坐标系与参数方程
全国卷五年考情图解
高考命题规律把握
1.考查形式本题为高考选做题，以解答题形式出现，分值10分.2.考查内容(1)参数方程、极坐标与曲线的关系；(2)由参数方程、极坐标方程求解曲线的一些基本量，主要是极坐标与直角坐标、参数方程(直线、圆、椭圆的参数方程)与普通方程的互化问题及应用等，考查知识点较为简单和稳定.
坐标系
[考试要求] 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.
3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标
①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.
②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.
③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
3．极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：
4．常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆
ρ＝r(0≤θ≤2π)
圆心为(r,0)半径为r的圆
ρ＝2rcos
θ
圆心为，半径为r的圆
ρ＝2rsin
θ(0≤θ≤π)
过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α(ρ∈R)
或θ＝α＋π(θ∈R)
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
ρcos
θ＝a
过点，与极轴平行的直线
ρsin
θ＝a(0＜θ＜π)
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．
( )
(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.
( )
(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．
( )
(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
二、教材习题衍生
1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin
θ的圆心的极坐标是( )
A．
B．
C．(1,0)
D．(1，π)
B [由ρ＝－2sin
θ，得ρ2＝－2ρsin
θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.]
2．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A．ρ＝，0≤θ≤
B．ρ＝，0≤θ≤
C．ρ＝cos
θ＋sin
θ，0≤θ≤
D．ρ＝cos
θ＋sin
θ，0≤θ≤
A [∵y＝1－x(0≤x≤1)，∴ρsin
θ＝1－ρcos
θ(0≤ρcos
θ≤1)，∴ρ＝.]
3．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin
x的方程变为
．
y′＝3sin
2x′ [由知
代入y＝sin
x中得y′＝3sin
2x′.]
4．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为
．
[因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.]
考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换
伸缩变换后方程的求法
平面上的曲线y＝f
(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f
(x)，得＝f
，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．
1．求椭圆＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程．
[解] 由得到 ①
将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，
即x′2＋y′2＝1.
因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.
2．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式为φ：求a，b的值．
[解] 由得代入x2＋y2＝1中得＋＝1，
所以a2＝9，b2＝4，即a＝3，b＝2.
点评：解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用求解；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解．
考点二 极坐标系与直角坐标系的互化
1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法
(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos
θ及y＝ρsin
θ直接代入直角坐标方程并化简即可．
(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos
θ，ρsin
θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．
2．极角的确定方法
由tan
θ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．在这里要注意：当x≠0时，θ角才能由tan
θ＝按上述方法确定．当x＝0时，tan
θ没有意义，这时可分三种情况处理：当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y＞0时，可取θ＝；当x＝0，y＜0时，可取θ＝.
[典例1] (1)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos
θ＋sin
θ和直线l：ρsin＝(ρ≥0,0≤θ<2π)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．
①求圆O和直线l的直角坐标方程；
②当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．
(2)(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.
①分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
②曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．
[解] (1)①由圆O：ρ＝cos
θ＋sin
θ，得ρ2＝ρcos
θ＋ρsin
θ.
∵∴ρ2＝x2＋y2，
代入ρ2＝ρcos
θ＋ρsin
θ，得x2＋y2＝x＋y，故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0.
由直线l：ρsin＝，得ρsin
θ－ρcos
θ＝1.
∵∴y－x＝1.
故直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
②由①知圆O与直线l的直角坐标方程，
由解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，
又∵θ∈(0，π)，∴点(0,1)的极坐标为.
(2)①由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos
θ，ρ＝2sin
θ，ρ＝－2cos
θ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos
θ，M2的极坐标方程为ρ＝2sin
θ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cos
θ.
②设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：
若0≤θ≤，则2cos
θ＝，解得θ＝；
若≤θ≤，则2sin
θ＝，解得θ＝或θ＝；
若≤θ≤π，则－2cos
θ＝，解得θ＝.
综上，P的极坐标为或或或.
点评：(1)极坐标与直角坐标的互化依据是x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ；(2)互化时要注意前后的等价性．
1．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
[解] (1)由ρ＝2知ρ2＝4，
所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.
