(共16张PPT)
第二章 二次函数
北师版
专题训练(四) 二次函数的应用
类型一 二次函数与几何图形的面积问题
1．如图，某公司要建一个矩形的产品展示台，展示台的一边靠着长为10
m的宣传板(这条边不能超出宣传板)，另三边用总长为40
m的红布粘贴在展示台边上．设垂直于宣传板的一边长为x
m，展示台的面积为y
m2.
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)求这个展示台的最大面积．
解：(1)由题意，得y＝x(40－2x)＝－2x2＋40x
(2)根据题意，得0＜40－2x≤10，解得15≤x＜20，又∵y＝－2x2＋40x＝－2(x－10)2＋200，∴当x＝15时，y有最大值，y最大值＝－2×(15－10)2＋200＝150，∴这个展示台的最大面积为150
m2
类型二 二次函数与利润问题
2．(成都中考)在新冠疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下的售价x(单位：元/件，12≤x＜24)满足一次函数的关系，部分数据如下表：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若线上的售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
x/(元/件)
12
13
14
15
16
y/件
1
200
1
100
1
000
900
800
3．我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(kg)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
解：(1)y＝－2x＋200(30≤x≤60)
(2)设该公司日获利为W元，由题意，得W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2(x－65)2＋2
000，又∵30≤x≤60，∴当x＝60时，W最大值＝－2×(60－65)2＋2
000＝1
950.故当销售单价为每千克60元时，该公司日获利最大，最大获利为1
950元
类型三 二次函数与抛物线形问题
4．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两个小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20
m，顶点M距水面6
m(即MO＝6
m)，小孔顶点N距水面4.5
m(即NC＝4.5
m).当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求出此时大孔的水面宽度EF.
解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2＋6.依题意，得B(10，0)，∴a×102＋6＝0，解得a＝－0.06，即y＝－0.06x2＋6.当y＝－0.06x2＋6＝4.5时，解得x＝±5，∴DF＝5
m，∴EF＝10
m．即大孔的水面宽度为10
m
5．水幕电影的工作原理是把影像打在抛物线形的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的(如图)，水柱的最高点为P，AB＝2
m，BP＝9
m，水嘴高AD＝5
m，以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若不计其他因素，水池的半径OC至少为多少米才能使喷出的水流不落在池外？
解：(1)由题意可知抛物线的顶点P的坐标为(2，9)，∴可以设抛物线的表达式为y＝a(x－2)2＋9.∵抛物线过点D(0，5)，∴5＝a(0－2)2＋9，解得a＝－1，∴y＝－(x－2)2＋9＝－x2＋4x＋5
(2)当y＝－x2＋4x＋5＝0时，解得x1＝－1(不合题意，舍去)，x2＝5，∴若不计其他因素，水池的半径OC至少为5
m才能使喷出的水流不落在池外
6．(绍兴中考)如图①，排球场长为18
m，宽为9
m，网高为2.24
m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9
m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88
m，即BA＝2.88
m，这时水平距离OB＝7
m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图②.
(1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)，并判断这次发球能否过网，是否出界，说明理由；
类型四 其他类型问题
7．(安顺中考改)2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(min)的变化情况，数据如下表：(表中9～15表示9＜x≤15)
(1)根据这15
min内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；
(2)如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人，全部考生都完成体温检测需要多长时间．(共21张PPT)
第二章 二次函数
北师版
2.3 确定二次函数的表达式
第1课时 根据两个条件求二次函数的表达式
1．(3分)已知二次函数y＝x2＋bx－2的图象与x轴的一个交点为点(1，0)，则该二次函数的表达式为(
)
A.y＝x2－2x
B．y＝x2＋x－1
C．y＝x2＋x－2
D．y＝x2－x－2
2．(3分)若二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(1，－6)和(2，3)，则该二次函数的表达式为(
)
A．y＝3x2－9
B．y＝3x2＋9
C．y＝－3x2－9
D．y＝－3x2＋9
C
A
3．(4分)若二次函数y＝ax2＋bx－2的图象经过点(－1，0)，(1，－2)，则这个二次函数的表达式为y＝x2－x－2．
4．(8分)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点的横坐标为－1，与y轴的交点为(0，3).
