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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破
专题09
复数、平面向量、不等式
【考纲解读与命题趋势】?
在浙江新高考卷的考点中，复数、平面向量、不等式这三个板块主要以选填题形式考查。
复数及其运算是新高考的一个必考点，内容比较简单，主要是考查共轭复数，复平面以及复数之间的一些运算。一般出现在选择题的第一或者是第二题。
不等式主要考查线性规划，考法比较单一且试题难度较低，对基本不等式的考察主要和圆锥曲线或数列结合为主（由于在数列和圆锥曲线专题中以讲解，故该专题不在累述）；
平面向量也是新高考的一个重要考点，浙江新高考中平面向量的试题难度中等偏上，主要涉及到向量的代数运算以及线性运算。
【解题技巧】
复数一般考查共轭复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较简单，属于送分题目。牵涉到知识点也是比较少，主要注重基本运算；特别会求复数类题目可采取答案带入式运算。
平面向量代数运算类题目一般采用基本运算法则，只要简单记住向量的坐标运算以及模长运算即可。平面向量的线性运算一般采用三角形法则，应掌握一些常识性结论，如三点共线问题，重心问题等，在解决此类题目中记住三角形法则核心即可。平面向量综合性的题目一般是代数运算与线性运算相结合。此类题目简便解法是采用数形结合的方式去求解。
简单线性规划问题的解法称为图解法，针对应用题时，一定要正确地找到目标函数和线性约束条件，另外还应注意最优解问题以及移动直线时在y轴。上截距的正负与所求线性目标函数的最值之间的关系。当目标函数的几何意义为截距的正数倍时，截距最大时目标函数取最大值；而几何意义为截距的负数倍时，截距最大时目标函数取最小值。
【知识梳理】
1.复数的有关概念
内容
意义
备注
复数的概念
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b
若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模
|z|＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3.复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝＝(c＋di≠0).
4.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)
如a，
零向量
长度等于零的向量；其方向不确定
记作0
单位向量
给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0
a0＝
共线(平行)向量
如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行
向量a与b平行记作a∥b
相等向量
同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量
如＝a
相反向量
与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量
记作－a
5.向量的线性运算
向量运算
定 义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
6.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?
b＝λa.?x1y2－x2y1＝0.
7.平面向量的基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式.
8.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq
\r(x＋y).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
9.向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.
＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cosθ.
10.向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义：
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
①数量积：a·b＝|a||b|cos
θ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝＝eq
\r(x＋y).
③夹角：cos
θ＝＝eq
\f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y)).
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤
eq
\r(x＋y)·eq
\r(x＋y).
11.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
【考点突破】
考点1
复数的相关运算
复数一般考查共轭复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较简单，属于送分题目。牵涉到知识点也是比较少，主要注重基本运算；特别会求复数类题目可采取答案带入式运算。
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（
）
A．1
B．–1
C．2
D．–2
【答案】C
【详解】因为为实数，所以，故选：C
2．（2020·浙江高三其他模拟）欧拉公式（i为虚数单位）把复指数函数与三角函数联系起来它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”.请计算:____；猜想：___（填“是”或“不是”）虚数.
【答案】
不是
【详解】解：由欧拉公式可知，，
因为，所以为实数，不是虚数，故答案为：；不是
【变式探究】
1．（2019·浙江高考真题）复数（为虚数单位），则________.
【答案】
【详解】.
2．（2018·浙江高考真题）若复数，其中i为虚数单位，则
=
A．1+i
B．1?i
C．?1+i
D．?1?i
【答案】B
【解析】，选B.
3．（2017·浙江高考真题）已知a，b∈R，（i是虚数单位）则
______，ab=________．
【答案】5,
2
【解析】由题意可得，则，解得，则．
4．（2020·浙江省东阳中学高三其他模拟）瑞士数学家欧拉于1777年在《微分公式》中，第一次用来表示的平方根，首创了用符号作为虚数的单位.若复数为虚数单位），则复数的虚部为__，__.
【答案】1
.
【详解】，复数的虚部为1，且.
故答案为：1；.
