坐标系与参数方程课件（共39张PPT）2021届高考二轮考前复习数学文科

(共39张PPT)
坐标系与参数方程
真题再研析·提升审题力
【典例】(10分)(2020·全国Ⅱ卷)已知曲线C1,C2的参数方程分别为
C1:
(θ为参数),C2:
(t为参数).
(1)将C1,C2的参数方程化为普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1,C2的交点为P,求
圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.
【审题·正向思维】
(1)消去参数θ和t?普通方程;
(2)两方程联立?点P坐标?确定圆心,半径?圆的普通方程?圆的极坐标方程.
【标准答案】(1)由cos
2θ+sin
2θ=1得C1的普通方程为:x+y=4(0≤x≤4),
………………………………2分
由
得
,
得C2的普通方程为:x2-y2=4.
…………………………………………5分
(2)由
得P
;
………………6分
设所求圆圆心的直角坐标为(a,0),其中a>0,则
=a2,
解得:a=
,所以所求圆的半径为
,
…………………………8分
所以所求圆的直角坐标方程为:
,即x2+y2=
x,所以所求圆的
极坐标方程为ρ=
cos
θ.
………………10分
【深度解读】
测试
目标
(1)直接消参可得结论;
(2)联立方程组,求圆心,写出圆的方程,转化为极坐标方程.
测试
素养
数学抽象:由参数方程想到消参;
逻辑推理:方程的互化;
数学建模:求圆的方程;
数学运算:方程组联立求交点P.
【模拟考场】
已知直线l的参数方程为
(t为参数).在以坐标原点O为极点,
x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为
ρ2=4ρcos
θ+2
ρsin
θ-4.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求|OA|·|OB|.
　【解析】(1)由
消去t,
得y-
=
(x-1),即y=
x.
所以直线l的普通方程为y=
x.
曲线C:ρ2=4ρcos
θ+2
ρsin
θ-4.
所以其直角坐标方程为x2+y2=4x+2
y-4,
即(x-2)2+(y-
)2=3.
(2)由y=
x,得直线l的极坐标方程为θ=
.
代入曲线C的极坐标方程为ρ2-5ρ+4=0,
所以|OA|·|OB|=|ρA·ρB|=4.
【考场秘技】
1.极坐标方程与直角坐标方程互化的两个易错点
(1)注意ρ,θ的取值范围及其影响.
(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.
2.消参的三个技巧
(1)代入消参:利用解方程的技巧求出参数的表达式,然后代入消去参数.
(2)利用三角恒等式消去参数.
(3)根据参数方程本身的结构特征,灵活地选用一些方法从整体上消去参数.
3.对直线参数方程几何意义的理解
(1)过定点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为
(t为参数),t的几何意义是
的数量,即|t|表示P0到P的距离,t有正负之分.
(2)使用该式时直线上任意两点P1,P2对应的参数分别为t1,t2,
则|P1P2|=|t1-t2|,P1P2的中点对应的参数为
(t1+t2).
【万能模板】
　求解坐标系与参数方程问题的步骤
第一步找关系:寻找参数方程,极坐标方程的参数关系;
第二步求方程:利用参数间的关系互化求解;
第三步用意义:利用参数方程联立,借助直线方程的几何意义
第四步求结论:利用根与系数的关系或转化关系求解.
【阅卷点评】
1.步骤分:(1)方程组联立不能缺少;(2)圆的直角坐标方程要明确求出.
2.关键分:解题过程的关键点,有则给分,无则没分.如确定圆的半径.
3.计算分:计算准确是根本保证.如求P点坐标.
4.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.
1.(求参问题)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
(t为参
数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,
曲线C2:ρ=4cos
θ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan
α0=2,若曲线C1与C2的公共
点都在C3上,求a.
高考演兵场·检验考试力
1.【解析】(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆
心,a为半径的圆.
将x=ρcos
θ,y=ρsin
θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为
ρ2-2ρsin
θ+1-a2=0.
(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin
θcos
θ+1-a2=0,
由已知tan
θ=2,可得16cos2θ-8sin
θcos
θ=0,
从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.
a=1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上,所以a=1.
2.(极径问题)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为
(t为参数),
直线l2的参数方程为
(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,
P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,
设l3:ρ(cos
θ+sin
θ)-
=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
2.【解析】(1)由l1:
(t为参数)消去t,得l1的普通方程为y=k(x-2),①
同理得直线l2的普通方程为x+2=ky②,联立①,②消去k,得x2-y2=4(y≠0).
所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).
(2)将直线l3化为普通方程为x+y=
,
联立
得
所以ρ2=x2+y2=
=5,
所以l3与C的交点M的极径为
.
3.(角度问题)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
(α为参数,α∈[0,π]).以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,
曲线C2的极坐标方程为ρ2=
.
(1)求曲线C1的极坐标方程;
(2)设C1与C2的交点为M,N,求∠MON.
3.【解析】(1)由
得x2+y2=3.
