不等式选讲课件（共41张PPT）2021届高考二轮考前复习数学文科

(共41张PPT)
不等式选讲
真题再研析·提升审题力
【典例】(10分)(2020·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;
(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.
【审题·逆向思维】
求f(x)≥4的解集,想到a=2时f(x)=|x-4|+|x-3|.
(1)分别讨论x≤3,3(2)f(x)≥4时,求a的取值范围,联想到f(x)的最小值用a表示出来,进而求解.
【标准答案】(1)当a=2时,f(x)=|x-4|+|x-3|.
…………1分
当x≤3时,f(x)=4-x+3-x=7-2x≥4,
解得:x≤
;
…………2分
当3…………3分
当x≥4时,f(x)=x-4+x-3=2x-7≥4,
解得:x≥
;
…………4分
综上所述:f(x)≥4的解集为
.
…………5分
(2)f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|≥
|(x-a2)-(x-2a+1)|=|-a2+2a-1|
=(a-1)2(当且仅当2a-1≤x≤a2时取等号),………7分
所以(a-1)2≥4,解得:a≤-1或a≥3,
………9分
所以a的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).
………10分
【深度解读】
测试
目标
(1)直接运用零点分类讨论求解;
(2)利用不等式的性质创建不等式(a-1)2≥4
测试
素养
数据分析:根据每个绝对值的特点分析出讨论的依据.
逻辑推理:利用逻辑推理求并集;
数学建模:利用转化的思想,建立关于a的不等式;
数学运算:分别求解不等式.
【模拟考场】
已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,
即f(x)=
则当x≥1时,f(x)=2>1恒成立,所以x≥1;
当-11,所以
当x≤-1时,f(x)=-2<1.
故不等式f(x)>1的解集为
(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于
当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.
若a≤0,则当x∈(0,1)时,|ax-1|≥1;
若a>0,|ax-1|<1的解集为
,
所以
≥1,故0综上,a的取值范围为(0,2].
【考场秘技】
1.含绝对值不等式的解法
(1)用零点分段法
①求零点;
②划区间、去绝对值符号;
③分别解去掉绝对值的不等式;
④取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.
(2)数形结合法:用于求解含有绝对值的不等式,使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观.
2.绝对值不等式的成立问题的求解策略
(1)分离参数:根据不等式将参数分离,化为a≥f(x)或a≤f(x)的形式.
(2)转化最值:
①f(x)>a恒成立?f(x)min>a;
f(x)②f(x)>a有解?f(x)max>a;
f(x)③f(x)>a无解?f(x)max≤a;f(x)(3)求最值:利用基本不等式或绝对值不等式求最值.
(4)得结论.
【万能模板】
求解绝对值不等式的步骤
第一步找零点:利用题意将所给的绝对值函数写成分段函数的形式然后求解不等式即可;
第二步写解集:求各段解集的并集;
第三步找关系:利用分类讨论或不等式的性质将问题转化,利用恒成立找关系;
第四步求范围:根据关系求范围.
【阅卷点评】
1.步骤分:(1)第(1)问中综上所述不要缺少;(2)明确a的取值范围.
2.关键分:第(2)问中的当且仅当2a-1≤x≤a2时取等号是解题的关键.
3.计算分:计算准确是根本保证.
4.对于含有绝对值符号的不等式,在求解时可讨论绝对值符号内的式子大于或小于0时分别求解.
1.(面积问题)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
高考演兵场·检验考试力
【解析】(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0,
当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;
当-10,解得
当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为
.
(2)由题设可得,f(x)=
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A
,
B
,C
,△ABC的面积为
.
由题设得
>6,故a>2.
所以a的取值范围为(2，+∞).
2.(集合问题)已知函数f(x)=|x-a|+|x-1|.
(1)若a=0,求不等式f(x)>
的解集;
(2)若f(x)【解析】(1)当a=0时,函数f(x)=|x|+|x-1|,
当x<0时,f(x)>
等价于|x|+|x-1|>-2,该不等式恒成立,
当0
等价于1>2,该不等式不成立,
当x>1时,f(x)>
等价于
解得x>
.
所以不等式f(x)>
的解集为(-∞,0)∪
.
(2)由f(x)得x∈[0,1]时f(x)即|x-a|+1-x即|x-a|即-a2+1-x所以
,解得a>
或a<
,
所以a的取值范围是
∪
3.(分类讨论问题)已知f(x)=|x+a|(a∈R).