因为ρ2－2ρcos＝2，
所以ρ2－2ρ＝2，
即ρ2－2ρcos
θ－2ρsin
θ＝2.
所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，
得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.
化为极坐标方程为ρcos
θ＋ρsin
θ＝1，
即ρsin＝.
2．(2020·全国卷Ⅱ)已知曲线C1，C2的参数方程分别为
C1：(θ为参数)，C2：(t为参数)．
(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．
[解] (1)C1的普通方程为x＋y＝4(0≤x≤4)．
由C2的参数方程得x2＝t2＋＋2，y2＝t2＋－2，所以x2－y2＝4.
故C2的普通方程为x2－y2＝4.
(2)由得
所以P的直角坐标为.
设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0)，由题意得
x＝＋，解得x0＝.
因此，所求圆的极坐标方程为ρ＝cos
θ.
考点三 极坐标方程的应用
曲线的极坐标方程中ρ，θ的几何意义是常考点，其中极径ρ代表点与极点的距离，极角θ代表从极轴出发逆时针旋转的角度．求解与弦长、弦长比值、角度及三角形面积等有关的问题时，需要结合图形分析几何关系．比如与弦长有关的问题，直线必须过极点，才能利用ρ的几何意义；与三角形面积有关的问题，三角形必须有一个顶点与极点重合，才能利用面积公式S＝ρ1ρ2sin|θ1－θ2|求解．破解此类题的关键点如下：
(1)统一．先将曲线和直线的方程统一成极坐标方程．
(2)联立．若直线经过极点，则联立直线与曲线的极坐标方程，化简求出交点的极坐标．
(3)求值．由极坐标的几何意义解决问题，常见的题型如下．
①过极点的直线与曲线相交于A，B两点，求弦长：|AB|＝|ρA－ρB|.
②直线与曲线相交于A，B两点，求A，B与极点O构成的△AOB的面积：S＝ρAρBsin|θA－θB|.
[典例2] 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos
θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
[解] (1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．
由题意知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos
θ(ρ＞0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos
α，于是△OAB的面积
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos
α·
＝2≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.
点评：求线段的长度有两种方法．方法一，先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度．方法二，直接在极坐标系下求解，设A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则|AB|＝；如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间的距离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|ρ1－ρ2|即为所求．
1．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
[解] (1)因为x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，
所以C1的极坐标方程为ρcos
θ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos
θ－4ρsin
θ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos
θ－4ρsin
θ＋4＝0，得
ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.
故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.
2．在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsin
θ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2.
(1)求曲线C2的极坐标方程；
(2)求曲线C2上的点到直线ρcos＝距离的最大值．
[解] (1)设P(ρ1，θ)，M(ρ2，θ)，
由|OP|·|OM|＝4，
得ρ1ρ2＝4，即ρ2＝.
因为M是C1上任意一点，所以ρ2sin
θ＝2，
即sin
θ＝2，ρ1＝2sin
θ.
所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin
θ.
(2)由ρ＝2sin
θ，得ρ2＝2ρsin
θ，即x2＋y2－2y＝0，
化为标准方程为x2＋(y－1)2＝1，
则曲线C2的圆心坐标为(0,1)，半径为1，
由直线ρcos＝，
得ρcos
θcos
－ρsin
θsin
＝，
即x－y＝2，
圆心(0,1)到直线x－y＝2的距离为
d＝＝，
所以曲线C2上的点到直线ρcos＝距离的最大值为1＋.
PAGE 参数方程
[考试要求] 1.了解参数方程，了解参数的意义.
2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．
1．曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．
2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan
α(x－x0)
(t为参数)
圆
x2＋y2＝r2
(θ为参数)
椭圆
＋＝1(a＞b＞0)
(φ为参数)
根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：
过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.
(1)弦长l＝|t1－t2|；
(2)弦M1M2的中点?t1＋t2＝0；
(3)|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．
( )
(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．
( )
(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．
( )
(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
二、教材习题衍生
1．曲线(θ为参数)的对称中心( )
A．在直线y＝2x上
B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上
D．在直线y＝x＋1上
B [由得
所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.
曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，
所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．]
2．直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为( )
A．(3，－3)
B．(－，3)
C．(，－3)
D．(3，－)
D [将直线方程代入圆的方程，得＋＝16，整理，得t2－8t＋12＝0，则t1＋t2＝8，＝4，故其中点坐标满足解得]
3．曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为
．
y＝2－2x2(－1≤x≤1) [由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．]
4．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则a＝
.
3 [直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1，∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3－a＝0，∴a＝3.]
考点一 参数方程与普通方程的互化
将参数方程化为普通方程的方法
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解．
1．将下列参数方程化为普通方程．
(1)(t为参数)；
(2)(θ为参数)；
(3)(t为参数)．
[解] (1)∵＋＝1，
∴x2＋y2＝1.
∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.
又x＝，∴x≠0.
当t≥1时，0＜x≤1；
当t≤－1时，－1≤x＜0，
∴所求普通方程为x2＋y2＝1，
其中或
(2)∵y＝－1＋cos
2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2，∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.
∵0≤sin2θ≤1，
∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3，
∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．
(3)因为x＝，
y＝＝＝4－3×＝4－3x.
又x＝＝＝2－∈[0,2)，
所以所求的普通方程为3x＋y－4＝0(x∈[0,2))．
2．(2020·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcos
θ－16ρsin
θ＋3＝0.
(1)当k＝1时，C1是什么曲线？
(2)当k＝4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．
[解] (1)当k＝1时，C1：消去参数t得x2＋y2＝1，故曲线C1是圆心为坐标原点，半径为1的圆．
(2)当k＝4时，C1：消去参数t得C1的普通方程为＋＝1.
C2的直角坐标方程为4x－16y＋3＝0.
由解得
故C1与C2的公共点的直角坐标为.
点评：将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f
(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．
考点二 参数方程的应用
1.直线的参数方程中t的几何意义
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，其中t的几何意义是：|t|表示以点P0(x0，y0)为起点，P(x，y)为终点的有向线段的长度，即|t|＝||.当t＞0时，的方向向上；当t＜0时，的方向向下；当t＝0时，点P与点P0重合．
2．直线的参数方程中t的应用
经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上的两点，对应的参数分别为tA，tB，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为tM，则有
(1)tM＝；(2)|AB|＝|tA－tB|＝；(3)|PA|·|PB|＝|tA|·|tB|；(4)|PM|＝|tM|＝；(5)若定点P是线段AB的中点，则tA＋tB＝0；(6)|PA|＋|PB|＝|tA|＋|tB|.
解决此类题的关键如下：
①统一，将曲线的方程统一为直角坐标系下的方程或者极坐标系下的方程；
②联立，联立直线的参数方程和曲线的普通方程；
③求值，根据t的几何意义求解．
[典例1] (1)(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos
θ＋ρsin
θ＋11＝0.
①求C和l的直角坐标方程；
②求C上的点到l距离的最小值．
(2)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
①求α的取值范围；
②求AB中点P的轨迹的参数方程．
[解] (1)①因为－1<≤1，且x2＋＝＋＝1，
所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)．
l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.
②由①可设C的参数方程为(α为参数，－π<α<π)．
C上的点到l的距离为＝.
当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.
(2)①⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点．
当α≠时，记tan
α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，
解得k＜－1或k＞1，
即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是.
②l的参数方程为(t为参数，＜α＜)．
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，
则tP＝，
且tA，tB满足t2－2tsin
α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sin
α，tP＝sin
α.
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是
.
点评：(1)对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题；(2)椭圆的参数方程实质是三角代换求点到直线距离的最大值，一般利用曲线的参数方程及点到直线的距离公式把距离最值转化为三角函数求最大值．
1．(2020·广州市调研检测)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(m为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin
θ－ρcos
θ－＝0.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)已知点P(0,1)，直线l与曲线C交于A，B两点，求＋的值．
[解] (1)因为，
所以eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(x2＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f
(1,m)))＝m2＋\f
(1,m2)＋2,y2＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f
(1,m)))＝m2＋\f
(1,m2)－2))，所以x2－y2＝4.
所以曲线C的普通方程为x2－y2＝4.
