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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破配套训练
专题07
解析几何
（测试时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2019·浙江高考真题）渐近线方程为的双曲线的离心率是（
）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【详解】根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得，所以c
则该双曲线的离心率为
e，故选C．
2．（2020·浙江绍兴市·诸暨中学高二月考）已知椭圆的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A．B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设，则=2，=－2，，
①
，
②
①－②得，∴===，
又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴椭圆方程为，
故选：D．
3．（2020·福建厦门市·高二期中）已知，动圆与定圆：相外切，与：相内切，则的最大值为（
）
A．4
B．
C．
D．8
【答案】B
【详解】已知动圆与定圆：相外切，与：相内切，
可设动圆的半径为，有：，.则，
所以的轨迹是以为焦点长轴长的椭圆.得点的轨迹方程为.
又因为，则，而是椭圆上一点，
则=
所以：
故选：B.
4．（2020·浙江台州市·高三期中）若平面上两点，，则：上满足的点的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．与实数的取值有关
【答案】C
【详解】设，，，
整理：，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
直线是经过定点，斜率存在的直线，点在圆的内部，所以直线与圆有2个交点，则：上满足的点的个数为2个.
故选：C
5．（2021·浙江宁波市·高二期末）设双曲线的左、右焦点分别为，若点P在双曲线上，且为锐角三角形，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】为锐角三角形，不妨设在第一象限，点在与之间运动，如图，
当在处，，又
由，，
可得，此时
；
当在处，，，易知
则
此时
∴为锐角三角形，则的取值范围是，故选：D．
6．（2021·浙江嘉兴市·高二期末）设双曲线的左?右焦点分别为?，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为点在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得，
又，所以，即，则，
因为双曲线中，，即，则，即，
又双曲线的离心率大于，所以.故选：A.
7．（2021·浙江台州市·高二期末）已知抛物线的焦点为，准线为，是轴正半轴上的一点，线段交抛物线于点，过作的垂线，垂足为.若，则（
）
A．
B．3
C．
D．4
【答案】B
【详解】如图所示，抛物线中，，，
依题意设，，，则，故，，
因为，即，而，
所以，
直线，在直线上，故，即，代入上式即得，化简整理得，即，
故，而，故，故，即，
所以.故选：B.
8．（2020·浙江高三月考）已知点，点P为函数图象上的一点，则的最小值为（
）
A．
B．7
C．3
D．不存在
【答案】B
【详解】解：，得．
设点，即点为双曲线的上、下焦点．
由双曲线的定义得，则.故选：B．
9．（2021·浙江丽水市·高二期末）已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且满足，则的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由抛物线可得准线方程为：，故.
如图，由抛物线的对称性可不妨设在第一象限或为原点，
过作准线的垂线，垂足为，则，故，
当直线与抛物线相切时，最小，
而当变化时，，故当直线与抛物线相切时最小，
设直线，由得到，，
故或（舍），所以直线与抛物线相切时，
故的最小值为即的最大值为，故选：B.
10．（2020·浙江高三期中）已知、为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，半焦距为，
椭圆和双曲线的离心率分别为和，，，
由椭圆和双曲线的定义可知，，，
因为，由余弦定理得，
所以，且，
所以，即，则，
由柯西不等式得，
所以，当且仅当，时，等号成立.故选：C
二、填空题：本大题共7小题，共35分。
11．（2019·浙江高考真题）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.
【答案】
【详解】由题意可知，由中位线定理可得，
设可得，联立方程
可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，
求得，所以
12．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知直线和圆相交于，两点，则该圆的圆心坐标为___________，弦长___________.
【答案】
【详解】解：由，得，所以圆心为，半径为1，
所以圆心到直线的距离，所以，
故答案为：；
13．（2018·浙江高考真题）已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【解析】先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.
设，由得
因为A,B在椭圆上,所以
，
与对应相减得，当且仅当时取最大值.
14．（2019·浙江高三月考）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻的研究，其主要成果集中于他的代表作《圆锥曲线》一书，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于常数（该常数大于零且不等于1）的点的轨迹为圆，后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，由上面的结果知点的轨迹是圆，则该圆的半径是______，的最大值是______．
【答案】
6
【详解】设，化简得
所以圆的半径是2.因为圆的圆心和点都在轴上，
所以当运动到圆的最右端时有最大值6
点P是双曲线与以为直径的圆在第一象限内的交点，直线与直线交于点H，且点H是线段的中点，则______，双曲线的离心率为______．
【答案】1
【详解】是圆上一点，，是中点，且，
直线方程为，设，，
即，即，解得，
在直角三角形中，，则，则，
，，由双曲线定义可得，即，解得，
则，.故答案为：1；.
16．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知直线过定点，且与圆交于，两点，若点在点上方，则的最小值是________．
【答案】
【详解】直线过定点，圆的圆心为，半径为，
所以直线与圆相切，设切点为，则，
根据切割线定理得，则，所以，
的最小值为，
所以也即的最小值为.故答案为：
17．（2021·浙江舟山市·高二期末）已知抛物线的焦点恰与双曲线的右焦点重合，为左焦点；点在双曲线上运动，是的内切圆，则介于抛物线内部的圆心的轨迹长为__________．
【答案】
【详解】如图所示，要使得在抛物线的内部，只需考虑点即可，
设内切圆与三边的切点分别为，则，
由，可得，
所以，设，则，
所以，即，所以恰好为双曲线的右顶点，
又由，可得，所以与的交点在原点的右侧，
所以必在渐近线之间，且轴，
由抛物线，可得，所以，即双曲线方程为，
又由，令，解得，
故介于抛物线内部的圆心的轨迹长为.故答案为：.
