专题六 第1讲 直线与圆（共61张PPT）2021届高考数学二轮复习 课件

专题六　解析几何
第1讲　直线与圆
考情分析
KAO QING FEN XI
1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离
公式，多以选择题、填空题形式出现，中低难度.
2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度.
内
容
索
引
考点一
考点二
考点三
专题强化练
1
考点一　直线的方程
PART ONE
核心提炼
1.已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为零)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为零)，则l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
例1　(1)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为
√
解析　由l1∥l2得(a－2)a＝1×3，且a×2a≠3×6，
(2)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为
A.2x＋3y－12＝0 B.2x＋3y＋12＝0
C.2x－3y＋12＝0 D.2x－3y－12＝0
√
解析　由ax＋y＋3a－1＝0可得a(x＋3)＋y－1＝0，
∴N(－3,1).
设直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6).
解得c＝12或c＝－6(舍去).
∴所求直线方程为2x＋3y＋12＝0.
易错提醒
解决直线方程问题的三个注意点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.
(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程即不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.
跟踪演练1　(1)已知直线l经过直线l1：x＋y＝2与l2：2x－y＝1的交点，且直线l的斜率为－ ，则直线l的方程是
A.－3x＋2y＋1＝0 B.3x－2y＋1＝0
C.2x＋3y－5＝0 D.2x－3y＋1＝0
√
所以两直线的交点为(1,1).
即2x＋3y－5＝0.
(2)已知直线l1：kx－y＋4＝0与直线l2：x＋ky－3＝0(k≠0)分别过定点A，

B，又l1，l2相交于点M，则|MA|·|MB|的最大值为______.
解析　由题意可知，直线l1：kx－y＋4＝0经过定点A(0,4)，直线l2：x＋ky－3＝0经过定点B(3,0).
易知直线l1：kx－y＋4＝0和直线l2：x＋ky－3＝0始终垂直，
又M是两条直线的交点，所以MA⊥MB，
2
考点二　圆的方程
PART TWO
1.圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2.圆的一般方程
核心提炼
例2　(1)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为______________.
x2＋y2－2x＝0
解析　方法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，
∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
方法二　画出示意图如图所示，
则△OAB为等腰直角三角形，
故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，
即x2＋y2－2x＝0.
(2)已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.则圆C的标准方程为____________________.
解析　设圆心C(a，b)，半径为r，
∵圆C与x轴相切于点T(1,0)，
∴a＝1，r＝|b|.
又圆C与y轴正半轴交于两点，
∴b>0，则b＝r，
规律方法
解决圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.
跟踪演练2　(1)(2020·北京东城区模拟)已知圆C与直线y＝－x及x＋y－4＝0相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的标准方程为
A.(x－1)2＋(y－1)2＝2
B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C.(x＋1)2＋(y－1)2＝4
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
√
解析　圆心在y＝x上，设圆心坐标为(a，a)，
∵圆C与直线y＝－x及x＋y－4＝0都相切，
∴圆心到两直线y＝－x及x＋y－4＝0的距离相等，
圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
x2＋(y－3)2＝10
PB的中点坐标为(2,2)，
令x＝0，则y＝3，
设外接圆圆心为M(0，t)，
∴△PAB外接圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝10.
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考点三　直线、圆的位置关系
PART THREE
核心提炼
1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法
(1)点线距离法.
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0

(A2＋B2≠0)，方程组 消去y，得到关于x的一元

二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离?Δ<0，直线与圆相切?Δ＝0，直线与圆相交?Δ>0.
2.圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离.
例3　(1)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于
√
解析　由题意，得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，知圆C的圆心为C(2,1)，半径为2.
方法一　因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，
所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，所以|AB|＝6.
方法二　由题意知，圆心在直线l上，即2＋a－1＝0，解得a＝－1，再由图知，|AB|＝6.
(2)(2020·全国Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为
A.2x－y－1＝0 B.2x＋y－1＝0
C.2x－y＋1＝0 D.2x＋y＋1＝0
√
解析　⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，
则圆心M(1,1)，⊙M的半径为2.
如图，由题意可知PM⊥AB，
＝|PA|·|AM|＝2|PA|，
∴|PM|·|AB|＝4|PA|
当|PM|·|AB|最小时，|PM|最小，此时PM⊥l.
即x－2y＋1＝0.
又∵直线x＝－1，即PA与⊙M相切，
∴PA⊥x轴，PA⊥MA，∴A(－1,1).
又直线AB与l平行，
设直线AB的方程为2x＋y＋m＝0(m≠2)，
将A(－1,1)的坐标代入2x＋y＋m＝0，得m＝1.
∴直线AB的方程为2x＋y＋1＝0.
规律方法
直线与圆相切问题的解题策略
直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.
跟踪演练3　(1)已知点M是抛物线y2＝2x上的动点，以点M为圆心的圆被y轴截得的弦长为8，则该圆被x轴截得的弦长的最小值为
√
当y＝0时，得x2－a2x＋a2－16＝0，
设圆与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，
则x1＋x2＝a2，x1x2＝a2－16，
(2)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长

