(共34张PPT)
高考小题标准练(一)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知集合A={x|x2-4x<0}
，B={y|y=2x-1，x∈N
}，则如图所示的Venn图中，阴影部分表示的集合中元素的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.由x2-4x<0,得0
={x|x2-4x<0}.由y=2x-1,x∈N
,得集合B={1,3,5,…}..根据题图可知阴影部分表示的集合为A∩B,且A∩B
={1,3}，所以阴影部分表示的集合中共有2个元素.
2.复数z1=2+i,若复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,则z1z2=( )
A.5
B.-5
C.-3+4i
D.3-4i
【解析】选B.由题意可知,z2=-2+i,所以z1z2
=(2+i)(-2+i)=-
4-1=-5.
3.已知函数
则
=( )
A.-2
B.-1
C.-
D.-
【解析】选C.由题意可知f
=log2
=-1,
f
=f（-1）=
=-
.
4.某企业引进现代化管理体制,生产效益明显提高.2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍.同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化(即运营成本也增长了一倍).如图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总运营成本的比例,下列说法正确的是( )
A.该企业2018年设备支出金额是2017年设备支出金额的一半
B.该企业2018年支付工资金额与2017年支付工资金额相当
C.该企业2018年用于研发的费用是2017年用于研发的费用的五倍
D.该企业2018年原材料的费用是2017年原材料的费用的两倍
【解析】选C.由折线图可知:不妨设2017年全年的总运营成本为t,则2018年全年的总运营成本为2t,对于选项A,该企业2018年设备支出金额为0.2×2t=0.4t,
2017年设备支出金额为0.4×t=0.4t,故A错误,对于选项B,该企业2018年支付工资金额为0.2×2t=0.4t,2017年支付工资金额为0.2×t=0.2t,故B错误,对于选项C,该企业2018年用于研发的费用是0.25×2t=0.5t,2017年用于研发的费用是0.1×t=0.1t,故C正确,对于选项D,该企业2018年原材料的费用是0.3×2t=
0.6t,2017年原材料的费用是0.15×t=0.15t,故D错误.
5.若双曲线
=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点
,则该双曲线的离心率
为( )
【解析】选C.因为双曲线方程为
所以该双曲线的渐近线方程为y=±
x,
又因为一条渐近线经过点
,
所以2=
×1,得b=2a,由此可得c=
,双曲线的离心率e=
6.由0,1,2,3,4五个数字任取三个数字,组成能被3整除的没有重复数字的三位数,共有( )
A.14个
B.16个
C.18个
D.20个
【解析】选D.根据能被3整除的三位数的特征,可以进行分类,共分以下四类:
①由0,1,2三个数组成三位数,共有
=4个没有重复数字的三位数;
②由0,2,4三个数组成三位数,共有
=4个没有重复数字的三位数;
③由1,2,3三个数组成三位数,共有
=6个没有重复数字的三位数;
④由2,3,4三个数组成三位数,共有
=6个没有重复数字的三位数,所以由
0,1,2,3,4五个数字任取三个数字,组成能被3整除的没有重复数字的三位数,
共有4+4+6+6=20个.
7.九章算术中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图).现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法.显然,正方体的内切球同时也是“牟合方盖”的内切球.因此,用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”,截面均为正方形,该平面截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆.结合祖暅原理,两个同高的立方体,如在等高处的截面积相等,则体积相等.若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为( )
A.
B.2π
C.
D.
【解析】选A.由题意,任意水平面与“牟合方盖”及其内切球相交的截面为正方
形和这个正方形的内切圆,因为正方形和内切圆的面积之比为4∶π,所以由祖暅
原理得,“牟合方盖”及其内切球的体积之比为4∶π,又因为球的体积为
π,
所以“牟合方盖”的体积为
.
