高三数学二轮复习-专题：考前综合回顾(全)(理)Word版
文档属性
| 名称 | 高三数学二轮复习-专题：考前综合回顾(全)(理)Word版 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-24 19:23:31 | ||
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文档简介
回扣1 集合、常用逻辑用语、不等式与推理证明
1．集合
(1)集合的运算性质
①A∪B＝A?B?A；②A∩B＝B?B?A；③A?B??UA??UB.
(2)子集、真子集个数计算公式
对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.
(3)集合运算中的常用方法
若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
2．四种命题及其相互关系
(1)
(2)互为逆否命题的两命题同真同假．
3．含有逻辑联结词的命题的真假
(1)命题p∨q：若p，q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真．
(2)命题p∧q：若p，q中至少有一个为假，则命题为假命题，p，q同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真．
(3)命题p：与命题p真假相反．
4．全称命题、特称(存在性)命题及其否定
(1)全称命题p：?x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题p：?x0∈M，p(x0)．
(2)特称(存在性)命题p：?x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题p：?x∈M，p(x)．
5．充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：正、反方向推理，若p?q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p?q，且q?p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A?B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若AB，则A是B的充分不必要条件(B是A的必要不充分条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
6．一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．
解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小．
7．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是
8．分式不等式
>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；
≥0(≤0)?
9．基本不等式
(1)≥(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时取等号．
(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”、“定”、“等”的条件．
10．线性规划
(1)可行域的确定，“线定界，点定域”．
(2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．
(3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个．
11．推理
推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论．
合情推理的思维过程
(1)归纳推理的思维过程
―→→
(2)类比推理的思维过程
―→→
12．证明方法
(1)分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．
推理模式
框图表示
→→→…→
(2)综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．
推理模式
框图表示：→→→…→(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．
(3)反证法
一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lg
x}——函数的定义域；{y|y＝lg
x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg
x}——函数图象上的点集．
2．易混淆0，?，{0}：0是一个实数；?是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0??，而??{0}．
3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．
4．空集是任何集合的子集．由条件A?B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝?的情况．
5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则綈q”，其否命题为“若綈p，则綈q”．
6．在对全称命题和特称(存在性)命题进行否定时，不要忽视对量词的改变．
7．对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．
8．判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．
9．不等式两端同时乘一个数或同时除以一个数时，如果不讨论这个数的正负，容易出错．
10．解形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的一元二次不等式时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论．
11．求解分式不等式时应正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.
12．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、
二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y＝x＋(x<0)时应先转化为正数再求解．
13．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．
14．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指已知区域内的点(x，y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1,1)的距离的平方等．
15．类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比．用数学归纳法证明时，易盲目以为n0的起始值为1，另外注意证明传递性时，必须用n＝k成立的归纳假设．
1．已知集合M＝{x|log2x<3}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，则M∩N等于( )
A．(0,8)
B．{3,5,7}
C．{0,1,3,5,7}
D．{1,3,5,7}
答案 D
解析 ∵M＝{x|0∴M∩N＝{1,3,5,7}，故选D.
2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质
B．所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电
C．高一参加军训的有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人
D．在数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋1(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
答案 B
解析 A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质为类比推理．
B．所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电．由一般到特殊，为演绎推理．
C．高一参加军训的有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人，为归纳推理．
D．在数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋1(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式，为归纳推理．
3．用反证法证明命题：三角形的内角中至少有一个是钝角．假设正确的是( )
A．假设至少有一个是钝角
B．假设至少有两个是钝角
C．假设没有一个是钝角
D．假设没有一个是钝角或至少有两个是钝角
答案 C
解析 原命题的结论为至少有一个是钝角，则反证法需假设结论的反面．“至少有一个”的反面为“没有一个”，即假设没有一个是钝角．
4．已知集合A＝{y|y＝sin
x，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg
x}，则(?RA)∩B为( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．[－1,1]
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
答案 C
解析 因为A＝{y|y＝sin
x，x∈R}＝[－1,1]，
B＝{x|y＝lg
x}＝(0，＋∞)，
所以(?RA)∩B＝(1，＋∞)．
5．(2016·全国Ⅰ)若a>b>1,0A．acB．abcC．alogbcD．logac答案 C
解析 对于A：由于0∴函数y＝xc在(1，＋∞)上单调递增，
则a>b>1?ac>bc，故A错；
对于B：由于－1∴函数y＝xc－1在(1，＋∞)上单调递减，
∴a>b>1?ac－1对于C：要比较alogbc和blogac，
只需比较和，只需比较和，
只需比较bln
b和aln
a.
构造函数f(x)＝xln
x(x>1)，
则f′(x)＝ln
x＋1>1>0，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
因此f(a)>f(b)>0?aln
a>bln
b>0?<，
又由0c<0，
∴>?blogac>alogbc，故C正确；
对于D：要比较logac和logbc，
只需比较和，
而函数y＝ln
x在(1，＋∞)上单调递增，
故a>b>1?ln
a>ln
b>0?<，
又由0c<0，
∴>?logac>logbc，故D错，故选C.
6．设有两个命题，命题p：关于x的不等式(x－3)·≥0的解集为{x|x≥3}；命题q：若函数y＝kx2－kx－8的值恒小于0，则－32A．“p且q”为真命题
B．“p或q”为真命题
C．“p”为真命题
D．“q”为假命题
答案 C
解析 不等式(x－3)·≥0的解集为{x|x≥3或x＝1}，所以命题p为假命题．若函数y＝kx2－kx－8的值恒小于0，则－327．不等式组的解集记为D，z＝，有下面四个命题：
p1：?(x，y)∈D，z≥1;
p2：?(x0，y0)∈D，z≥1；
p3：?(x，y)∈D，z≤2;
p4：?(x0，y0)∈D，z<0.
其中为真命题的是( )
A．p1，p2
B．p1，p3
C．p1，p4
D．p2，p3
答案 D
解析 作出可行域如图阴影部分所示，因为z＝的几何意义是可行域内的点(x，y)与点A(－1，－1)连线的斜率，可知与C连线斜率最小，与B连线斜率最大，联立方程可得C(2,1)，B(1,3)，所以z的最小值为，最大值为2，所以p2，p3为真命题，故选D.
8．设命题甲：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R；命题乙：0A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由命题甲：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R可知，当a＝0时，原式＝1>0恒成立，
当a≠0时，需满足
解得0所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙成立的必要不充分条件，故选C.
9．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为( )
A．4
B．16
C．9
D．3
答案 B
解析 依题意得m≤(3a＋b)＝10＋＋，
由a>0，b>0得10＋＋≥16，故m≤16(当且仅当＝，即a＝b时，等号成立)，即m的最大值为16.
10．(2016·山东)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( )
A．4
B．9
C．10
D．12
答案 C
解析 满足条件
的可行域如图阴影部分(包括边界)所示，
x2＋y2是可行域上的动点(x，y)到原点(0,0)距离的平方，显然，当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取得最大值，最大值为10.故选C.
11．下列四个结论：
①若x>0，则x>sin
x恒成立；
②命题“若x－sin
x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin
x≠0”；
③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；
④命题“?x∈R，x－ln
x>0”的否定是“?x0∈R，x0－ln
x0<0”．
其中正确结论的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 C
解析 对于①，令y＝x－sin
x，则y′＝1－cos
x≥0，则函数y＝x－sin
x在R上单调递增，则当x>0时，x－sin
x>0－0＝0，即当x>0时，x>sin
x恒成立，故①正确；
对于②，命题“若x－sin
x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin
x≠0”，故②正确；
对于③，命题p∨q为真即p，q中至少有一个为真，p∧q为真即p，q都为真，可知“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；
对于④，命题“?x∈R，x－ln
x>0”的否定是“?x0∈R，x0－ln
x0≤0”，故④错误．
综上，正确结论的个数为3，故选C.
12．下列类比推理的结论不正确的是( )
①类比“实数的乘法运算满足结合律”，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”；
②类比“设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8成等差数列”，得到猜想“设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，成等比数列”；
③类比“平面内，垂直于同一条直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中，垂直于同一条直线的两直线相互平行”；
④类比“设AB为圆的直径，P为圆上任意一点，直线PA，PB的斜率存在，则kPA·kPB为常数”，得到猜想“设AB为椭圆的长轴，P为椭圆上任意一点，直线PA，PB的斜率存在，则kPA·kPB为常数”．
A．①④
B．①③
C．②③
D．②④
答案 B
解析 ②等差数列中结论成立，而等比数列中T4＝a·q6，＝a·q22，＝a·q38，结论也成立；
④由圆中kPA·kPB为－1，而类比到椭圆：
kPA·kPB＝－或－，也成立；
①类比“实数的乘法运算满足结合律”，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”
不成立，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这是由向量数量积的定义决定的．
③类比“平面内，垂直于同一条直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中，垂直于同一条直线的两直线相互平行”不成立，空间中可能出现相交，异面的情况．故选B.