三、解答题：本大题共5小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18．（2021·浙江温州市·高二期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，椭圆的左焦点（1）求椭圆的方程；（2），是否存在斜率为的直线l与椭圆相交于两点M，N，且，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，.
【详解】（1）∵，
解得，，∴椭圆方程为；
（2）存在，理由如下，假设存在，使得，设，
由得，，，
，，记E为中点，则，
∵，所以，∴，∴
∵，∴存在直线．
19．（2020·浙江省东阳中学高三月考）已知椭圆的左焦点F在直线上，且.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于A、C两点，线段的中点为M，射线与椭圆交于点P，点O为的重心，探求面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围.
【答案】（1）；（2）是定值，.
【详解】（1）∵直线与x轴的交点为，∴，∴，
∴解得，，∴椭圆的方程为.
（2）若直线的斜率不存在，则在轴上，此时，因为点O为的重心，所以，将代入椭圆方程，可得，即，所以；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程，
整理得设，，
则，，.
由题意点O为的重心，设，则，，
所以，，
代入椭圆，得，
设坐标原点O到直线的距离为d，则
则的面积
.综上可得，面积S为定值.
20．（2020·瑞安市上海新纪元高级中学高二期末）如图，点F为抛物线：的焦点，点M是抛物线在第二象限上的一点，过点M作圆：的两条切线，交于A，B两点，抛物线在点M处的切线分别交轴，轴于点P，Q.（1）求证：为定值；（2）是否存在点M，使得A，B，P三点共线，若存在，求M点坐标，不存在，说明理由
【答案】（1）证明见解析；（2）存在点，使得A，B，P三点共线.
【详解】（1）证明：设（），则切线的斜率，
所以切线方程为，即，
所以，
则
所以（定值）
（2）设过M的圆的切线斜率为，则切线方程为，则
即：
其两根，为两切线斜率，
设，
则直线：化简得：
若存在M，符合题意，则又斜率公式知，同理
∴
代入并化简有所以：，
解得或或，由知，
故存在点，使得A，B，P三点共线.
21．（2020·浙江高三其他模拟）已知抛物线的焦点到直线的距离为．（1）求抛物线的方程；（2）如图，若，直线与抛物线相交于两点，与直线相交于点，且，求面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，
焦点到直线的距离为，.抛物线的方程为．
（2）由题意可设，直线，
将直线的方程代入抛物线的方程，消去，得．
直线与抛物线相交于两点，．
设，则.
是线段的中点，，
代入，解得．
又，，，或．
直线的方程为.
点到直线的距离，又
，
．
令，则．
或，，即．
面积的取值范围为
．
22．（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，是椭圆的左焦点，是坐标原点.过点的直线与抛物线交于不同的两点，与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的标准方程；（2）记与的面积分别为，求的最小值；（3）过点且垂直于轴的直线分别交直线于点和点.问：以为直径的圆是否经过定点？若是，求出所有定点坐标；若不是，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）过定点，定点为.
【详解】（1）∴抛物线的焦点，∴椭圆的右焦点，
，则，即椭圆的标准方程为.
（2）设直线为，
，
同理，
.即
（3）设直线，由，同理，
由（2）可知，
∴以为直径的圆的圆心，
∴以为直径的圆方程为
显然时，等式成立与无关，即定点为.
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破
专题07
解析几何
【考纲解读与命题趋势】?
解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，浙江新高考中同样也是考察的重难点，题型模式和以前没有过多的变化，即2-3道选填题，1道解答题。高考中选填部分，考察圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，或圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，难度中等。解答题部分一般是以抛物线性质为主（偶尔也考察椭圆），加直线与圆的相关性质相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围（最值）问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中。即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主。本专题主要通过对浙江高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用。
做解析几何题时要注意以下几点：
1.浙江新高考近年解答题都是以抛物线（椭圆）为背景，考察抛物线的基本性质，变量的范围（最值）问题，希望大家注意侧重训练。
2.将圆锥曲线几何性质与向量数量积、不等式等交汇是高考解析几何命题的一种新常态，问题解决过程中渗透数学的转化化归，函数与方程和数形结合等的数学思想方法。
3.
点差法是一种常用的模式化解题方法，该方法对于解决有关斜率、中点等问题有较好的解题效能。
4.直线与圆锥曲线的位置关系在虽然没有明确指出，但是在高考则是常考不衰的考点，同时常常与不等式、最值等相交汇，题型常见，理解容易，思路明确，交汇点较多。直线与圆锥曲线位置关系解法步骤直接明了，关键计算(解方程、求最值等)是否准确，规范是否到位，细节是否圆满。
5．取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内。知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写。一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算。
6．数形结合的思想：解析几何，很显然，解析是数字的，公式的，而几何是图形的，图形一目了然，给人直观的感受，而公式抽象，能准确的描述图像的特征，结合之后一定会对解题有很大的帮助。并且解析几何想比较其他题型的优点在于，它可以带回试题中检验，如果算出答案后有时间，建议同学们花一两分钟检验一下你的答案，这样也有利于你对算出来的答案更有信心，提高准确率。
【知识梳理】
1.直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
所有直线
2.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直：如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
3.距离公式
(1)两点间的距离公式：|P1P2|＝.（其中
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)）。
(2)点到直线的距离公式：
d＝.（其中点P0(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0）。
(3)两条平行线间的距离公式：d＝.（其中直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0）。
4.圆的定义和圆的方程
定义
在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝
5.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，
由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
方法位置关系
几何法
代数法
相交
dΔ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
6.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0
7.椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.
8.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质范围
－a≤x≤a－b≤y≤b
－b≤x≤b－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
9.双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若ac时，则P为空集.
10.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图 形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
11.抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
12.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
13.圆锥曲线的弦长：设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·＝·.
【考点突破】
考点一
直线与圆的相关问题
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．
2.