8.在各棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知M是棱BB1的中点,N是棱AC的中点,则异面直线A1M与NB所成角的正切值为( )
【解析】选C.各棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中,设棱长为2,
以A为原点,AC所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,
则
设异面直线A1M与BN所成角为θ,
则cos
θ=
所以tanθ=
.所以异面直线A1M与BN所成角的正切值为
.
二、多项选择题(共4小题,每小题5分,共20分)
9.若a0,则下列不等式中一定成立的是( )
【解析】选BD
.由函数y=x-
在(-∞,-1)上为增函数可知,当a,故选项A错误;由函数y=x+
在(-∞,-1)上为增函数可知,当a,即
,故选项B正确;由于a0,但不确定b-a与1的大小
关系,故ln(b-a)与0的大小关系不确定,故选项C错误;由a>1,0<
<1,而c>0,则
>0,故选项D正确.
10.已知函数f(x)=ax-ex(a∈R)有两个零点,分别为x1,x2,且3x1能为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选CD.令f(x)=0,即ax-ex=0.
当a=0时,ex=0无解,所以a≠0.
所以有
令g(x)=
.则f(x)=ax-ex有两个零点等价于y=
的图象与g(x)=
的图象有两
个不同的交点.
g′(x)=
,当x∈(-∞,1)时,g′(x)>0;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0.
所以g(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
因此,如图,0得x1=
,则g(x1)=
所以0<
,即a>
时,满足条件,故a的取值范围为
,故C、D正确.
11.1970年4月24日,我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”,从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c,下列结论正确的是( )
A.卫星向径的取值范围是[a-c,a+c]
B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大,椭圆轨道越扁
D.卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小
【解析】选ABD.根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a-c,a+c
],A正确;
当卫星在左半椭圆弧运行时,对应的面积更大,根据面积守恒规律,速度更慢,B正
确;
,当比值越大,则e越小,椭圆轨道越圆,C错误.
根据面积守恒规律,卫星在近地点时向径最小,故速度最大,在远地点时向径最大,
故速度最小,D正确.
12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,如图,M为CC1上的动点,AM⊥平面α.下
面说法正确的是( )
A.直线AB与平面α所成角的正弦值范围为
B
点M与点C1重合时,平面α截正方体所得的截面,其面积越大,周长就越大
C.点M为CC1的中点时,若平面α经过点B,则平面α截正方体所得截面图形是等
腰梯形
D.已知N为DD1中点,当AM+MN的和最小时,M为CC1的中点
【解析】选AC.对于A选项,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,
z轴建立空间直角坐标系,则点A(2,0,0),B(2,2,0),
设点M(0,2,a),
因为AM⊥平面α,则
为平面α的一个法向量,
且
所以,直线AB与平面α所成角的正弦值范围为
,A选项正确;
对于B选项,当M与C1重合时,连接A1D,BD,A1B,AC,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CC1⊥平面ABCD,因为BD?平面ABCD,所以BD⊥CC1,
因为四边形ABCD是正方形,则BD⊥AC,因为CC1∩AC=C,所以BD⊥平面ACC1,
因为AC1?平面ACC1,所以AC1⊥BD,同理可证AC1⊥A1D,因为A1D∩BD=D,所以AC1⊥平
面A1BD,易知△A1BD是边长为2
的等边三角形,其面积为
周长为
设E,F,Q,N,G,H分别为棱A1D1,A1B1,BB1,BC,CD,DD1的中点,
易知六边形EFQNGH是边长为
的正六边形,且平面EFQNGH∥平面A1BD,
正六边形EFQNGH的周长为6
,面积为6×
则△A1BD的面积小于正六边形EFQNGH的面积,它们的周长相等,B选项错误;
对于C选项,设平面α交棱A1D1于点E(b,0,2),点
因为AM⊥平面α,DE?平面α,所以AM⊥DE,即
=-2b+2=0,得b=1,所以
E(1,0,2),所以,点E为棱A1D1的中点,同理可知,点F为棱A1B1的中点,则F
,
=(1,1,0),而
所以
,所以EF∥DB且EF≠DB,
由空间中两点间的距离公式可得DE=
BF=
,所以DE=BF,所以,四边形BDEF为等腰梯形,C选项正
确;
对于D选项,将矩形ACC1A1与矩形CC1D1D延展为一个平面,如图所示:
若AM+MN最短,则A,M,N三点共线,因为CC1∥DD1,所以
因为MC=2-
≠
CC1,所以,点M不是棱CC1的中点,D选项错误.
