(共23张PPT)
热点专练1 集合、复数、常用逻辑用语
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.(2020·新高考山东卷)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝( )
A.{x|2＜x≤3}
B.{x|2≤x≤3}
C.{x|1≤x＜4}
D.{x|1＜x＜4}
2.(2020·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N
，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.6
解析 A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N
，y≥x}＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}.故选C.
答案 C
3.(2020·全国Ⅰ卷)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( )
A.－4
B.－2
C.2
D.4
答案 B
4.(2020·北京卷)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1，2)，则i·z＝( )
A.1＋2i
B.－2＋i
C.1－2i
D.－2－i
解析 z＝1＋2i，∴i·z＝i(1＋2i)＝－2＋i.故选B.
答案 B
答案 D
A.1－i
B.1＋i
C.－i
D.i
6.(2020·全国Ⅰ卷)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝( )
解析 法一 z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z2－2z|＝|－2|＝2.
法二 |z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i||－1＋i|＝2.
故选D.
答案 D
7.(2020·天津卷)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由a2＞a，得a2－a＞0，解得a＞1或a＜0，
∴“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件.故选A.
答案 A
8.(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin
α＝sin
β”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 (1)若k为偶数，设k＝2n(n∈Z)，则α＝2nπ＋β，有sin
α＝sin(2nπ＋β)＝sin
β；若k为奇数，设k＝2n＋1(n∈Z)，则α＝(2n＋1)π－β，有sin
α＝sin[(2n＋1)π－β]＝sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sin
β.充分性成立.
(2)若sin
α＝sin
β，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，
即α＝2kπ＋β或α＝(2k＋1)π－β(k∈Z)，
故α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z).
必要性成立.
故应为充分必要条件.故选C.
答案 C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知集合M＝{1，2，3，4，5}，M∩N＝{4，5}，则集合N可能为( )
A.{1，2，3，4，5}
B.{4，5，6}
C.{4，5}
D.{3，4，5}
解析 由集合M＝{1，2，3，4，5}，M∩N＝{4，5}，可得集合N必含有元素4和5，但不能含有1，2，3，根据选项，可得集合N可能为{4，5，6}，{4，5}.故选BC.
答案 BC
10.已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}.若N?M，则实数a的值可能为( )
A.－1
B.0
C.1
D.2
答案 ABC
答案 ABC
12.(2020·德州二模)下列命题中是真命题的是( )
A.已知非零向量a，b，若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b
B.若命题p：?x∈(0，＋∞)，x－1>ln
x，则p的否定为?x0∈(0，＋∞)，x0－1≤ln
x0
C.在△ABC中，“sin
A＋cos
A＝sin
B＋cos
B”是“A＝B”的充要条件
D.若定义在R上的函数y＝f(x)是奇函数，则y＝f(f(x))也是奇函数
答案 ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若“(x－a)(x－a＋2)≤0”是“1≤x≤2”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.
答案 [2，3]
15.(2020·石家庄模拟)已知集合A＝{x|2x2－x－1<0}，B＝{x|a答案 －2 3
解析 法一 设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，
因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，(共21张PPT)
热点专练2 不等式
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若a，b，c为实数，且a答案 D
答案 B
答案 B
4.(2020·日照检测)若实数x，y满足2x＋2y＝1，则x＋y的最大值是( )
A.－4
B.－2
C.2
D.4
答案 B
5.(2020·菏泽模拟)若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是( )
答案 C
答案 D
A.16
B.9
C.4
D.2
答案 C
8.(2020·宜昌模拟)若对任意的x∈[1，5]，存在实数a，使2x≤x2＋ax＋b≤6x(a∈R，b>0)恒成立，则实数b的最大值为( )
A.9
B.10
C.11
D.12
解析 已知当x∈[1，5]时，存在实数a，使2x≤x2＋ax＋b≤6x恒成立，则－x2＋2x≤ax＋b≤－x2＋6x，令f(x)＝－x2＋2x(1≤x≤5)，g(x)＝－x2＋6x(1≤x≤5)，作出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，要使b最大，且满足－x2＋2x≤ax＋b≤－x2＋6x(1≤x≤5)，则直线y＝ax＋b必过(1，5)，且与函数y＝f(x)的图象相切于点B.
答案 A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.(2020·德州模拟)对于实数a，b，c，下列命题中正确的是( )
答案 BCD
10.(2020·石家庄一模)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( )
答案 BD
11.(2020·济南一中期中)设正实数a，b满足a＋b＝1，则( )
答案 ACD
12.(2020·烟台模拟)下列说法正确的是( )
答案 BD
14.(2020·深圳统测)已知x>0，y>0，且x＋2y＝xy，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则xy的最小值为________，实数m的取值范围为________.(本小题第一空2分，第二空3分)
答案 8 (－4，2)
答案 4
16.(2020·江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________.(共21张PPT)
热点专练3 平面向量
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
答案 C
2.(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos
〈a，a＋b〉＝( )
答案 D
3.(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A.a＋2b
B.2a＋b
C.a－2b
D.2a－b
答案 D
4.(2020·石家庄调研)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝5，则2a－b在a方向上的投影为( )
答案 B
答案 C
答案 D
答案 B
8.(2020·青岛调研)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
解析 因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c).如图所示，
答案 C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.(2020·青岛质检)已知向量a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，c＝(1，1)，设a，b的夹角为θ，则( )
A.|a|＝|b|
B.a⊥c
C.b∥c
D.θ＝135°
答案 BD
答案 ABD
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
答案 AD
答案 BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.(2020·全国Ⅰ卷)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.(共25张PPT)
热点专练4 排列、组合、二项式定理
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.(2020·新高考山东卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A.120种
B.90种
C.60种
D.30种
答案 C
答案 B
3.(2020·广州一模)2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是( )
A.36
B.24
C.72
D.144
答案 C
A.5
B.10
C.15
D.20
答案 C
5.(2020·湖南师大附中模拟)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有( )
A.40种
B.60种
C.100种
D.120种
答案 B
6.(x2－ax＋2y)5的展开式中x5y2的系数为240，则实数a的值为( )
A.－2
B.－1
C.1
D.2
答案 A
7.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数.“礼”，礼节，即今德育；“乐”，音乐，即今美育；“射”和“御”，射箭和驾驭马车的技术，即今体育和劳动；“书”，书法，即今文学；“数”，算法，即今数学.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”必须排在第一，“数”不能排在最后，“射”和“御”要相邻，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有( )
A.18种
B.36种
C.72种
D.144种
解析 由题意分析“射”和“御”排或不排在最后分两种情况讨论.