考点2
简单的线性规划
简单线性规划问题的解法称为图解法，针对应用题时，一定要正确地找到目标函数和线性约束条件，另外还应注意最优解问题以及移动直线时在y轴。上截距的正负与所求线性目标函数的最值之间的关系。当目标函数的几何意义为截距的正数倍时，截距最大时目标函数取最大值；而几何意义为截距的负数倍时，截距最大时目标函数取最小值。
1）线性规划
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）若实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最小值为：
且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是.故选：B.
2．（2019·浙江高考真题）若实数满足约束条件，则的最大值是（
）
A．
B．1
C．10
D．12
【答案】C
【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.
3．（2021·浙江丽水市·高三期末）若x，y满足约束条件，则直线斜率的最大值是（
）
A．
B．3
C．2
D．
【答案】D
【详解】如图所示：
平面区域是由三角形，，围成，
所以的最大值是点与连线的斜率，故选：D
【变式探究】
1．（2021·浙江省武义第三中学高三月考）已知实满足约束条件，则目标函数的最小值是（
）
A．-4
B．-1
C．
D．-5
【答案】A
【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，
将化为，观察图形可得，当直线过点时，最小，
联立方程，可得，则.故选：A.
2．（2021·浙江省宁海中学高三月考）若实数，满足约束条件，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当时，目标函数，作出可行域，如图所示：
将目标函数转化为斜截式，作出直线，上下平移直线，当直线过时，目标函数取得最小值；当直线过时，目标函数取得最大值，即；
当时，目标函数，作出可行域，如图所示：
将目标函数转化为斜截式，作出直线，上下平移直线，当直线与直线平行时，目标函数取得最小值；当直线过时，目标函数取得最大值，但取不到该值，即
综上可知：的取值范围是故选：A
3．（2018·浙江高考真题）若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．
【答案】
【详解】作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点时取最大值，过点时取最小值.
4．（2017·浙江高考真题）若x,y满足约束条件的取值范围是
A．[0,6]
B．[0,4]
C．[6,
D．[4,
【答案】D
【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，
由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4
目标函数的范围是[4，+∞）．故选D．
2）非线性规划
【经典例题】
1．（2020·浙江高三月考）已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为________；的取值范围是________.
【答案】2
【详解】不等式组表示的可行域如图所示：
由目标函数得到，
的几何意义表示直线的轴截距的倍.
所以当直线过时，取得最小值，.令，
的几何意义表示：可行域内的点与构成的斜率.
由图知：
，，故.故答案为：；
2．（2021·浙江绍兴市·高三期末）若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】作出可行域，如图阴影部分，是一个开放的区域（射线，线段，射线围成的开放区域），表示可行域内点到原点距离的平方，
原点到直线的距离为，
∴的最小值为，无最大值．取值范围是．故选：A．
【变式探究】
1．（2020·浙江高三月考）若实数、满足约束条件，则的最小值为（
）
A．-2
B．
C．-1
D．
【答案】A
【详解】画出约束条件的可行域如图所示阴影部分：
因为可以看作经过点与点P的直线的斜率，
结合图像易知，当直线经过点时，斜率最小，
所以的最小值为，故选：A
2．（2020·浙江杭州市·高一期末）若变量满足，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】作出不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，
因为表示平面区域内的点与定点连线的斜率，
由图可得，当的最小值为，由解得，即，
所以.故选：A.
3．（2020·浙江高三月考）若?满足约束条件，则的最小值为（
）
A．5
B．4
C．2
D．
【答案】C
【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线的距离的平方，
由点到直线的距离公式可知，原点到直线的距离为，所以所求最小值为.
故选:C.
4．（2020·浙江高三月考）若实数，满足约束条作，则的最大值是（
）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【详解】解：根据题意画出可行域，如图，
目标函数可视为可行域内的点到原点的距离，
所以的最大值为：1
故选：C
考点3
平面向量
1）与平面向量的模有关的综合问题
(1)向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．
(2)灵活应用向量运算的规律和平面基本定理．
(3)向量的模的求法一是根据向量的定义，二是将向量的模转化为三角形的某个边求其长．
(4)求向量模的常用方法
①若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝.