(1)求该二次函数的表达式；
(2)结合函数图象，直接写出当y≤－1时x的取值范围．
5．(3分)图象的顶点坐标为(－2，3)，且经过点(－1，5)的二次函数的表达式为(
)
A.y＝x2＋8x＋11
B．y＝x2－8x－11
C．y＝2x2＋8x＋11
D．y＝2x2－8x＋11
C
6．(3分)已知一个二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为(
)
A.y＝2(x＋1)2＋8
B．y＝2(x－1)2＋8
C．y＝－2(x＋1)2－8
D．y＝2(x－1)2－8
D
7．(4分)若一抛物线的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则该抛物线的函数表达式是_________________________．
8．(6分)已知一个二次函数，当自变量x＝4时，函数值y取得最小值－1，且它的图象与y轴交点的纵坐标是3，求这个二次函数的表达式．
y＝－x2＋4x－3
9．(6分)已知一抛物线的对称轴为直线x＝2，其顶点在直线y＝－2x＋2上，且经过点(1，－1)，求该抛物线的函数表达式．
解：把x＝2代入y＝－2x＋2，得y＝－2，∴抛物线的顶点坐标为(2，－2)，∴可设抛物线的函数表达式为y＝a(x－2)2－2.∵点(1，－1)在抛物线上，∴a－2＝－1，∴a＝1，∴抛物线的函数表达式为y＝(x－2)2－2＝x2－4x＋2
一、选择题(每小题6分，共12分)
10．抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，则该抛物线的函数表达式为(
)
A.y＝x2＋2x－3
B．y＝－x2－2x＋3
C．y＝－x2＋2x＋3
D．y＝－x2－2x－3
C
A
三、解答题(共36分)
15．(12分)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处(OA＝1
m)弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一个点)的路线是抛物线，已知起跳点A距地面的高度为1
m，弹跳的最大高度距地面4.75
m，距起跳点A的水平距离为2.5
m．建立如图所示的平面直角坐标系，
(1)求演员身体运行路线函数的表达式；
(2)已知人梯高BC＝3.4
m，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4
m，请问这次表演是否能成功？请说明理由．
解：(1)由题意可知抛物线的顶点坐标为(2.5，4.75)，且过点(0，1)，∴可设抛物线的函数表达式为y＝a(x－2.5)2＋4.75，则1＝a(0－2.5)2＋4.75，解得a＝－0.6，∴抛物线的函数表达式为y＝－0.6(x－2.5)2＋4.75＝－0.6x2＋3x＋1
(2)当x＝4时，y＝－0.6x2＋3x＋1＝－0.6×42＋3×4＋1＝3.4.又∵BC＝3.4
m，∴这次表演能成功(共19张PPT)
第二章 二次函数
北师版
2.2 二次函数的图象与性质
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
1．(3分)在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－2)2(a≠0)的图象可能是(
)
D
2．(3分)对于二次函数y＝－3(x－m)2的图象，下列说法不正确的是(
)
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝m
C．最大值为0
D．与y轴不相交
D
(－3，0)
x＜－3
＜
5．(3分)二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为(
)
D
C
7．(3分)(兰州中考)已知点A(1，y1)，B(2，y2)都在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是(
)
A．2>y1>y2
B．2>y2>y1
C．y1>y2>2
D．y2>y1>2
8．(3分)(易错题)对于二次函数y＝4(x－m)2－3，当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____________．
A
m≥2
9．(3分)如图所示的是二次函数y＝a(x＋1)2＋2图象的一部分，则该图象在y轴右侧与x轴的交点的坐标是(1，0)．
10．(6分)已知一个二次函数的图象经过点(4，3)，并且当x＝3时，y有最大值4.
(1)求这个二次函数的表达式，并画出它的图象；
(2)当x取何值时，y随x的增大而增大？
11．(3分)将抛物线y＝3x2向右平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式是(
)
A．y＝3x2＋3
B．y＝3(x－3)2
C．y＝3x2－3
D．y＝3(x＋3)2
12．(4分)若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位长度，所得到的抛物线的表达式是__________________________，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为__________________________．
B
y＝5(x－2)2
y＝5(x－2)2＋3
一、选择题(每小题6分，共12分)
13．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图，则一次函数y＝mx＋n的图象经过(
)
A.第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
C
14．如图，点A，B的坐标分别为(0，4)和(3，4)，抛物线y＝a(x－m)2＋n的顶点在线段AB上运动(抛物线随顶点一起平移)，与x轴交于C，D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为－4，则点D的横坐标最大值为(
)
A．－3
B．6
C．7
D．8
C
二、填空题(每小题6分，共12分)
15．已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为__________．
1或6
18．(12分)如图所示的是一款优雅且稳定的抛物线形落地灯的示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.86
m，灯柱AB及支架的相关数据如图所示．
(1)求支架(曲线BCD)所在抛物线的表达式；
(2)若茶几摆放在灯罩D的正下方，求茶几到灯柱AB的距离AE的值．(共21张PPT)
第二章 二次函数
北师版
2.2 二次函数的图象与性质
第4课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
1．(3分)将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为(
)
A．y＝(x＋1)2＋4
B．y＝(x－1)2＋4
C．y＝(x＋1)2＋2
D．y＝(x－1)2＋2
2．(3分)抛物线y＝3x2－6x＋4的顶点坐标是(
)
A．(1，1)
B．(－1，1)
C．(－1，－2)
D．(1，2)
D
A
3．(3分)对于抛物线y＝－2x2－4x＋1，下列说法中错误的是(
)
A．开口向下
B．当x＜－1时，y随x的增大而减小
C．对称轴是直线x＝－1
D．顶点坐标是(－1，3)
4．(3分)已知抛物线y＝x2＋(m＋1)x＋m，当x<－2时，
y随x的增大而减小，则m的取值范围是(
)
A．m<3
B．m>3
C．m≤3
D．3≤m
B
C
5．(4分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是(
)
A．abc＜0
B．b2－4ac＜0
C．a－b＋c＜0
D．2a＋b＝0
D
6．(3分)(淮安中考)二次函数y＝－x2－2x＋3的图象的顶点坐标为______．
7．(3分)已知二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a的值是_________．
8．(4分)如图，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(4，0)，Q两点关于它的对称轴直线x＝1对称，则点Q的坐标为_________________．
(－1，4)
－1
(－2，0)
9．(4分)若点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_____________________．
y1＝y2＞y3
一、选择题(每小题6分，共12分)
11．(孝感中考)将抛物线C1：y＝x2－2x＋3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的表达式为(
)
A．y＝－x2－2
B．y＝－x2＋2
C．y＝x2－2
D．y＝x2＋2
A
12．(菏泽中考)一次函数y＝acx＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是(
)
B
二、填空题(每小题6分，共12分)
13．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若M＝4a＋2b，N＝a－b，则M，N的大小关系为M
______N(填“＞”“＜”或“＝”)．
＜
2
三、解答题(共36分)
15．(10分)(潜江中考)把抛物线C1：y＝x2＋2x＋3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2.