又α∈[0,π],
所以曲线C1是以O为圆心,
为半径的圆的上半部分.
所以曲线C1的极坐标方程为ρ=
(θ∈[0,π]).
(2)将ρ=
代入ρ2=
中,
得1-sin
2θ+
cos
2θ=2,
即-sin
2θ+
cos
2θ=1.
所以2
=1,
即cos
.
又2θ+
,
所以2θ+
或2θ+
=2π-
,
即θ=
或θ=
.
所以∠MON=
.
4.(定值问题)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立
极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos
=2.
(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程;
(2)设直线l与y轴交点为P,经过点P的直线与曲线C交于A,B两点,证明:
|PA|·|PB|为定值.
4.【解析】(1)由题意,可得x2+y2=
=4,
化简得曲线C:x2+y2=4.
直线l的极坐标方程展开为
ρcos
θ-
ρsin
θ=2,
故l的直角坐标方程为
x-y-4=0.
(2)显然P的坐标为（0，-4）,不妨设过点P的直线方程为
(t为参数),
代入C:x2+y2=4得t2-8tsin
α+12=0,
所以|PA|·|PB|=|t1t2|=12为定值.
5.(坐标问题)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
(α为参数),
以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为
ρsin
.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值以及此时P的直角坐标.
5.【解析】(1)C1的普通方程为
+y2=1,C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
(2)由题意,可设点P的直角坐标为(
cos
α,sin
α),
因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,
d(α)=
当且仅当α=2kπ+
(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为
,
此时P的直角坐标为
.
6.(范围问题)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立
极坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为ρ2-2
ρsin
-2=0,曲线C2的极坐
标方程为θ=
,C1与C2相交于A,B两点.
(1)把C1和C2的极坐标方程化为直角坐标方程,并求点A,B的直角坐标;
(2)若P为C1上的动点,求|PA|2+|PB|2的取值范围.
6.【解析】(1)由题意知,曲线C1与曲线C2的直角坐标方程分别为
C1:(x+1)2+(y-1)2=4,C2:x-y=0.
联立
得
或
即A(-1,-1),B(1,1)或A(1,1),B(-1,-1).
(2)设P(-1+2cos
α,1+2sin
α),不妨设A(-1,-1),B(1,1),
则|PA|2+|PB|2=(2cos
α)2+(2sin
α+2)2+(2cos
α-2)2+(2sin
α)2=
16+8sin
α-8cos
α=16+8
sin
,
所以|PA|2+|PB|2的取值范围为[16-8
,16+8
].
7.(最值问题)在平面直角坐标系xOy中,直线l1过原点且倾斜角为α
.
以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为
ρ=2cos
θ.在平面直角坐标系xOy中,曲线C2与曲线C1关于直线y=x对称.
(1)求曲线C2的极坐标方程;
(2)若直线l2过原点且倾斜角为α+
,设直线l1与曲线C1相交于O,A两点,
直线l2与曲线C2相交于O,B两点,当α变化时,求△AOB面积的最大值.
7.【解析】(1)方法一:由题意可知,C1的直角坐标方程为:x2+y2-2x=0,
设曲线C2上任意一点（x，y）关于直线y=x的对称点为
,所以
又因为
-2x0=0,即x2+y2-2y=0,
所以曲线C2的极坐标方程为:ρ=2sin
θ.
方法二:由题意可知,y=x的极坐标方程为:θ=
,
设曲线C2上一点
关于θ=
的对称点为
,所以
又因为ρ0=2cos
θ0,即ρ=2cos
=2sin
θ,
所以曲线C2的极坐标方程为:ρ=2sin
θ.
(2)直线l1的极坐标方程为:θ=α,直线l2的极坐标方程为:
θ=α+
,设A
,B
,
所以
解得ρ1=2cos
α,
解得ρ2=2sin
,
所以S△AOB=
因为0≤α<
,所以
,
当2α+
,
即α=
时,sin
=1,S△AOB取得最大值为
.
8.(探究性问题)在直角坐标系xOy中,设P为☉O:x2+y2=9上的动点,点D为P在x轴
上的投影,动点M满足2
,点M的轨迹为曲线C.以坐标原点为极点,x轴正
半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin
=2
,点A(ρ1,0),
B
为直线l上两点.
(1)求曲线C的参数方程;
(2)是否存在M,使得△MAB的面积为8?若存在,有几个这样的点?若不存在,
请说明理由.
8.【解析】(1)设P(3cos
α,3sin
α),M(x,y),则D(3cos
α,0).
由
,得
即曲线C的参数方程为
(2)依题意,直线l:x+
y-4
=0,
设点M(3cos
α,sin
α),
设点M到直线l的距离为d,
将θ=0,
代入ρsin
=2
,
得ρ1=4
,ρ2=4,|AB|=
=8.
S△MAB=
|AB|d≥4
,
因为8>4
,故存在符合题意的点M,且存在两个这样的点.