②若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
(5)求向量模的最值(范围)的方法
①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．
②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
【经典例题】
1．（2019·浙江高考真题）已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______.
【答案】0
【详解】正方形ABCD的边长为1，可得，，?0，
要使的最小，只需要
，此时只需要取
此时
等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正．
比如
则.
2．（2018·浙江高考真题）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（
）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【详解】设，
则由得，
由得
因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
【变式探究】
1．（2017·浙江高考真题）已知向量满足，则的最小值是___________，最大值是______．
【答案】4
【详解】设向量的夹角为，由余弦定理有：，
，则：，
令，则，
据此可得：，
即的最小值是4，最大值是．
2．（2020·浙江高三专题练习）已知平面向量满足，,,则的取值范围是_________________；已知向量是单位向量，若，且，则的取值范围是__________.
【答案】
【详解】解：（1）由，，解得，
又由，
代入已知值可得，
化简可得：，解得.
（2）因为是单位向量，且，设，
设，则，
因为，即，
化简得，，
所以表示线段上的点到点的距离，
所以，，
故答案为：，.
3．（2021·浙江丽水市·高三月考）已知平面向量，且．若对任意的，均有的最小值为，则的最小值为________．
【答案】6
【详解】因为，且，不妨设，，设，，，
由的最小值是，即动点到轴上点的距离的最小值等于到定点的距离，所以到轴的距离等于到定点的距离，
所以点轨迹是以为焦点，轴为准线的抛物线，
，记，过作轴，垂足为，则
，易知当三点共线时，取得最小值，此时最小值为到轴距离6．故答案为：6．
4．（2021·浙江高三专题练习）已知平面向量，其中，的夹角是，则____________；若为任意实数，则的最小值为____________．
【答案】
【详解】由题意，平面向量，其中，的夹角是，
可得，
则，所以，
又由，
所以当时，的最小值为.故答案为：；.
2）与平面向量夹角有关的问题
(1)向量的夹角要求向量“共起点”，其范围为[0，π]．
(2)求非零向量a，b的夹角一般利用公式cos〈a，b〉＝先求出夹角的余弦值，然后求夹角．也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象．
(3)平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：
①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；
②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
【答案】
【详解】，，，
.故答案为：.
2.
（2021.八省联考）已知单位向量满足，若向量，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为是单位向量，所以.
因为，所以.
所以
所以.故选：B.
【变式探究】
1．（2020·浙江高三二模）已知三角形的外接圆半径为，外接圆圆心为，且点满足，则______，______.
【答案】
【详解】由题意可知为锐角三角形，点在内部，
由可得，
两边同时平方可得，
由可得，
由可得得；
由.故答案为：，.
2．（2019·上海高考真题）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________
【答案】
【详解】由题意：，
设，，因为，则
与结合
，又
与结合，消去，可得：
所以
本题正确结果：
3．（2020·浙江杭州市·高三期中）在中，点D满足且，则当角A最大时，cosA的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由于，所以在以为直径的圆上（除两点）.
所以当直线与圆相切时，最大.当直线与圆相切时，，
由于，设，则，.
，.故选：C
4．（2021·浙江温州市·高三期末）已知平面单位向量，满足．设向量与向量的夹角为，则的最大值为______．
【答案】
【详解】是单位向量，，设的夹角为，
则由可得，即，可得，
则
，
当时，取得最大值为.故答案为：.
3）平面向量的垂直、平行问题
(1)判断两向量垂直
第一，计算出这两个向量的坐标；
第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
(2)已知两向量垂直求参数
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
【经典例题】
1．（2017·浙江高考真题）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记
，，，则
A．I１B．I１C．I３<
I１D．I２【答案】C
【解析】因为，，，
所以，故选C．
2．（2020·浙江高三月考）已知向量，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为，且，
所以，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.
【变式探究】
1．（2021·浙江高三专题练习）已知向量，，且，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由，可得，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以
，得=5，选B.
