2021届高考数学二轮专题复习课件 圆锥曲线中的最值与范围问题（共51张PPT）

(共51张PPT)
圆锥曲线中的最值与范围
真题再研析·提升审题力
【典例】(12分)(2019·全国Ⅱ卷)已知F1,F2是椭圆C:
=1(a>b>0)的两个
焦点,P为C上一点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率.
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
【审题·逆向思维】
(1)求C的离心率?椭圆的定义?由△POF2为等边三角形,得到∠F1PF2,
|PF2|，
|PF1|;
(2)求b的值和a的取值范围?当且仅当
·2c=16,
=-1,
?P(x,y).
【标准答案】
(1)连接PF1,由△POF2为等边三角形可知:在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,
|PF2|=c,
|PF1|=
c,于是2a=|PF1|+|PF2|=c+
c,
…………3分
故椭圆C的离心率为e=
;
…………6分
(2)设P(x,y),
由题意知
·2c=16,
=-1,
=1,即c|y|=16　①,
x2+y2=c2　②,
=1　③,
由②③以及a2=b2+c2得y2=
,
又由①知y2=
,故b=4;…………9分
由②③得x2=
(c2-b2),所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4
;
……11分
当b=4,a≥4
时,存在满足条件的点P.
故b=4,a的取值范围为[4
,+∞).
……12分
【深度解读】
测试
目标
(1)直接运用椭圆的定义求解;
(2)根据已知条件构建a,b,c关系式,根据a,b,c之间的大小关系求解.
测试
目标
数学运算:分析已知条件构建a,b,c的关系式,进而求出离心率;
逻辑推理:利用逻辑推理求解b的值和a的取值范围.
【模拟考场】
已知F(-1,0),Q是圆K:x2-2x+y2-15=0上的任意一点,线段FQ的垂直平分线交QK于点P.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)过F作E的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,O为坐标原点,直线OM与E交于点C,D,求四边形ACBD面积的取值范围.
【解析】(1)由题意可知|PF|+|PK|=|PQ|+|PK|=4>2=|FK|，
所以动点P的轨迹是以F,K为焦点且长轴长为4的椭圆.
因此E的方程为
=1.
(2)由题意可设AB的方程为x=ky-1,
代入3x2+4y2-12=0,得(3k2+4)y2-6ky-9=0,
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则y1+y2=
,y1y2=
.
设M(x0,y0),y0=
x0=ky0-1=
-1=-
,
所以M
,OM的斜率为-
.
所以直线OM的方程为y=-
x,
代入3x2+4y2-12=0,解得x2=
,
所以
设点A,B到OM的距离分别为d1,d2,则
S四边形ACBD=
所以,6≤S四边形ACBD<4
.(当且仅当k=0等号成立).
【考场秘技】
1.求平面图形的面积
(1)根据题意确定平面图形的形状.
(2)确定其面积的表达式,求出相关的度量——弦长、距离等.
(3)代入公式求解.
2.有关弦的三个问题
(1)弦长问题:利用根与系数的关系,设而不求计算弦长.
(2)垂直关系:利用根与系数的关系设而不求简化运算.
(3)焦点弦问题:利用圆锥曲线的定义求解.
3.圆锥曲线中的证明问题
(1)位置关系:如证明直线与曲线相切,直线间的平行、垂直,直线过定点等.
(2)数量关系:如存在定值、恒成立、相等等.在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下,一般采用直接法,通过相关的代数运算证明,但有时也会用反证法证明.
4.直线与圆锥曲线有关问题
(1)要注意直线斜率不存在或斜率为0的特殊情况不能漏掉.
(2)若弦过曲线的焦点,应灵活利用圆锥曲线的定义进行转化,减少计算量.
【万能模板】
弦长、中点问题
(1)设出交点P1(x1,y1),P2(x2,y2).
(2)联立方程,消元得一元二次方程.