三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知单位向量e1,e2的夹角为60°,向量a=3e1-2e2,向量b=λe1+e2,若a⊥b,则
实数λ=______.?
【解析】因为a⊥b,所以a·b=0,
所以(3e1-2e2)·(λe1+e2)=0,即3λ
+(3-2λ)e1·e2-2
=0,即3λ+(3-2λ)
×
-2=0,即λ=
.
答案:
14.多项式
(2+x)5的展开式中,含x2的项的系数是________;常数项是
________.?
【解析】根据题意,(2+x)5的展开式的通项为Tr+1=
25-r·xr.
所以当r=2时,有T3=
23·x2=80x2;
当r=3时,有T4=
22·x3=40x3;
当r=0时,有T1=
25·x0=32;
当r=1时,有T2=
24·x1=80x.
所以多项式
(2+x)5的展开式中,含x2的项为2×80x2+
·40x3=200x2,
即含x2的项的系数是200;常数项是2×32+
·80x=144.
答案:200 144
15.设函数f(x)=cos
,给出下列结论:
①f(x)的周期为2π;
②f(x)的图象关于直线x=
对称;
③f(x+π)的一个零点为x=
;④f(x)在
上单调递减,其中正确结论有
________(填写所有正确结论的编号).?
【解析】对于①,函数的周期是2π,故正确;对于②,函数的对称轴为x+
=kπ(k∈Z),故错误;对于③,f(x+π)=cos
,将x=
代入得
故正确;
对于④,f(x)的单调递减区间为2kπ<2kπ+π(k∈Z),即2kπ-
(k∈Z),故正确.
答案:①③④
16.函数f(x)=
(-6≤x≤10)的所有零点之和为________.?
【解析】如图,构造函数g(x)=
,
h(x)=-2cos
,因为-6≤x≤10时,
函数g(x),h(x)的图象都关于直线x=2对称,
所以函数f(x)=
(-6≤x≤10)的图象关于直线x=2对称.
因为-6≤x≤10时,函数g(x),h(x)的图象的交点共有8个,所以函数f(x)的所有零
点之和等于4×4=16.
答案:16(共39张PPT)
阶段滚动过关练(二)
(60分钟 90分)
一、单项选择题(每小题5分,共30分)
1.若i为虚数单位,则
=( )
A.1+
i
B.1-
i
C.
-i
D.
+i
【解析】选B.由复数的运算法则有:
【加练备选】
设(1-i)x=1+yi,其中x,y是实数,则x+yi在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.由
x=1+yi,其中x,y是实数,得:
所以
所以x+yi在复平面内所对应的点位于第四象限.
2.已知集合A=
,B=
,则A∩B=( )
A.(2,3)
B.(0,3)
C.(1,2)
D.(0,1)
【解析】选A.因为A=
,B=
={x|x>2},所以A∩B={x|23.在公比为2的等比数列{an}中,前n项和为Sn,且S7-2S6=1,则a1+a5=( )
A.5
B.9
C.17
D.33
【解析】选C.由等比数列前n项和的性质Sn+1=a1+qSn可知,当n=6时,S7=a1+2S6,又S7-2S6=1,得a1=1,故a1+a5=1+1×24=17.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+1=2Sn-1(n∈N
),则a10等于( )
A.128
B.256
C.512
D.1
024
【解析】选B.因为Sn+1=2Sn-1(n∈N
),
n≥2时,Sn=2Sn-1-1,所以an+1=2an.
n=1时,a1+a2=2a1-1,
因为a1=2,所以a2=1.