13．已知集合M＝，若3∈M,5?M，则实数a的取值范围是______________．
答案 ∪(9,25]
解析 ∵集合M＝，
得(ax－5)(x2－a)<0，
当a＝0时，显然不成立，
当a>0时，原不等式可化为(x－)(x＋)<0，
若<，只需满足解得1≤a<；
若>，只需满足
解得9综上，a的取值范围为∪(9,25]．
14．若“?x∈，m≤tan
x＋1”为真命题，则实数m的最大值为________．
答案 0
解析 令f(x)＝tan
x＋1，则函数f(x)在上为增函数，故f(x)的最小值为f?＝0，
∵?x∈，m≤tan
x＋1，
故m≤(tan
x＋1)min，
∴m≤0，故实数m的最大值为0.
15．在平面上，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.猜想若正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是_______________________．
答案 S＋S＋S＝S
解析 将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋S＋S＝S.
16．要制作一个容积为4
m3，高为1
m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是20元/m2，侧面造价是10元/m2，则该容器的最低总造价是________元．
答案 160
解析 由题意知，体积V＝4
m3，高h＝1
m，
所以底面积S＝4
m2，设底面矩形的一条边长是x
m，则另一条边长是
m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号．
回扣2 复数、程序框图、平面向量与数学文化
1．复数的相关概念及运算法则
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类
①z是实数?b＝0；
②z是虚数?b≠0；
③z是纯虚数?a＝0且b≠0.
(2)共轭复数
复数z＝a＋bi的共轭复数＝a－bi.
(3)复数的模
复数z＝a＋bi的模|z|＝.
(4)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
特别地，a＋bi＝0?a＝0且b＝0(a，b∈R)．
(5)复数的运算法则
加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；
乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i.
2．复数的几个常见结论
(1)(1±i)2＝±2i.
(2)＝i，＝－i.
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)．
(4)ω＝－±i，且ω0＝1，ω2＝，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.
3．程序框图的三种基本逻辑结构
(1)顺序结构：如图(1)所示．
(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示．
(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．
4．平面向量的数量积
(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos
θ.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
5．两个非零向量平行、垂直的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
6．利用数量积求长度
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝.
7．利用数量积求夹角
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，
则cos
θ＝＝.
8．三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心?||＝||＝||＝.
(2)O为△ABC的重心?＋＋＝0.
(3)O为△ABC的垂心?·＝·＝·.
(4)O为△ABC的内心?a＋b＋c＝0.
1．复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi，a，b∈R)．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．
2．复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i2＝－1化简合并同类项．
3．在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件．注意理解循环条件中“≥”与“>”的区别．
4．解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应．
5．在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果．
6．a·b>0是〈a，b〉为锐角的必要不充分条件；
a·b<0是〈a，b〉为钝角的必要不充分条件．
1．复数z满足z(2－i)＝1＋7i，则复数z的共轭复数为( )
A．－1－3i
B．－1＋3i
C．1＋3i
D．1－3i
答案 A
解析 ∵z(2－i)＝1＋7i，
∴z＝＝＝＝－1＋3i，
共轭复数为－1－3i.
2．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z2＝3＋2i，则z1·z2等于( )
A．13i
B．－13i
C．13＋12i
D．12＋13i
答案 A
解析 由题意得z1＝2＋3i，
故z1·z2＝(2＋3i)(3＋2i)＝13i.
3．z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上的点不可能位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案 D
解析 z＝＝，
由于m－14．已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且＝2，点F是BD上靠近D的四等分点，则( )
A.＝－－
B.＝－
C.＝－
D.＝－－
答案 C
解析 ∵＝2，点F是BD上靠近D的四等分点，
∴＝，＝，
∴＝＋＝＋，
∵＋＝，－＝，
∴＝(－)＋(＋)
＝－.故选C.
5．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于( )
A．(－5，－10)
B．(－4，－8)
C．(－3，－6)
D．(－2，－4)
答案 B
解析 因为a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，
所以m＋4＝0，m＝－4,2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故选B.
6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是( )
A．n＝6?
B．n<6?
C．n≤6?
D．n≤8?
答案 C
解析 S＝0，n＝2，判断是，
S＝，n＝4，判断是，
S＝＋＝，n＝6，判断是，S＝＋＋＝，n＝8，判断否，输出S，故n≤6.
7．执行如图所示的程序框图，若输出的是n＝6，则输入整数p的最小值为( )
A．15
B．16
C．31
D．32
答案 B
解析 列表分析如下：
是否继续循环
S
n
循环前
0
1
第一圈
是
1
2
第二圈
是
3
3
第三圈
是
7
4
第四圈
是
15
5
第五圈
是
31
6
第六圈
否
故当S值不大于15时继续循环，大于15但不大于31时退出循环，故p的最小整数值为16.
8．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足＝＋，则·的值为( )
A．2
B．－
C.
D．－2
答案 A
解析 因为＝－，＝－，则·＝，
即·＝2－·＋2
＝2－＋＝2，故选A.
9.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )
A．15平方米
B．12平方米
C．9平方米
D．6平方米
答案 C
解析 如图，根据题意可得
∠AOB＝，OA＝4，
在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，可得矢＝4－2＝2，由AD＝AO·sin
＝4×＝2，可得弦＝2AD＝2×2＝4，所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝(4×2＋22)＝4＋2≈9(平方米)．故选C.
10．在△ABC中，AB＝5，AC＝6，若B＝2C，则向量在方向上的投影是( )
A．－
B．－
C.
D.
答案 B
解析 由正弦定理得
＝?＝?cos
C＝，
由余弦定理得cos
C＝?BC＝或5，
经检验知BC＝5不符合，舍去，所以BC＝，
cos
B＝＝－，
则||cos
B＝－，故选B.
11．“珠算之父”程大位是我国明代伟大的数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成．程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”([注释]三升九：3.9升．次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节的容积为( )
A．1.9升
B．2.1升
C．2.2升
D．2.3升
答案 B
解析 要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d升，下端第一节盛米a1升，
由题意得
解得a1＝1.4，d＝－0.1，所以中间两节盛米的容积为
a4＋a5＝(a1＋3d)＋(a1＋4d)＝2a1＋7d
＝2.8－0.7＝2.1(升)，故选B.
12．《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝.现有周长为2＋的△ABC满足sin
A∶sin
B∶sin
C＝(－1)∶∶(＋1)，试用以上给出的公式求得△ABC的面积为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 因为sin
A∶sin
B∶sin
C＝(－1)∶∶(＋1)，
所以由正弦定理得a∶b∶c＝(－1)∶∶(＋1)，
又a＋b＋c＝2＋，
所以a＝－1，b＝，c＝＋1，
则ac＝1，c2＋a2－b2＝1，
故S＝
＝
＝.
13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________．
答案 32
解析 由题意得log2＝log2(n＋1)－log2(n＋2)，由程序框图的计算公式，可得
S＝(log22－log23)＋(log23－log24)＋…＋[log2n－log2(n＋1)]＝1－log2(n＋1)，由S<－4，可得1－log2(n＋1)<－4?log2(n＋1)>5，解得n>31，
所以输出的n为32.
14．已知平面内三个单位向量，，，〈，〉＝60°，若＝m＋n，则m＋n的最大值是______．
答案
解析 由已知条件＝m＋n，两边平方可得1＝m2＋mn＋n2＝(m＋n)2－mn，∴(m＋n)2－1＝mn，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m，n>0，∴(m＋n)2－1＝mn≤(m＋n)2，当且仅当m＝n时取等号，
∴(m＋n)2≤1，则m＋n≤，即m＋n的最大值为.
15．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理(图1)，即可求得球的体积公式．请在研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为＋＝1，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(图2)，其体积等于________．
答案
解析 椭圆的长半轴长为5，短半轴长为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积
V＝2(V圆柱－V圆锥)
＝2＝.
16．已知O是锐角△ABC外接圆的圆心，∠A＝60°，·＋·＝2m，则m的值为______．
答案
解析 如图所示，取AB的中点D，
则＝＋，OD⊥AB，所以·＝0，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由·＋·＝2m，得·＋·＝－2m(＋)，两边同乘，得·2＋··＝－2m(＋)·，即·c2＋·bc·cos
A＝m·c2，所以·c＋·b·cos
A＝m·c，
由正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)，
得b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C，
代入上式整理，得cos
B＋cos
Ccos
A＝m·sin
C，
所以m＝
＝＝sin
A，
又∠A＝60°，所以m＝sin
60°＝.
回扣3 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1．三种三角函数的性质
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
单调性
在(k∈Z)
上单调递增；在(k∈Z)
上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减
在(k∈Z)上单调递增
对称性
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)
对称中心：(k∈Z)；
对称轴：x＝kπ(k∈Z)
对称中心：(k∈Z)
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象
(1)“五点法”作图
设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得．
(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口．
(3)图象变换
y＝sin
xy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
3．准确记忆六组诱导公式
对于“±α，k∈Z”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．
4．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan
45°等．
(2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(3)弦、切互化：一般是切化弦．
(4)灵活运用辅助角公式asin
α＋bcos
α＝sin(α＋φ).
5．正弦定理及其变形
＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C.
sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝.
a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C.
6．余弦定理及其推论、变形
a2＝b2＋c2－2bccos
A，b2＝a2＋c2－2accos
B，
c2＝a2＋b2－2abcos
C.
推论：cos
A＝，cos
B＝，
cos
C＝.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos
A，a2＋c2－b2＝2accos
B，
a2＋b2－c2＝2abcos
C.