(1)直接写出抛物线C2的函数表达式；
(2)动点P(a，－6)能否在抛物线C2上？请说明理由；
(3)若点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
解：(1)∵y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∴抛物线C2的函数表达式为y＝(x＋1－4)2＋2－5＝(x－3)2－3
(2)动点P(a，－6)不能在抛物线C2上，理由如下：∵抛物线C2的函数表达式为y＝(x－3)2－3，∴函数的最小值为－3.∵－6＜－3，∴动点P(a，－6)不能在抛物线C2上
(3)∵抛物线C2的函数表达式为y＝(x－3)2－3，m＜n＜0＜3，∴y1＞y2
16．(12分)(黑龙江中考改)如图，已知二次函数y＝－x2＋(a＋1)x－a与x轴交于A，B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6.
(1)求a的值；
(2)若点P是抛物线上的一点(不与点C重合)，且S△ABP＝S△ABC，求点P的坐标．
【素养提升】
17．(14分)(金昌中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB，点P是第三象限内抛物线上的一动点．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)若PC∥AB，求点P的坐标；
(3)连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．(共20张PPT)
第二章 二次函数
北师版
2.4 二次函数的应用
第1课时 利用二次函数解决几何图形问题
1．(4分)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16
m，则所围成矩形ABCD的最大面积是(
)
A．32
m2
B．36
m2
C．48
m2
D．64
m2
D
B
B
4．(4分)如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900
m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝_________m时，矩形土地ABCD的面积最大．
150
5．(4分)(教材P47习题28T2变式)如图，小滕要用总长为40
m的铁栅栏及一面墙(墙足够长)围成一个矩形自行车停车场ABCD，并要在AB和BC边上各留一个2
m宽的小门(不用铁栅栏)，则他能围成的矩形自行车停车场ABCD的最大面积为_________
m2．
242
6．(10分)手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝(如图)，这个菱形的两条对角线的长度之和恰好为60
cm，菱形的面积S(cm2)随其中一条对角线AC的长x(cm)的变化而变化．
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式；
(2)当x为多少时，菱形风筝的面积S最大？最大值是多少？
7．(10分)如图所示的是400
m的跑道的示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边是半圆，设直道AB＝x
m，矩形ABCD的面积为S
m2.
(1)求S与x之间的函数表达式；
(2)当直道AB的长为多少米时，矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？
解答题(共60分)
8．(12分)在我市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为20
m的正方形ABCD，改建的绿地是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG＝2BE.如果设BE的长为x(单位：m)，绿地AEFG的面积为y(单位：m2).
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求绿地AEFG的最大面积．
解：(1)根据题意，得y＝(20－x)(20＋2x)＝－2x2＋20x＋400(0＜x＜20)
(2)∵y＝－2x2＋20x＋400＝－2(x－5)2＋450，0＜x＜20，∴当x＝5时，y最大＝450.故绿地AEFG的最大面积是450
m2
9．(14分)为了节省材料，某水产养殖户去年利用“稻虾混养”的模式进行养殖，并为此利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80
m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x
m，矩形区域ABCD的面积为y
m2.
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
10．(16分)(大庆中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8
cm，AC＝6
cm，若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止(不考虑D与B，A重合的情况)，运动速度为2
cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x(s)，AE的长为y(cm).
(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？
【素养提升】
11．(18分)(绍兴中考)有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．
(1)若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积；
(2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料？如果能，求出所截矩形材料面积的最大值；如果不能，请说明理由．
②若所截矩形材料的一条边是AE，如图②所示，过点E作EF∥AB交CD于点F，过点F作FG⊥AB于点G，过点C作CH⊥FG于点H，则四边形AEFG即为所截矩形，四边形BCHG为矩形，∴AE＝FG＝6，HG＝BC＝5.∵∠BCD＝135°，∴∠FCH＝45°，∴△CHF为等腰直角三角形，∴BG＝CH＝FH＝FG－HG＝6－5＝1，∴AG＝AB－BG＝6－1＝5，∴所截矩形AGFE的面积为AE·AG＝6×5＝30
(2)能，理由如下：如图③，在CD上取点F，过点F分别作FM⊥AB于点M，FN⊥AE于点N，过点C作CG⊥FM于点G，则四边形ANFM即为所截矩形，四边形BCGM为矩形．∵∠BCD＝135°，∴∠FCG＝45°，∴△CGF为等腰直角三角形，∴BM＝CG＝FG.设AM＝x，5≤x≤6，则BM＝6－x，∴FM＝GM＋FG＝GM＋CG＝BC＋BM＝11－x，∴S矩形AMFN＝AM·FM＝x(11－x)＝－x2＋11x＝－(x－5.5)2＋30.25，∴当x＝5.5时，S矩形AMFN的最大值为30.25(共22张PPT)
第二章 二次函数
北师版
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y＝ax2的图象与性质
1．(3分)下列图象中可能是二次函数y＝x2的图象的是(
)
A
2．(3分)抛物线y＝－3x2的开口向_____，顶点坐标是___________，顶点是抛物线的最________点，当x＝_______时，函数y有最________值______．
下
(0，0)
高
0
大
0
4．(3分)对于函数y＝5x2，下列说法正确的是(
)
A．y随x的增大而增大
B．图象开口向下
C．图象关于y轴对称
D．无论x取何值时，y的值总是正的
C
B
6．(3分)已知原点是抛物线y＝(m＋1)x2的最高点，则m的取值范围是(
)
A．m＜－1
B．m＜1
C．m＞－1
D．m＞－2
A
增大
y1＞y2＞y3
解：
一、选择题(每小题6分，共12分)
10．若点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(8，y3)都在二次函数y＝－(a2＋1)x2(a为常数)的图象上，则下列结论正确的是(
)
A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2
D．y1＜y3＜y2
C
11．(呼和浩特中考)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是(
)
D
二、填空题(每小题6分，共12分)
12．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是_____________________________(请用“＞”连接排序)．
a1＞a2＞a3＞a4
三、解答题(共36分)
14．(10分)已知抛物线y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－1交于点(－1，b).