所以数列{an}从第二项开始为等比数列,公比为2.
则a10=a2×28=1×28=256.
5.《几何原本》卷
2
的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为( )
A.
≥
(a>0,b>0)
B.a2+b2≥2
(a>0,b>0)
C.
≤
(a>0,b>0)
D.
≤
(a>0,b>0)
【解析】选D.已知AC=a,BC=b,可得圆O的半径r=
,
又OC=OB-BC=
-b=
,
则FC2=OC2+OF2=
再根据题图知FO≤FC,
即
6.已知函数f(x)=Asin
与y轴交于点M
,距离y轴
最近的最大值点N
,若x1,x2∈
,且x1≠x2,恒有
,则实数a的最
大值为( )
【解析】选C.由题意得,f(x)的最大值点N
,则A=3.与y轴交于点M
,
则3sin
φ=
,因为0<φ<
,所以φ=
,
又f(x)的距离y轴最近的最大值点N
,
即
=3,由五点作图法知
×ω+
=
,
解得ω=3,
所以f(x)=3sin
,x1,x2∈
,
且x1≠x2,恒有
,
则f(x)在
上单调.
则a>0,又
是函数包含原点增区间的子区间,
所以(-a,a)是包含原点增区间的子集,
令2kπ-
≤3x+
≤2kπ+
,k∈Z.
解得
,k∈Z.
所以
?
,所以0.
所以实数a的最大值为
.
二、多项选择题(共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
7.设正项等差数列{an}满足(a1+a10)2=2a2a9+20,则( )
A.a2a9的最大值为10
B.a2+a9的最大值为2
C.
的最大值为
D.
的最小值为200
【解析】选ABD.因为正项等差数列{an}满足(a1+a10)2=2a2a9+20,所以
(a2+a9)2=2a2a9+20,
即
=20.
A.a2a9≤
=
=10,当且仅当a2=a9=
时成立,故A选项正确.
B.由于
≤
=10,所以
≤
,a2+a9≤2
,当且仅当a2=a9=
时成立,故B选项正确.
C.
,当且仅当a2=a9=
时成立,所以
的最小值为
,故C选项错误.
D.结合A的结论,有
≥400-2×102=200,当且仅
当a2=a9=
时成立,故D选项正确.
8.设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn.前n项积为Tn,并且满足条件
a1>1,a7·a8>1,
<0.则下列结论正确的是( )
A.0B.a7·a9>1
C.Sn的最大值为S9
D.Tn的最大值为T7
【解析】选AD.因为a1>1,a7·a8>1,
<0,所以a7>1,a8<1,所以0确;a7a9=
<1,故B错误;因为a1>1,01,a8<1,
所以T7是Tn的最大值,故D正确.
三、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到
数列{an},则{an}的前n项和为________.?
【解析】由题意知数列{2n-1}为1,3,5,7,9,11,13,…,{3n-2}为
1,4,7,10,13,16,19,…,所以数列
为1,7,13,19,…,即an=1+6(n-1)=6n-5,所
以数列
的前n项和为
=3n2-2n.
答案:3n2-2n
10.记Sn为等差数列{an}的前n项和,a1≠0,a2=3a1,则
=__________.?
【解析】因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,即2a1=d,所以
=4.
答案:4
11.如图所示,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=90°,点D是BC的中点,且M点在△ACD的
内部(不含边界),若
=
,则
的取值范围是________.?
【解析】建立如图所示的坐标系,D
.
设M
,因为
=
,
所以
=
(3,0)+m(0,3),
所以x=1,y=3m.
M点在△ACD的内部(不含边界),
所以
.
则
=
·(-2,3m)
=1+3m
=9m2-
m+1
=9
+
,
因为
,所以
∈
.
答案:
12.如图,在△ABC中,已知M为边BC上一点,
=4
,∠AMC=
,AM=2,△AMC的面
积为3
,则CM=____;cos∠BAC=________.?