(1)若f(x)≥|2x-1|的解集为[0,2],求a的值;
(2)若对任意x∈R,不等式f(x)+|x-a|≥3a-2恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】(1)不等式f(x)≥|2x-1|,即|x+a|≥|2x-1|,
两边平方整理得3x2-
+1-a2≤0,
由题意知0和2是方程3x2-
+1-a2=0的两个实数根,
即
,解得a=1.
(2)因为f(x)+|x-a|=|x+a|+|x-a|≥|
|=2|a|,
所以要使不等式f(x)+|x-a|≥3a-2恒成立,只需2|a|≥3a-2,
当a≥0时,2a≥3a-2,解得a≤2,即0≤a≤2;
当a<0时,-2a≥3a-2,解得a≤
,即a<0;
综上所述,a的取值范围是
4.(恒成立问题)已知函数f(x)=|x-2|.
(1)解不等式f(x)+f(2x+1)≥6;
(2)对a+b=1(a,b＞0)及?x∈R,不等式f(x-m)-f(-x)≤
恒成立,求实数m的
取值范围.
【解析】(1)f(x)+f
=|x-2|+|2x-1|=
当x<
时,由3-3x≥6,解得x≤-1;
当
≤x≤2时,x+1≥6不成立;
当x>2时,由3x-3≥6,解得x≥3.
所以不等式f(x)+f(2x+1)≥6的解集为
∪
.
(2)因为a+b=1
所以
(当且仅当a=
,b=
时等号成立).
由题意知对?x∈R,|x-2-m|-|-x-2|≤9,
即(|x-2-m|-|-x-2|)max≤9,
因为|x-2-m|-|-x-2|≤|
|=|-4-m|,
所以-9≤m+4≤9,解得-13≤m≤5.
5.(与方程结合)设函数f(x)=2x-1-|x-1|.
(1)求不等式f(x)<3的解集;
(2)若方程f(x)=x2+ax有两个不等实数根,求a的取值范围.
【解析】(1)f(x)=2x-1-|x-1|=
,
因为f(x)<3,所以
所以x≤1或1所以不等式的解集为(-∞,3).
(2)方程f(x)=x2+ax,即2x-1-|x-1|=x2+ax,
显然x=0不是方程的根,故
令
当x<0时,
当且仅当x=-
时取等号,
作出g(x)的图象,如图所示:
因为方程f(x)=x2+ax有两个不等实数根,
所以由图象可知
6.(存在问题)已知函数f(x)=|ax-2|,不等式f(x)≤4的解集为
(1)求实数a的值;
(2)设g(x)=f(x)+f(x+3),若存在x∈R,使g(x)-tx≤2成立,求实数t的取值范围.
【解析】(1)由|ax-2|≤4得-4≤ax-2≤4,
即-2≤ax≤6,
当a>0时,
所以
,解得a=1;
当a<0时,
所以
无解,
所以实数a的值为1.
(2)由已知得g(x)=f(x)+f(x+3)=|x-2|+|x+1|=
,
不等式g(x)-tx≤2,即g(x)≤tx+2,
由题意知y=tx+2恒过(0,2)点,如图,
由图可知,当t<0时,t≤kEM,当t>0时,t≥kFM,
又因为kEM=-1;kFM=
,所以t≤-1或t≥
.
7.(最值问题)已知f(x)=|2x+2|+|x-1|的最小值为t.
(1)求t的值;
(2)若实数a,b满足2a2+2b2=t,求
的最小值.
【解析】(1)f(x)=|2x+2|+|x-1|=
故当x=-1时,函数f(x)有最小值2,
所以t=2.
(2)由(1)可知2a2+2b2=2,
故a2+1+b2+2=4,
所以
当且仅当a2+1=b2+2=2,即a2=1,b2=0时等号成立,
故
的最小值为1.
8.(证明问题)已知a,b,c均为正实数,求证:
(1)(a+b)(ab+c2)≥4abc;
(2)若a+b+c=3,则
【证明】(1)要证(a+b)(ab+c2)≥4abc,
可证a2b+ac2+ab2+bc2-4abc≥0,
需证b(a2+c2-2ac)+a(c2+b2-2bc)≥0,
即证b(a-c)2+a(c-b)2≥0,
当且仅当a=b=c时,取等号,由已知,上式显然成立,
故不等式(a+b)(ab+c2)≥4abc成立.
(2)因为a,b,c均为正实数,
由不等式的性质知
当且仅当a+1=2时,取等号;
当且仅当b+1=2时,取等号;
当且仅当c+1=2时,取等号;
以上三式相加,
得
所以
当且仅当a=b=c=1时,取等号.