2．（2020·浙江高三学业考试）已知向量，，，若，则（
）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由，，得，若，则，
所以.故选B.
3．（2020·浙江高三月考）已知向量，，，且，，则___________，___________.
【答案】
【详解】因为，所以，解得，
因为，所以，解得.故答案为：；.
4．（2020·浙江杭州市）若平面向量，满足，平行于轴，，则
。
【答案】或
【详解】设，因为所以
因为平行于轴，所以，即，
因为，所以解得或者
因此或者
5．（2018·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．
【答案】3
【解析】先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.
设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标所以.所以，
由得或，
因为，所以
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精品试卷·第
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破
专题09平面向量、复数、不等式
（测试时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·海南高考真题）=（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江高三月考）已知，，，则在方向上的投影为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·浙江高三月考）若实数满足约束条件则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·浙江高三专题练习）如图，已知，用表示，则等于
A．
B．
C．
D．
5.
（2021.八省联考）设为复数，．下列命题中正确的是（
）
A.
若，则
B.
若，则
C.
若，则
D.
若，则
6．（2020·浙江高三二模）若实数满足，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·海南高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·浙江金华高三三模）若实数，满足则的取值范围为(
)．
A．
B．
C．
D．
9．（2021·浙江丽水市·高三期末）如图，已知O是内心，，，，记，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·浙江高三月考）如图所示，平行四边形中，，.在边，上，且满足，.若将沿折起，使得平面与平面垂直.则直线与直线所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共7小题，共35分。
11．（2020·浙江高三专题练习）已知点，O是坐标原点，点的坐标满足，设z为在上的投影，则z的取值范围是__________.
12．（2020·浙江高三其他模拟）已知复数满足，其中为虚数单位，则_______，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第_______象限．
13．（2021·浙江省武义第三中学高三月考）已知，若存在，使得与夹角为，且，则的最小值为___________.
14．（2020·浙江绍兴市·高三其他模拟）若实数，满足不等式组，且且最小值为，则最优解________，实数________.
15．（2020·天津高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
16．（2020·浙江金华市·高三月考）已知平面向量、是不共线的单位向量，记、的夹角为，若平面向量满足，且对于任意的正实数，恒成立，则的最大值为___________.
17．（2020·浙江高三其他模拟）如图，在中，，，，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．设，，，则的最大值是_______；的最小值是__________．
三、解答题：本大题共5小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2021·浙江高三专题练习）已知复数满足，的虚部为2，
（1）求复数；（2）设在复平面上对应点分别为，求的面积.
19．（2020·全国高三专题练习）某皮革公司旗下有许多手工足球作坊为其生产足球，公司打算生产两种不同类型的足球，一款叫“飞火流星”，另一款叫“团队之星”.每生产一个“飞火流星”足球，需要橡胶100g，皮革300g；每生产一个“团队之星”足球，需要橡胶50g，皮革400g，且一个“飞火流星”足球的利润为元，一个“团队之星”足球的利润为元.现旗下某作坊有橡胶材料2.5kg，皮革12kg.
（1）求该作坊可获得的最大利润；
（2）若公司规定各作坊有两种方案可供选择，方案一：作坊自行出售足球，则所获利润需上缴；方案二：作坊选择由公司代售，则公司不分足球类型，一律按相同的价格回收，作坊每个球获得元的利润.若作坊所生产的足球可全部售出，请问该作坊选择哪种方案更划算？请说明理由.
20．（2021·浙江高三专题练习）如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点.设，.
（1）用，表示，，（2）求与夹角的余弦值.
21．（2020·浙江高三其他模拟）如图，已知A，B是单位圆圆O上的点，点A在第一象限，点B在第二象限，C为圆O与x轴正半轴的交点，．
（1）求点A的坐标；（2）若，，求的值．
22．（2021·浙江高三专题练习）设两个向量，，满足，.