【解析】因为在△AMC中,∠AMC=
,AM=2,△AMC的面积为3
,则有3
=
AM·CM·sin∠AMC=
×2×CM×
,
所以CM=6.
因为
=4
,所以BM=2,BC=8,
因为∠AMB=π-∠AMC=
,
所以由余弦定理可得AB=
所以cos∠BAC
答案:6 -
四、解答题(每小题10分,共30分)
13.设等差数列
的公差为2,等比数列
的公比为2,且a1=2,b1=1.
(1)求数列
的通项公式;
(2)求数列
的前n项和Sn.
【解析】(1)因为a1=2,b1=1,
所以a1-b1=1,a1+b1=3,
依题意可得,an-bn=1+2
=2n-1,
an+bn=3×2n-1,
故an=
.
(2)由(1)可知,2an+2n=2n-1+5×2n-1,
故Sn=(1+3+…+2n-1)+5×(1+2+…+2n-1)
=
+5×
=5×2n+n2-5.
【加练备选】
已知数列
满足:a1+3a2+32a3+…+3n-1an=
,
(1)求数列
的通项公式;
(2)设bn=
,数列
的前n项和为Sn,试比较Sn与
的大小.
【解析】(1)数列
满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=
.
所以n≥2时,a1+3a2+…+3n-2an-1=
,
相减可得:3n-1an=
,所以an=
.
n=1时,a1=
.
综上可得:an=
(2)bn=
,
所以b1=
,
n≥2时,
所以
14.已知函数f(x)=Asin
(A>0,ω>0)只能同时满足下列三个条件中的两个:
①函数f(x)的最大值为2;②函数f(x)的图象可由y=
sin
的图象平移得
到;③函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为
.
(1)请写出这两个条件的序号,并求出f(x)的解析式;
(2)求方程f(x)+1=0在区间[-π,π]上所有解的和.
【解析】(1)函数f(x)=Asin
满足的条件为①③;
理由如下:由题意可知条件①②互相矛盾,故③为函数f(x)=Asin
满足的
条件之一,由③可知,T=π,所以ω=2,故②不合题意,所以函数f(x)=Asin
满足的条件为①③;
由①可知A=2,所以f(x)=2sin
;
(2)因为f(x)+1=0,所以sin
=-
,所以2x+
=-
+2kπ(k∈Z)或2x+
=
+2kπ(k∈Z),所以x=-
+kπ(k∈Z)或x=
+kπ(k∈Z),
又因为x∈[-π,π],
所以x的取值为-
,
,-
,
,
所以方程f(x)+1=0在区间[-π,π]上所有的解的和为
.
15.(2020·德州二模)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且
an=bn+bn+1.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)令cn=
.求数列{cn}的前n项和Tn.
【解析】(1)由题意知当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,当n=1时,a1=S1=11,所以an=6n+5.
设数列{bn}的公差为d,由
即
,可解得b1=4,d=3,
所以bn=3n+1.
(2)由(1)知cn=
=3(n+1)·2n+1,
又Tn=c1+c2+c3+…+cn,得
Tn=3×[2×22+3×23+4×24+…+(n+1)×2n+1],2Tn=3×[2×23+3×24+4×25+…+(n+
1)×2n+2],两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]=
=-3n·2n+2,
所以Tn=3n·2n+2.
【加练备选】
已知数列
的前n项和为Sn,a1=
,
=an+
-1,n∈N
,
(1)证明:数列
为等差数列;
(2)若数列{bn}满足bn=
,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)n≥2时,Sn=n2an+n-n2=n2(Sn-Sn-1)+n-n2,
即(n2-1)Sn=n2Sn-1+n(n-1)(n≥2),
同除以n(n-1)得
Sn-
Sn-1=1(n≥2),所以
为首项为1,公差为1的等差
数列.