因为ρcos
θ＝x，ρsin
θ＝y，
所以y－x－＝0.
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋＝0.
(2)法一：由，
不妨取A，B.
因为点P(0,1)，
所以|PA|＝－1，|PB|＝＋1.
所以＋＝＋＝.
法二：因为点P(0,1)在直线l上，所以直线l的参数方程为(t为参数)，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
将代入x2－y2＝4，
得t2－2t－10＝0，
Δ＝(－2)2－4×1×(－10)＝44＞0，
所以t1＋t2＝2，t1·t2＝－10＜0.
因为|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，
所以＋＝＋＝＝＝＝，
所以＋＝.
2．(2020·江西五校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数，0≤β＜π)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)已知直线l与曲线C相交于A，B两点，且|OA|－|OB|＝2，求β.
[解] (1)由曲线C的参数方程可得普通方程为(x－4)2＋y2＝9，
即x2＋y2－8x＋7＝0，
又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos
θ，所以曲线C的极坐标方程为ρ2－8ρcos
θ＋7＝0.
(2)由直线l的参数方程可得直线l的极坐标方程为θ＝β(ρ∈R)，因为直线l与曲线C相交于A，B两点，所以设A(ρ1，β)，B(ρ2，β)，联立得，可得ρ2－8ρcos
β＋7＝0，
因为Δ＝64cos2β－28＞0，所以cos2β＞，ρ1＋ρ2＝8cos
β，ρ1ρ2＝7，
所以|OA|－|OB|＝|ρ1－ρ2|＝＝＝2，
解得cos
β＝±，所以β＝或.
考点三 极坐标、参数方程的综合应用
处理极坐标、参数方程综合问题的方法
(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
[典例2] (1)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin
θ，曲线C3：ρ＝2cos
θ.
①求C2与C3交点的直角坐标；
②若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求AB的最大值．
(2)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
①写出C的普通方程；
②以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos
θ＋sin
θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
[解] (1)①曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
联立
解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
②曲线C1的极坐标为方程θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α≤π.
因此A的极坐标为(2sin
α，α)，B的极坐标为(2cos
α，α)，
所以AB＝|2sin
α－2cos
α|＝4.
当α＝时，AB取得最大值，最大值为4.
(2)①消去参数t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；
消去参数m，得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．
设P(x，y)，由题设得
消去k得x2－y2＝4(y≠0)，
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．
②C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，
联立得
cos
θ－sin
θ＝2(cos
θ＋sin
θ)．
故tan
θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，
所以交点M的极径为.
点评：(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求解；(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断；(3)求参数方程与极坐标综合的问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．
1．(2020·郑州市第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy中
，已知曲线E经过点P，其参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线E的极坐标方程；
(2)若直线l交曲线E于点A，B，且OA⊥OB，求证：＋为定值，并求出这个定值．
[解] (1)将点P代入曲线E的参数方程，
得，解得a2＝4，
所以曲线E的普通方程为＋＝1，
极坐标方程为ρ2＝1.
(2)不妨设A(ρ1，θ)，B，ρ1＞0，ρ2＞0，
则，
即，
＋＝＋＝，即＋＝，为定值．
2．(2020·长沙市统一模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设直线l1与l2的交点为P，当k变化时点P的轨迹为曲线C1.
(1)求出曲线C1的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsin＝3，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值．
[解] (1)分别消去l1，l2的参数方程中的参数，得l1，l2的普通方程为
l1：y＝k(x＋)，
l2：y＝(－x)，
两式相乘消去k可得＋y2＝1，
因为k≠0，所以y≠0，所以曲线C1的普通方程为＋y2＝1(y≠0)．
(2)因为ρsin＝3，所以ρsin
θ＋ρcos
θ＝6，
将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ代入上式，得直线C2的直角坐标方程为x＋y－6＝0.
结合(1)知曲线C1与直线C2无公共点．
曲线C1的参数方程为(α为参数，α≠kπ，k∈Z)，
所以曲线C1上的点Q(cos
α，sin
α)到直线x＋y－6＝0的距离
d＝＝，
所以当sin＝－1时，d取得最大值，为4.
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