(共19张PPT)
第三章 圆
北师版
3．1 圆
与圆有关的概念
1．(3分)下列条件中，能确定一个圆的是(
)
A．以点O为圆心
B．以2
cm长为半径
C．以点O为圆心，以2
cm长为半径
D．经过点A
C
2．(3分)下列说法中错误的是(
)
A．直径相等的两个圆是等圆
B．圆心相同的圆是等圆
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
B
AD
AD，AC
40°
40°
5．(8分)(成都中考改)如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠AOB＝50°，∠B＝55°，求∠A的度数．
点与圆的位置关系
6．(3分)若⊙O的半径为2，一点P到点O的距离为4，则点P在⊙O(
)
A．内 B．上 C．外 D．无法确定
7．(3分)(易错题)已知
⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R，d分别是方程x2－7x＋12＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是(
)
A．点A在⊙O内
B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外
D．点A不在⊙O上
C
D
8．(6分)(原创题)在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(1，0)，⊙A的半径为2，若点B的坐标为(a，0)，则：
(1)当__________________时，点B在⊙A上；
(2)当__________________时，点B在⊙A内；
(3)当___________________时，点B在⊙A外．
a＝－1或3
－1＜a＜3
a＜－1或a＞3
9．(8分)(教材P68习题3.1T2变式)如图，Rt△ABC的直角边BC＝3
cm，AC＝4
cm，斜边上的高为CD，若以点C为圆心，分别以r1＝2
cm，r2＝2.4
cm，r3＝4
cm为半径作圆，试判断点D与这三个圆的位置关系．
B
11．如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是(
)
A．a＞b＞c
B．a＝b＝c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
B
18°
三、解答题(共40分)
14．(8分)如图，矩形ABCD中，AB＝3
cm，AD＝4
cm.
(1)以点A为圆心，4
cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？
(2)若以A点为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径R的取值范围是什么？
解：(1)点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上 (2)3
cm＜R＜5
cm
15．(10分)如图，已知CD是⊙O的直径，∠EOD＝78°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A的度数.
解：连接OB，∵OE＝OB，∴∠E＝∠EBO.又∵AB＝OC，∴AB＝OB，∴∠BOA＝∠A，∴∠EBO＝2∠A，∴∠EOD＝∠E＋∠A＝3∠A＝78°，∴∠A＝26°
16．(10分)(教材P68习题3.1T1变式)如图，墙OA，OB的夹角∠AOB＝120°，OA＝7
m，OB＝9
m．一根9
m长的绳子一端栓在墙角O处，另一端栓着一只狗，请画出狗可活动的区域．
解：狗可活动的区域为一个扇形(此扇形的圆心角为120°，半径为9
m)和一个半径为2
m的半圆，画图略
【素养提升】
17．(12分)如图①，⊙O的半径为r(r＞0)，若点P′在线段OP上，满足OP′·OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图②，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．(共19张PPT)
第三章 圆
北师版
3.4 圆周角和圆心角的关系
第2课时 圆周角定理的推论2，3
1．(3分)如图，已知AB是⊙O的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是(
)
A.35°
B．45°
C．55°
D．65°
2．(3分)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中可判断出圆弧为半圆的
是(
)
C
B
3．(3分)(海南中考)如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，
若∠BCD＝36°，则∠ABD等于(
)
A．54°
B．56°
C．64°
D．66°
4．(3分)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD∥OC，
若∠B＝20°，则∠AOC＝_____．
A
70°
5．(3分)如图，BC为⊙O的直径，AB＝OB，则∠C的度数为____．
6．(3分)如图，点A，B，C，D都在⊙O上，
若∠ABC＝90°，AD＝12，CD＝5，则⊙O的直径长___．
30°
13
8．(3分)(吉林中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，
则∠D的度数为(
)
A．54°
B．62°
C．72°
D．82°
9．(3分)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠DCE＝60°，
则∠BOD的度数是______．
C
120°
10．(8分)(教材P84习题3.5T3变式)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，且∠DCE＝80°，∠F＝25°，则∠E的度数是多少？
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠EDC＝180°－∠ADC＝∠B＝∠DCE－∠F＝55°，∴∠E＝180°－∠DCE－∠EDC＝45°
一、选择题(每小题6分，共12分)
11．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，连接BC，若AB＝10
cm，
BC＝6
cm，OD⊥AC于点D，则AD的长为(
)