(2021八省联考)已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则直线的方程为（
）
A.
B.
C.
D.
【变式探究】
1．（2019·浙江高考真题）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则_____，______.
2．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（
）．
A．4
B．5
C．6
D．7
3．（2020·天津高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
4．（2018·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．
考点二
圆锥曲线定义的应用问题
1.椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
2.双曲线定义的主要应用
(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
3.抛物线定义的应用策略
利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江·高三期中）如图，圆上一动点M，抛物线上一动点，则的最小值为（
）
A．1
B．3
C．4
D．6
【变式探究】
1．（2021·湖南岳阳市·岳阳一中高二月考）已知椭圆，是坐标平面内的两点，且与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在椭圆上，则__________.
2．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知点为双曲线的左焦点，点为双曲线与圆的一个交点，则（
）．
A．
B．
C．
D．
3．（2020·上海高二课时练习）点是椭圆的左焦点，点是椭圆上一动点，则的最大值是___________．
4．（2020·浙江杭州市·杭州外国语学校高二期中）已知是双曲线：的右焦点，是的左支上一点，点的坐标为，则周长的最小值为_____________.
考点三
椭圆、双曲线的离心率及范围（最值）问题
1.利用椭圆几何性质的注意点及技巧
(1)注意椭圆几何性质中的等式或不等关系
在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．
(2)利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．
2．求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．
3.与双曲线有关的范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．
(3)双曲线的离心率e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e＞1.
【经典例题】
1．（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且，若椭圆与双曲线的离心率分别为，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·浙江丽水市·高三期末）已知椭圆左右焦点为，抛物线与椭圆有一个公共焦点，若点P是椭圆和抛物线的一个公共点，且，则椭圆的离心率取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式探究】
1．（2021·杭州市西湖高级中学高二期末）设为坐标原点，，是椭圆（）的左、右焦点，若在椭圆上存在点满足，且，则该椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·浙江宁波市·高二期末）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共交点，且，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则的最小值为（
）
A．25
B．100
C．9
D．36
3．（2020·浙江宁波市·镇海中学高二期中）如图，椭圆的离心率为e，F是的右焦点，点P是上第一象限内任意一点.且，，，若，则离心率e的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·浙江宁波市·镇海中学高二期中）已知两定点，，动点在直线上移动，以A，B为焦点且经过点P的椭圆的离心率的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
考点四
直线与圆锥曲线的位置关系
1.椭圆弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率．
2．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．
3.特别提醒：
(1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况．
(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
4.
直线与双曲线位置关系的解题策略
(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．
5.
直线与抛物线的位置关系问题的常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|xA|＋|xB|＋p或|AB|＝|yA|＋|yB|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．涉及焦点弦问题，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
【经典例题】
1．（2020·北京高考真题）已知椭圆过点，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．
2．（2020·浙江丽水市·高二月考）已知椭圆：的离心率，是椭圆的左右焦点，过且垂直于长轴的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，若以为直径的椭圆经过右焦点，求直线的方程.
【变式探究】
1．（2018·上海高考真题）设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．（1）用表示点到点距离；（2）设，，线段的中点在直线，求的面积；
2．（2021·浙江绍兴市·高二期末）设是抛物线的焦点，、是抛物线上两个不同的点，若直线恰好经过焦点，则的最小值为_______．
3．（2020·浙江绍兴市·诸暨中学高二月考）已知椭圆的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A．B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·宁波市北仑中学高二期中）已知椭圆：的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点，.（1）求椭圆的方程；（2）设点，当的面积为1时，求实数的值.
考点五
解析几何中的定点问题
解析几何中的定点问题，主要是结合直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系的设计命题，动直线（或曲线）恒过某一定点..从浙江省高考命题看，定点问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点问题的证明、探求定点坐标等．题型为主观题，多步设问，逐步深入考查分析问题解决问题的能力.
定点问题常见处理方法
1.假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
2.从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
【经典例题】
1．（2020·浙江温州市·温州中学高二期中）如图，已知抛物线上一点到抛物线焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程及实数a的值；（2）过点M作抛物线的两条弦，，若，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标．
【变式探究】
1．（2020·浙江高一期末）已知椭圆：（）的左焦点，椭圆的两顶点分别为，，M为椭圆上除A，B之外的任意一点，直线MA，BM的斜率之积为.（1）求椭圆的标准方程;（2）若P为椭圆短轴的上顶点，斜率为的直线不经过P点且与椭圆交于E，F两点，设直线PE，PF的斜率分别为，且，试问直线是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由.
2．（2020·浙江丽水市·高二月考）已知椭圆：，，分别为椭圆的左?右焦点，为上任意一点，的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）不过点的直线交椭圆于，两点.（i）若，且，求的值；（ii）若轴上任意一点到直线与的距离相等，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
3．（2020·浙江高三专题练习）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.
4．（2020·浙江）已知椭圆，过点作椭圆C的切线l，在第一象限的切点为P，过点P作与直线l倾斜角互补的直线，恰好经过椭圆C的下顶点N.（1）求椭圆C的方程；（2）F为椭圆C的右焦点，过点F且与x轴不垂直的直线交椭圆C于A，B两点，点A关于x轴的对称点为，则直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
考点六
解析几何中的定值问题
解析几何中的定值问题，主要是结合直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系的设计命题，要求证明、探索、计算线段长度（距离）或图形面积或参数等有关定值问题.从浙江省高考命题看，此类问题以主观题形式考查，多步设问，逐步深入考查分析问题解决问题的能力.
定值问题常见处理方法
1.从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
2.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
【经典例题】
1．（2020·浙江高三其他模拟）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：（）过点，离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆C上一点，且M点不在坐标轴上，点，，已知直线与y轴交于点P，直线与x轴交于点Q.求证：为定值，并求出该定值.