（1）若，求、的夹角；
（2）若、夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破
专题09平面向量、复数、不等式
（测试时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·海南高考真题）=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】故选：B
2．（2020·浙江高三月考）已知，，，则在方向上的投影为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意知：，∴，
故在方向上的投影：，故选：A
3．（2021·浙江高三月考）若实数满足约束条件则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】作出可行域如图所示：
解得
把目标函数转化为：
当过时，z有最小值，；
当过时，z有最大值，.∴z的范围是.故选：A
4．（2021·浙江高三专题练习）如图，已知，用表示，则等于
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：
化简整理得故选：．
5.
（2021.八省联考）设为复数，．下列命题中正确的是（
）
A.
若，则
B.
若，则
C.
若，则
D.
若，则
【答案】C
【解析】由复数模的概念可知，不能得到，例如，A错误；
由可得，因为，所以，B错误；
因为，，而，所以，所以，C正确；取，显然满足，但，D错误.
故选：C
6．（2020·浙江高三二模）若实数满足，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据实数满足，画出可行域如图所示
表示可行域内的点与坐标原点距离的平方，
与直线：距离为，
与的距离最大为，
∵可行域不包含∴，即的取值范围是故选：D
7．（2020·海南高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，故选：A.
8．（2020·浙江金华高三三模）若实数，满足则的取值范围为(
)．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设目标函数，
分四种情况：
（1）当时，，
画出满足条件的平面区域，如图所示，
满足约束条件的平面区域，只有一个点，此时；
（2）当时，，
满足约束条件的平面区域不存在；
（3）当时，，
画出满足条件的平面区域，如图所示，
，得，
显然直线过与的交点时，最小，
，解得，此时，
直线过与的交点时，最大，
，解得，此时；
（4）当时，，
画出满足条件的平面区域，如图所示，
，得，
显然直线过与的交点时，最小，
，解得，此时，
直线过与的交点时，最大，
，解得，此时.
综上可知，的最小值为，最大值为8，
即的取值范围是.
9．（2021·浙江丽水市·高三期末）如图，已知O是内心，，，，记，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设内切圆半径为R，，，，
因为，，，故，
即，
而，
同理，
，
所以故选：A.
10．（2020·浙江高三月考）如图所示，平行四边形中，，.在边，上，且满足，.若将沿折起，使得平面与平面垂直.则直线与直线所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】，
又，
设，则平面
因为，所以
设直线与直线所成角为，则，所以.即直线与直线所成角的余弦值为.故选：D.
二、填空题：本大题共7小题，共35分。
11．（2020·浙江高三专题练习）已知点，O是坐标原点，点的坐标满足，设z为在上的投影，则z的取值范围是__________.
【答案】
【详解】作出可行域，如图所示
.
，∴当时，；当时，，的取值范围是.故答案为：.
12．（2020·浙江高三其他模拟）已知复数满足，其中为虚数单位，则_______，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第_______象限．
【答案】
一
【详解】设，则，
因此，解得，所以，故，，其在复数平面内对应点位于第一象限．故答案为：；一
13．（2021·浙江省武义第三中学高三月考）已知，若存在，使得与夹角为，且，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】由题意，，∴令，，故有共线，
∵，故当且仅当为最小时，最小，
∴有、关于y轴对称时，最小，此时到AB的距离为，
∴，即.故答案为：.
14．（2020·浙江绍兴市·高三其他模拟）若实数，满足不等式组，且且最小值为，则最优解________，实数________.
【答案】
【详解】，表示过定点的直线，若要能形成可行域，直线的斜率大于0，所以，如图，画出可行域，表示斜率为1的直线，当时，，所以表示直线的横截距，所以平移至点时，取得最小值，
，解得：，
即，
由条件可知，解得：，此时最优解
故答案为：；
15．（2020·天津高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
【答案】
【详解】，，，
，解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.故答案为：；.
16．（2020·浙江金华市·高三月考）已知平面向量、是不共线的单位向量，记、的夹角为，若平面向量满足，且对于任意的正实数，恒成立，则的最大值为___________.
【答案】
【详解】且恒成立，则，
可得到或，
①若对任意正实数恒成立，
在不等式两边平方可得，所以，
由于，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，此时，；
②若对任意正实数恒成立，
在不等式两边同时平方可得，所以，
由于没有最大值，所以不恒成立.