A．8
cm
B．6
cm
C．4
cm
D．2
cm
C
C
13．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，
若∠AEC＝20°，则∠BDC＝______．
14．(东营中考)如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，
且∠ABC＝45°，若点M，N分别是AC，BC的中点，
则MN的最大值是
________.
110°
15．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，
过A，C，D三点的圆交BA的延长线于点E，连接EC.
(1)求∠E的度数；
(2)若AB＝6，BC＝10，求AE的长．
解：(1)连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，
即∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴点A，C，D在以AC为直径的圆上，∴∠E＝90°
16．(12分)如图，点C，D均在以AB为直径的半圆O上，AD平分∠CAB.
(1)求证：AC∥OD；
(2)若AC＝7，AB＝25，求AD的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BAD＋∠BCD＝180°.又∵∠EAD＋∠BAD＝180°，∴∠EAD＝∠BCD.∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB，∴∠EAD＝∠DBC.∵∠DBC＝∠CAD，∴∠EAD＝∠CAD(共21张PPT)
第三章 圆
北师版
专题训练(七) 圆的切线的证明的两种类型
1．(盐城中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形．
证明：(1)连接OC，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠A.又∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.又∵∠DCA＝∠B，∴∠OCA＋∠DCA＝∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线
(2)∵∠OCA＋∠DCA＝90°，∠OCA＝∠A，∴∠A＋∠DCA＝90°.又∵DE⊥AB，∴∠A＋∠EFA＝90°，∴∠DCA＝∠EFA＝∠DFC，∴DC＝DF，∴△DCF是等腰三角形
解：(1)证明：连接OC，∵OA＝OC，CE＝DE，∴∠A＝∠ACO，∠DCE＝∠D.又∵OD⊥AB，∴∠D＋∠A＝90°，∴∠ACO＋∠DCE＝90°，∴∠OCE＝90°，∴OC⊥CE，∴直线CE是⊙O的切线
3．(湘西州中考)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.
(1)若D为AC的中点，求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CA＝6，CE＝3.6，求⊙O的半径OA的长．
解：(1)证明：连接AE，OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝∠AEC＝90°.又∵D为AC的中点，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED.又∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA.又∵AC是⊙O的切线，∴∠CAE＋∠OAE＝∠CAB＝90°∴∠AED＋∠OEA＝90°，即∠DEO＝90°，∴OE⊥DE，∴DE是⊙O的切线
5．如图，已知点O为正方形ABCD的对角线AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F，求证：CD与⊙O相切．
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠BCD.又∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，∴OM＝ON，∴ON为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线
解：(1)证明：过点作OE⊥AB于点E，连接OD，OA，∵AB＝AC，点O是BC的中点，∴∠CAO＝∠BAO.∵AC与半圆O相切于D，∴OD⊥AC.又∵OE⊥AB，∴OD＝OE，∴AB是半圆O所在圆的切线
解；(1)证明：过O作OH⊥AB于点H，∵∠ACB＝90°，∴OC⊥BC.又∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB，∴OH＝OC，∴OH为⊙O的半径，∴AB为⊙O的切线
解：(1)DF是⊙O的切线，理由如下：过点O作OG⊥DF于点G，连接OE，∵点O，D分别为AB，BC的中点，∴OD∥AC，∴∠ODG＝∠DFC.又∵∠OGD＝∠DCF＝90°，OD＝DF，∴△OGD≌△DCF(AAS)，∴OG＝CD.又∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴OE∥BC，∴四边形CDOE是平行四边形，∴CD＝OE，∴OG＝OE，∴DF是⊙O的切线(共24张PPT)
第三章 圆
北师版
章末复习(三)
1．下列说法中正确的是(
)
A．弦是直径
B．弧是半圆
C．直径是圆中最长的弦
D．半圆是圆中最长的弧
C
2．如图，点A，B，C在⊙O上，且AC∥OB，∠BAO＝20°，则∠BOC的度数为________．
40°
3．(张家界中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若OC＝5
cm，CD＝8
cm，则AE的长为(
)
A.8
cm
B．5
cm
C．3
cm
D．2
cm
A
12
5．一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，现测得AB＝8
dm，DC＝2
dm，则圆形标志牌的半径为____dm.