【变式探究】
1．（2020·浙江高三专题练习）已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
2．（2020·浙江省宁波市鄞州中学高三其他模拟）椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，直线与椭圆的另一个交点分别为.（1）若点坐标为，且，求椭圆的方程；（2）设，，求证：为定值.
3．（2020·浙江衢州市·衢州二中）圆过椭圆的下顶点及左、右焦点，，过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于，两点，线段的中垂线交轴于点且垂足为点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）证明：当直线斜率变化时为定值．
4．（2019·浙江温州市·高三模拟）如图，过点且平行与x轴的直线交椭圆于A、B两点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点M且斜率为正的直线交椭圆于段C、D，直线AC、BD分别交直线于点E、F，求证：是定值.
考点七
解析几何中的最值（范围）问题
1）解析几何中的最值（范围）问题，主要是结合直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系的设计命题，要求证明、探索、计算线段长度（距离）或图形面积或参数等有关最值（范围）问题.从浙江省高考命题看，此类问题以主观题形式考查，多步设问，逐步深入考查分析问题解决问题的能力.
2）圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
3）解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【变式探究】
1．（2020·浙江高三其他模拟）已知抛物线的焦点到直线的距离为．（1）求抛物线的方程；（2）如图，若，直线与抛物线相交于两点，与直线相交于点，且，求面积的取值范围．
2．（2019·浙江高考真题）如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.（1）求的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点的坐标.
3．（2018·浙江高考真题）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
4．（2017·浙江高考真题）如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（I）求直线AP斜率的取值范围；（II）求的最大值
考点八
解析几何中的探索性问题
1）探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神.
2）圆锥曲线中探索问题的求解策略
1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．
2．求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
【经典例题】
1．（2020·浙江高三月考）已知椭圆：的长轴长为4，焦距为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两个不同的点，且，为坐标原点，问：是否存在实数，使得恒成立？若存在，请求出实数，若不存在，请说明理由.
【变式探究】
1．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知椭圆经过点，且是的一个焦点，过焦点的动直线交椭圆于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）轴上是否存在定点（异于点），使得对任意的动直线都有，若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
2．（2020·浙江高三专题练习）设、分别是椭圆C：的左、右焦点，，直线过且垂直于x轴，交椭圆C于A、B两点，连接A、B、，所组成的三角形为等边三角形.（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点的直线m与椭圆C相交于M、N两点，试问：椭圆C上是否存在点P，使成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
3．（2020·浙江湖州市·湖州中学高三其他模拟）如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.（1）求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
4．（2019·浙江）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，且点与椭圆C的上顶点构成边长为2的等边三角形.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l与椭圆C相切于点P，且分别与直线和直线相交于点.试判断是否为定值，并说明理由.
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破
专题07
解析几何
【考纲解读与命题趋势】?
解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，浙江新高考中同样也是考察的重难点，题型模式和以前没有过多的变化，即2-3道选填题，1道解答题。高考中选填部分，考察圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，或圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，难度中等。解答题部分一般是以抛物线性质为主（偶尔也考察椭圆），加直线与圆的相关性质相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围（最值）问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中。即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主。本专题主要通过对浙江高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用。
做解析几何题时要注意以下几点：
1.浙江新高考近年解答题都是以抛物线（椭圆）为背景，考察抛物线的基本性质，变量的范围（最值）问题，希望大家注意侧重训练。
2.将圆锥曲线几何性质与向量数量积、不等式等交汇是高考解析几何命题的一种新常态，问题解决过程中渗透数学的转化化归，函数与方程和数形结合等的数学思想方法。
3.
点差法是一种常用的模式化解题方法，该方法对于解决有关斜率、中点等问题有较好的解题效能。
4.直线与圆锥曲线的位置关系在虽然没有明确指出，但是在高考则是常考不衰的考点，同时常常与不等式、最值等相交汇，题型常见，理解容易，思路明确，交汇点较多。直线与圆锥曲线位置关系解法步骤直接明了，关键计算(解方程、求最值等)是否准确，规范是否到位，细节是否圆满。
5．取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内。知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写。一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算。
6．数形结合的思想：解析几何，很显然，解析是数字的，公式的，而几何是图形的，图形一目了然，给人直观的感受，而公式抽象，能准确的描述图像的特征，结合之后一定会对解题有很大的帮助。并且解析几何想比较其他题型的优点在于，它可以带回试题中检验，如果算出答案后有时间，建议同学们花一两分钟检验一下你的答案，这样也有利于你对算出来的答案更有信心，提高准确率。
【知识梳理】
1.直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
所有直线
2.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直：如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
3.距离公式
(1)两点间的距离公式：|P1P2|＝.（其中
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)）。
(2)点到直线的距离公式：
d＝.（其中点P0(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0）。
(3)两条平行线间的距离公式：d＝.（其中直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0）。
4.圆的定义和圆的方程
定义
在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝
5.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，
由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
方法位置关系
几何法
代数法
相交
dΔ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
6.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0
7.椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.
8.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质范围
－a≤x≤a－b≤y≤b
－b≤x≤b－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
9.双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若ac时，则P为空集.
10.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图 形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
11.抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
12.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
13.圆锥曲线的弦长：设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·＝·.
【考点突破】
考点一
直线与圆的相关问题
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．
【答案】
【详解】设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，，所以，所以（舍）或者，
解得.故答案为：
2.
(2021八省联考)已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则直线的方程为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】在抛物线上，故，即，抛物线方程为，
设过点与圆相切的直线的方程为：，即，则圆心到切线的距离，解得，如图，直线，直线.
联立
，得，
故，由得，故，
联立
，得，
故，由得，故，
故，又由在抛物线上可知，
直线的斜率为
，
故直线的方程为，即.故选：B.