(3)利用根与系数的关系求出:x1+x2,x1·x2或y1+y2,y1·y2.
(4)弦长
(5)记住两个通径:
椭圆和双曲线的通径长:
;
抛物线的通径长:2p.
【阅卷点评】
1.步骤分:(1)处理已知条件进而得到a,b,c的关系式;(2)由已知条件得到a,b,c的关系式,根据a,b,c大小关系得到范围.
2.关键分:解题过程的关键点,有则给分,无则没分.如第二问中a,b,c的大小关系需要说明,不说明则不给分.
3.计算分:计算准确是根本保证.
4.区分公式:直线的平行与垂直的斜率公式.
1.(最值)已知椭圆C:
=1(a>b>0),F1,F2为椭圆的左、右焦点,P
为椭
圆上一点,且|PF1|=
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线l:x=-2,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直
线l、直线AB于M,N两点,当∠MAN最小时,求直线AB的方程.
高考演兵场·检验考试力
【解析】(1)设椭圆的左焦点F1(-c,0)(c>0),则
,解得c=1,
所以|PF2|=
,则由椭圆定义
=2a=2
,所以a=
,b=1,
故椭圆的标准方程为
+y2=1.
(2)由题意直线AB的斜率必定不为零,于是可设直线AB:x=ty+1,
联立方程
得
y2+2ty-1=0,
因为直线AB交椭圆于A,B两点,设
所以Δ=4t2+4
=8
>0,
由根与系数的关系得y1+y2=
,y1y2=-
,
因为MN⊥AB,所以kMN=-t,
所以|MN|=
所以tan
∠MAN=
当且仅当
即t=±1时取等号.
此时直线AB的方程为x+y-1=0或x-y-1=0.
2.(最值)已知椭圆C:
左、右焦点分别为F1,F2,且满足离心率e=
,
,过原点O且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于M,N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点A
,求△AMN面积的最大值.
【解析】(1)由题意可知,c=2
,
根据e=
,得a=4,b=2,
椭圆C的方程为
=1.
(2)设直线l的方程为y=kx
,
点A到直线l的距离d=
,
所以S△AMN=
当k>0时,S△AMN<4;
当k<0时,S△AMN=
当且仅当k=-
时,等号成立,
所以S△AMN的最大值为4
.
3.(最值)在平面直角坐标系中,已知点
,动点P满足kPAkPB=-
.
(1)求点P的轨迹方程C;
(2)过F
的直线交曲线C于M,N两点,MN的中点为Q,O为坐标原点,直线OQ交直线
x=4于点E,求
的最小值.
【解析】(1)设P
,根据题意有
,化简得:
(2)设直线方程为x=my+1,联立
得
设
得Δ=36m2+36
>0,
所以
所以
上单调递增,
所以m=0时,t=1,
取得最小值1.
4.(最值)已知抛物线Γ:y2=2px(p>0),过抛物线焦点F的直线l1,l2分别交抛物线于
A,B,C,D(B,C在x轴上方),
,y1y2=-
.
(1)求抛物线Γ的标准方程;
(2)若∠BFC=45°,求
的最小值.
【解析】(1)由题意得F
,设直线AB的方程为x=ky+
,代入y2=2px
得:y2-2pky-p2=0,
则y1·y2=-p2=-
,得p=
,
当AB⊥x轴时,y1·y2=-p2=-
成立,
所以抛物线Γ的标准方程为:y2=x.
(2)设直线l1的倾斜角为α,则直线l2的倾斜角为α+45°,
如图所示,分别过点A,B作AN,BM垂直于抛物线y2=x的准线,
垂足分别为N,M,再分别作BP,AQ垂直于x轴,
同理可得
当且仅当2α-
,α=
时,
取最小值.
所以
的最小值为24-16
.
5.(范围)已知椭圆C:
=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个顶点构成底边
为2
,顶角为120°的等腰三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A,B,P是椭圆上三动点,且
,线段AB的中点为Q,D
,
求|DQ|的取值范围.