5
C
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC，若∠DAB＝50°，则∠B的度数为(
)
A.50°
B．65°
C．75°
D．130°
B
8．(聊城中考)如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在AmC上，则∠ADC的度数是________．
60°
9．(黑龙江中考)如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝40°，则∠ACB＝________．
50°
10．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是(
)
A．点P在⊙O内
B．点P在⊙O外
C．点P在⊙O上
D．无法确定
B
11．已知⊙O的半径是一元二次方程x2－3x－4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6，则直线l与⊙O的位置关系是(
)
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法判断
A
12．(泰州中考)如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4
cm，O为直线b上的一动点，若以1
cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为_____________.
3
cm或5
cm
A
14．(天水中考)如图所示，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C为⊙O上的一点，连接AC，BC，若∠P＝70°，则∠ACB的度数为(
)
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
B
C
B
18．(郴州中考)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D，使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E.
(1)求证：直线DC是⊙O的切线；
(2)若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．
解：(1)证明：连接OC，∵直线l与⊙O相切于点A，∴∠DAB＝90°.又∵DA＝DC，OA＝OC，∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，∴∠DCA＋∠OCA＝∠DAC＋∠OAC，即∠DCO＝∠DAB＝90°，∴OC⊥CD，∴直线DC是⊙O的切线
B
20．(数学文化)(株洲中考)据《汉书律历志》记载：“量者，龠(yuè)、合、升、斗、斛(hú)也”．斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜(huán)其外，旁有庣(tiāo)焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸(即2.5尺)，“庣旁”为两寸五分(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺)，则此斛底面的正方形的周长为______尺．(共17张PPT)
第三章 圆
北师版
3.6 直线和圆的位置关系
第2课时 圆的切线的判定
1．(4分)如图，点A在⊙O上，下列条件不能说明PA是⊙O的切线的是(
)
A.OA2＋PA2＝OP2
B．PA⊥OA
C．∠P＝30°，∠O＝60°
D．OP＝2OA
2．(4分)如图，已知AB是⊙O的直径，∠C＝50°，
要使直线AC与⊙O相切于点A，则∠AOD的度数应为(
)
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°
D
C
3．(4分)如图，⊙O的半径为4
cm，BC是⊙O的直径，若AB＝10
cm，
则当AC＝___cm时，AC是⊙O的切线．
4．(4分)如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，直线EF过点A，
要使直线EF是⊙O的切线，
还需添加的一个条件是______________．
6
∠FAC＝∠B
5．(4分)(教材P93习题3.8T1变式)如图，在△ABC中，AB＝AC，
∠B＝30°，以点A为圆心，3
cm长为半径作⊙A，
则当AB＝___cm时，BC与⊙A相切．
6
6．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，
⊙O过点B且与边AB，BC分别相交于点D，E，过E作EF⊥AC，垂
足为F.求证：直线EF是⊙O的切线．
证明：连接OE，∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB.∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，∴∠OEB＝∠C，∴OE∥AC.
又∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线
7．(4分)如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(
)
A.三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
B
B
50°
10．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，
要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充条件不正确的是(
)
A．DE＝DO
B．AB＝AC
C．CD＝DB
D．AC∥OD
11．如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，
与AC，BC分别相交于点E，F，则(
)
A．EF＞AE＋BF
B．EF＜AE＋BF
C．EF＝AE＋BF
D．EF≤AE＋BF
A
C
12．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上的一点，
且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是____．
13．如图，△ABC的内切圆⊙I和边BC，CA，
AB分别相切于点D，E，F.若∠FDE＝70°，则∠A＝____.
相切
40°
三、解答题(共36分)
14．(10分)(东营中考)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC
于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)求⊙O的直径AB的长度．
解：(1)证明：∵在△AME中，ME＝3，AE＝4，AM＝5，
∴AM2＝ME2＋AE2，∴△AME是直角三角形，且∠AEM＝90°.
又∵MN∥BC，∴∠ABC＝∠AEM＝90°，
∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线
15．(12分)(邵阳中考)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上的一点，以BD为直径的⊙O过点A，连接AD，∠CAD＝∠C.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若AC＝4，求⊙O的半径．
解：(1)证明：连接OA，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵∠CAD＝∠C，∴∠OAB＝∠CAD.又∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠OAC＝∠BAD－∠OAB＋∠CAD＝∠BAD＝90°，∴AC是⊙O的切线
【素养提升】
16．(14分)(青海中考)如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AD＝4，直径AB＝12，求线段BC的长．
解：(1)证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.又∵AD∥OC，∴∠COD＝∠ODA，∠COB＝∠OAD，∴∠COD＝∠COB.又∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC，∴∠ODC＝∠OBC.又∵直线BC与⊙O相切于点B，∴∠OBC＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥CD，∴CD为⊙O的切线(共25张PPT)
第三章 圆
北师版
3.9 弧长及扇形的面积
B
2．(3分)(无锡中考)已知一个扇形的半径为6，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为(
)
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
B
3．(3分)(益阳中考)小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB＝90°，测得ACB的长为36
cm，则ADB的长为_____
cm.
12
4．(6分)(教材P102习题3.11T2变式)如图所示的是一个滑轮起重装置，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转54°时，重物上升了3π
cm，求这个滑轮的半径．
B
B
7．(3分)若一个扇形的半径是18
cm，面积是54π
cm2，则这个扇形的圆心角的度数为________．
60°
8．(4分)如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是
________(结果保留π)．
8－2π
9．(4分)(福建中考)如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E，F分别是AD，BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是
________(结果保留π)．
π－1
B
B
解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，∴AE＝ED
16．(12分)(淮安中考)如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外的一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB.
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．
解：(1)BC与⊙O相切，理由如下：连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.又∵CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP.又∵∠A＋∠APO＝90°，∴∠OBA＋∠CBP＝90°，即∠OBC＝90°，∴OB⊥BC，∴BC与⊙O相切
17．(14分)(辽阳中考)如图，在?ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE.
(1)求证：DE与⊙A相切；
(2)若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．
解：(1)证明：连接AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.又∵AE＝AB，∴∠DAE＝∠AEB＝∠ABC，∴△AED≌△BAC(SAS)，∴∠DEA＝∠CAB＝90°，∴DE⊥AE，∴DE与⊙A相切(共21张PPT)
第三章 圆
北师版
3.6 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系
1．(3分)已知⊙O的半径为5
cm，圆心O到直线l的距离为6
cm，
则直线l与⊙O的位置关系为(
)
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
2．(3分)已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相交，
则圆心O到直线l的距离d的取值范围是(
)
A．d＝3
B．d＞3
C．0≤d＜3
D．d＜3
C
C
3．(3分)在平面直角坐标系中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆与x轴、y轴的位置关系分别为(
)
A．相交、相切
B．相离、相交
C．相切、相交
D．相切、相离
4．(3分)(易错题)若⊙O的直径为8，点P在直线l上，且OP＝4，
则直线l与⊙O的位置关系是_____________．
C
相切或相交
5．(9分)(原创题)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3
cm，
BC＝4
cm，以点C为圆心，r为半径作圆，则：
(1)当r取何值时，⊙C与直线AB相切？
(2)当r＝2
cm时，⊙C与直线AB有怎样的位置关系？
(3)当r＝3
cm时，⊙C与直线AB有怎样的位置关系？
(1)当r＝2.4
cm时，⊙C与直线AB相切
(2)当r＝2
cm时，⊙C与直线AB相离
(3)当r＝3
cm时，⊙C与直线AB相交
6．(3分)(重庆中考)如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB.