【变式探究】
1．（2019·浙江高考真题）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则_____，______.
【答案】
【详解】可知，把代入得，
此时.
【点睛】解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.
2．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（
）．
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【详解】设圆心，则，化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.
3．（2020·天津高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
【答案】5
【详解】因为圆心到直线的距离，
由可得，解得．故答案为：．
4．（2018·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．
【答案】3
【解析】先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.
设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标所以.所以，
由得或，
因为，所以
考点二
圆锥曲线定义的应用问题
1.椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
2.双曲线定义的主要应用
(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
3.抛物线定义的应用策略
利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．故选：D.
2．（2020·浙江·高三期中）如图，圆上一动点M，抛物线上一动点，则的最小值为（
）
A．1
B．3
C．4
D．6
【答案】A
【详解】由抛物线焦点坐标，准线方程，
圆的圆心坐标，半径，设到准线的距离，则，
所以，
当且，，三点共线时，取最小值，的最小值2，
所以最小值为，故选：A．
【变式探究】
1．（2021·湖南岳阳市·岳阳一中高二月考）已知椭圆，是坐标平面内的两点，且与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在椭圆上，则__________.
【答案】12
【详解】设的中点为，椭圆的左右焦点分别为，，如图，连接，，
是的中点，是的中点，是的中位线；
，同理；，
在椭圆上，根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知：
，．故答案为：
2．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知点为双曲线的左焦点，点为双曲线与圆的一个交点，则（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：设为双曲线的右焦点，又圆的半径为，
如图连接，则，根据双曲线的定义，可得，即，所以故选：C
3．（2020·上海高二课时练习）点是椭圆的左焦点，点是椭圆上一动点，则的最大值是___________．
【答案】
【详解】将变形为，设为椭圆的右焦点，则,由椭圆定义知,当且仅当为的延长线与椭圆的交点时取等号.故答案为：
4．（2020·浙江杭州市·杭州外国语学校高二期中）已知是双曲线：的右焦点，是的左支上一点，点的坐标为，则周长的最小值为_____________.
【答案】12
【详解】由双曲线方程可知，，，故，左焦点，
当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，
从而的周长为，
因为为定值，所以当最小时，的周长最小，
此时点在线段与双曲线的交点处，如图所示，
此时，所以周长的最小值为12.故答案为:12.
考点三
椭圆、双曲线的离心率及范围（最值）问题
1.利用椭圆几何性质的注意点及技巧
(1)注意椭圆几何性质中的等式或不等关系
在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．
(2)利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．
2．求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．
3.与双曲线有关的范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．
(3)双曲线的离心率e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e＞1.
【经典例题】
1．（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且，若椭圆与双曲线的离心率分别为，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】如图所示：
设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，
不妨设点在第一象限，则根据椭圆及双曲线的定义得，
，，
所以，，设，，
在中，由余弦定理得，
化简可得：，所以，即，
由，解得.故选：D
2．（2021·浙江丽水市·高三期末）已知椭圆左右焦点为，抛物线与椭圆有一个公共焦点，若点P是椭圆和抛物线的一个公共点，且，则椭圆的离心率取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意是公共焦点，，设，则，
，又，∴，，
由，得，，
，∴，
所以，整理得，
不等式两边同除以得，，
∵，故解得．故选：C．
【变式探究】
1．（2021·杭州市西湖高级中学高二期末）设为坐标原点，，是椭圆（）的左、右焦点，若在椭圆上存在点满足，且，则该椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为为的中点，故，
所以，故，
故，所以，
又，
故，故.故选：A.
2．（2021·浙江宁波市·高二期末）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共交点，且，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则的最小值为（
）
A．25
B．100
C．9
D．36
【答案】A
【详解】记，则（椭圆长轴长），（双曲线的实轴长），
又由余弦定理得，
所以，即，变形为，
所以，当且仅当，即时等号成立．故选：A．
3．（2020·浙江宁波市·镇海中学高二期中）如图，椭圆的离心率为e，F是的右焦点，点P是上第一象限内任意一点.且，，，若，则离心率e的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为点P是上第一象限内任意一点，故为锐角，所以，
设直线的斜率为，则.
由可得，故，
所以，因为，故，所以，
解得，因为对任意的恒成立，
故，整理得到对任意的恒成立，
故即即.故选：B.
4．（2020·浙江宁波市·镇海中学高二期中）已知两定点，，动点在直线上移动，以A，B为焦点且经过点P的椭圆的离心率的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】椭圆以A，B为焦点，即半焦距为，则，
故可设椭圆方程为，联立方程
消去，整理得，
由题意易知，即，
解得或（舍去），即或（舍），
所以离心率，即离心率的最大值为.故选：B.
考点四
直线与圆锥曲线的位置关系
1.椭圆弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率．
2．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．
3.特别提醒：
(1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况．
(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
4.
直线与双曲线位置关系的解题策略
(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．
5.
直线与抛物线的位置关系问题的常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|xA|＋|xB|＋p或|AB|＝|yA|＋|yB|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．涉及焦点弦问题，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
【经典例题】
1．（2020·北京高考真题）已知椭圆过点，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.
【详解】(1)设椭圆方程为：，由题意可得：
，解得：，故椭圆方程为：.
(2)设，，直线的方程为：，
与椭圆方程联立可得：，
即：，则：.
直线MA的方程为：，
令可得：，
同理可得：.很明显，且：，注意到：
，
而：
，
故.从而.
2．（2020·浙江丽水市·高二月考）已知椭圆：的离心率，是椭圆的左右焦点，过且垂直于长轴的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，若以为直径的椭圆经过右焦点，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【详解】（1）设椭圆的焦距为.由已知，，解得：，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）设，，；联立可得；
则，；因为以为直径的圆经过右焦点，
所以.