【解析】(1)由题意,c=
,b=c·tan
30°=
,所以a2=b2+c2=8,
所以椭圆C:
=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),
所以
得:x1x2+4y1y2=0,
当AB的斜率不存在时,x2=x1,y2=-y1,
由x1x2+4y1y2=
=8,得x1=±2,所以Q(±2,0),|DQ|=
,
当AB的斜率存在时,设AB:y=kx+m,
得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0,Δ=16(8k2+2-m2)>0,
由x1x2+4y1y2=0得:m2-4k2-1=0,此时Δ>0总成立,
所以
所以-1≤
≤1且
≠0,所以
≤|DQ|2≤7且|DQ|2≠
,
综上:
≤|DQ|≤
.
6.(范围)已知椭圆C:
=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,上顶点为B.Q
为抛物线y2=12x的焦点,且
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过定点P(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点(M在P,N之间),设直线l的斜率为
k(k>0),在x轴上是否存在点A(m,0),使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形?若
存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由已知Q(3,0),
设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),
因为2
+
=0,所以F2为线段F1Q的中点,
|QF1|=4c=3+c,所以c=1.
因为
=0,所以F1B⊥QB,
在Rt△F1BQ中,|BF2|=a=2c=2,
所以b2=a2-c2=3,
于是椭圆C的标准方程为
(2)设l:y=kx+2(k>0),M(x1,y1),N(x2,y2),
取MN的中点为E(x0,y0).
假设存在点A(m,0)使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形,则AE⊥MN.
联立
整理得(4k2+3)x2+16kx+4=0,
Δ=(16k)2-4×(4k2+3)×4=48(4k2-1)>0,
所以k2>
,
又k>0,所以k>
.
因为x1+x2=-
,所以x0=
,
y0=kx0+2=
,即E
,
因为AE⊥MN,所以kAE=-
,
整理得
因为k>
时,4k+
≥4
,当且仅当k=
时等号成立,
即
7.(范围)已知F1,F2是椭圆C:
的左、右两个焦点,过F2的直线与
C交于P,Q两点(P在第一象限),△PF1Q的周长为8,C的离心率为
.
(1)求C的方程;
(2)若线段PQ的中点为N(N不与F2重合),在线段OF2上是否存在点M
,使得
MN⊥PQ?若存在,请求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由椭圆的定义可得△PF1Q的周长为4a,
由已知条件得
解得
所以椭圆C的方程为
=1;
(2)假设存在这样的点M
符合题意,
设直线PQ的方程为x=ty+1,设点
由于点N不与点F2重合,则t≠0.
联立
消去x并整理得
y2+6ty-9=0,
由根与系数的关系得y1+y2=
,
所以,线段PQ的中点N的坐标为
因为MN⊥PQ,则kMN·kPQ=
可得m=
因为t≠0,所以3t2+4>4,
所以,m=
所以存在实数m,且m的取值范围为
【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了椭圆中参数取值范围的求解,考查计算能力,属于难题.
8.(最值)已知点F是抛物线C1:y2=4x和椭圆C2:
=1的公共焦点,M是C1与C2
的交点,
(1)求椭圆C2的方程;
(2)直线l与抛物线C1相切于点P
,与椭圆C2交于A,B两点,点P关于x轴的对称
点为Q.求S△ABQ的最大值及相应的x0.
【解析】(1)由题意知:F
,c=1.
-MF2=MF2-
,MF=3
.
得:a=
,所以b=1.
所以C2的方程为
+y2=1.
(2)设直线l的方程为x=n
+x0,则
由
得y2-4ny+4ny0-4x0=0,
Δ1=16n2-16ny0+16x0=4
=0,
得:n=
,
所以直线l的方程为
由
得
又Q
,所以点Q到l的距离为
令t=x0+2,则x0=t-2,
结合t的取值范围,此时t=
,即x0=
.