若∠B＝35°，则∠AOB的度数为(
)
A．65°
B．55°
C．45°
D．35°
7．(3分)(哈尔滨中考)如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，
OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，
若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为(
)
A.20°
B．25°
C．30°
D．35°
B
A
8．(3分)(枣庄中考)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C.连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝_____．
9．(3分)如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE.若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为____．
27°
55°
10．(7分)(益阳中考)如图，OM是⊙O的半径，过M点作⊙O的切线AB，且MA＝MB，OA，OB分别交⊙O于C，D两点．求证：AC＝BD.
证明：∵直线AB与⊙O相切，∴OM⊥AB.又∵MA＝MB，
∴OA＝OB.又∵OC＝OD，∴OA－OC＝OB－OD，即AC＝BD
B
D
13．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为2
cm的⊙P的圆心在直线AB上，且与点O的距离为10
cm，如果⊙P以2
cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么________s后⊙P与直线CD
相切．
3或7
15．(12分)(金昌中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE＝AB.
(1)求∠ACB的度数；
(2)若DE＝2，求⊙O的半径．
(2)∵∠OAE＝90°，∠E＝30°，∴2OA＝OE＝OD＋DE.
又∵OA＝OD，∴OA＝OD＝DE＝2，∴⊙O的半径为2
16．(12分)(深圳中考)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E.
(1)求证：AE＝AB；
(2)若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
解：(1)证明：连接AC，OC，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.
又∵CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E.
又∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝∠E，∴AE＝AB
【素养提升】
17．(12分)(陕西中考)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E.
(1)求证：AD∥EC；
(2)若AB＝12，求线段EC的长．
解：(1)证明：连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°.
又∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，
∴∠AOC＋∠OCE＝180°，∴AD∥EC(共22张PPT)
第三章 圆
北师版
专题训练(九) 有关不规则图形面积的计算
D
C
5．如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以点C为圆心，CD为半径画弧交AB于点E，若AB＝4
cm，求图中阴影部分的面积．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6
cm，BC＝4
cm，扇形ABE的半径AE＝6
cm，扇形CBF的半径CB＝4
cm，求阴影部分的面积．
A
10．(广东中考)如图，在矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则图中阴影部分的面积为____(结果保留π).
π
12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，AC为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为(
)
A.4π－4
B．4π－8
C．8π－4
D．8π－8
A
13．如图①，正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图②，最大圆的半径r＝1，阴影部分的面积记作S2，则S1_____S2(用“＞”“＜”或“＝”填空).