即解得
所以直线方程为：或.
【变式探究】
1．（2018·上海高考真题）设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．（1）用表示点到点距离；（2）设，，线段的中点在直线，求的面积；
【答案】（1）；（2）；（3）见解析.
【详解】（1）方法一：由题意可知：设，则，∴；
方法二：由题意可知：设，由抛物线的性质可知：，∴；
（2），，，则，
∴，∴，设的中点，，
，则直线方程：，
联立，整理得：，解得：，（舍去），
∴的面积；
2．（2021·浙江绍兴市·高二期末）设是抛物线的焦点，、是抛物线上两个不同的点，若直线恰好经过焦点，则的最小值为_______．
【答案】
【详解】若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
易知抛物线的焦点为，准线方程为，
设点、，设直线的方程为，
联立，整理可得，，
由韦达定理可得，，
，
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.
3．（2020·浙江绍兴市·诸暨中学高二月考）已知椭圆的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A．B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设，则=2，=－2，，
①
，
②
①－②得，∴===，
又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴椭圆方程为，
故选：D．
4．（2020·宁波市北仑中学高二期中）已知椭圆：的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点，.（1）求椭圆的方程；（2）设点，当的面积为1时，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由题意，，则，∴，∴椭圆的方程为.
（2）设，，联立，得，
∴，解得，∴，，
∴，又点到直线的距离为，
∵，解得，∴.
考点五
解析几何中的定点问题
解析几何中的定点问题，主要是结合直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系的设计命题，动直线（或曲线）恒过某一定点..从浙江省高考命题看，定点问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点问题的证明、探求定点坐标等．题型为主观题，多步设问，逐步深入考查分析问题解决问题的能力.
定点问题常见处理方法
1.假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
2.从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
【经典例题】
1．（2020·浙江温州市·温州中学高二期中）如图，已知抛物线上一点到抛物线焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程及实数a的值；（2）过点M作抛物线的两条弦，，若，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标．
【答案】（1）；；（2）证明见解析；定点．
【详解】（1）由题意，，故，；令，可得，故．
（2）设，，设直线AB斜率为，
联立方程，两式相减得，即，
故直线方程为，即；
，，
，即；
因此，直线为经过定点．
【变式探究】
1．（2020·浙江高一期末）已知椭圆：（）的左焦点，椭圆的两顶点分别为，，M为椭圆上除A，B之外的任意一点，直线MA，BM的斜率之积为.（1）求椭圆的标准方程;（2）若P为椭圆短轴的上顶点，斜率为的直线不经过P点且与椭圆交于E，F两点，设直线PE，PF的斜率分别为，且，试问直线是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）过定点（2，-1）.
【详解】（1）由题意知，设点，则①，
又点M在椭圆上，所以②，
①②联立可得，即，
又及，解得：所以椭圆方程为：.
（2）直线过定点（2，-1），证明如下：设直线：，，
联立方程，整理得：，
，，
所以=，
代入得：，
化简得，此时，所以存在k使得成立，
所以直线l的方程为：，即，所以直线l恒过定点（2，-1）
2．（2020·浙江丽水市·高二月考）已知椭圆：，，分别为椭圆的左?右焦点，为上任意一点，的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）不过点的直线交椭圆于，两点.（i）若，且，求的值；（ii）若轴上任意一点到直线与的距离相等，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析，定点坐标为.
【详解】（1）因为，分别为椭圆的左?右焦点，
所以，
当点为椭圆的短轴端点时，面积最大，此时，则b=1，
∴，故椭圆的方程为；
（2）由题意，联立得，
，得(
)
设，，则，，
（i）∵且，代入(
)得，，，
设点到直线的距离为，则，
∴，∴，则；
（ii），由题意得，，
∴，即，
∴，解得，
∴直线的方程为，故直线恒过定点，该定点坐标为
3．（2020·浙江高三专题练习）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.
【答案】（1）；（2）证明详见解析.
【详解】（1）依据题意作出如下图象：
由椭圆方程可得：，
，
，，椭圆方程为：
（2）证明：设，则直线的方程为：，即：
联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：
，解得：或
将代入直线可得：
所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为
当时，直线的方程为：，
整理可得：
整理得：所以直线过定点．
当时，直线：，直线过点．故直线CD过定点．
4．（2020·浙江）已知椭圆，过点作椭圆C的切线l，在第一象限的切点为P，过点P作与直线l倾斜角互补的直线，恰好经过椭圆C的下顶点N.（1）求椭圆C的方程；（2）F为椭圆C的右焦点，过点F且与x轴不垂直的直线交椭圆C于A，B两点，点A关于x轴的对称点为，则直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）（2）过定点.
【详解】（1）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，与椭圆方程联立，得，化简整理得，（
）
，得，
所以方程（
）可化为，可得切点.
，由已知，
所以，即，得，所以椭圆C的方程为.
（2）由（1）知，
设直线的方程为，与椭圆方程联立，得，化简整理得，
设，，则，.
由，可得，则的方程为，
即
，
所以当时，，即过定点.
拓展结论：圆上点处的切线方程为，而若点在圆外，则直线方程的几何含义是过点所作圆的两条切线的切点连线的方程；由此类比：椭圆上点处的切线方程为，而若点在椭圆外，则方程的几何含义是过点所作椭圆的两条切线的切点连线的方程；抛物线上点处的切线方程为，而若点在抛物线外，则直线方程的几何含义是过点所作抛物线的两条切线的切点连线的方程.
考点六
解析几何中的定值问题
解析几何中的定值问题，主要是结合直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系的设计命题，要求证明、探索、计算线段长度（距离）或图形面积或参数等有关定值问题.从浙江省高考命题看，此类问题以主观题形式考查，多步设问，逐步深入考查分析问题解决问题的能力.