7．面积公式
S△ABC＝bcsin
A＝acsin
B＝absin
C.
1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号．
2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围．
3．求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．
4．三角函数图象变换中，注意由y＝sin
ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，平移量为，而不是φ.
5．在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解．
1．若sin
θ·cos
θ＝，则tan
θ＋的值是( )
A．－2
B．2
C．±2
D.
答案 B
解析 tan
θ＋＝＋＝＝2.
2．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( )
A．y＝sin
B．y＝cos
C．y＝sin
2x＋cos
2x
D．y＝sin
x＋cos
x
答案 A
解析 化简函数的解析式，A中，y＝cos
2x是最小正周期为π的偶函数．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝2，c＝，cos
A＝－，则b的值为( )
A．1
B.
C.
D.
答案 A
解析 根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos
A，则22＝b2＋()2－2b××，所以b2＋b－2＝0，
解得b＝1，或b＝－2(舍去)，故选A.
4．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin
4x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案 B
解析 ∵y＝sin＝sin，
∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin
4x的图象向右平移个单位长度．
5．若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于点对称，则函数f(x)在上的最小值是( )
A．－1
B．－
C．－
D．－
答案 B
解析 f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)
＝2sin，
则由题意知，f＝2sin＝0，又因为0<θ<π，所以<π＋θ＋<，所以π＋θ＋＝2π，所以θ＝，所以f(x)＝－2sin
2x.
又因为函数f(x)在上是减函数，
所以函数f(x)在上的最小值为
f＝－2sin
＝－，故选B.
6．(2016·全国Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos
A等于( )
A.
B.
C．－
D．－
答案 C
解析 设BC边上的高AD交BC于点D，
由题意B＝，AD＝BD＝BC，DC＝BC，
tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan
A＝＝－3，
所以cos
A＝－，故选C.
7．若sin
2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是( )
A.
B.
C.或
D.或
答案 A
解析 ∵sin
2α＝，α∈，
∴2α∈，即α∈，cos
2α＝－，
又sin(β－α)＝，β∈，
∴β－α∈，cos(β－α)＝－，
∴cos(α＋β)＝cos
[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos
2α－sin(β－α)sin
2α
＝×－×＝，
又α＋β∈，
∴α＋β＝，故选A.
8．设函数y＝sin
ωx(ω>0)的最小正周期是T，将其图象向左平移T个单位长度后，得到的图象如图所示，则函数y＝sin
ωx(ω>0)的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 A
解析 方法一 由已知图象知，y＝sin
ωx(ω>0)的最小正周期是2×＝，所以＝，解得ω＝，所以y＝sin
x.由2kπ－≤x≤2kπ＋得到单调递增区间是(k∈Z)．
方法二 因为T＝，所以将y＝sin
ωx(ω>0)的图象向左平移T个单位长度后，
所对应的解析式为y＝sin
ω.
由图象知，ω＝，所以ω＝，
所以y＝sinx.由2kπ－≤x≤2kπ＋得到单调递增区间是(k∈Z)．
9．已知f(x)＝sin
x＋cos
x(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝0对称，则φ的值可以是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 已知f＝sin
x＋cos
x＝2sin，
y＝f＝2sin关于直线x＝0对称，
所以f(0)＝2sin＝±2，
所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z，
当k＝0时，φ＝，故选B.
10．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，其图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为，若f(x)>0对x∈恒成立，则φ的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由已知得函数f(x)的最小正周期为，则ω＝，
当x∈时，x＋φ∈，
因为f(x)>0，即cos>，
所以(k∈Z)，
解得－＋2kπ≤φ≤－＋2kπ(k∈Z)，
又|φ|<，所以－<φ≤－，故选B.
11．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f?的值为________．
答案 1
解析 根据图象可知，A＝2，＝－，
所以周期T＝π，ω＝＝2.又函数过点，
所以sin＝1，又0<φ<π，
所以φ＝，则f(x)＝2sin，
因此f?＝2sin＝1.
12．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________．
答案
解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2，
所以f(x)＝3sin，
那么当x∈时，－≤2x－≤，
所以－≤sin≤1，故f(x)∈.
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，角B为锐角，且sin2B＝8sin
A·sin
C，则的取值范围为____________．
答案
解析 因为sin2B＝8sin
A·sin
C，由正弦定理可知，
b2＝8ac，所以cos
B＝
＝＝
＝－5∈(0,1)，
令t＝，t>0，则0<－5<1，
解得14.如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝，cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，则BC的长为________．
答案 3
解析 因为cos∠BAD＝－，
故sin∠BAD＝
＝，
在△ADC中运用余弦定理，可得
cos∠CAD＝＝，
则sin∠CAD＝
＝，
所以sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD)
＝×＋×＝＝，
在△ABC中运用正弦定理，可得
＝?BC＝××＝3.
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos
C＋(cos
A－sin
A)cos
B＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝2，b＝，求△ABC的面积．
解 (1)由已知得
－cos(A＋B)＋cos
Acos
B－sin
Acos
B＝0，
即sin
Asin
B－sin
Acos
B＝0，因为sin
A≠0，
所以sin
B－cos
B＝0，又cos
B≠0，所以tan
B＝，
又0(2)因为sin
B＝，cos
B＝，b＝，
所以＝＝＝，
又a＝2，
所以sin
A＝＝，
因为aA＝.
因为A＋B＋C＝π，
所以sin
C＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝，
所以S△ABC＝absin
C＝.
16．已知函数f(x)＝sin
xcos
x＋sin2x＋(x∈R)．
(1)当x∈时，求函数f(x)的最小值和最大值；
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝，f(C)＝2，若向量m＝(1，a)与向量n＝(2，b)共线，求a，b的值．
解 (1)∵函数f(x)＝sin
xcos
x＋sin2x＋(x∈R)，
∴f(x)＝sin
2x＋＋
＝sin
2x－cos
2x＋1
＝sin＋1.
∵－≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，
∴1－≤sin＋1≤2，
∴f(x)的最小值是1－，最大值是2.
(2)∵f(C)＝sin＋1＝2，
∴sin＝1，
∵0∴2C－＝，解得C＝.
∵向量m＝(1，a)与向量n＝(2，b)共线，
∴b－2a＝0，即b＝2a.①
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos
，
即a2＋b2－ab＝3.②
由①②得a＝1，b＝2.
回扣4 数 列
1．牢记概念与公式
等差数列、等比数列
等差数列
等比数列
通项公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1(q≠0)
前n项和
Sn＝＝na1＋d
(1)q≠1，Sn＝＝；
(2)q＝1，Sn＝na1
2.活用定理与结论
(1)等差、等比数列{an}的常用性质
等差数列
等比数列
性质
①若m，n，p，q∈N
，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；②an＝am＋(n－m)d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列
①若m，n，p，q∈N
，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；②an＝amqn－m；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sm≠0)
(2)判断等差数列的常用方法
①定义法
an＋1－an＝d(常数)(n∈N
)?{an}是等差数列．
②通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N
)?{an}是等差数列．
③中项公式法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N
)?{an}是等差数列．
④前n项和公式法
Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N
)?{an}是等差数列．
(3)判断等比数列的常用方法
①定义法
＝q(q是不为0的常数，n∈N
)?{an}是等比数列．
②通项公式法
an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N
)?{an}是等比数列．
③中项公式法
a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N
)?{an}是等比数列．
3．数列求和的常用方法
(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．
(2)形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和．
(3)通项公式形如an＝(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和．
(4)通项公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a为常数，n∈N
)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论．
(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．
(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.
1．已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是±.
3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求时，无法正确赋值求解．
4．易忽视等比数列中公比q≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．
5．运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．
6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项．
7．裂项相消法求和时，裂项前后的值要相等，
如≠－，
而是＝.
8．通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成n为奇数和n为偶数两种情况的分段形式．
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S13>0，S14<0，若ak·ak＋1<0，则k等于( )
A．6
B．7
C．13
D．14
答案 B
解析 因为{an}为等差数列，S13＝13a7，S14＝7(a7＋a8)，
所以a7>0，a8<0，a7·a8<0，所以k＝7.
2．已知在等比数列{an}中，a1＋a2＝3，a3＋a4＝12，则a5＋a6等于( )
A．3
B．15
C．48
D．63
答案 C
解析 ＝q2＝4，所以a5＋a6＝(a3＋a4)·q2＝48.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为( )
A．6
B．7
C．12
D．13
答案 C
解析 ∵a1>0，a6a7<0，
∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，
又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，
∴S12>0，S13<0，
∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.
4．已知数列{an}满足＝9·(n∈N
)且a2＋a4＋a6＝9，则等于( )
A．－
B．3
C．－3
D.
答案 C
解析 由已知＝9·＝，所以an＋1＝an＋2，所以数列{an}是公差为2的等差数列，
a5＋a7＋a9＝(a2＋3d)＋(a4＋3d)＋(a6＋3d)
＝(a2＋a4＋a6)＋9d＝9＋9×2＝27，
所以＝＝－3.故选C.
5．已知正数组成的等比数列{an}，若a1·a20＝100，那么a7＋a14的最小值为( )
A．20
B．25
C．50
D．不存在
答案 A
解析 在正数组成的等比数列{an}中，因为a1·a20＝100，由等比数列的性质可得a1·a20＝a7·a14＝100，那么a7＋a14≥2
＝2＝20，当且仅当a7＝a14＝10时取等号，所以a7＋a14的最小值为20.