为 ，则a＝______.
可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0，
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专题强化练
PART FOUR
一、选择题
1.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为
A.y－x＝1
B.y＋x＝3
C.2x－y＝0或x＋y＝3
D.2x－y＝0或y－x＝1
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故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0，
方程为x－y＋1＝0，
故所求直线方程为2x－y＝0或y－x＝1.
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2.若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是
√
解析　由两直线平行的条件可得－2＋m＋m2＝0，
∴m＝－2(舍)或m＝1.
3.已知圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于y＝x对称，则k的值为
A.－1 B.1 C.±1 D.0
√
解析　化圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0为(x＋k2)2＋(y＋1)2＝k4－4k＋1.
则圆心坐标为(－k2，－1)，
∵圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于y＝x对称，
∴直线y＝x经过圆心，
∴－k2＝－1，得k＝±1.
当k＝1时，k4－4k＋1<0，不合题意，
∴k＝－1.
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4.(2020·广西玉林、柳州模拟)已知直线l过点A(a,0)且斜率为1，若圆x2＋y2＝4上恰有3个点到l的距离为1，则a的值为
√
解析　直线l的方程为y＝x－a，即x－y－a＝0.
圆上恰有三个点到直线l的距离为1，
可知圆心到直线的距离等于半径的一半，
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解析　圆C：x2＋y2－4x＝0可化为(x－2)2＋y2＝4，则圆心C(2,0)，
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解析　取AB的中点D(2，－3)，
又由题意知，圆C的圆心C的坐标为(1,2)，半径为2，
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7.(2020·北京市陈经纶中学月考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M的轨迹是圆，若两定点A，B的距离为3，动点M满足|MA|＝2|MB|，则M点的轨迹围成区域的面积为
A.π B.2π
C.3π D.4π
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解析　以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则B(3,0).
即(x－4)2＋y2＝4，则M点的轨迹围成区域的面积为4π.
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8.(2020·辽宁省大连一中模拟)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x－y＋6＝0，在直线l上任取一点P向圆C作切线，切点为A，B，连接AB，则直线AB一定过定点
√
解析　设点P(x0，y0)，则x0－y0＋6＝0.
过点P向圆C作切线，切点为A，B，连接AB，以CP为直径的圆的方程为x(x－x0)＋y(y－y0)＝0，
又圆C：x2＋y2＝4，作差可得直线AB的方程为xx0＋yy0＝4，将y0＝x0＋6，
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二、填空题
9.(2020·全国Ⅱ改编)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到

直线2x－y－3＝0的距离为_______.
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解析　由题意可知圆心在第一象限，设为(a，b).
∵圆与两坐标轴都相切，∴a＝b，且半径r＝a，
∴圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.
∵点(2,1)在圆上，∴(2－a)2＋(1－a)2＝a2，
∴a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.
当a＝1时，圆心坐标为(1,1)，
当a＝5时，圆心坐标为(5,5)，
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10.已知⊙O：x2＋y2＝1.若直线y＝kx＋2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是______________________.
(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析　∵圆心为(0,0)，半径r＝1，
设两个切点分别为A，B，
则由题意可得四边形PAOB为正方形，
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11.(2020·北京顺义区期末)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，当△AOB的面积达到最大时，k＝________.
±1
解析　由圆O：x2＋y2＝1，得到圆心坐标为O(0,0)，半径r＝1，
把直线l的方程y＝kx＋1(k≠0)，整理为一般式方程得l：kx－y＋1＝0，
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12.已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，给出下列结论：①a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0；②2ax1＋2by1＝a2＋b2；③x1＋x2＝a，y1＋y2＝b.其中正确的结论是________.(填序号)
①②③
解析　公共弦所在直线的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，
所以有2ax1＋2by1－a2－b2＝0，②正确；
又2ax2＋2by2－a2－b2＝0，
所以a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，①正确；
AB的中点为直线AB与直线C1C2的交点，
又AB：2ax＋2by－a2－b2＝0，C1C2：bx－ay＝0.
故有x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，③正确.
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三、解答题
13.已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线m：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点.
(1)求圆A的方程；
解　易知点A(－1,2)到直线x＋2y＋7＝0的距离为圆A的半径r，
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
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当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，显然x＝－2符合题意，
当直线l的斜率存在时，设动直线l的方程为y＝k(x＋2)，
∴所求l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝－2.
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14.已知圆O：x2＋y2＝9及点C(2,1).
(1)若线段OC的垂直平分线交圆O于A，B两点，试判断四边形OACB的形状，并给出证明；
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解　四边形OACB为菱形.证明如下：
又OC⊥AB，∴四边形OACB为菱形.
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(2)过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程.
解　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，
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经检验，k＝－7和k＝－1均满足题意.
故直线l的方程为x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0.
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本课结束