定值问题常见处理方法
1.从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
2.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
【经典例题】
1．（2020·浙江高三其他模拟）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：（）过点，离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆C上一点，且M点不在坐标轴上，点，，已知直线与y轴交于点P，直线与x轴交于点Q.求证：为定值，并求出该定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析，4.
【详解】（1）由可得，可设椭圆C的方程为，
又点在椭圆C上，所以，解得，因此，椭圆C的方程为.
（2）设椭圆上点，则，由于M点不在坐标轴上，直线和直线都存在斜率，则直线：，令，得，，
直线：，令，得，，
所以
，，代入上式得
，故为定值4.
【变式探究】
1．（2020·浙江高三专题练习）已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
【答案】（1）；（2）详见解析.
【详解】（1）由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.
(2)设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：，
代入椭圆方程消去并整理得：，
可得，，
因为，所以，即，
根据,整理可得：，
所以，
整理化简得，
因为不在直线上，所以，故，
于是的方程为，所以直线过定点直线过定点.
当直线的斜率不存在时，可得，
由得：，
得，结合可得：，
解得：或（舍）.此时直线过点.令为的中点，即，
若与不重合，则由题设知是的斜边，故，
若与重合，则，故存在点，使得为定值.
2．（2020·浙江省宁波市鄞州中学高三其他模拟）椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，直线与椭圆的另一个交点分别为.（1）若点坐标为，且，求椭圆的方程；（2）设，，求证：为定值.
【答案】（1）；（2）定值为，证明见解析.
【详解】（1），所以椭圆方程为.
（2）坐标法:设，
当时，.
当时，，，
其中：，
从而.
由得，
同理，从而.
.
3．（2020·浙江衢州市·衢州二中）圆过椭圆的下顶点及左、右焦点，，过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于，两点，线段的中垂线交轴于点且垂足为点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）证明：当直线斜率变化时为定值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析
【详解】解：（Ⅰ）当时，由得或；
当时，由得．
又圆过椭圆的下顶点及焦点，，
故，，所以，即椭圆的方程为．
（Ⅱ）证明：易知直线的斜率存在，且不为0，
所以设直线，且，，
由，得，
故，，设的中点，
，，
故的中垂线的方程为，
由得，，故，
，因此，为定值．
4．（2019·浙江温州市·高三模拟）如图，过点且平行与x轴的直线交椭圆于A、B两点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点M且斜率为正的直线交椭圆于段C、D，直线AC、BD分别交直线于点E、F，求证：是定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）由已知可得：，代入椭圆方程得：
椭圆方程为；
（2）设直线CD的方程为，代入，得：
设，，则有，
则AC的方程为，令，得
BD的方程为，令，得
，证毕.
考点七
解析几何中的最值（范围）问题
1）解析几何中的最值（范围）问题，主要是结合直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系的设计命题，要求证明、探索、计算线段长度（距离）或图形面积或参数等有关最值（范围）问题.从浙江省高考命题看，此类问题以主观题形式考查，多步设问，逐步深入考查分析问题解决问题的能力.
2）圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
3）解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【详解】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；
（Ⅱ）设，
由，
，
由在抛物线上，所以，
又，
，，
.
由即
，
所以，，，所以，的最大值为，此时.
法2：设直线，.
将直线的方程代入椭圆得：，
所以点的纵坐标为.
将直线的方程代入抛物线得：，
所以，解得，因此，
由解得，
所以当时，取到最大值为.
【变式探究】
1．（2020·浙江高三其他模拟）已知抛物线的焦点到直线的距离为．（1）求抛物线的方程；（2）如图，若，直线与抛物线相交于两点，与直线相交于点，且，求面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，
焦点到直线的距离为，.抛物线的方程为．
（2）由题意可设，直线，
将直线的方程代入抛物线的方程，消去，得．
直线与抛物线相交于两点，．
设，则.
是线段的中点，，
代入，解得．
又，，，或．
直线的方程为.
点到直线的距离，又
，
．
令，则．
或，，即．
面积的取值范围为
．
2．（2019·浙江高考真题）如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.（1）求的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点的坐标.
【答案】（1）2，；（2），.
【详解】(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为.
(2)设，
设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：
，故：，
，
设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：
，，
令可得：，则.即，
由斜率公式可得：，直线AC的方程为：，
令可得：，
故，
且，
由于，代入上式可得：，
由可得，则，
则
.
当且仅当，即，时等号成立.
此时，，则点G的坐标为.
3．（2018·浙江高考真题）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）设，，．
因为，的中点在抛物线上，所以，为方程，
即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知所以，．因此，的面积．
因为，所以．
因此，面积的取值范围是．
4．（2017·浙江高考真题）如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（I）求直线AP斜率的取值范围；（II）求的最大值
【答案】（I）（-1，1）；（II）.
【详解】（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，，
因为，所以直线AP斜率的取值范围是．
（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是．
因为|PA|==，|PQ|=
，
所以．令，
因为，所以
f(k)在区间上单调递增，上单调递减，
因此当k=时，取得最大值．
考点八
解析几何中的探索性问题
1）探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神.
2）圆锥曲线中探索问题的求解策略
1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．
2．求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
【经典例题】
1．（2020·浙江高三月考）已知椭圆：的长轴长为4，焦距为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两个不同的点，且，为坐标原点，问：是否存在实数，使得恒成立？若存在，请求出实数，若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，.
【详解】解：（Ⅰ）由题意可知，，∴，∴椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）因为，所以为直角三角形，设原点到直线的距离为，
由，
要求实数，使得恒成立，即.
设点，，联立方程
∴，∴
，所以有
∵，∴，
∴，，∴，∴.