(1)求a和b的值；
(2)请写出抛物线y＝ax2的顶点坐标及对称轴；
(3)当x取何值时，二次函数y＝ax2(a≠0)中y随x的增大而增大？
解：(1)∵直线y＝2x－1经过点(－1，b)，∴b＝2×(－1)－1＝－3，∴抛物线y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－1交于点(－1，－3)，∴－3＝(－1)2a，解得a＝－3
(2)由(1)可知抛物线的表达式为y＝－3x2，∴抛物线的顶点坐标为(0，0)，对称轴是
y轴
(3)当x＜0时，二次函数y＝ax2(a≠0)中y随x的增大而增大
【素养提升】(共17张PPT)
第二章 二次函数
北师版
2.5 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程的联系
二次函数与一元二次方程的关系
1．(4分)小兰画了一个二次函数y＝x2＋ax＋b的图象如图所示，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(
)
A．无解
B．x＝1
C．x＝－4
D．x1＝－1，x2＝4
D
D
B
x1＝－1，x2＝5
6．(8分)已知二次函数y＝x2－mx＋m－2(m为常数)．
(1)求证：不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点；
(2)若m＝2，求函数与x轴的交点坐标．
解：(1)证明：∵b2－4ac＝m2－4(m－2)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4＞0，∴不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点
(2)当m＝2时，y＝x2－2x，令y＝x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，∴抛物线与x轴的两个交点分别为(0，0)，(2，0)
一、选择题(每小题6分，共12分)
8．(荆门中考)若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过第四象限内的点(1，－1)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(
)
A．有两个大于1的不相等的实数根
B．有两个小于1的不相等的实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根
D．没有实数根
C
9．(安顺中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(－3，0)与(1，0)两点，关于x的方程ax2＋bx＋c＋m＝0(m>0)有两个根，其中一个根是3，则关于x的方程ax2＋bx＋c＋n＝0
(0)
A．－2或0
B．－4或2
C．－5或3
D．－6或4
B
二、填空题(每小题6分，共12分)
10．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，则关于x的方程ax2＝bx＋c的解是____________________．
11．如图是二次函数y＝－x2＋4x的图象，若关于x的一元二次方程－x2＋4x－t＝0(t为常数)在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是_____________________．
x1＝－2，x2＝1
－5＜t≤4
三、解答题(共36分)
12．(10分)已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
(2)当m取何值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？
解：(1)证明：当y＝2(x－1)(x－m－3)＝0时，解得x1＝1，x2＝m＋3.当m＋3＝1，即m＝－2时，方程有两个相等的实数根；当m＋3≠1，即m≠－2时，方程有两个不相等的实数根．∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点
(2)当x＝0时，y＝2(x－1)(x－m－3)＝2m＋6，∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m＋6，∴当2m＋6＞0，即m＞－3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方
13．(12分)已知P(－3，m)和Q(1，m)是抛物线y＝2x2＋bx＋1上的两点．
(1)试判断关于x的一元二次方程2x2＋bx＋1＝0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；
(2)将抛物线y＝2x2＋bx＋1向上平移k个单位长度，使平移后的图象与x轴无交点，求k的取值范围．
【素养提升】
14．(14分)已知二次函数y＝－x2＋x＋6及一次函数y＝－x＋m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数(如图所示)，当直线y＝－x＋m与新图象有4个交点时，求m的取值范围．
解：当y＝－x2＋x＋6＝0时，解得x1＝－2，x2＝3，则A(－2，0)，B(3，0).将二次函数y＝－x2＋x＋6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的表达式为y＝(x＋2)(x－3)＝x2－x－6(－2≤x≤3).当直线y＝－x＋m经过点A(－2，0)时，则2＋m＝0，解得m＝－2；当直线y＝－x＋m与抛物线y＝x2－x－6(－2≤x≤3)有唯一公共点时，则方程x2－x－6＝－x＋m有两个相等的实数解，即x2＝6＋m有两个相等的实数解，故6＋m＝0，解得m＝－6，∴当直线y＝－x＋m与新图象有4个交点时，m的取值范围为－6＜m＜－2(共17张PPT)
第二章 二次函数
北师版
专题训练(五) 二次函数图象信息题归类
类型一 判断坐标系中函数图象的位置
1．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象大致是(
)
D
2．(达州中考)如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2＋bx＋c交于A，B两点，则y＝ax2＋(b－k)x＋c的图象可能是(
)
B
3．(泰安中考)在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是(
)
C
类型二 根据二次函数的图象确定未知字母系数及代数式的符号或数值
4．(遂宁中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝－1，下列结论不正确的是(
)
A.b2>4ac
B．abc>0
C．a－c<0
D．am2＋bm≥a－b(m为任意实数)
C
5．(襄阳中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①ac<0；②3a＋c＝0；③4ac－b2<0；④当x>－1时，y随x的增大而减小．其中正确的有(
)
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为______．
B
0
7．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D(－1，2)，与x轴的一个交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2－4ac<0；②当x>－1时，y随x的增大而减小；③a＋b＋c<0；④若方程ax2＋bx＋c－m＝0没有实数根，则m>2；⑤3a＋c<0.其中正确的结论有
______________(填序号)．
②③④⑤
8．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知该二次函数的表达式是(
)
D
9．如图，一个二次函数的图象经过A(－1，0)，B(3，0)，C三点，且AB＝OC，则这个二次函数的表达式是______________________.
