1≤(a＋c)2－1＝15，∴a＋c＝4，又c＝1，∴a＝3.
6．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2＋(y＋)2＝1上一点，则|MN|＋|MF2|的最小值为________．
【解析】9
由题意可得2a＝6，即a＝3，渐近线方程为y＝±x，即有＝，即b＝1，可得双曲线方程为－y2＝1，焦点为F1(－，0)，F2(，0)，
由双曲线的定义可得|MF2|＝2a＋|MF1|＝6＋|MF1|，
由圆E：x2＋(y＋)2＝1可得E(0，－)，半径r＝1，
|MN|＋|MF2|＝6＋|MN|＋|MF1|，
连接EF1，交双曲线于M，交圆E于N，可得|MN|＋|MF1|取得最小值，且|EF1|＝＝4，
则|MN|＋|MF2|的最小值为6＋4－1＝9.
7．已知抛物线C的顶点为O(0，0)，焦点F为(0，1)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点，若直线AO、BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．
【解析】(1)由已知可设抛物线的方程为：x2＝2py(p>0)，则＝1?p＝2，
所以抛物线C的方程是x2＝4y.
(2)设A，B，所以kAO＝，kBO＝，所以直线AO的方程是：y＝x，
由∴xM＝，同理由
∴xN＝.
所以|MN|＝|xM－xN|＝＝8，①
设AB：y＝kx＋1，由∴x2－4kx－4＝0，∴
且|x1－x2|＝＝4，代入①得到：|MN|＝8·＝8·，
设4k－3＝t，t≠0，则k＝，
①当t>0时，|MN|＝8＝
2>2；
②当t<0时，|MN|＝8＝
2＝2≥
2×＝，
当t＝－时，|MN|取得最小值，此时，k＝－；
综上所述，|MN|的最小值是.
8．如图，已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设不过原点O的直线l与椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．
【解析】(1)由题意可设椭圆方程为＋＝1，则
故所以，椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0.
故可设直线l的方程为y＝kx＋m，P，Q.
由消去y得
x2＋8kmx＋4＝0，
则Δ＝64k2m2－16＝
16>0，且x1＋x2＝，
x1x2＝，
故y1y2＝＝k2x1x2＋km＋m2.
因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，·＝＝k2，
即km·＋m2＝0，又m≠0，所以k2＝，即k＝±.
由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ>0，得0设d为O到直线l的距离，d＝，
＝
＝
＝.
则S△OPQ＝d|PQ|＝≤＝1.
等号成立的条件为m2＝1，因为m2≠1，所以△OPQ面积的取值范围为(0，1)．
B组 能力提升
9．(多选题)已知点F是抛物线y2＝2px的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，AB的斜率为k，且k>0，C，A两点在x轴上方．则下列结论中一定成立的是( )
A.＋＝
B．若·＝p2，则k＝
C.·＝·
D.
四边形ACBD面积的最小值为16p2
【解析】选AC.
因为AB的斜率为k，AB⊥CD，所以kCD＝－，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程为y＝k，
由可得，k2x2－p(k2＋2)x＋k2p2＝0，
所以＝x1＋x2＋p＝＋p＝，
同理可得＝＝2p(1＋k2)，则有＋＝，所以A正确；
·＝x1x2＋y1y2＝p2＋k2
＝p2＋k2＝p2＋k2p2－＝－p2与k无关，同理·＝－p2，故·＝·，C正确；
若·＝p2，由＝x1x2＋(x1＋x2)＋p2得
p2＋＝p2＋＝p2，解得k＝，故B错；
因为AB⊥CD，所以四边形ACBD面积SACBD＝·＝··2p(1＋k2)＝＝2p2≥8p2，当且仅当k2＝，即k＝1时，等号成立，故D错．故选AC.
10．(多选题)已知过抛物线C：y2＝4x焦点F的直线与C交于P，Q两点，交圆x2＋y2－2x＝0于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则＋的值可以是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】选BCD.
如图，设＝m，＝n，由焦点弦的性质有＋＝＝1，即有mn＝m＋n，
又＝m－1，＝n－1，＋＝＋＝＝4m＋n－5，
(4m＋n)＝5＋＋≥9，当n＝2m时取等号，所以＋≥4，不可能等于3.
11．(多选题)过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则( )
A．以线段AB为直径的圆与直线x＝－相离
B．以线段BM为直径的圆与y轴相切
C．当＝2时，|AB|＝
D．|AB|的最小值为4
【解析】选ACD.
对于选项A，点M到准线x＝－1的距离为＝|AB|，于是以线段AB为直径的圆一定与直线x＝－1相切，进而一定与直线x＝－相离；
对于选项B，显然AB中点的横坐标与|BM|不一定相等，因此命题错误．
对于选项C，D，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB方程为x＝my＋1，联立直线与抛物线方程可得y2－4my－4＝0，y1y2＝－4，x1x2＝1，
若设A(4a2，4a)，则B，于是|AB|＝x1＋x2＋p＝4a2＋＋2，|AB|最小值为4；
当＝2可得y1＝－2y2，4a＝－2，所以a2＝，|AB|＝.