【变式探究】
1．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知椭圆经过点，且是的一个焦点，过焦点的动直线交椭圆于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）轴上是否存在定点（异于点），使得对任意的动直线都有，若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【详解】（1）依题意得，，解得，.椭圆的方程为；
（2）设存在点满足题意，设直线的方程为.
设、，由消去得，.
从而，.由得，
，
只需即可满足.从而轴上存在定点满足题意.
2．（2020·浙江高三专题练习）设、分别是椭圆C：的左、右焦点，，直线过且垂直于x轴，交椭圆C于A、B两点，连接A、B、，所组成的三角形为等边三角形.（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点的直线m与椭圆C相交于M、N两点，试问：椭圆C上是否存在点P，使成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）椭圆；（2）存在，.
【详解】（1）由可得，等边三角形中：，，
则，得，
又因为，所以，
则椭圆；
（2）设、，则由题意知的斜率为一定不为，
故不妨设，代入椭圆的方程中：，
整理得，
满足.
由韦达定理有：，①
且②
假设存在点，使成立，
则其充要条件为：点在椭圆上，即.
整理得，
又在椭圆上，即，，
故由①②代入：，解得，验证
则.
3．（2020·浙江湖州市·湖州中学高三其他模拟）如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.（1）求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，Q点的坐标为.
【详解】（1）由已知，点在椭圆E上.因此，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点.
如果存在定点Q满足条件，则，即.
所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为.
当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点.则，
由，有，解得或.
所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为.
下面证明：对任意的直线，均有.
当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，A、B的坐标分别为.
联立得.其判别式，
所以，.因此.
易知，点B关于y轴对称的点的坐标为.
又，所以，即三点共线.
所以.故存在与P不同的定点，使得恒成立.
4．（2019·浙江）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，且点与椭圆C的上顶点构成边长为2的等边三角形.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l与椭圆C相切于点P，且分别与直线和直线相交于点.试判断是否为定值，并说明理由.
【答案】（1）（2）为定值；详见解析
【详解】（1）依题意，，所以，所以椭圆C的标准方程为.
（2）因为直线l分别与直线和直线相交，所以直线l一定存在斜率.
设直线，由得，
由，得.①
把代入，得，把代入，得，
所以，，②
由①式，得，③
把③式代入②式，得，
所以，即为定值.
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破配套训练
专题07
解析几何
（测试时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2019·浙江高考真题）渐近线方程为的双曲线的离心率是（
）
A．
B．1
C．
D．2
2．（2020·浙江绍兴市·诸暨中学高二月考）已知椭圆的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A．B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·福建厦门市·高二期中）已知，动圆与定圆：相外切，与：相内切，则的最大值为（
）
A．4
B．
C．
D．8
4．（2020·浙江台州市·高三期中）若平面上两点，，则：上满足的点的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．与实数的取值有关
5．（2021·浙江宁波市·高二期末）设双曲线的左、右焦点分别为，若点P在双曲线上，且为锐角三角形，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2021·浙江嘉兴市·高二期末）设双曲线的左?右焦点分别为?，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2021·浙江台州市·高二期末）已知抛物线的焦点为，准线为，是轴正半轴上的一点，线段交抛物线于点，过作的垂线，垂足为.若，则（
）
A．
B．3
C．
D．4
8．（2020·浙江高三月考）已知点，点P为函数图象上的一点，则的最小值为（
）
A．
B．7
C．3
D．不存在
9．（2021·浙江丽水市·高二期末）已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且满足，则的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·浙江高三期中）已知、为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共7小题，共35分。
11．（2019·浙江高考真题）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.
12．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知直线和圆相交于，两点，则该圆的圆心坐标为___________，弦长___________.
13．（2018·浙江高考真题）已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．
14．（2019·浙江高三月考）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻的研究，其主要成果集中于他的代表作《圆锥曲线》一书，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于常数（该常数大于零且不等于1）的点的轨迹为圆，后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，由上面的结果知点的轨迹是圆，则该圆的半径是______，的最大值是______．
15．（2021·浙江温州市·高三期末）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点P是双曲线与以为直径的圆在第一象限内的交点，直线与直线交于点H，且点H是线段的中点，则______，双曲线的离心率为______．
16．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知直线过定点，且与圆交于，两点，若点在点上方，则的最小值是________．
17．（2021·浙江舟山市·高二期末）已知抛物线的焦点恰与双曲线的右焦点重合，为左焦点；点在双曲线上运动，是的内切圆，则介于抛物线内部的圆心的轨迹长为__________．
三、解答题：本大题共5小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18．（2021·浙江温州市·高二期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，椭圆的左焦点（1）求椭圆的方程；（2），是否存在斜率为的直线l与椭圆相交于两点M，N，且，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．
19．（2020·浙江省东阳中学高三月考）已知椭圆的左焦点F在直线上，且.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于A、C两点，线段的中点为M，射线与椭圆交于点P，点O为的重心，探求面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围.
20．（2020·瑞安市上海新纪元高级中学高二期末）如图，点F为抛物线：的焦点，点M是抛物线在第二象限上的一点，过点M作圆：的两条切线，交于A，B两点，抛物线在点M处的切线分别交轴，轴于点P，Q.（1）求证：为定值；（2）是否存在点M，使得A，B，P三点共线，若存在，求M点坐标，不存在，说明理由
21．（2020·浙江高三其他模拟）已知抛物线的焦点到直线的距离为．（1）求抛物线的方程；（2）如图，若，直线与抛物线相交于两点，与直线相交于点，且，求面积的取值范围．
22．（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，是椭圆的左焦点，是坐标原点.过点的直线与抛物线交于不同的两点，与椭圆交于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）记与的面积分别为，求的最小值；（3）过点且垂直于轴的直线分别交直线于点和点.问：以为直径的圆是否经过定点？若是，求出所有定点坐标；若不是，说明理由.
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