综上所述，，即的最大值为.故答案为：.
17．（2020·浙江高三其他模拟）如图，在中，，，，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．设，，，则的最大值是_______；的最小值是__________．
【答案】90
【详解】
设为中点,因为
，当点D在线段AC的延长线上取“=”；
所以的最大值是90
在线段AC上取一点M，使得，则
又因为
，当D，M，B三点共线时取“=”．
所以的最小值是
故答案为：90，
三、解答题：本大题共5小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2021·浙江高三专题练习）已知复数满足，的虚部为2，
（1）求复数；（2）设在复平面上对应点分别为，求的面积.
【答案】（1）或；（2）1
【详解】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R），
由已知可得：，即，解得或．
∴z＝1+i或z＝﹣1﹣i；
（2）当z＝1+i时，z2＝2i，z﹣z2＝1﹣i，∴A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），
故△ABC的面积S2×1＝1；
当z＝﹣1﹣i时，z2＝2i，z﹣z2＝﹣1﹣3i，∴A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，﹣3），
故△ABC的面积S2×1＝1．∴△ABC的面积为1．
19．（2020·全国高三专题练习）某皮革公司旗下有许多手工足球作坊为其生产足球，公司打算生产两种不同类型的足球，一款叫“飞火流星”，另一款叫“团队之星”.每生产一个“飞火流星”足球，需要橡胶100g，皮革300g；每生产一个“团队之星”足球，需要橡胶50g，皮革400g，且一个“飞火流星”足球的利润为元，一个“团队之星”足球的利润为元.现旗下某作坊有橡胶材料2.5kg，皮革12kg.
（1）求该作坊可获得的最大利润；
（2）若公司规定各作坊有两种方案可供选择，方案一：作坊自行出售足球，则所获利润需上缴；方案二：作坊选择由公司代售，则公司不分足球类型，一律按相同的价格回收，作坊每个球获得元的利润.若作坊所生产的足球可全部售出，请问该作坊选择哪种方案更划算？请说明理由.
【答案】（1）元；（2）选择方案一更划算，理由见解析.
【详解】（1）设该作坊生产“飞火流星”足球个，“团队之星”足球个，作坊获得的利润为元，
则即，目标函数，().
由图可知，当直线经过点时，取得最大值，
即该作坊可获得的最大利润为元；
(2)若作坊选择方案一，则其收益为元；
若作坊选择方案二，则作坊生产的足球越多越好，设其生产的足球个数为，
则
()，
由（1）知作图分析可知，当，时，取得最大值，
此时作坊的收益为元，故选择方案一更划算.
20．（2021·浙江高三专题练习）如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点.设，.
（1）用，表示，，（2）求与夹角的余弦值.
【答案】（1），；（2）.
【详解】解法一：（1）由图可知.
因为E是CD的中点，所以.
（2）因为，为等边三角形，所以，，
所以，
所以，
.
设与的夹角为，则，
所以在与夹角的余弦值为.
解法二：（1）同解法一.
（2）以A为原点，AD所在直线为x轴，过A且与AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，，，.
因为E是CD的中点，所以，所以，，
所以，.
设与的夹角为，则，
所以与夹角的余弦值为.
21．（2020·浙江高三其他模拟）如图，已知A，B是单位圆圆O上的点，点A在第一象限，点B在第二象限，C为圆O与x轴正半轴的交点，．
（1）求点A的坐标；（2）若，，求的值．
【答案】（1）点A的坐标为．（2）．
【详解】（1）设，因为点A在单位圆上，且，
所以，
解得或
，
又点A在第一象限，所以，，所以，所以点A的坐标为．
（2）设点B的坐标为，，则，，
因为，
所以，
，
所以点B的坐标为，
易知，因为，所以，
解得，所以．
22．（2021·浙江高三专题练习）设两个向量，，满足，.
（1）若，求、的夹角；
（2）若、夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）且.
【详解】（1）因为，所以，
即，又，，所以，
所以，又，所以向量、的夹角是.