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点M(2，1)在抛物线C：x2＝ay上，直线l：y＝kx＋b(b≠0)与抛物线C交于A，B两点，且直线OA，OB的斜率之和为－1.
(1)求a和k的值；
(2)若b＞1，设直线l与y轴交于D点，延长MD与抛物线C交于点N，抛物线C在点N处的切线为n，记直线n，l与x轴围成的三角形面积为S，求S的最小值．
【解析】(1)将点M(2，1)代入抛物线C：x2＝ay，得a＝4，
得x2－4kx－4b＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
解法一：kOA＋kOB＝＋＝＋＝(x1＋x2)，
由已知得(x1＋x2)＝－1，所以＝－1，k＝－1.
解法二：kOA＋kOB＝＋＝2k＋＝2k＋＝k，
由已知得k＝－1.
(2)在直线l的方程y＝－x＋b中，令x＝0得D(0，b)，kDM＝，
直线DM的方程为：y－1＝(x－2)，
即y＝＋b，
由得x2－2(1－b)x－4b＝0，
解得：x＝2，或x＝－2b，所以N(－2b，b2)，
由x2＝4y，得y＝x2，y′＝x，切线n的斜率k＝(－2b)＝－b，
切线n的方程为：y－b2＝－b(x＋2b)，即y＝－bx－b2，
由得直线l、n交点Q的纵坐标yQ＝，
在直线y＝－x＋b，y＝－bx－b2中，分别令y＝0，得到与x轴的交点R(b，0)，E(－b，0)，
所以S＝|RE|yQ＝(b＋b)＝，S′＝，b∈(1，＋∞)，
当b∈时，函数单调递减；当b∈时，函数单调递增；
∴当b＝时，S最小值为.
13．已知F，Q是圆K：x2－2x＋y2－15＝0上的任意一点，线段FQ的垂直平分线交QK于点P.
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)过F作E的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，O为坐标原点，直线OM与E交于点C、D，求四边形ACBD面积的取值范围．
【解析】(1)由题意可知＋＝＋＝4>2＝，所以动点P的轨迹是以F、K为焦点且长轴长为4的椭圆．因此E的方程为＋＝1.
(2)由题意可设AB的方程为x＝ky－1，代入3x2＋4y2－12＝0，得y2－6ky－9＝0，
设A，B，则y1＋y2＝，y1y2＝－.
所以M，OM的斜率为－.
直线OM的方程为y＝－x，代入3x2＋4y2－12＝0，解得x2＝，
所以＝2＝2，
设点A，B到OM的距离分别为d1，d2，则d1＝，d2＝.
SACBD＝
＝
＝＝＝
＝＝＝12＝4.
所以，6≤S<4.(当且仅当k＝0等号成立)
14．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)短轴长为单位圆C2：x2＋y2＝1的直径，且椭圆C1的离心率为.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)如图所示，过椭圆C1的上顶点B1作直线分别与单位圆C2和椭圆C1交于A，B两点(A，B两点均在y轴的右侧)，设B2为椭圆C1的下顶点，求∠AB2B的最大值．
【解析】(1)由题意知b＝1，又e＝＝＝，解得a2＝3，
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)得B1(0，1)，B2(0，－1)，设过椭圆的上顶点B1的直线方程为y＝kx＋1，由于B1B2为圆的直径，所以直线B2A的斜率k1＝－.
把y＝kx＋1代入C1得B，由题意易知k<0，
且直线B2B的斜率为k2＝＝－，所以k1，k2>0，且k1＝3k2.
又△B2AB是直角三角形，所以∠AB2B必为锐角．
因为与的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，
所以a·b＝(1，k1)·(1，k2)＝1＋3k，
又a·b＝·cos∠AB2B，
从而cos∠AB2B＝
＝＝≥，
当且仅当k2＝时，cos∠AB2B取得最小值，
由∠AB2B为锐角得∠AB2B的最大值为.
15．已知F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足＝.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点F2作不与x轴重合的直线l，设l与圆x2＋y2＝a2＋b2相交于A，B两点，与椭圆E相交于C，D两点，当·＝λ且λ∈时，求△F1CD的面积S的取值范围．
【解析】(1)∵PM＝MF2，则M为线段PF2的中点，
∴OM是△PF1F2的中位线，又OM⊥F1F2，∴PF1⊥F1F2，于是有c＝1，且＋＝1，解得a2＝2，b2＝c2＝1，
∴椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－1，0)，F2(1，0)，由题意，设直线l的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(t2＋1)y2＋2ty－2＝0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－.
·＝(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝(ty1＋2)(ty2＋2)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋2t(y1＋y2)＋4＝－2－＋4＝.
∵·∈，∴≤≤1，解得t2∈.
由消去x得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，
则S△F1CD＝|F1F2|·|y3－y4|＝＝＝.
设t2＋1＝m，则S＝＝，其中m∈，
∵S关于m在上为减函数，∴S∈，
即△F1CD的面积S的取值范围为.(共129张PPT)
第14讲 圆锥曲线的最值问题和参变量问题
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