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N
)，则an等于( )
A．2n＋1
B．2n
C．2n－1
D．2n－2
答案 A
解析 an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－4－(2an－4)?an＋1＝2an，再令n＝1，∴S1＝2a1－4?a1＝4，
∴数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，
∴an＝4·2n－1＝2n＋1，故选A.
7．已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则等于( )
A．2
B．3
C．5
D．7
答案 B
解析 ∵在等差数列{an}中，a2，a4，a8成等比数列，
∴a＝a2a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，∴d2＝a1d，∵d≠0，∴d＝a1，∴＝＝3，故选B.
8．已知Sn为数列{an}的前n项和，若an(4＋cos
nπ)＝n(2－cos
nπ)(n∈N
)，则S20等于( )
A．31
B．122
C．324
D．484
答案 B
解析 由题意可知，因为an(4＋cos
nπ)＝n(2－cos
nπ)，
所以a1＝1，a2＝，a3＝3，a4＝，a5＝5，a6＝，…，
所以数列{an}的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，偶数项构成首项为，公差为的等差数列，
所以S20＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)
＝122，故选B.
9．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则(n∈N
)的最小值为( )
A．4
B．3
C．2－2
D.
答案 A
解析 由题意a1，a3，a13成等比数列，可得(1＋2d)2＝1＋12d，解得d＝2，故an＝2n－1，Sn＝n2，因此＝＝＝＝(n＋1)＋－2，由基本不等式知，＝(n＋1)＋－2≥2－2＝4，当且仅当n＝2时取得最小值4.
10．已知F(x)＝f－1是R上的奇函数，数列{an}满足an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)(n∈N
)，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝n－1
B．an＝n
C．an＝n＋1
D．an＝n2
答案 C
解析 由题意F(x)＝f?－1是R上的奇函数，即F(x)关于(0,0)对称，则f(x)关于对称．
即f(0)＋f(1)＝2，f?＝1，f?＋f?＝2，
f?＋f＝2，
则an＝f(0)＋f?＋…＋f?＋f(1)＝n＋1.
11．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
答案 20
解析 设公差为d，则a3＋a8＝2a1＋9d＝10，
3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋(a1＋6d)＝4a1＋18d＝2×10＝20.
12．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln
a1＋ln
a2＋…＋ln
a20＝________.
答案 50
解析 ∵数列{an}为等比数列，且a10a11＋a9a12＝2e5，
∴a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，∴a10a11＝e5，
∴ln
a1＋ln
a2＋…＋ln
a20＝ln(a1a2…a20)
＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝ln
e50＝50.
13．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，Sn＋1＋(－1)nSn＝2n，则S100＝____________.
答案 198
解析 当n为偶数时，Sn＋1＋Sn＝2n，Sn＋2－Sn＋1＝2n＋2，所以Sn＋2＋Sn＝4n＋2，故Sn＋4＋Sn＋2＝4(n＋2)＋2，所以Sn＋4－Sn＝8，由a1＝2知，S1＝2，又S2－S1＝2，所以S2＝4，因为S4＋S2＝4×2＋2＝10，所以S4＝6，所以S8－S4＝8，S12－S8＝8，…，S100－S96＝8，所以S100＝24×8＋S4＝192＋6＝198.
14．若数列{an}满足a2－a1>a3－a2>a4－a3>…>an＋1－an>…，则称数列{an}为“差递减”数列．若数列{an}是“差递减”数列，且其通项an与其前n项和Sn(n∈N
)满足2Sn＝3an＋2λ－1，则实数λ的取值范围是________．
答案
解析 当n＝1时，2a1＝3a1＋2λ－1，a1＝1－2λ，当n>1时，2Sn－1＝3an－1＋2λ－1，所以2an＝3an－3an－1，an＝3an－1，所以an＝3n－1，an－an－1＝3n－1－3n－2＝3n－2，依题意3n－2是一个递减数列，所以2－4λ<0，λ>.
15．Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg
an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg
99]＝1.
(1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1
000项和．
解 (1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，
解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n(n∈N
)．
b1＝[lg
1]＝0，b11＝[lg
11]＝1，b101＝[lg
101]＝2.
(2)因为bn＝
所以数列{bn}的前1
000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1
893.
16．各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足：Sn＝a＋an＋(n∈N
)．
(1)求an；
(2)设数列的前n项和为Tn，证明：对一切正整数n，都有Tn<.
(1)解 由Sn＝a＋an＋，①
可知当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1＋，②
由①－②化简得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
又数列{an}各项为正数，
∴当n≥2时，an－an－1＝2，故数列{an}成等差数列，公差为2，又a1＝S1＝a＋a1＋，解得a1＝1，
∴an＝2n－1(n∈N
)．
(2)证明 Tn＝＋＋＋…＋＋
＝＋＋＋…＋＋.
∵＝<
＝＝，
∴Tn＝＋＋＋…＋＋<1＋＋＋…＋＋
＝1＋
＝1＋－<.
回扣5 概率与统计
1．分类加法计数原理
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法(也称加法原理)．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法(也称乘法原理)．
3．排列
(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．
(3)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．
(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝1.
4．组合
(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．
(3)组合数的计算公式：C＝＝＝，由于0！＝1，所以C＝1.
(4)组合数的性质：①C＝C；②C＝C＋C.
5．二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N
)．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk.
6．二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.
7．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C.
(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k<时，二项式系数是递增的；当k>时，二项式系数是递减的．
当n是偶数时，那么其展开式中间一项的二项式系数最大．
当n是奇数时，那么其展开式中间两项和的二项式系数相等且最大．
(3)各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，
即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
8．概率的计算公式
(1)古典概型的概率计算公式
P(A)＝；
(2)互斥事件的概率计算公式
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
(3)对立事件的概率计算公式
P()＝1－P(A)；
(4)几何概型的概率计算公式
P(A)＝.
(5)条件概率公式
P(B|A)＝.
9．抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样．
(1)从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，则每个个体被抽到的概率都为；
(2)分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．
10．统计中四个数据特征
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．
(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．
(3)平均数：样本数据的算术平均数，
即＝(x1＋x2＋…＋xn)．
(4)方差与标准差
方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
标准差：
s＝.
11．离散型随机变量
(1)离散型随机变量的分布列的两个性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
(2)期望公式
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
(3)期望的性质
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；
③若X服从两点分布，则E(X)＝p.
(4)方差公式
D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，标准差为.
(5)方差的性质
①D(aX＋b)＝a2D(X)；
②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；
③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(6)独立事件同时发生的概率计算公式
P(AB)＝P(A)P(B)．
(7)独立重复试验的概率计算公式
Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.
12．线性回归
线性回归方程＝x＋一定过样本点的中心(，)．
13．独立性检验
利用随机变量K2＝来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大．
14．正态分布
如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是：①P(μ－σ6；②P(μ－2σ4；③P(μ－3σ4.
1．关于两个计数原理应用的注意事项
(1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
(2)混合问题一般是先分类再分步．
(3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．
(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．
2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．
3．排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题排除法处理．(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．(10)正难则反，等价条件．
4．对于二项式定理应用时要注意
(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．
项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．
(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系．
(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
(4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a，b.
5．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．
6．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
7．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．
8．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．
9．易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误．
1．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )
A．224
B．112
C．56
D．28
答案 B
解析 根据分层抽样，从8名女生中抽取2人，从4名男生中抽取1人，所以抽取2名女生1名男生的方法数为CC＝112.
2．采用系统抽样方法从学号为1到50的50名学生中选取5名参加测试，则所选5名学生的学号可能是( )
A．1,2,3,4,5
B．5,26,27,38,49
C．2,4,6,8,10
D．5,15,25,35,45
答案 D
解析 采用系统抽样的方法时，即将总体分成均衡的若干部分，分段的间隔要求相等，间隔一般为总体的个数除以样本容量，据此即可得到答案．采用系统抽样间隔为＝10，只有D答案中的编号间隔为10.故选D.
3．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有( )
A．210种
B．420种
C．630种
D．840种
答案 B
解析 因为要求3位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1男2女或2男1女．若选出的3位教师是1男2女，则共有CCA＝180(种)不同的选派方法；若选出的3位教师是2男1女，则共有CCA＝240(种)不同的选派方法，所以共有180＋240＝420(种)不同的方案，故选B.
4．有5张卡片，上面分别写有数字1,2,3,4,5.从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 方法一 从5张卡片中随机抽2张的结果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，2张卡片上的数字之积为偶数的有7种，故所求概率P＝.
方法二 从5张卡片中抽取2张的结果有C＝10(种)，2张卡片上的数字之积为奇数的有C＝3(种)，故所求概率为P＝＝.
5．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数，中位数的估计值为( )
A．62,62.5
B．65,62
C．65,63.5
D．65,65
答案 D
解析 选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横坐标即为中位数．最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65；前两个矩形的面积为(0.01＋0.02)×10＝0.3，由于0.5－0.3＝0.2，则×10＝5，所以中位数为60＋5＝65.故选D.
