第1讲
集合的概念与运算
考点1
集合的表示：
例1.若集合，则集合中的元素个数为（
）
A．5
B．6
C．4
D．3
【答案】D
【解析】由已知，得；；满足题意，
所以，集合中有三个元素.故选:D.
【点睛】本题考查了列举法表示集合，注意该集合是点集.
【跟踪演练】1.已知集合，则集合中元素的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】集合B中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4个．故选D．
【点睛】本题考查了列举法表示集合，注意该集合是点集.
考点2
元素的特征：
例2.已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】根据题意，分4种情况讨论：
①当全部为负数时，则也为负数，则；
②当中只有一个负数时，则为负数，则；
③当中有两个负数时，则为正数，则；
④当全部为正数时，则也为正数，则.
则.分析选项可得CD符合.故选：CD.
【点睛】本题考查了对含有绝对值符号的式子的化简，考查了集合元素的特点，考查分类讨论思想，属于基础题.
【跟踪演练】2.已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，且1∈A，则2
021a的值为_________．
【答案】1
【解析】对集合A中的元素分情况讨论，当a＋2＝1时，a＝－1，此时有(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1，不满足集合中元素的互异性；当(a＋1)2＝1时，a＝0或a＝－2，当a＝－2，则a2＋3a＋3＝1，舍去，经验证a＝0时满足；当a2＋3a＋3＝1时，a＝－1或a＝－2，由上知均不满足，故a＝0，则2
021a＝1．
【点睛】本题考查了元素与集合的关系,考查了分类讨论思想.
考点3
集合的关系：
例3.(1)已知集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】∵M＝{x|﹣1≤x≤6}，N＝{y|0＜y≤6}，
∴N?M．故选：B．
【点睛】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的值域和单调性，考查了计算能力，属于基础题．
(2)集合的非空真子集的个数为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【解析】画出函数和的图象，如图：
根据图象知集合有3个元素，
故集合的非空真子集的个数为.故选:C.
【点睛】本题考查了真子集个数，方程的解，画出函数图象是解题的关键.
【跟踪演练】3.
(1)设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（
）
A．2
B．3
C．4
D．8
【答案】D
【解析】,
因为，所以，因此，对应实数的值为，其组成的集合的子集个数有，故选:D.
【点睛】本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力.
(2)已知集合A＝{x|x2－2019x＋2
018<0}，B＝{x|log2xA?B，则整数m的最小值是(
)
A．9
B．
10
C．11
D．12
【答案】C
【解析】由x2－2
019x＋2
018<0，解得1018，故A＝{x|1018}．
由log2x018，因为210＝1
024,211＝2
048，所以整数m的最小值为11,故选:C.
【点睛】本题考查利用集合包含关系求参数取值,考查基本分析求解能力.
考点4
集合的运算：
例4.(1)【2020年高考全国I卷理数2】设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（
）
A．–4
B．–2
C．2
D．4
【答案】B
【解析】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：．由于，故：，解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、含参数的一元一次不等式的解法，考查利用集合的交集运算求参数的值，考查数形结合思想，考查数学运算及直观想象等学科素养．解题关键是正确求解一元二次不等式，应用数形结合法求参数的值．
(2)已知函数的定义域为集合M，函数的值域为N，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，所以，又，故.
故选:C.
【点睛】本题考查了对数函数、正弦函数的值域以及交集的运算，考查运算能力，属于基础题.
【跟踪演练】4.
(1)已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解不等式得，所以；
解不等式得，所以，所以.故选：C.
【点睛】本题考查了一元一次不等式、一元二次不等式的解法以及并集的运算，考查运算能力，属于基础题.
(2)已知集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】，所以，所以．故选：A．
【点睛】本题考查了对数不等式的解法以及交集的运算，考查运算能力，属于基础题.
【仿真练习】
一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，若，则实数a的值为（
）
A．
B．1
C．0或
D．0或1
【答案】C
【解析】因为，所以.
当时，说明方程没有实数根，所以有；
当时，说明是方程有唯一实数根，显然不成立，一定不是方程的实数根；
当时，说明是方程有唯一实数根，所以，解得；
当时，因为方程最多有一个实数根，所以不存在这种情况.
综上所述：实数a的值为0或.
故选:C.
【点睛】本题考查了根据子集关系求参数的取值问题，属于基础题.
2.集合，若且，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为集合，而且，
且，解得．故选：C．
【点睛】本题考查了元素与集合的关系求参数的取值问题，属于基础题.
3.已知集合，集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】，故，故选：D.
【点睛】本题考查了分式不等式以及集合的交集运算，属于基础题．
4.已知集合，则集合的真子集个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，
所以，集合的真子集个数为.故选：A.
【点睛】本题考查了集合真子集个数，属于基础题.
5.已知集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题可知集合A中x-2>0
所以x>2,由交集运算可知故选：A.