(2)由(1)知
Sn=n,所以Sn=
,
所以(共44张PPT)
阶段滚动过关练(六)
(60分钟 90分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知全集U
={0，1，2，3，4，5},集合A={x∈N|x≤2},B={2,3,5},则
(
A)∩B=( )
A.{3,5}
B.{2,3,5}
C.{1,3}
D.{2,3}
【解析】选A.因为全集U={0,1,2,3,4,5},
集合A={0,1,2},B={2,3,5},
所以
A={3,4,5},所以(
A)∩B={3,5}.
?U
?U
?U
2.若复数
(i为虚数单位),则复数z在复平面上对应的点所在的象限为
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.
,复数z在复平面上对应的点为(-1,1),
该点在第二象限,故复数z在复平面上对应的点所在的象限为第二象限.
3.设x=
,y=log5
,z=
,则( )
A.xB.yC.zD.z【解析】选B.0<
<1,log5
=-log56<-1,
=-log43∈(-1,0),所以x>z>y,故
选B.
4.已知p:|x-a|<1,
,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围为( )
A.[0,1]
B.(0,1]
C.[-1,2)
D.(-1,2)
【解析】选A.因为|x-a|<1,所以a-1即p:a-1因为
,所以-1因为p是q的充分不必要条件,
所以
,解得0≤a≤1.
5.函数
的大致图象是( )
【解析】选A.函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠±1},
因为
所以f(x)为偶函数,偶函数的图象关于y轴对称,排除C,D选项;
当x∈(1,π)时,f(x)>0,排除B选项.
6.设f(x)为R上的奇函数,满足f(2-x)=f(2+x),且当0≤x≤2时,f(x)=xex,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=( )
A.2e+2e2
B.50e+50e2
C.100e+100e2
D.-2e-2e2
【解析】选A.由f(2-x)=f(2+x)得:f(x)关于x=2对称,又因为f(x)为R上的奇函数,
所以f(x)是以8为周期的周期函数.
因为f(1)+f(2)+…+f(8)=f(1)+f(2)+…+f(4)+f(-1)+f(-2)+…+f(-4)=0,且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2e+2e2,
所以f(1)+f(2)+…+f(100)
7.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AC,侧棱AA1⊥底面ABC,若该三棱柱的所有顶点都
在同一个球O的表面上,且球O的表面积的最小值为4π,则该三棱柱的侧面积为
( )
A.6
B.3
C.3
D.3
【解析】选B.如图:设三棱柱上、下底面中心分别为O1,O2,则O1O2的中点为O,
设球O的半径为R,则OA=R,
设AB=BC=AC=a,AA1=h,
则
则在Rt△OO2A中,R2=OA2=
+O2A2
当且仅当
时,等号成立,
所以S球=4πR2≥4π×
ah,所以
ah=4π,所以ah=
,
所以该三棱柱的侧面积为3ah=3
.
8.(多选题)(2020·新高考全国Ⅰ卷)信息熵是信息论中的一个重要概念,设随机
变量X所有可能的取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),
,定义X的
信息熵H(X)=
( )
A.若n=1,则H(X)=0
B.若n=2,则H(X)随着p1的增大而增大
C.若
(i=1,2,…,n),则H(X)随着n的增大而增大
D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j
(j=1,2,…,m),则H(X)≤H(Y)
【解析】选AC.当n=1时,由题意知P(X=1)=p1=1,所以H(X)=-p1log2p1=0,故A项正确;
当n=2时,P(X=1)=p1,P(X=2)=p2,p1+p2=1,所以H(X)=-p1log2p1-p2log2p2,当p1=
时,p2=
,易得H(X)=1,当p1=
时,p2=
,可得:H(X)=-
log2
-
log2
=2-
log23<1,这就否定了H(X)随p1的增大而增大,故B项错误;当
(i=1,2,…,n)
时,H(X)=n×(-
log2
)=-log2
=log2n,所以H(X)随n的增大而增大,故C项正确;
因为H(X)=-(p1log2p1+p2mlog2p2m)-(p2log2p2+p2m-1log2p2m-1)-…-(pmlog2pm+pm+1log2pm+1),H(Y)=-(p1+p2m)log2(p1+p2m)-(p2+p2m-1)log2(p2+p2m-1)-…-(pm+pm+1)log2(pm+pm+1),
因为(p1+p2m)log2(p1+p2m)=p1log2(p1+p2m)+p2mlog2(p1+p2m)>p1log2p1+p2mlog2p2m,同理:(p2+p2m-1)log2(p2+p2m-1)>p2log2p2+p2m-1log2p2m-1,…,
(pm+pm+1)log2(pm+pm+1)>pmlog2pm+pm+1log2pm+1.