类型四 由二次函数的图象求一元二次方程的根
10．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个解为x1＝－3，另一个解为x2＝(
)
A．－0.5
B．0
C．0.5
D．1
B
A
2
0或1或2
类型五 由二次函数的图象求不等式的解集
14．如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是(
)
A．－1≤x≤3
B．x≤－1
C．x≥1
D．x≤－1或x≥3
15．如图，一次函数y1＝kx＋n(k≠0)与二次函数y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为(
)
A．－1≤x≤9
B．－1≤x<9
C．－1D．x≤－1或x≥9
D
A
16．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
解：(1)y＝x2－x－1
(2)当y＝0时，得x2－x－1＝0，解得x1＝2，x2＝－1，∴点D的坐标为(－1，0)
(3)当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是－1＜x＜4
类型六 与几何图形相结合的二次函数的图象判断
17．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P为对角线AC上的一动点，过点P作PQ⊥AC，交折线A－D－C于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象正确的是(
)
B
18．如图，在Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝6
cm，在矩形ABCD中，AB＝2
cm，BC＝6
cm，点C和点M重合，点B，C(M)，N在同一直线上，若Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1
cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x
s后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y
cm2，则y与x之间的函数的大致图象是(
)
D(共22张PPT)
第二章 二次函数
北师版
专题训练(六) 二次函数与几何图形的综合
类型二 与面积有关的二次函数问题
2．如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c(a＜0)与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，OB＝OC＝3.
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的一点，连接OD，CD，OD交BC于点F.当S△COF∶S△CDF＝3∶2时，求点D的坐标．
类型三 与动点及存在性有关的二次函数问题
4．(黑龙江中考)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，B
(3，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式；
(2)抛物线上是否存在一点P，使∠PAB＝∠ABC？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．(枣庄中考改)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A(－3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC.M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q.
(1)求抛物线的表达式；
(2)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6．(潍坊中考改)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋8(a≠0)与x轴交于点A(－2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点C，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E.
(1)求抛物线的表达式及其顶点D的坐标；
(2)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．(共8张PPT)
第二章 二次函数
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2.5 二次函数与一元二次方程
第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
1．(6分)根据下表中二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的自变量x与对应的函数值y，判断方程ax2＋bx＋c＝0的一个解x的范围是(
)
A.6＜x＜6.17
B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19
D．6.19＜x＜6.20
C
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2＋bx＋c
－0.03
－0.01
0.02
0.04
2．(6分)已知抛物线y＝x2－2x＋0.5如图所示，利用图象可得方程x2－2x＋0.5＝0的近似解为
__________________________(结果精确到0.1)．
3．(8分)用二次函数的图象求一元二次方程x2－x－3＝0的近似解(精确到0.1)．
解：画图象求x2－x－3＝0的近似解为x1＝－1.3，x2＝2.3(图象略)
x1≈0.3，x2≈1.7
二次函数与一元二次不等式
4．(6分)已知二次函数y＝x2－2x－2的图象如图所示，则使y≥1成立的x的取值范围是(
)
A．－1≤x≤3
B．－3≤x≤1
C．x≥－3
D．x≤－1或x≥3
5．(6分)如图，已知直线y＝kx＋b(k＞0)与抛物线y＝x2相交于A，B两点，则不等式x2－kx－b＞0的解集为(
)
A．－1＜x＜3
B．x＜－1或x＞3
C．1＜x＜9
D．x＜1或x＞9
D
B
6．(6分)如图，抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝kx＋m相交于点A(－2，－4)，B(8，2)，则当y1>y2时x的取值范围是____________________．
x<－2或x>8
7．(12分)如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B与点C关于对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b经过二次函数图象上的一点A(1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．(共20张PPT)
第二章 二次函数
北师版
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y＝ax2＋c的图象与性质
1．(3分)下列图象中可能是二次函数y＝2x2＋1的图象的是(
)
C
2．(3分)抛物线y＝－3x2＋4的开口方向和顶点坐标分别是(
)
A．向下，(0，－4)
B．向下，(0，4)
C．向上，(0，4)
D．向上，(0，－4)
3．(4分)关于二次函数y＝－x2－2，下列说法中正确的是(
)
A．有最大值－2
B．有最小值－2
C．它的图象的对称轴是直线x＝1
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
B
A
4．(4分)已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝4x2－1上，下列说法中正确的是(
)
A．若y1＝y2，则x1＝x2
B．若x1＝－x2，则y1＝－y2
C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2
D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2
D
5．(6分)二次函数y＝5x2－3的图象开口向_______，顶点坐标为________，对称轴为____________．当x>0时，y随x的增大而________；当x<0时，y随x的增大而_________．因为a＝5>0，所以y有最______值，当x＝_____时，y的最______值是_________.
6．(4分)(易错题)若关于x的二次函数y＝ax2＋a2的最大值为4，则a的值为
_____________．
上
(0，－3)
y轴
增大
减小
小
0
小
－3
－2
8．(3分)将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝x2＋5，下列叙述正确的是(
)
A．向上平移5个单位长度
B．向下平移5个单位长度
C．向左平移5个单位长度
D．向右平移5个单位长度
A
－6
A
A
二、填空题(每小题6分，共12分)
12．如图，抛物线y＝ax2＋1与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝4x2于点B，C，则线段BC的长为_______．
1
5
三、解答题(共36分)
14．(10分)(教材P39习题2.4T2变式)已知抛物线y＝ax2＋n(an＜0)与抛物线y＝－3x2的形状相同，且其顶点到x轴的距离为2.
(1)求a，n的值；
(2)在(1)的情况下，指出抛物线y＝ax2＋n的开口方向、对称轴及顶点坐标．
15．(12分)如图所示的是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，桥洞的两端点与水面的距离都是1
m，拱桥的跨度为10
m，桥洞与水面的最大距离是5
m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4
m的景观灯，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求拱桥桥洞所在抛物线的表达式；
(2)求两盏景观灯之间的水平距离．
【素养提升】
16．(14分)如图，已知顶点为C(0，－3)的抛物线y＝ax2＋b(a≠0)与x轴交于A，B两点，直线y＝x＋m过顶点C和点B.