＜
14．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB平行于半圆的直径，且是大半圆的弦，且与小半圆相切，已知AB＝24，求图中阴影部分的面积．
15．当汽车在雨天行驶时，司机为了看清楚道路，要启动前方挡风玻璃上的雨刷．如图是某汽车的一个雨刷的转动示意图，雨刷杆AB与雨刷CD在B处固定连接(不能转动)，当杆AB绕点A转动90°时，雨刷CD扫过的面积是图中阴影部分的面积，现量得CD＝80
cm，∠DBA＝20°，AC＝115
cm，DA＝35
cm，试从以上信息中选择所需要的数据，求出雨刷扫过的面积．(共19张PPT)
第三章 圆
北师版
3.5 确定圆的条件
1．(3分)给出的下列条件可以确定唯一一个圆的是(
)
A.已知圆心
B．已知半径
C．已知直径
D．已知不在同一直线上的三点
2．(3分)如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，
那么这条圆弧所在圆的圆心是(
)
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
D
B
3．(3分)(易错题)如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，
过这四个点中的任意3个点能画的圆有____个．
4．(3分)一个三角形的外心在三角形的内部，则这个三角形是(
)
A．任意三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
3
C
5．(3分)如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则以A，B，C为顶点的三角形的外接圆的圆心的坐标是(
)
A．(2，3)
B．(3，2)
C．(3，1)
D．(1，3)
6．(3分)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，OC，
若∠OBC＝30°，则∠A的度数为(
)
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
C
C
7．(3分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的外心的坐标是_________．
8．(3分)如图，⊙O是正△ABC的外接圆，
CP是⊙O的直径，若BP＝2，则CP＝___．
(－2，－1)
4
9．(8分)(教材P87习题3.6T1变式)如图，一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A，B，C，这三个洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口？请作出这个位置．
解：应在△ABC的外接圆的圆心，即三边垂直平分线的交点处，
画图略
10．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，
求△ABC的外接圆⊙O的周长．
解：过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴AD经过圆心O，BD＝CD＝6，AD＝8.
连接BO，设BO＝x，∴在Rt△BOD中，BO2＝OD2＋BD2，
11．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(
)
A．第①块
B．第②块
C．第③块
D．第④块
12．(陕西中考改)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为(
)
A.55°
B．65°
C．60°
D．75°
B
B
13．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5
cm，
能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是_____cm.
14．(安顺中考改)如图，⊙O是正△ABC的外接圆，
点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是____度．
120
15．(10分)如图，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来
(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若在△ABC中，AB＝8
m，AC＝6
m，∠BAC＝90°，
试求小明家圆形花坛的面积．
16．(12分)如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，
∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证：DE＝DB；
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．(共21张PPT)
第三章 圆
北师版
3.8 圆内接正多边形
1．(3分)下列说法错误的是(
)
A．圆内接正多边形每个内角都相等
B．圆内接正多边形都是轴对称图形
C．圆内接正多边形都是中心对称图形
D．圆内接正多边形的中心到各边的距离相等
C
2．(3分)中心角为30°的圆内接正多边形的边数等于(
)
A.10
B．12
C．14
D．15
B
B
B
5．(4分)图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面(可近似看作正方形的外接圆)，正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近(
)
A．4∶5
B．3∶4
C．2∶3
D．1∶2
C
6．(4分)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝_________．
30°
3∶4
8．(8分)如图，已知⊙O的内接等腰△ABC，AB＝AC，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，BE＝BC.求证：五边形AEBCD是⊙O的内接正五边形．
9．(6分)如图，已知⊙O，请用尺规画出⊙O的内接正四边形．
A
11．如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为(
)
A.40
B．50
C．60
D．80
A
12．如图，正五边形ABCDE和正△AMN都是⊙O的内接正多边形，则∠BOM＝________．
48°
13．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S－S1＝__________．
π－3
15．(12分)(教材P99习题3.10T2变式)若⊙O的内接正六边形的边心距是2，求该圆内接正三角形的边心距．
(1)求图①中的∠MON的度数；
(2)图②中的∠MON的度数是_____，图③中的∠MON的度数是_____；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)．
90°
72°(共21张PPT)
第三章 圆
北师版
3.7 切线长定理
B
2．(4分)(益阳中考)如图，PA，PB均为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是(
)
A．PA＝PB
B．∠BPD＝∠APD
C．AB⊥PD
D．AB平分PD
D
A
120°
2
7．(8分)如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，求∠P的度数．
解：∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA＝35°，∴∠AOB＝110°.∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠P＝360°－(∠AOB＋∠PAO＋∠PBO)＝360°－(110°＋90°＋90°)＝70°
8．(8分)如图，点B在⊙O外，以点B为圆心，OB为半径画⊙B与⊙O相交于两点C，D，与直线OB相交于点A.当AC＝5时，求AD的长．
解：连接OC，OD.∵OA是⊙B的直径，∴∠OCA＝∠ODA＝90°，∴AC，AD都是⊙O的切线，∴AD＝AC＝5
9．如图，一个圆内切于四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为(
)
A．50
B．52
C．54
D．56
B
C
13．(12分)(教材P96习题3.9T1变式)已知PA，PB分别切⊙O于点A，B，E为劣弧AB上的一点，过点E画⊙O的切线，分别交PA和PB于点C，D.