（2）因为向量与的夹角为钝角，所以，
且向量与不反向共线，即，
又、夹角为，所以，
所以，解得，
又向量与不反向共线，所以，解得，
所以的取值范围是且.
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破
专题09
复数、平面向量、不等式
【考纲解读与命题趋势】?
在浙江新高考卷的考点中，复数、平面向量、不等式这三个板块主要以选填题形式考查。
复数及其运算是新高考的一个必考点，内容比较简单，主要是考查共轭复数，复平面以及复数之间的一些运算。一般出现在选择题的第一或者是第二题。
不等式主要考查线性规划，考法比较单一且试题难度较低，对基本不等式的考察主要和圆锥曲线或数列结合为主（由于在数列和圆锥曲线专题中以讲解，故该专题不在累述）；
平面向量也是新高考的一个重要考点，浙江新高考中平面向量的试题难度中等偏上，主要涉及到向量的代数运算以及线性运算。
【解题技巧】
复数一般考查共轭复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较简单，属于送分题目。牵涉到知识点也是比较少，主要注重基本运算；特别会求复数类题目可采取答案带入式运算。
平面向量代数运算类题目一般采用基本运算法则，只要简单记住向量的坐标运算以及模长运算即可。平面向量的线性运算一般采用三角形法则，应掌握一些常识性结论，如三点共线问题，重心问题等，在解决此类题目中记住三角形法则核心即可。平面向量综合性的题目一般是代数运算与线性运算相结合。此类题目简便解法是采用数形结合的方式去求解。
简单线性规划问题的解法称为图解法，针对应用题时，一定要正确地找到目标函数和线性约束条件，另外还应注意最优解问题以及移动直线时在y轴。上截距的正负与所求线性目标函数的最值之间的关系。当目标函数的几何意义为截距的正数倍时，截距最大时目标函数取最大值；而几何意义为截距的负数倍时，截距最大时目标函数取最小值。
【知识梳理】
1.复数的有关概念
内容
意义
备注
复数的概念
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b
若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模
|z|＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3.复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝＝(c＋di≠0).
4.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)
如a，
零向量
长度等于零的向量；其方向不确定
记作0
单位向量
给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0
a0＝
共线(平行)向量
如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行
向量a与b平行记作a∥b
相等向量
同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量
如＝a
相反向量
与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量
记作－a
5.向量的线性运算
向量运算
定 义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
6.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?
b＝λa.?x1y2－x2y1＝0.
7.平面向量的基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式.
8.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq
\r(x＋y).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
9.向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.
＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cosθ.
10.向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义：
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
①数量积：a·b＝|a||b|cos
θ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝＝eq
\r(x＋y).
③夹角：cos
θ＝＝eq
\f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y)).
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤
eq
\r(x＋y)·eq
\r(x＋y).
11.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
【考点突破】
考点1
复数的相关运算
复数一般考查共轭复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较简单，属于送分题目。牵涉到知识点也是比较少，主要注重基本运算；特别会求复数类题目可采取答案带入式运算。
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（
）
A．1
B．–1
C．2
D．–2
2．（2020·浙江高三其他模拟）欧拉公式（i为虚数单位）把复指数函数与三角函数联系起来它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”.请计算:____；猜想：___（填“是”或“不是”）虚数.
【变式探究】
1．（2019·浙江高考真题）复数（为虚数单位），则________.
2．（2018·浙江高考真题）若复数，其中i为虚数单位，则
=
A．1+i
B．1?i
C．?1+i
D．?1?i
3．（2017·浙江高考真题）已知a，b∈R，（i是虚数单位）则
______，ab=________．
4．（2020·浙江省东阳中学高三其他模拟）瑞士数学家欧拉于1777年在《微分公式》中，第一次用来表示的平方根，首创了用符号作为虚数的单位.若复数为虚数单位），则复数的虚部为__，__.
