专题一 函数与导数 培优点3 导数中函数的构造问题课件（共19张PPT）2021届高考 数学二轮复习

培优点3　导数中函数的构造问题
专题一　函数与导数
　　导数问题中已知某个含f′(x)的不等式，往往可以转化为函数的单调性，我们可以根据不等式的形式构造适当的函数求解问题.
例1　(1)f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为_________________.
(－∞，－4)∪(0,4)
解析　构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，可以推出当x<0时，F′(x)<0，F(x)在(－∞，0)上单调递减，
∵f(x)为偶函数，∴F(x)＝xf(x)为奇函数，
∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减.
根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，
根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，
根据图象可知xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4).
(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，在(－∞，0)上有2xf′(2x)＋f(2x)<0，且f(－2)＝0，则不等式xf(2x)<0的解集为_____________.
(－1,0)∪(0,1)
解析　构造F(x)＝xf(2x)，则F′(x)＝2xf′(2x)＋f(2x)，
当x<0时，2xf′(2x)＋f(2x)<0，
可以推出当x<0时，F′(x)<0，F(x)在(－∞，0)上单调递减，
∵f(x)为奇函数，∴F(x)＝xf(2x)为偶函数，
∴F(x)在(0，＋∞)上单调递增，
根据f(－2)＝0可得F(－1)＝0，
根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，
根据图象可知xf(2x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1).
例2　(1)定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>f(x)恒成立，若x1f(x2)与 f(x1)的大小关系为
A. f(x2)> f(x1)
B. f(x2)< f(x1)
C. f(x2)＝ f(x1)
D. f(x2)与 f(x1)的大小关系不确定
√
由题意得g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增，
当x1所以 f(x2)> f(x1).
√
能力
提升
1.已知f(x)为R上的可导函数，且?x∈R，均有f(x)>f′(x)，则以下判断正确的是
A.f(2 021)>e2 021f(0)
B.f(2 021)C.f(2 021)＝e2 021f(0)
D.f(2 021)与e2 021f(0)的大小关系无法确定
跟踪演练
1
2
3
4
√
1
2
3
4
∵f(x)>f′(x)，∴g′(x)<0，
即函数g(x)在R上单调递减，
∴f(2 021)1
2
3
4
√
1
2
3
4
解析　因为函数f(x)是定义在R上的减函数，所以f′(x)<0.
所以f(x)＋(x－1)f′(x)>0，构造函数g(x)＝(x－1)·f(x)，
则g′(x)＝f(x)＋(x－1)f′(x)>0，
所以函数g(x)在R上单调递增，
又g(1)＝(1－1)f(1)＝0，所以当x<1时，g(x)<0，所以f(x)>0；
当x>1时，g(x)>0，所以f(x)>0.
因为f(x)是定义在R上的减函数，所以f(1)>0.
综上，对于任意x∈R，f(x)>0，故选B.
1
2
3
4
3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)＝0，当x<0时，有xf′(x)－f(x)>0恒成立，则不等式f(x)>0的解集为_______________________.
(－∞，－1)∪(1，＋∞)
1
2
3
4
当x<0时，xf′(x)－f(x)>0，可以推出当x<0时，F′(x)>0，F(x)在(－∞，0)上单调递增，
∵f(x)为偶函数，
∴F(x)为奇函数，
∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递增，
根据f(1)＝0可得F(1)＝0.
根据函数图象(图略)可知f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
1
2
3
4
4.设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2 020)2f(x＋2 020)－4f(－2)>0的解集为________________.
(－∞，－2 022)
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2
3
4
解析　由2f(x)＋xf′(x)>x2，x<0，得2xf(x)＋x2·f′(x)即[x2f(x)]′令F(x)＝x2f(x)，则当x<0时，F′(x)<0，
即F(x)在(－∞，0)上是减函数.
因为F(x＋2 020)＝(2 020＋x)2f(x＋2 020)，F(－2)＝4f(－2)，
所以F(2 020＋x)－F(－2)>0，
即F(2 020＋x)>F(－2).
又F(x)在(－∞，0)上是减函数，
所以2 020＋x<－2，即x<－2 022.
本课结束