(1)若△PCD的周长为12，求PA的长；
(2)若∠P＝50°求∠COD的度数．
解：(1)∵PA，PB与⊙O相切，∴PA＝PB.同理可得AC＝CE，BD＝DE，∴C△PCD＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋PB＝2PA＝12，∴PA＝6
解：(1)证明：连接OE，OF，∵AB，BC分别切⊙O于点E，F，∴BE＝BF，OE⊥AB，OF⊥BC，∴△BOE≌△BOF，∴∠EBO＝∠FBO.同理可得∠FCO＝∠GCO.又∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°，∴∠FBO＋∠FCO＝90°，∴BO⊥CO
15．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.
(1)求证：∠A＝∠ADE；
(2)若AD＝16，DE＝10，求BC的长．
解：(1)证明：连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE＋∠BDO＝90°.
又∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°.又∵OB＝OD，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A(共21张PPT)
第三章 圆
北师版
3.3 垂径定理
1．(3分)如图，在⊙O中，弦AB＝8
cm，OC⊥AB，垂足为C，若OC＝3
cm，则⊙O的半径为(
)
A．4
cm
B．5
cm
C．6
cm
D．7
cm
2．(3分)(广州中考)往直径为52
cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48
cm，则水的最大深度为(
)
A．8
cm
B．10
cm
C．16
cm
D．20
cm
B
C
C
C
4．(3分)如图，在直径为10的⊙O中，弦AB的长为8，
点P是弦AB上的一动点，则OP的最小值为___．
5．(3分)如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，
若点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为______．
3
(6，0)
6．(3分)如图所示的是一处中式圆形门的平面示意图，已知AB过圆心O，且垂直CD于点B，测得门洞的高度AB为1.8
m，门洞下沿CD的宽为1.2
m，则该圆形门洞的半径为___m.
1
D
55°
11．(易错题)已知AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，
若AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD之间的距离为(
)
A．1
B．7
C．1或7
D．无法确定
C
D
13．如图，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上的一个动点(不与点A，B重合)，过点O分别作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD＝___．
14．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为___.
4
三、解答题(共36分)
15．(12分)(教材P77习题3.3T3变式)如图，已知以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
16．(12分)(数学建模)如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面的宽度AB为12
m，拱高CD为4
m.
(1)求拱桥的半径；
(2)有一艘宽5
m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6
m，此货船能否顺利通过拱桥？
【素养提升】
17．(12分)如图，在⊙O中，弦AB＝6，C是的中点，连接OC交弦AB于点D，CD＝1.
(1)求⊙O的半径；
(2)分别过点B，O作AO，AB的平行线交于点G，E是⊙O上的一点，连接EG交⊙O于点F，当EF＝AB时，求sin
∠OGE的值．(共15张PPT)
第三章 圆
北师版
3.4 圆周角和圆心角的关系
第1课时 圆周角定理及圆周角定理的推论1
1．(3分)下列图形中的角是圆周角的是(
)
2．(3分)如图，点A，B，C是⊙O上的点，若∠AOB＝70°，
则∠C的度数是(
)
A．30°
B．35°
C．45°
D．70°
B
B
3．(3分)如图，一块含45°角的直角三角板的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为(
)
A．70°
B．80°
C．90°
D．120°
4．(4分)(宜昌中考改)如图，点A，B，C均在⊙O上，
当∠A＝50°时，∠OBC的度数是_____．
C
40°
50°
6．(8分)如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，若∠A＝20°，∠BOD＝100°，求∠E的度数．
7．(3分)如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝42°，∠B＝35°，则∠APD的度数为(
)
A．43°
B．55°
C．62°
D．77°
8．(4分)如图，在⊙O中，OA⊥BC，若∠AOC＝50°，
则∠ADB的度数为____．
D
25°
10．如图，A，B，C，D四个点均在⊙O上，且∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为(
)
A．40°
B．45°
C．50°
D．55°
11．(陕西中考)如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是(
)
A．20°
B．35°
C．40°
D．55°
D
B
12．(易错题)如图，正方形ABCD的顶点都在⊙O上，点E是⊙O上不与C，D重合的任意一点，则∠DEC的度数是__________．
13．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为_____．
45°或135°
55°
14．(10分)(南京中考)如图，⊙O的弦AB，CD的延长线相交于点P，且AB＝CD.求证：PA＝PC.