所以(p1+p2m)log2(p1+p2m)+(p2+p2m-1)log2(p2+p2m-1)+…+(pm+pm+1)log2(pm+pm+1)>
(p1log2p1+p2mlog2p2m)+(p2log2p2+
p2m-1log2p2m-1)+…+(pmlog2pm+pm+1log2pm+1),即-H(Y)>-H(X),
所以H(X)>H(Y),故D项错误.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.二项式
的展开式中x-2的系数是________.?
【解析】展开式通项
令
,得r=3,
所以x-2的系数是
答案:-80
10.已知e1,e2是平面上不共线的两个向量,向量b与e1,e2共面,若|e1|=1,|e2|=2,e1
与e2的夹角为
,且b·e1=1,b·e2=2,则|b|=________.?
【解析】设b=xe1+ye2,因为e1与e2的夹角为
,
所以e1·e2=|e1||e2|cos
=1
,
则
b·e1=(xe1+ye2)·e1=x|e1|2+ye1·e2=x+y=1,b·e2=(xe1+ye2)·e2=y|e2|2+xe1·e2
=x+4y=2,解得
则
答案:
11.已知双曲线C:
(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,P为C
上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M(异于P,F),与y轴交于点N,直
线MB与y轴交于点H.若
(O为坐标原点),则C的离心率为______.?
【解析】不妨设P在第二象限,如图所示,
设|FM|=m,H(0,h)(h>0),
由
,可得N(0,-2h).
由△AFM∽△AON,得
(1),
由△BOH∽△BFM,得
(2),
由(1),(2)两式相乘得
,即c=3a.
所以离心率
答案:3
12.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,
∠ABC=
,
PA=AB=
,E是PD上的一动点,(1)当点E满足________时,AD⊥EC;(2)满足上述
条件下,三棱锥E-ACD的外接球的体积为________.?
【解析】(1)E是PD的中点,
证明如下:取AD中点F,连接CF,EF,
因为四边形ABCD是菱形,∠ABC=
,则△ABC和△ACD是正三角形,所以CF⊥AD,
又因为E是PD的中点,所以EF∥PA,
因为PA⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,所以PA⊥AD,所以EF⊥AD,
又EF∩CF=F,所以AD⊥平面EFC,而CE?平面EFC,所以AD⊥CE;
(2)由(1)EF⊥平面ABCD,CF?平面ABCD,EF⊥CF,CF⊥AD,而EF∩AD=F,所以CF⊥平
面PAD,△PAD是等腰直角三角形,E是斜边PD的中点,
则AE⊥PD,所以F是△EAD的外心,
设O是△ACD的外心,则O在CF上,
所以O是三棱锥E-ACD外接球球心.
其半径为
所以
答案:(1)PE=ED (2)
三、解答题(每小题10分,共30分)
13.在①a=2,②
,③
这三个条件中任选两个,补充在下面的问题中,并
解决该问题.
在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且满足(b-a)(sin
B+sin
A)
=c(
sin
B-sin
C).
(1)求A的大小;
(2)已知________,________,若△ABC存在,求△ABC的面积;若△ABC不存在,说明
理由.?
【解析】(1)因为(b-a)(sin
B+sin
A)
=c(
sin
B-sin
C),
又由正弦定理
得(b-a)(b+a)=c(
b-c),
即b2+c2-a2=
bc,
所以
因为0(2)方案一:选条件①和②.