6．道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线须继续行进，某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯48秒，红灯47秒，黄灯5秒，小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口不等待的概率为( )
A．0.95
B．0.05
C．0.47
D．0.48
答案 D
解析 由题意得小张路过该路口不等待的概率为＝0.48.
7．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮事件D＝ABC∪AB∪AC，且A，B，C相互独立，ABC，AB，AC互斥，所以P(D)＝P(ABC∪AB∪AC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＝××＋××＋××＝，故选B.
8．在二项式n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为( )
A．32
B．－32
C．0
D．1
答案 C
解析 依题意得所有二项式系数的和为2n＝32，解得n＝5.
因此，令x＝1，则该二项展开式中的各项系数的和等于5＝0，故选C.
9．某天连续有7节课，其中语文、英语、物理、化学、生物5科各1节，数学2节．在排课时，要求生物课不排第1节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同排法的种数为( )
A．408
B．480
C．552
D．816
答案 A
解析 数学在第(1,2)节，从除英语外的4门课中选1门安排在第3节，剩下的任意排，故有CA＝96(种)排法；数学在第(2,3)节，从除英语、生物外的3门课中选1门安排在第1节，从除英语外剩下的3门课中再选1门安排在第4节，剩下的任意排，故有CCA＝54(种)排法；数学在(3,4)，(4,5)，(5,6)情况一样，当英语在第1节时，其他任意排，故有A＝24(种)排法，当英语不在第1节时，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第1节，再从除英语外剩下的3门中选2门放在数学课前1节和后1节，剩下的任意排，有CAA＝36(种)排法，故共有3×(24＋36)＝180(种)排法；数学在第(6,7)节时，当英语在第一节时，其他任意排，故有A＝24(种)排法，当英语不在第1节，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第1节，再从除英语外的剩下的3门中选1门放在第5节，剩下的任意排，有CCA＝54(种)排法，故有24＋54＝78(种)排法，根据分类加法计数原理，共有96＋54＋180＋78＝408(种)排法．故选A.
10．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得线性回归方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为( )
A．11.4万元
B．11.8万元
C．12.0万元
D．12.2万元
答案 B
解析 由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴
＝8－0.76×10＝0.4，
∴线性回归方程
＝0.76x＋0.4，
∴当x＝15时，
＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
11．已知等比数列{an}的第5项是二项式4展开式中的常数项，则a3·a7＝________.
答案 36
解析 4的展开式的通项为Tk＋1＝Cx4－2k，
令4－2k＝0，得k＝2，∴常数项为C＝6，即a5＝6.
∵{an}为等比数列，∴a3·a7＝a＝62＝36.
12．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插入方法共有________种．
答案 336
解析 由题意得3本不同的书，插入到原来的5本不同的书中，可分为三步，第一步：先插入第一本，插入到原来5本不同的书排成的一排所形成的6个间隔中，有A＝6(种)方法；第二步：再插入第二本，插入到原来6本不同的书排成的一排所形成的7个间隔中，有A＝7(种)方法；第三步：再插入第三本，插入到原来7本不同的书排成的一排所形成的8个间隔中，有A＝8(种)方法，共有6×7×8＝336(种)不同的插入方法．
13．(x2－x＋1)10的展开式中x3的系数为________．
答案 －210
解析 (x2－x＋1)10＝[1＋(x2－x)]10的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(x2－x)k，对于(x2－x)k通项公式为
Tm＋1＝Cx2k－2m(－x)m＝(－1)mCx2k－m，
令2k－m＝3且m≤k≤10，m∈N，k∈N，
得k＝2，m＝1或k＝3，m＝3，(x2－x＋1)10的展开式中x3的系数为CC·(－1)＋CC·(－1)3＝－210.
14．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为η，若η的期望E(η)>，则p的取值范围是________．
答案
解析 由已知得P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1－p)p，
P(η＝3)＝(1－p)2，则E(η)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，解得p>或p<，
又p∈(0,1)，所以p∈.
15．某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水(A级水)达到环保标准(简称达标)的概率为p(0某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测．多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标．若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放．
现有以下四种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；
方案四：混在一起化验．
化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
(1)若p＝，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；
(2)若p＝，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一，二，四中哪个最“优”？
(3)若“方案三”比“方案四”更“优”，求p的取值范围．
解 (1)该混合样本达标的概率是2＝，
所以根据对立事件原理，不达标的概率为1－＝.
(2)方案一：逐个检测，检测次数为4.
方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为；若不达标则检测次数为3，概率为.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6.
其分布列如下，
ξ2
2
4
6
P
2
C××
2
可求得方案二的期望为E(ξ2)＝2×＋4×＋6×＝，
方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5.
其分布列如下，
ξ4
1
5
P
4
1－4
可求得方案四的期望为E(ξ4)＝1×＋5×＝.
比较可得E(ξ4)(3)方案三：设化验次数为η3，η3可取2,5.
η3
2
5
P
p3
1－p3
E(η3)＝2·p3＋5(1－p3)＝5－3p3；
方案四：设化验次数为η4，η4可取1,5.
η4
1
5
P
p4
1－p4
E(η4)＝1·p4＋5(1－p4)＝5－4p4；
由题意得E(η3)故当016．(2017·全国Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50
kg，新养殖法的箱产量不低于50
kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
箱产量<50
kg
箱产量≥50
kg
总计
旧养殖法
新养殖法
总计
(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．
附：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
K2＝.
解 (1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50
kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50
kg”．
由题意知，P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．
旧养殖法的箱产量低于50
kg的频率为
(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，
故P(B)的估计值为0.62.
新养殖法的箱产量不低于50
kg的频率为
(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，
故P(C)的估计值为0.66.
因此事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.409
2.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量<50
kg
箱产量≥50
kg
总计
旧养殖法
62
38
100
新养殖法
34
66
100
总计
96
104
200
K2＝≈15.705.
由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50
kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，
箱产量低于55
kg的直方图面积为
(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋≈52.35(kg)．
回扣6 立体几何与空间向量
1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系
2．三视图
(1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．
(2)三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样．
3．柱、锥、台、球体的表面积和体积
侧面展开图
表面积
体积
直棱柱
长方形
S＝2S底＋S侧
V＝S底·h
圆柱
长方形
S＝2πr2＋2πrl
V＝πr2·l
棱锥
由若干三角形构成
S＝S底＋S侧
V＝S底·h
圆锥
扇形
S＝πr2＋πrl
V＝πr2·h
棱台
由若干个梯形构成
S＝S上底＋S下底＋S侧
V＝(S＋＋S′)·h
圆台
扇环
S＝πr′2＋π(r＋r′)l＋πr2
V＝π(r2＋rr′＋r′2)·h
球
S＝4πr2
V＝πr3
4.平行、垂直关系的转化示意图
(1)
(2)两个结论
①?a∥b，②?b⊥α.
5．用空间向量证明平行、垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．则有：
(1)线面平行
l∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)线面垂直
l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
(3)面面平行
α∥β?μ∥v?μ＝λv?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.
(4)面面垂直
α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
6．用向量求空间角
(1)直线l1，l2的夹角θ满足cos
θ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量)．
(2)直线l与平面α的夹角θ满足sin
θ＝|cos〈l，n〉|(其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)．
(3)平面α，β的夹角θ满足cos
θ＝|cos〈n1，n2〉|，则二面角α—l—β的平面角为θ或π－θ(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)．
1．混淆“点A在直线a上”与“直线a在平面α内”的数学符号关系，应表示为A∈a，a?α.
2．在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主．
3．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数.
4．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m?α的限制条件．
5．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系．
6．几种角的范围
两条异面直线所成的角：0°<α≤90°；
直线与平面所成的角：0°≤α≤90°；
二面角：0°≤α≤180°.
7．空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错．
1．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )
A.
B.
C.
D．π
答案 D
解析 由三视图可知，该几何体为球的，其半径为1，则体积V＝××π×13＝π.
2．直三棱柱ABC—A1B1C1的直观图及三视图如图所示，D为AC的中点，则下列命题中是假命题的是( )
A．AB1∥平面BDC1
B．A1C⊥平面BDC1
C．直三棱柱的体积V＝4
D．直三棱柱的外接球的表面积为4π
答案 D
解析 由三视图可知，直三棱柱ABC—A1B1C1的侧面B1C1CB是边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB＝BC＝2.
连接B1C交BC1于点O，连接OD.
在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，
∴OD∥AB1，
又OD?平面BDC1，AB1?平面BDC1，
∴AB1∥平面BDC1.故A正确；
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
∴AA1⊥BD.又AB＝BC＝2，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
又AA1∩AC＝A，AA1，AC?平面AA1C1C，
∴BD⊥平面AA1C1C，
又A1C?平面AA1C1C，
∴BD⊥A1C.
又A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，
B1C1，B1B?平面B1C1CB，
∴A1B1⊥平面B1C1CB，
又BC1?平面B1C1CB，
∴A1B1⊥BC1.
∵BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，
A1B1，B1C?平面A1B1C，
∴BC1⊥平面A1B1C，
又A1C?平面A1B1C，
∴BC1⊥A1C，
又BD∩BC1＝B，BD，BC1?平面BDC1，
∴A1C⊥平面BDC1.故B正确；
V＝S△ABC×C1C＝×2×2×2＝4，故C正确；
此直三棱柱的外接球的半径为，其表面积为12π，D错．故选D.