15．(12分)如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，
点E在弦AC上，且EC＝BC＝DC.
(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
(2)求证：∠1＝∠2.
解：(1)∵BC＝DC，∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD＝39°，
∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝78°
(2)证明：∵BC＝EC，∴∠CBE＝∠BEC.又∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠BEC＝∠2＋∠BAC，且∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2
【素养提升】
16．(14分)如图，已知点A，B，C，D都在⊙O上，且∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D.
(1)求证：四边形OBDC是菱形；
(2)若∠ABO＝15°，求∠ADC的度数．
解：(1)证明：连接OD，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠BOD＝∠COD＝60°.∵OB＝OD＝OC，∴△BOD和△COD都是等边三角形，∴OB＝BD＝DC＝OC，∴四边形OBDC是菱形(共23张PPT)
第三章 圆
北师版
3.2 圆的对称性
1．(3分)下列说法中，不正确的是(
)
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴
D．圆的对称中心是它的圆心
C
2．(4分)下列图形，是轴对称图形的有__________，
是中心对称图形的有
_____(填序号).
①②③④
②④
A
B
B
D
7．(3分)如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝CD＝DE，
若∠COD＝34°，则∠AEO的度数是_____．
51°
D
B
12
分钟学
知识点训练
(3)
B
30
B
D
E
°C
A
c
dyo
分钟〈日
知识点整合训练
E
B
B
B
B
F
C
B
D
D
B(共21张PPT)
第三章 圆
北师版
专题训练(八) 圆中常见辅助线归类
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为(
)
A．10
B．8
C．5
D．3
C
A
3．如图，某种鱼缸的主视图可视为弓形，该鱼缸装满水时的最大深度CD为18
cm，半径OC为13
cm，则鱼缸口的直径AB＝______
cm.
24
D
C
60°
8．(河池中考)如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，若∠1＝55°，则∠2＝_______．
35°
9．如图，点A，B，C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若∠DCE＝40°，求∠ACB的度数．
10．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，若∠ABC＝50°，则∠D的度数为(
)
A.50°
B．45°
C．40°
D．30°
C
12．如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD.若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是________．
130°
13．如图，已知AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，延长CD交BA的延长线于点E，若∠E＝20°，∠CBD＝50°，求∠CBE的度数．
解：连接AC，则∠ABD＝∠ACD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CBE＋∠CAB＝90°.而∠CAB＝∠ACE＋∠E＝∠ABD＋∠E＝(∠CBE－∠CBD)＋∠E，∴∠CBE＋(∠CBE－∠CBD)＋∠E＝90°，即2∠CBE－50°＋20°＝90°，∴∠CBE＝60°
D
15．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为_______．
8
16．(广元中考)如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝10，AH＝8，⊙O的半径为7，求AB的长．
17．(山西中考)如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数．
解：(1)连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD.又∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴∠AOF＝∠B.又∵CD是⊙O的切线，∴∠CDO＝90°，∴∠CDA＋∠ADO＝∠ADO＋∠BDO＝90°，∴∠CDA＝∠BDO.又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠AOF＝∠ADC