由正弦定理
得
所以△ABC的面积
方案二:选条件①和③.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos
A,得4=b2+3b2-3b2,则b2=4,所以b=2.
所以
,所以△ABC的面积
方案三:选条件②和③,这样的三角形不存在,理由如下:
在三角形中,因为
由正弦定理得
不成立,所以这样的三角形不存在.
14.已知椭圆C的方程为
,斜率为
的直线l与椭圆C交于A,B两点,点
在直线l的左上方.
(1)若以AB为直径的圆恰好经过椭圆右焦点F2,求此时直线l的方程;
(2)求证:△PAB的内切圆的圆心在定直线x=1上.
【解析】
(1)设直线l的方程为y=
x+m.
设
.由
得x2+mx+m2-3=0,
则x1+x2=-m,x1x2=m2-3.
由Δ=m2-4(m2-3)>0,解得-2又因为点
在直线l的左上方,
所以-2若以AB为直径的圆恰好经过椭圆C的右焦点F2,则
即
化简得7m2+4m-11=0,
解得m=
,或m=1(舍).
所以直线l的方程为
(2)因为kPA+kPB=
所以直线x=1平分∠APB,即△PAB的内切圆的圆心在定直线x=1上.
15.已知函数
(1)分析函数f(x)的单调性;
(2)证明:
【解析】(1)由题意得:f(x)的定义域为
(-1,0)∪(0,+∞),
且
令
则
时,g′(x)>0;
x∈(0,+∞)时,g′(x)<0.
即g(x)在
上单调递增,
在(0,+∞)上单调递减.
因为g(0)=0,
则在
和(0,+∞)上g(x)<0.
因为x2>0,所以在
和(0,+∞)上f′(x)<0,即函数f(x)在区间
和(0,+∞)上单调递减.
(2)由(1)可知,
当0即
当n≥2时,
则
即
所以ln(n+1)-ln(n-1)+ln
n-ln(n-2)+…+ln
4-ln
2+ln
3-ln
1
≥
整理得:ln(n+1)+ln
n-ln
2-ln
1
≥
即
ln
3≤ln
,n≥2,不等式得证.
【加练备选】
已知函数f(x)=xln
x+x2-ax(a∈R).
(1)若a=3,求f(x)的单调性和极值;
(2)若函数y=f(x)+
至少有1个零点,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=3时,f(x)=xln
x+x2-3x,
所以f′(x)=ln
x+2x-2.
当0x<0,2x-2<0,
所以f′(x)=ln
x+2x-2<0,
当x>1时,ln
x>0,2x-2>0,
所以f′(x)=ln
x+2x-2>0,
所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=-2,无极大值.
(2)因为f(x)+
=xln
x+x2-ax+
,
由xln
x+x2-ax+
=0得a=ln
x+x+
.
令g(x)=ln
x+x+
,
则
由g′(x)=0得xex=1.
令h(x)=xex,
当x>0时,h′(x)=(x+1)ex>0,
所以h(x)=xex在(0,+∞)上单调递增,
因为
,h(1)=e>1,
所以存在x0∈
,使得
且当x∈
时,h(x)<1,即xex-1<0,
当x∈
时,h(x)>1,即xex-1>0,
因为x+1>0,x2ex>0,
所以当x∈
时,g′(x)<0;
当x∈
时,g′(x)>0,
所以g(x)在
上单调递减,
在
上单调递增,
所以g(x)在x=x0处取得最小值g(x0)
=ln
x0+x0+
,
因为
=1,
所以ln
=ln
1=0,即ln
x0+x0=0,
所以ln
x0+x0+
=0+
=1,
即g(x0)=1,
所以当a<1时,函数y=f(x)+
无零点,
当a≥1时,因为g(a)=ln
a+a+
>a,
所以函数y=f(x)+
至少有1个零点,
故a的取值范围是[1,+∞).