3．已知直线l，m和平面α，则下列结论正确的是( )
A．若l∥m，m?α，则l∥α
B．若l⊥α，m?α，则l⊥m
C．若l⊥m，l⊥α，则m∥α
D．若l∥α，m?α，则l∥m
答案 B
解析 若l∥m，m?α，则l∥α或l?α，故A错误；若l⊥α，m?α，则l⊥m，B正确；若l⊥m，l⊥α，则m?α或m∥α，故C错误；若l∥α，m?α，则l∥m或l，m异面，故选B.
4．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l
B．m∥n
C．n⊥l
D．m⊥n
答案 C
解析 由题意知，α∩β＝l，∴l?β，
∵n⊥β，∴n⊥l.
故选C.
5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
答案 D
解析 假设α∥β，由m⊥平面α，n⊥平面β，得m∥n，这与已知m，n为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l1，则l1⊥m，l1⊥n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，
所以l1∥l.
6.如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直于平面CB1D1；③直线AH和BB1所成的角为45°；④AH的延长线经过点C1，其中假命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 B
解析 ∵AB＝AA1＝AD，BA1＝BD＝A1D，
∴三棱锥
A－BA1D为正三棱锥，
∴点H是△A1BD的垂心，故①正确；
∵平面A1BD与平面B1CD1平行，AH⊥平面A1BD，
∴AH⊥平面CB1D1，故②正确；
∵AA1∥BB1，
∴∠A1AH就是直线AH和BB1所成的角，
在直角三角形AHA1中，
∵AA1＝1，A1H＝××＝，
∴sin∠A1AH＝≠，故③错误；
根据正方体的对称性得到AH的延长线经过点C1，
故④正确，故选B.
7．将正方体纸盒展开如图，则直线AB，CD在原正方体中的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交成60°角
D．异面且成60°角
答案 D
解析 如图，直线AB，CD异面．因为CE∥AB，
所以∠ECD即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠ECD＝60°.
8．长方体的顶点都在同一球面上，其同一顶点处的三条棱长分别为3,4,5，则该球面的表面积为( )
A．25π
B．50π
C．75π
D.π
答案 B
解析 设球的半径为R，由题意可得(2R)2＝32＋42＋52＝50，∴4R2＝50，球的表面积为S＝4πR2＝50π.
9.如图，三棱锥A－BCD的棱长全相等，点E为棱AD的中点，则直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 方法一 取AB中点G，连接EG，CG.
∵E为AD的中点，∴EG∥BD.
∴∠GEC为CE与BD所成的角．设AB＝1，
则EG＝BD＝，
CE＝CG＝，
∴cos∠GEC＝
＝
＝.
方法二 设AB＝1，则·＝(－)·(－)＝·(－)
＝2－·－·＋·
＝－cos
60°－cos
60°＋cos
60°＝.
∴cos〈，〉＝＝＝，故选A.
10．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，
则O(0,0,0)，B(，0,0)，A(0，－1,0)，B1(，0,2)，则1＝(，1,2)，
则＝(－，0,0)为侧面ACC1A1的法向量，
故sin
θ＝＝.
11.如图，在空间四边形ABCD中，点M∈AB，点N∈AD，若＝，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．
答案 平行
解析 由＝，得MN∥BD.
而BD?平面BDC，MN?平面BDC，
所以MN∥平面BDC.
12．如图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的有________条．
答案 6
解析 如图，连接EG，EH，FG，EF，HG，
∵EH∥FG且EH＝FG，
∴EFGH四点共面，由EG∥AB′，EH∥AD′，
EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，
可得平面EFGH与平面AB′D′平行，
∴符合条件的共有6条．
13．点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成角的大小是________．
答案
解析 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方形ABCD的边长为1，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1,0)，因此
cos〈，〉＝
＝，
因此PB和AC所成角的大小为.
14．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：
①?β∥γ；②?m⊥β；
③?α⊥β；④?m∥α.
其中，正确的命题是________．(填序号)
答案 ①③
解析 ①中平行于同一平面的两平面平行是正确的；②中m，β可能平行，相交或直线在平面内；③中由面面垂直的判定定理可知结论正确；④中m，α可能平行或线在面内．
15．如图(1)，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图(2)所示的五棱锥P－ABFED，且PB＝.
(1)求证：BD⊥PA；
(2)求四棱锥P－BFED的体积．
(1)证明 ∵点E，F分别是边CD，CB的中点，
∴BD∥EF.
∵菱形ABCD的对角线互相垂直，
∴BD⊥AC，
∴EF⊥AC，
∴EF⊥AO，EF⊥PO.
∵AO?平面POA，PO?平面POA，AO∩PO＝O，
∴EF⊥平面POA，
∴BD⊥平面POA，
又PA?平面POA，
∴BD⊥PA.
(2)解 设AO∩BD＝H.
连接BO，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝4，BH＝2，
HA＝2，HO＝PO＝，
在Rt△BHO中，BO＝＝，
在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2，
∴PO⊥BO.
∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF?平面BFED，
BO?平面BFED，
∴OP⊥平面BFED，
梯形BFED的面积S＝(EF＋BD)·HO＝3，
∴四棱锥P－BFED的体积
V＝S·PO＝×3×＝3.
16.如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤1)．
(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE；
(2)若二面角C－AE－D的大小为60°，求λ的值．
(1)证明 如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，E(0,0，λa)．
∴＝(－a，a,0)，＝(－a，－a，λa)，
·＝a2－a2＋0·λa＝0，
∴·＝0对任意λ∈(0,1]都成立，即对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE.
(2)解 显然n＝(0,1,0)是平面ADE的一个法向量，
设平面ACE的法向量为m＝(x，y，z)，
∵＝(－a，a,0)，＝(－a,0，λa)，∴
即∴
取z＝1，则x＝y＝λ，∴m＝(λ，λ，1)，
∵二面角C－AE－D的大小为60°，
∴|cos〈n，m〉|＝＝＝，
∵λ∈(0,1]，∴λ＝.
回扣7 解析几何
1．直线方程的五种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．
(4)截距式：＋＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．
2．直线的两种位置关系
当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：
(1)两直线平行l1∥l2?k1＝k2.
(2)两直线垂直l1⊥l2?k1·k2＝－1.
提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．
3．三种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离
|AB|＝.
(2)点到直线的距离d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0)．
(3)两平行线间的距离d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．
提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等．
4．圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
5．直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．
(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．
6．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)
|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M
标准方程
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
图形
几何性质
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≥a
x≥0
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±a,0)
(0,0)
对称性
关于x轴，y轴和原点对称
关于x轴对称
焦点
(±c,0)
轴
长轴长2a，短轴长2b
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝＝
(0e＝＝(e>1)
e＝1
准线
x＝－
渐近线
y＝±x
7.直线与圆锥曲线的位置关系
判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．
弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝
|y1－y2|.
8．解决范围、最值问题的常用解法
(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解．
(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．
(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．
9．定点问题的思路
(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
10．求解定值问题的两大途径
(1)
→
(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．
11．解决存在性问题的解题步骤
第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；
第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；
第三步：得出结论.
1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．
2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为＋＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．
3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.
4．在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合．
5．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式，导致错解．
6．在圆的标准方程中，误把r2当成r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件．
7．易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．
8．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．
9．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误．
10．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．
11.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、
弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行．
1．直线2mx－(m2＋1)y－＝0的倾斜角的取值范围为( )
A．[0，π)
B.∪
C.
D.∪
答案 C
解析 由已知可得m≥0，直线的斜率k＝.当m＝0时，k＝0；当m>0时，k＝＝≤＝1，又因为m>0，所以0θ≤1，因为0≤θ<π，所以0≤θ≤.
2．直线ax＋by－a－b＝0(a≠0)与圆x2＋y2－2＝0的位置关系为( )
A．相离
B．相切
C．相交或相切
D．相交
答案 C
解析 由已知可得，圆的圆心坐标为(0,0)，半径为，
圆心到直线的距离为，其中(a＋b)2≤2(a2＋b2)，所以圆心到直线的距离为≤，所以直线与圆相交或相切，故选C.
3．曲线x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )
A.
B．2
C.＋1
D.－1
答案 C
解析 因为圆心(0,1)到直线x－y－1＝0的距离为＝>1，所以半圆x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为＋1，到直线x－y－1＝0的距离的最小值为点(0,0)到直线x－y－1＝0的距离，为，
所以a－b＝＋1－＝＋1.
4．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于( )
A．4
B．3
C．2
D.
答案 C
解析 由于圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，半径r＝2，而圆心O(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1，∴|AB|＝2＝2＝2.
5．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
答案 B
解析 O1(－2,2)，r1＝1，O2(2,5)，r2＝4，
∴|O1O2|＝5＝r1＋r2，
∴圆O1和圆O2外切，
∴与圆O1和圆O2都相切的直线有3条．故选B.
6．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A.
B.
C.
D．1
答案 C
解析 如图，
由题意可知F，设P点坐标为，
显然，当y0<0时，kOM<0；
当y0>0时，kOM>0，要求kOM的最大值，不妨设y0>0，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，kOM＝＝≤＝，当且仅当y＝2p2时，等号成立，故选C.