(1)求m的值和抛物线y＝ax2＋b(a≠0)的表达式；
(2)抛物线上是否存在一点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(共19张PPT)
第二章 二次函数
北师版
章末复习(二)
考点一 二次函数的图象和性质
1．对于二次函数y＝－5(x＋2)2－6，下列说法错误的是(
)
A．它的图象的开口向下
B．它的最大值为－6
C．它的图象的顶点坐标为(2，－6)
D．当x<－2时，y随x的增大而增大
C
A
C
4．在同一直角坐标系中，一次函数y＝mx＋m和二次函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可以是(
)
D
y＝－2x2
k＞－1
考点二 二次函数图象的平移
8．(绥化中考)将抛物线y＝2(x－3)2＋2先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的抛物线的表达式是(
)
A．y＝2(x－6)2
B．y＝2(x－6)2＋4
C．y＝2x2
D．y＝2x2＋4
9．将一抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线的表达式是y＝x2＋1，则原抛物线的表达式是(
)
A．y＝x2－1
B．y＝x2＋4x＋4
C．y＝x2＋6x＋5
D．y＝x2＋8x＋17
C
B
10．(鸡西中考)将抛物线y＝(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是____________.
(2，－5)
考点三 求二次函数的表达式
11．已知一个二次函数的图象经过(－1，0)，(2，0)，(0，2)三点，则该函数的表达式为(
)
A．y＝－x2－x＋2
B．y＝x2＋x－2
C．y＝x2＋3x＋2
D．y＝－x2＋x＋2
12．如果一条抛物线的形状和开口方向均与抛物线y＝－2x2＋3相同，且顶点坐标是(2，－4)，则它的表达式是
____________________．
D
y＝－2(x－2)2－4
13．(温州中考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(1，－2)，(－2，13).
(1)求a，b的值；
(2)若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值．
考点四 二次函数的应用
14．如图，某学校大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8
m，两侧距地面4
m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6
m，则校门的高约为(水泥建筑物的厚度忽略不计)(
)
A．9.2
m
B．9.1
m
C．9.0
m
D．8.9
m
B
15．小区要用篱笆围成一个四边形花坛，花坛的一边利用足够长的墙，另三边所用的篱笆长度之和恰好为18
m，围成的花坛如图所示，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，且BC＝2AB，CD的长不小于AB的长．设AB边的长为x
m，四边形ABCD的面积为S
m2.
(1)求S与x之间的函数关系式(写出自变量x的取值范围)；
(2)当x是多少时，S最大？最大值是多少？
16．某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y(支)与销售单价x(元/支)之间存在如图所示的关系．
(1)请求出y与x之间的函数关系式；
(2)当该款电动牙刷的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？
解：(1)y＝－10x＋400
(2)设该款电动牙刷每天的销售利润为w元，由题意，得
w＝(x－20)(－10x＋400)＝－10x2＋600x－8
000＝－10(x－30)2＋1
000，∴当x＝30时，w有最大值，w最大值＝1
000，∴当该款电动牙刷的销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大销售利润为1
000元(共18张PPT)
第二章 二次函数
北师版
2.4 二次函数的应用
第3课时 利用二次函数解决商品利润问题
销售中的利润问题
1．(4分)某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨上1元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数表达式为(
)
A．y＝(x－40)(500－10x)
B．y＝(x－40)(10x－500)
C．y＝(x－40)[500－10(x－50)]
D．y＝(x－40)[500－10(50－x)]
C
2．(4分)某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式为y＝－4x＋440，若她每月要想获得最大利润，则应将该商品的销售单价定为(
)
A．60元/件
B．70元/件
C．80元/件
D．90元/件
3．(5分)出售某件商品若每件获利x元，则一天可售出(8－x)个，则当x＝____元时，一天出售该种手工艺品的总利润最大为_____元．
C
4
16
4．(4分)(潜江中考)某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为______元．
70
5．(9分)“互联网＋”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映，销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元(x为正整数)，每月的销售量为y条．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？
解：(1)由题意，得y＝100＋5(80－x)＝－5x＋500
(2)由题意，得w＝(x－40)y＝(x－40)(－5x＋500)＝－5x2＋700x－20
000＝－5(x－70)2＋4
500，∴当x＝70时，w有最大值，w最大值＝4
500，∴当降价80－70＝10(元)时，每月获得的利润最大，最大利润为4
500元
利用二次函数解决其他“每……每……”的实际问题
6．(5分)(教材P49“议一议”变式)某果园有100棵橘子树，平均每一棵树能结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵橘子树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园里增种x棵橘子树，则果园里所能结橘子的总个数y＝
___________________________，且当果园里增种_____棵橘子树时，所能结橘子的总个数y有最大值，且这个最大值为_____________.
－5x2＋100x＋60
000
10
60
500
7．(9分)我市某水产养殖中心去年鱼塘里饲养了鱼苗10千尾，平均每千尾的产量为1
000
kg.今年计划继续向鱼塘里投放鱼苗，预计每多投放鱼苗1千尾，每千尾的产量将减少50
kg，那么今年应投放多少鱼苗才能使总产量最大？最大总产量是多少？
解：设今年投放鱼苗x千尾，总产量为y
kg，根据题意，得y＝(1
000－50x)(10＋x)＝－50x2＋500x＋10
000＝－50(x－5)2＋11
250，∴当x＝5时，y有最大值，最大值为y最大值＝11
250.故今年投放5千尾鱼苗时可以达到最大总产量，最大总产量为11
250
kg
解答题(共60分)
8．(14分)(潍坊中考)因新冠疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天的销售量y(桶)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大？最大利润是多少元？(利润＝销售价－进价)
9．(15分)某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件的进货价为50元．规定每件的售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求出y与x之间的函数表达式(不需要求自变量x的取值范围)；
(2)物价部门规定，该衬衫每件的利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w(元)，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
售价x/(元/件)
60
65
70
销售量y/件
1
400
1
300
1
200
10．(14分)小明大学毕业后回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2(单位：元).