考点2
简单的线性规划
简单线性规划问题的解法称为图解法，针对应用题时，一定要正确地找到目标函数和线性约束条件，另外还应注意最优解问题以及移动直线时在y轴。上截距的正负与所求线性目标函数的最值之间的关系。当目标函数的几何意义为截距的正数倍时，截距最大时目标函数取最大值；而几何意义为截距的负数倍时，截距最大时目标函数取最小值。
1）线性规划
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）若实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2019·浙江高考真题）若实数满足约束条件，则的最大值是（
）
A．
B．1
C．10
D．12
3．（2021·浙江丽水市·高三期末）若x，y满足约束条件，则直线斜率的最大值是（
）
A．
B．3
C．2
D．
【变式探究】
1．（2021·浙江省武义第三中学高三月考）已知实满足约束条件，则目标函数的最小值是（
）
A．-4
B．-1
C．
D．-5
2．（2021·浙江省宁海中学高三月考）若实数，满足约束条件，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2018·浙江高考真题）若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．
4．（2017·浙江高考真题）若x,y满足约束条件的取值范围是A．[0,6]
B．[0,4]
C．[6,
D．[4,
2）非线性规划
【经典例题】
1．（2020·浙江高三月考）已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为________；的取值范围是________.
2．（2021·浙江绍兴市·高三期末）若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式探究】
1．（2020·浙江高三月考）若实数、满足约束条件，则的最小值为（
）
A．-2
B．
C．-1
D．
2．（2020·浙江杭州市·高一期末）若变量满足，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江高三月考）若?满足约束条件，则的最小值为（
）
A．5
B．4
C．2
D．
4．（2020·浙江高三月考）若实数，满足约束条作，则的最大值是（
）
A．
B．
C．1
D．2
考点3
平面向量
1）与平面向量的模有关的综合问题
(1)向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．
(2)灵活应用向量运算的规律和平面基本定理．
(3)向量的模的求法一是根据向量的定义，二是将向量的模转化为三角形的某个边求其长．
(4)求向量模的常用方法
①若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝.
②若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
(5)求向量模的最值(范围)的方法
①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．
②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
【经典例题】
1．（2019·浙江高考真题）已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______.
2．（2018·浙江高考真题）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（
）
A．
B．
C．2
D．
【变式探究】
1．（2017·浙江高考真题）已知向量满足，则的最小值是___________，最大值是______．
2．（2020·浙江高三专题练习）已知平面向量满足，,,则的取值范围是_________________；已知向量是单位向量，若，且，则的取值范围是__________.
3．（2021·浙江丽水市·高三月考）已知平面向量，且．若对任意的，均有的最小值为，则的最小值为________．
4．（2021·浙江高三专题练习）已知平面向量，其中，的夹角是，则____________；若为任意实数，则的最小值为____________．
2）与平面向量夹角有关的问题
(1)向量的夹角要求向量“共起点”，其范围为[0，π]．
(2)求非零向量a，b的夹角一般利用公式cos〈a，b〉＝先求出夹角的余弦值，然后求夹角．也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象．
(3)平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：
①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；
②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
2.
（2021.八省联考）已知单位向量满足，若向量，则（
）
A.
B.
C.
D.
【变式探究】
1．（2020·浙江高三二模）已知三角形的外接圆半径为，外接圆圆心为，且点满足，则______，______.
2．（2019·上海高考真题）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________
3．（2020·浙江杭州市·高三期中）在中，点D满足且，则当角A最大时，cosA的值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·浙江温州市·高三期末）已知平面单位向量，满足．设向量与向量的夹角为，则的最大值为______．
3）平面向量的垂直、平行问题
(1)判断两向量垂直
第一，计算出这两个向量的坐标；
第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
(2)已知两向量垂直求参数
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
【经典例题】
1．（2017·浙江高考真题）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记
，，，则
A．I１B．I１C．I３<
I１D．I２2．（2020·浙江高三月考）已知向量，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式探究】
1．（2021·浙江高三专题练习）已知向量，，且，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江高三学业考试）已知向量，，，若，则（
）
A．2
B．
C．
D．
3．（2020·浙江高三月考）已知向量，，，且，，则___________，___________.
4．（2020·浙江杭州市）若平面向量，满足，平行于轴，，则
。
5．（2018·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．
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精品试卷·第
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