【点睛】本题考查了对数型函数的定义域以及集合的交集运算，属于基础题．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
6.已知集合，若对于，使得成立则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合．其中是“互垂点集”集合的为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】由题意，对于，，，，使得成立
即对于任意点，，在中存在另一个点，使得．
中，当点坐标为时，不存在对应的点．
所以所以不是“互垂点集”集合，的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，
所以在中的任意点，，在中存在另一个点，使得．
所以是“互垂点集”集合，中，当点坐标为时，不存在对应的点．所以不是“互垂点集”集合，的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以是“互垂点集”集合，故选：BD．
【点睛】本题考查了集合的表示,属于基础题.
7.若集合M＝{﹣1，1，3，5}，集合N＝{﹣3，1，5}，则正确的是（
）
A．xN，xM
B．xN，xM
C．MN＝{1，5}
D．MN＝{﹣3，﹣1，3}
【答案】BC
【解析】对A，﹣3
N，﹣3M，故A错误；对B，
1N，1M，故B正确；对C，MN＝{1，5}，故C正确；对D，MN＝{﹣3，﹣1，1，3，5}，故D错误.故选：BC.
【点睛】本题考查了元素与集合的关系以及集合的运算,属于基础题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分．
8.已知集合，若中只有一个元素，则实数的值为_________
【答案】0或2
【解析】若中只有一个元素，则只有一个实数满足，
即抛物线与轴只有一个交点，
∴，∴或2.
故答案为：0或2
【点睛】本题考查了利用集合的描述法求参数,属于基础题.
9.设是的两个子集，对任意，定义：
①若，则对任意，
_____；
②若对任意，，则的关系为__________.
【答案】
【解析】①∵A?B.则x?A时,m=0,m(1?n)=0.x∈A时,必有x∈B,∴m=n=1,m(1?n)=0.
综上可得：m(1?n)=0.
②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，即x∈A时，必有x?B，或x∈B时，必有x?A，∴A,B的关系为.
【点睛】本题考查了利用子集求参数取值以及集合相等,属于基础题.
10.已知集合，，则___________
【答案】
【解析】根据题意可得，
由可得，
即则
故，故选：C
【点睛】本题考查了一元二次不等式以及对数不等式的解法，考查了交集运算,属于基础题.
四、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11.已知函数的定义域为A，的值域为B．
（1）求A，B；
（2）设全集，求
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由得：，解得.
.
，
（2）..
【点睛】本题考查了集合的运算,属于基础题.
12.函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B．
（Ⅰ）求集合A，B；
（Ⅱ）若集合A，B满足,求实数a的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【解析】（Ⅰ）A=
==，
3分
B=．
6分
（Ⅱ）∵，∴，
8分
显然，，
∴或，
10分
∴或，即的取值范围是
【点睛】本题考查了集合的运算以及利用集合关系求参数取值,属于基础题.第1讲
集合的概念与运算
考点1
集合的表示：
例1.若集合，则集合中的元素个数为（
）
A．5
B．6
C．4
D．3
【跟踪演练】1.已知集合，则集合中元素的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
考点2
元素的特征：
例2.已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪演练】2.已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，且1∈A，则2
021a的值为_________．
考点3
集合的关系：
例3.(1)已知集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
(2)集合的非空真子集的个数为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【跟踪演练】3.
(1)设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（
）
A．2
B．3
C．4
D．8
(2)已知集合A＝{x|x2－2019x＋2
018<0}，B＝{x|log2xA?B，则整数m的最小值是(
)
A．9
B．
10
C．11
D．12
考点4
集合的运算：
例4.(1)【2020年高考全国I卷理数2】设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（
）
A．–4
B．–2
C．2
D．4
(2)已知函数的定义域为集合M，函数的值域为N，则（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪演练】4.
(1)已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
(2)已知集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【仿真练习】
一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，若，则实数a的值为（
）
A．
B．1
C．0或
D．0或1
2.集合，若且，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3.已知集合，集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
4.已知集合，则集合的真子集个数为（
）
A．
B．
C．
D．
5.已知集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
6.已知集合，若对于，使得成立则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合．其中是“互垂点集”集合的为（
）
A．
B．
C．
D．
7.若集合M＝{﹣1，1，3，5}，集合N＝{﹣3，1，5}，则正确的是（
）
A．xN，xM
B．xN，xM
C．MN＝{1，5}
D．MN＝{﹣3，﹣1，3}
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分．
8.已知集合，若中只有一个元素，则实数的值为_________
9.设是的两个子集，对任意，定义：
①若，则对任意，
_____；
②若对任意，，则的关系为__________.
10.已知集合，，则___________
四、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11.已知函数的定义域为A，的值域为B．
（1）求A，B；
（2）设全集，求
12.函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B．
（Ⅰ）求集合A，B；
（Ⅱ）若集合A，B满足,求实数a的取值范围．