(1)用含x的代数式分别表示W1，W2；
(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大？最大总利润是多少？(共20张PPT)
第二章 二次函数
北师版
2.4 二次函数的应用
第2课时 利用二次函数解决实物抛物线问题
D
C
B
7．(10分)一高尔夫球的飞行路线为如图所示的抛物线．
(1)请求出高尔夫球的飞行高度y(m)与飞行的水平距离x(m)之间的函数关系式；
(2)高尔夫球飞行的最远距离为多少米？
(3)当高尔夫球的飞行高度为5
m时，它飞行的水平距离为多少米？
解答题(共60分)
8．(12分)如图，一单行抛物线形隧道的跨度为8
m，拱高为4
m，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该隧道所在抛物线的表达式；
(2)一辆宽为2
m的货车要从该隧道的正中通过，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.5
m的距离，则这辆货车的限高应是多少？
9．(14分)如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4
m处跳起投篮，球运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝ax2＋x＋c，当球运行的水平距离为1.5
m时，球离地面高度为3.3
m，球在空中达到最大高度后，准确落入篮圈内．已知篮圈中心离地面的距离为3.05
m.
(1)当球运行的水平距离为多少时，达到最大高度？最大高度为多少？
(2)若该运动员身高1.8
m，这次跳投时，球在他头顶上方0.25
m处出手，问球出手时，他跳离地面多高？
10．(16分)某游乐园有一个直径为16
m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3
m处达到最高，高度为5
m，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；
(2)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32
m，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
【素养提升】
11．(18分)某跳水运动员进行10
m跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10
m，入水处距池边的距离为4
m，运动员在距水面高度为5
m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3.6
m，问此次跳水会不会失误？(共18张PPT)
第二章 二次函数
北师版
2.1 二次函数
B
2．(3分)圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的函数关系是(
)
A．S是R的正比例函数
B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数
D．以上答案都不对
3．(3分)若函数y＝(k－3)x2＋k(x－3)是y关于x的二次函数，则k需满足的条件是_____________．
4．(4分)把二次函数y＝(x＋1)(x－3)化为一般形式应为
y＝x2－2x－3
，其自变量x的取值范围为
____________．
C
k≠3
全体实数
5．(6分)下列函数是否为二次函数？如果是二次函数，请写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝－0.9x2＋2x－3； (2)y＝－2x2－7；
(3)y＝－x2＋x； (4)y＝(x＋1)(x－1)－x2.
6．(3分)为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放了a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x之间的函数关系式是(
)
A．y＝a(1＋x)2
B．y＝a(1－x)2
C．y＝(1－x)2＋a
D．y＝x2＋a
A
7．(3分)某广告公司要设计一个周长为20
m的矩形广告牌，设矩形广告牌的一边长为x
m，面积为S
m2，那么S与x之间的函数关系式是(
)
A．S＝x(20－x)
B．S＝x(20－2x)
C．S＝x(10－x)
D．S＝x(5－x)
C
8．(3分)某企业今年第一个月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年第三个月新产品的研发资金y(万元)与x之间的函数关系式为y＝_____________．
9．(4分)元旦来临之际，某班的x名同学都相互送一张卡片，则该班送贺卡的总数y张与人数x之间的函数关系式是________________，自变量x的取值范围是_________________．
100(1＋x)2
y＝x2－x
x≥2的整数
10．(8分)(教材P30“随堂练习”T2变式)若一正方形的边长是4
cm，当它的边长增加x
cm时，面积增加y
cm2.
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)当边长增加了3
cm时，面积增加了多少？
(3)当面积增加了48
cm2时，边长增加了多少？
解：(1)y＝(x＋4)2－42＝x2＋8x(x≥0)
(2)当x＝3时，y＝x2＋8x＝32＋8×3＝33，∴面积增加了33
cm2
(3)当y＝x2＋8x＝48时，解得x1＝4，x2＝－12(舍去)，∴边长增加了4
cm
一、选择题(每小题6分，共12分)
C
12．如图，从地面垂直向上抛出一个小球，小球的高度h(m)与小球运动的时间t(s)之间的函数关系式是h＝9.8t－4.9t2.若小球的高度为4.9
m，则小球运动的时间为(
)
A．0.6
s
B．1
s
C．1.5
s
D．2
s
B
二、填空题(每小题6分，共12分)
13．(易错题)当m＝______时，函数y＝(m2－4)xm2－m－4＋x＋3是y关于x的二次函数.
14．如图，某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15
m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40
m的栅栏围成．若设花园的边AB＝x
m，花园的面积为y
m2，则y与x之间的函数表达式为_____________________，自变量x的取值范围是___________________．
3
y＝－2x2＋40x
12.5≤x＜20
三、解答题(共36分)
15．(10分)某景区内有一块如图所示的矩形油菜花田地，现在其中修建一条观花道(阴影部分所示)供游人赏花，设改造后剩余油菜花地所占面积为y
m2.