答案 B
8.如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左、右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无算珠)，记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a＝9.若a，b，c成等差数列，则不同的分算珠计数法的种数为( )
A.12
B.24
C.16
D.32
解析 由题意可知，a，b，c∈[7，14]，当a，b，c相等时，有8种计数法；当a，b，c组成公差为±1的等差数列时，有12种计数法；当a，b，c组成公差为±2的等差数列时，有8种计数法；当a，b，c组成公差为±3的等差数列时，有4种计数法.综上，计数法共有8＋12＋8＋4＝32(种).
答案 D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.(2020·石家庄一模)下列四个命题为真命题的是( )
答案 BCD
A.若a＝1，则展开式中的常数项为15
B.若a＝2，则展开式中各项系数之和为1
C.若展开式中的常数项为60，则a＝2
D.若展开式中各项系数之和为64，则a＝2
答案 AB
11.第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，现安排小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作，则下列说法正确的是( )
A.若五人每人任选一项工作，则不同的选法有54种
B.若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案
C.若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案
D.若安排小张和小赵分别从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪、服务工作，则有12种不同的方案
答案 BCD
A.n＝5
B.M＝25
C.N＝25
D.二项展开式中xy的系数为270
答案 ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.(2020·漳州适应性测试)若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m＝________.
解析 令x＝1，则(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝63＋a0.
令x＝0，则a0＝1，所以(1＋m)6＝64，则m＝1或m＝－3.
答案 1或－3
14.(2020·全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种.
答案 36
15.北京大兴国际机场是一座跨地域、超大型的国际航空综合交通枢纽，目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示.若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，有________种不同的安排方法；若西一跑道、西二跑道至少有1条跑道被选取，有________种不同的安排方法.(用数字作答)(本小题第一空2分，第二空3分)
答案 12 10
答案 18(共29张PPT)
热点专练5 数学文化
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.(2020·辽宁五校模拟)欧拉公式eπi＋1＝0因为非常简洁地融合了数学中最基本的五个常数(自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数单位1，以及0)而被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合A＝{e，π，i，1，0}，则集合A中不含无理数的子集共有( )
A.8个
B.7个
C.4个
D.3个
解析 欧拉公式中数值组成的集合A中不是无理数的元素一共有3个，故共有23＝8(个)子集.故选A.
答案 A
2.(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
答案 C
3.(2020·成都模拟)《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问：五人各得几何？”其意思为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是( )
A.15
B.16
C.18
D.21
答案 C
4.(2020·广州一模)中国古代十进制的算筹计数法，在史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数的一种方法.例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9数字表示两位数的个数为( )
A.13
B.14
C.15
D.16
解析 根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1，5；1，9；2，4；2，8；6，4；6，8；3，3；3，7；7，7.数字组合1，5；1，9；2，4；2，8；6，4；6，8；3，7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×7＝14个两位数.数字组合3，3；7，7中，每组可以表示1个两位数.则可以表示2×1＝2个两位数，则一共可以表示14＋2＝16个两位数，故选D.
答案 D
答案 C
6.(2020·新高考山东、海南卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为( )
A.20°
B.40°
C.50°
D.90°
解析 示意图如图所示，⊙O所在平面为地球赤道所在平面，⊙O1所在平面为点A处的日晷的晷面所在的平面，由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1＝40°，又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与⊙O1所在的平面垂直，则∠CAB＝∠OAO1＝40°，故晷针AC与点A处的水平面所成角为40°.故选B.
答案 B
A.165
cm
B.175
cm
C.185
cm
D.190
cm
答案 B
8.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为AC，BD)，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC，BD，则双曲线Γ的离心率为( )
答案 A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.(2020·济宁模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )
答案 BC
A.?x∈R，f(f(x))＝1
B.函数f(x)是偶函数
C.对于任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立
D.存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等边三角形
答案 ABCD
11.(2020·重庆质检)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线C：y＝x2，直线l为曲线C在点(1，1)处的切线.如图所示，阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得到的几何体为Γ.给出以下四个几何体：
图1是底面直径和高均为1的圆锥；
图2是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；
图3是底面边长和高均为1的正四棱锥；
图4是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体.
根据祖暅原理，以上四个几何体中与Γ的体积不相等的是( )
A.图1
B.图2
C.图3
D.图4
答案 BCD
答案 BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是________步.
答案 6
14.现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座号分别为1、2、3、4的四个座位上，他们分别有以下要求：甲：我不坐座号为1和2的座位；
乙：我不坐座号为1和4的座位；
丙：我的要求和乙一样；
丁：如果乙不坐座号为2的座位，我就不坐座号为1的座位.
那么坐的座号为3的座位上的是________.
解析 根据题意，甲、乙、丙三人都不坐座号为1的座位，那么只有丁坐座号为1的座位，这样乙就坐座号为2的座位，易知丙只能坐座号为3的座位，则甲坐座号为4的座位.
答案 丙