7．已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线－＝1(a>0)相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为( )
A．3
B．2
C.
D.
答案 A
解析 依题意知，
抛物线的准线为x＝－2，代入双曲线方程得
y＝±·，
不妨设A.
∵△FAB是等腰直角三角形，
∴＝p＝4，求得a＝，
∴双曲线的离心率为e＝＝＝＝3，
故选A.
8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2
B．3
C．6
D．8
答案 C
解析 由题意得F(－1,0)，设点P(x0，y0)，
则y＝3(－2≤x0≤2)．
·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y
＝x＋x0＋3
＝(x0＋2)2＋2.
又因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·取得最大值，最大值为6，故选C.
9．已知函数y＝f(x)＝ax＋1－2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，设抛物线E：y2＝4x上任意一点M到准线l的距离为d，则d＋的最小值为( )
A．5
B.
C.
D.
答案 C
解析 当x＋1＝0，即x＝－1时，y＝－1，故A(－1，－1)，设抛物线的焦点为F(1,0)，根据抛物线的定义可知，当F、A、M三点共线时d＋的最小值为＝.
10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2＝30°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是( )
A．7－4
B．2－
C.－1
D．4－2
答案 B
解析 由题意设椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1，且c＝c1.
由题意·＝1，(
)
由∠F1PF2＝30°及余弦定理，得
椭圆中：4c2＝4a2－(2＋)|PF1||PF2|，
双曲线中：4c2＝4a＋(2－)|PF1||PF2|，
可得b＝(7－4)b2，代入(
)式，得
c4＝aa2＝(c2－b)a2＝(8－4)c2a2－(7－4)a4，
即e4－(8－4)e2＋(7－4)＝0，
得e2＝7－4，即e＝2－，故选B.
11．已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，则m的值为________；动直线l：mx－y＝1被圆C：x2－2x＋y2－8＝0截得的最短弦长为________．
答案 0或2 2
解析 由两直线垂直的充要条件得m×1＋(－1)×m(m－1)＝0，∴m＝0或m＝2；圆的半径为3，动直线l过定点(0，－1)，当圆心(1,0)到直线的距离最长，即d＝＝时，弦长最短，此时弦长为2＝2.
12．已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝________.
答案 4
解析 设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝2，|AB|＝2，所以|OM|＝3，解得m＝－，
由解得A(－3，)，B(0,2)，
则AC的直线方程为y－＝－(x＋3)，BD的直线方程为y－2＝－x，令y＝0，解得C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4.
13．已知F1，F2是双曲线－＝1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值为________．
答案 16
解析 由双曲线方程－＝1知，2a＝8，
由双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2a＝8，①
|QF2|－|QF1|＝2a＝8，②
①＋②得|PF2|＋|QF2|－(|QF1|＋|PF1|)＝16.
∴|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝16.
14．在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过定点________．
答案 (0,2)
解析 设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝x2，则y′＝x，则在点A处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，化简得y＝x1x－y1，同理，在点B处的切线方程为y＝x2x－y2.又点Q(t，－2)的坐标满足这两个方程，代入得－2＝x1t－y1，－2＝x2t－y2，则说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝xt－y，即直线AB的方程为y－2＝tx，因此直线AB恒过定点(0,2)．
15．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解 (1)由题设可知，直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与圆C交于两点，所以<1.
解得所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
Δ＝16(1＋k)2－4(1＋k2)×7
＝－12k2＋32k－12>0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
经检验，满足Δ>0.
所以l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在l上，所以|MN|＝2.
16．已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝r2与圆F2：(x－1)2＋y2＝(4－r)2(0(1)求曲线E的方程；
(2)证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标；
(3)求△ABM的面积的最大值．
解 (1)设圆F1，圆F2的公共点为Q，
由已知得|F1F2|＝2，|QF1|＝r，|QF2|＝4－r，
故|QF1|＋|QF2|＝4>|F1F2|，
因此曲线E是长轴长2a＝4，焦距2c＝2的椭圆，且b2＝a2－c2＝3，所以曲线E的方程为＋＝1.
(2)由曲线E的方程，得上顶点M(0，)，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，x1≠0，x2≠0，若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x＝x1，故y1＝－y2，且y＝y＝3，因此kMA·kMB＝·＝－＝，与已知不符，因此直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋m，代入椭圆E的方程＋＝1，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0.(
)
因为直线AB与曲线E有公共点A，B，
所以方程(
)有两个非零不等实根x1，x2，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
又kAM＝＝，
kMB＝＝，
由kAM·kBM＝，
得4(kx1＋m－)(kx2＋m－)＝x1x2，
即(4k2－1)x1x2＋4k(m－)(x1＋x2)＋4(m－)2＝0，
所以4(m2－3)(4k2－1)＋4k(m－)(－8km)＋4(m－)2(3＋4k2)＝0，
化简得m2－3m＋6＝0，故m＝或m＝2，
结合x1x2≠0知，m＝2，即直线AB恒过定点N(0,2)．
(3)由Δ>0且m＝2得k<－或k>，
又S△ABM＝|S△ANM－S△BNM|＝|MN|·|x2－x1|
＝
＝
＝＝≤，
当且仅当4k2－9＝12，即k＝±时，△ABM的面积最大，最大值为.
回扣8 函数与导数
1．函数的定义域和值域
(
1．集合
(1)集合的运算性质
①A∪B＝A?B?A；②A∩B＝B?B?A；③A?B??UA??UB.
(2)子集、真子集个数计算公式
对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.
(3)集合运算中的常用方法
若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
2．四种命题及其相互关系
(1)
(2)互为逆否命题的两命题同真同假．
3．含有逻辑联结词的命题的真假
(1)命题p∨q：若p，q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真．
(2)命题p∧q：若p，q中至少有一个为假，则命题为假命题，p，q同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真．
(3)命题p：与命题p真假相反．
4．全称命题、特称(存在性)命题及其否定
(1)全称命题p：?x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题p：?x0∈M，p(x0)．
(2)特称(存在性)命题p：?x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题p：?x∈M，p(x)．
5．充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：正、反方向推理，若p?q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p?q，且q?p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A?B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若AB，则A是B的充分不必要条件(B是A的必要不充分条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
6．一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．
解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小．
7．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是
8．分式不等式
>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；
≥0(≤0)?
9．基本不等式
(1)≥(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时取等号．
(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”、“定”、“等”的条件．
10．线性规划
(1)可行域的确定，“线定界，点定域”．
(2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．
(3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个．
11．推理
推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论．
合情推理的思维过程
(1)归纳推理的思维过程
―→→
(2)类比推理的思维过程
―→→
12．证明方法
(1)分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．
推理模式
框图表示
→→→…→
(2)综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．
推理模式
框图表示：→→→…→(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．
(3)反证法
一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lg
x}——函数的定义域；{y|y＝lg
x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg
x}——函数图象上的点集．
2．易混淆0，?，{0}：0是一个实数；?是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0??，而??{0}．
3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．
4．空集是任何集合的子集．由条件A?B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝?的情况．
5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则綈q”，其否命题为“若綈p，则綈q”．
6．在对全称命题和特称(存在性)命题进行否定时，不要忽视对量词的改变．
7．对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．
8．判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．
9．不等式两端同时乘一个数或同时除以一个数时，如果不讨论这个数的正负，容易出错．
10．解形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的一元二次不等式时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论．
11．求解分式不等式时应正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.
12．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、
二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y＝x＋(x<0)时应先转化为正数再求解．
13．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．
14．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指已知区域内的点(x，y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1,1)的距离的平方等．
15．类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比．用数学归纳法证明时，易盲目以为n0的起始值为1，另外注意证明传递性时，必须用n＝k成立的归纳假设．
1．已知集合M＝{x|log2x<3}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，则M∩N等于( )
A．(0,8)
B．{3,5,7}
C．{0,1,3,5,7}
D．{1,3,5,7}
答案 D
解析 ∵M＝{x|0
2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质
B．所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电
C．高一参加军训的有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人
D．在数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋1(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
答案 B
解析 A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质为类比推理．
B．所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电．由一般到特殊，为演绎推理．
C．高一参加军训的有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人，为归纳推理．
D．在数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋1(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式，为归纳推理．
3．用反证法证明命题：三角形的内角中至少有一个是钝角．假设正确的是( )
A．假设至少有一个是钝角
B．假设至少有两个是钝角
C．假设没有一个是钝角
D．假设没有一个是钝角或至少有两个是钝角
答案 C
解析 原命题的结论为至少有一个是钝角，则反证法需假设结论的反面．“至少有一个”的反面为“没有一个”，即假设没有一个是钝角．
4．已知集合A＝{y|y＝sin
x，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg
x}，则(?RA)∩B为( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．[－1,1]
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
答案 C
解析 因为A＝{y|y＝sin
x，x∈R}＝[－1,1]，
B＝{x|y＝lg
x}＝(0，＋∞)，
所以(?RA)∩B＝(1，＋∞)．
5．(2016·全国Ⅰ)若a>b>1,0
解析 对于A：由于0
则a>b>1?ac>bc，故A错；
对于B：由于－1
∴a>b>1?ac－1
只需比较和，只需比较和，
只需比较bln
b和aln
a.