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若改造后观花道的面积为13
m2，求x的值．
解：(1)由题意可得y＝(8－x)(6－x)＝x2－14x＋48(0＜x＜6)
(2)当y＝x2－14x＋48＝48－13＝35时，解得x1＝1，x2＝13(不合题意，舍去)，∴x的值为1
16．(12分)(教材P31习题2.1T4变式)已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨x元(x为非负整数)，每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1
920元？这时每件商品的利润率是多少？
【素养提升】
17．(14分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发．
(1)△PBQ的面积S随出发时间t(s)如何变化？写出函数关系式及t的取值范围；
(2)当t的值为多少时，△PBQ的面积为32?(共13张PPT)
第二章 二次函数
北师版
2.3 确定二次函数的表达式
第2课时 根据三个条件求二次函数的表达式
1．(5分)已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则这个二次函数的表达式为(
)
A．y＝－6x2＋3x＋4
B．y＝－2x2＋3x－4
C．y＝x2＋2x－4
D．y＝2x2＋3x－4
D
2．(5分)已知二次函数的图象如图所示，则该二次函数的表达式为(
)
A．y＝－x2＋x＋2
B．y＝x2－x－2
C．y＝－x2－x＋2
D．y＝－x2－x－2
A
3．(5分)(易错题)已知一抛物线经过A(－1，0)和B(3，0)两点，与y轴交于点C，且OC＝3，则该抛物线的函数表达式为(
)
A.y＝－x2＋2x＋3
B．y＝x2－2x－3
C．y＝x2＋2x－3或y＝－x2＋2x＋3
D．y＝－x2＋2x＋3或y＝x2－2x－3
D
5．(5分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)的一些x与y的对应值如下表：
则n的值为________．
3
7．(8分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)设二次函数与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标．(共19张PPT)
第二章 二次函数
北师版
专题训练(三) 用待定系数法求二次函数的表达式
类型一 利用一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)求二次函数的表达式
B
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x，y的部分对应值如下表：
则该二次函数的表达式为_______________________________．
y＝x2－3x＋1
3．若一抛物线经过(－1，19)，(3，3)，(2，1)三点，则这个抛物线的函数表达式为____________________________．
y＝2x2－8x＋9
4．(长沙中考改)“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸时间t(单位：min)近似满足的函数关系为p＝at2＋bt＋c(a≠0，a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，解答下列问题：
(1)求二次函数p＝at2＋bt＋c的表达式；
(2)加工煎炸臭豆腐的最佳时间是什么时候？
类型二 利用顶点式y＝a(x－h)2＋k求二次函数的表达式
5．已知抛物线的顶点坐标是(2，1)，且抛物线经过点(3，0)，则这条抛物线的函数表达式是(
)
A．y＝－x2－4x－3
B．y＝－x2－4x＋3
C．y＝x2－4x－3
D．y＝－x2＋4x－3
D
6．若一个二次函数的图象如图，则它的表达式是(
)
A.y＝2x2－4x
B．y＝－x(x－2)
C．y＝－(x－1)2＋2
D．y＝－2x2＋4x
D
7．若一抛物线和抛物线y＝－3x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的函数表达式为_____________________________．
8．已知二次函数的图象的对称轴为直线x＝1，最高点到x轴的距离为6，且经过点(2，－8)，求这个二次函数的表达式．
解：由题意知二次函数的顶点坐标为(1，6)或(1，－6)，①当顶点的坐标为(1，6)时，可设二次函数的表达式为y＝a(x－1)2＋6，将点(2，－8)代入，得－8＝a(2－1)2＋6，解得a＝－14，∴y＝－14(x－1)2＋6；②当顶点的坐标为(1，－6)时，可设二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－6，将点(2，－8)代入，得－8＝a(2－1)2－6，解得a＝－2，∴y＝－2(x－1)2－6.∴这个二次函数的表达式为y＝－14(x－1)2＋6或y＝－2(x－1)2－6
y＝－3(x＋1)2＋3
类型三 利用交点式(或两根式)y＝a(x－x1)(x－x2)求二次函数的表达式
9．已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为(
)
A.y＝x2－2x＋3
B．y＝x2－2x－3
C．y＝x2＋2x－3
D．y＝x2＋2x＋3
B
10．请写出一个经过(－2，0)，(5，0)两点的抛物线的函数表达式：
___
__________________________________________________________(写出一个符合要求的答案即可).
y＝x2－3x－10(答案不唯一)
11．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，CD交y轴于点E，若AB＝5，AD＝4，且点A对应的数为－1，则经过A，B，E三点的抛物线的函数表达式为____________________．
y＝－x2＋3x＋4
12．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3).
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的函数表达式．
类型四 由几何变换求二次函数的表达式
13．(广东中考)把函数y＝(x－1)2＋2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数表达式为(
)
A.y＝x2＋2
B．y＝(x＋1)2＋1
C．y＝(x－2)2＋2
D．y＝(x－1)2＋3
14．与抛物线y＝x2－2x－3关于x轴对称的抛物线的函数表达式为(
)
A．y＝x2＋2x－3
B．y＝x2－2x＋3
C．y＝－x2＋2x－3
D．y＝－x2＋2x＋3
C
D
15．将二次函数y＝x2－2x＋1的图象绕它的顶点A旋转180°，则旋转后的抛物线的函数表达式为(
)
A.y＝－x2＋2x＋1
B．y＝－x2－2x＋1
C．y＝－x2＋2x－1
D．y＝x2＋2x＋1
C
16．如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角坐标系，且左、右两条抛物线关于y轴对称，若右面的一条抛物线可以用y＝x2－4x＋c表示，则左面抛物线的函数表达式为_____________________
y＝x2＋4x＋5.
17．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位长度，则在新的平面直角坐标系下，此抛物线对应的函数表达式是______________________________．
18．抛物线y＝(x－1)2－5先向左、向上均平移2个单位长度后，再绕顶点旋转180°，得到新的图象对应的函数表达式为_______________________．
y＝3(x＋3)2－3
y＝－(x＋1)2－3
19．(宁波中考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4x－3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是(1，0).
(1)求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围；
(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