构造函数f(x)＝xln
x(x>1)，
则f′(x)＝ln
x＋1>1>0，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
因此f(a)>f(b)>0?aln
a>bln
b>0?<，
又由0
∴>?blogac>alogbc，故C正确；
对于D：要比较logac和logbc，
只需比较和，
而函数y＝ln
x在(1，＋∞)上单调递增，
故a>b>1?ln
a>ln
b>0?<，
又由0
∴>?logac>logbc，故D错，故选C.
6．设有两个命题，命题p：关于x的不等式(x－3)·≥0的解集为{x|x≥3}；命题q：若函数y＝kx2－kx－8的值恒小于0，则－32
B．“p或q”为真命题
C．“p”为真命题
D．“q”为假命题
答案 C
解析 不等式(x－3)·≥0的解集为{x|x≥3或x＝1}，所以命题p为假命题．若函数y＝kx2－kx－8的值恒小于0，则－32
p1：?(x，y)∈D，z≥1;
p2：?(x0，y0)∈D，z≥1；
p3：?(x，y)∈D，z≤2;
p4：?(x0，y0)∈D，z<0.
其中为真命题的是( )
A．p1，p2
B．p1，p3
C．p1，p4
D．p2，p3
答案 D
解析 作出可行域如图阴影部分所示，因为z＝的几何意义是可行域内的点(x，y)与点A(－1，－1)连线的斜率，可知与C连线斜率最小，与B连线斜率最大，联立方程可得C(2,1)，B(1,3)，所以z的最小值为，最大值为2，所以p2，p3为真命题，故选D.
8．设命题甲：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R；命题乙：0
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由命题甲：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R可知，当a＝0时，原式＝1>0恒成立，
当a≠0时，需满足
解得0
9．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为( )
A．4
B．16
C．9
D．3
答案 B
解析 依题意得m≤(3a＋b)＝10＋＋，
由a>0，b>0得10＋＋≥16，故m≤16(当且仅当＝，即a＝b时，等号成立)，即m的最大值为16.
10．(2016·山东)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( )
A．4
B．9
C．10
D．12
答案 C
解析 满足条件
的可行域如图阴影部分(包括边界)所示，
x2＋y2是可行域上的动点(x，y)到原点(0,0)距离的平方，显然，当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取得最大值，最大值为10.故选C.
11．下列四个结论：
①若x>0，则x>sin
x恒成立；
②命题“若x－sin
x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin
x≠0”；
③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；
④命题“?x∈R，x－ln
x>0”的否定是“?x0∈R，x0－ln
x0<0”．
其中正确结论的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 C
解析 对于①，令y＝x－sin
x，则y′＝1－cos
x≥0，则函数y＝x－sin
x在R上单调递增，则当x>0时，x－sin
x>0－0＝0，即当x>0时，x>sin
x恒成立，故①正确；
对于②，命题“若x－sin
x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin
x≠0”，故②正确；
对于③，命题p∨q为真即p，q中至少有一个为真，p∧q为真即p，q都为真，可知“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；
对于④，命题“?x∈R，x－ln
x>0”的否定是“?x0∈R，x0－ln
x0≤0”，故④错误．
综上，正确结论的个数为3，故选C.
12．下列类比推理的结论不正确的是( )
①类比“实数的乘法运算满足结合律”，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”；
②类比“设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8成等差数列”，得到猜想“设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，成等比数列”；
③类比“平面内，垂直于同一条直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中，垂直于同一条直线的两直线相互平行”；
④类比“设AB为圆的直径，P为圆上任意一点，直线PA，PB的斜率存在，则kPA·kPB为常数”，得到猜想“设AB为椭圆的长轴，P为椭圆上任意一点，直线PA，PB的斜率存在，则kPA·kPB为常数”．
A．①④
B．①③
C．②③
D．②④
答案 B
解析 ②等差数列中结论成立，而等比数列中T4＝a·q6，＝a·q22，＝a·q38，结论也成立；
④由圆中kPA·kPB为－1，而类比到椭圆：
kPA·kPB＝－或－，也成立；
①类比“实数的乘法运算满足结合律”，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”
不成立，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这是由向量数量积的定义决定的．
③类比“平面内，垂直于同一条直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中，垂直于同一条直线的两直线相互平行”不成立，空间中可能出现相交，异面的情况．故选B.
13．已知集合M＝，若3∈M,5?M，则实数a的取值范围是______________．
答案 ∪(9,25]
解析 ∵集合M＝，
得(ax－5)(x2－a)<0，
当a＝0时，显然不成立，
当a>0时，原不等式可化为(x－)(x＋)<0，
若<，只需满足解得1≤a<；
若>，只需满足
解得9
14．若“?x∈，m≤tan
x＋1”为真命题，则实数m的最大值为________．
答案 0
解析 令f(x)＝tan
x＋1，则函数f(x)在上为增函数，故f(x)的最小值为f?＝0，
∵?x∈，m≤tan
x＋1，
故m≤(tan
x＋1)min，
∴m≤0，故实数m的最大值为0.
15．在平面上，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.猜想若正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是_______________________．
答案 S＋S＋S＝S
解析 将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋S＋S＝S.
16．要制作一个容积为4
m3，高为1
m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是20元/m2，侧面造价是10元/m2，则该容器的最低总造价是________元．
答案 160
解析 由题意知，体积V＝4
m3，高h＝1
m，
所以底面积S＝4
m2，设底面矩形的一条边长是x
m，则另一条边长是
m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号．
回扣2 复数、程序框图、平面向量与数学文化
1．复数的相关概念及运算法则
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类
①z是实数?b＝0；
②z是虚数?b≠0；
③z是纯虚数?a＝0且b≠0.
(2)共轭复数
复数z＝a＋bi的共轭复数＝a－bi.
(3)复数的模
复数z＝a＋bi的模|z|＝.
(4)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
特别地，a＋bi＝0?a＝0且b＝0(a，b∈R)．
(5)复数的运算法则
加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；
乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i.
2．复数的几个常见结论
(1)(1±i)2＝±2i.
(2)＝i，＝－i.
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)．
(4)ω＝－±i，且ω0＝1，ω2＝，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.
3．程序框图的三种基本逻辑结构
(1)顺序结构：如图(1)所示．
(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示．
(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．
4．平面向量的数量积
(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos
θ.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
5．两个非零向量平行、垂直的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
6．利用数量积求长度
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝.
7．利用数量积求夹角
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，
则cos
θ＝＝.
8．三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心?||＝||＝||＝.
(2)O为△ABC的重心?＋＋＝0.
(3)O为△ABC的垂心?·＝·＝·.
(4)O为△ABC的内心?a＋b＋c＝0.
1．复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi，a，b∈R)．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．
2．复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i2＝－1化简合并同类项．
3．在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件．注意理解循环条件中“≥”与“>”的区别．
4．解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应．
5．在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果．
6．a·b>0是〈a，b〉为锐角的必要不充分条件；
a·b<0是〈a，b〉为钝角的必要不充分条件．
1．复数z满足z(2－i)＝1＋7i，则复数z的共轭复数为( )
A．－1－3i
B．－1＋3i
C．1＋3i
D．1－3i
答案 A
解析 ∵z(2－i)＝1＋7i，
∴z＝＝＝＝－1＋3i，
共轭复数为－1－3i.
2．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z2＝3＋2i，则z1·z2等于( )
A．13i
B．－13i
C．13＋12i
D．12＋13i
答案 A
解析 由题意得z1＝2＋3i，
故z1·z2＝(2＋3i)(3＋2i)＝13i.
3．z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上的点不可能位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案 D
解析 z＝＝，
由于m－1
A.＝－－
B.＝－
C.＝－
D.＝－－
答案 C
解析 ∵＝2，点F是BD上靠近D的四等分点，
∴＝，＝，
∴＝＋＝＋，
∵＋＝，－＝，
∴＝(－)＋(＋)
＝－.故选C.
5．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于( )
A．(－5，－10)
B．(－4，－8)
C．(－3，－6)
D．(－2，－4)
答案 B
解析 因为a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，
所以m＋4＝0，m＝－4,2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故选B.
6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是( )
A．n＝6?
B．n<6?
C．n≤6?
D．n≤8?
答案 C
解析 S＝0，n＝2，判断是，
S＝，n＝4，判断是，
S＝＋＝，n＝6，判断是，S＝＋＋＝，n＝8，判断否，输出S，故n≤6.
7．执行如图所示的程序框图，若输出的是n＝6，则输入整数p的最小值为( )
A．15
B．16
C．31
D．32
答案 B
解析 列表分析如下：
是否继续循环
S
n
循环前
0
1
第一圈
是
1
2
第二圈
是
3
3
第三圈
是
7
4
第四圈
是
15
5
第五圈
是
31
6
第六圈
否
故当S值不大于15时继续循环，大于15但不大于31时退出循环，故p的最小整数值为16.
8．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足＝＋，则·的值为( )
A．2
B．－
C.
D．－2
答案 A
解析 因为＝－，＝－，则·＝，
即·＝2－·＋2
＝2－＋＝2，故选A.
9.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )
A．15平方米
B．12平方米
C．9平方米
D．6平方米
答案 C
解析 如图，根据题意可得
∠AOB＝，OA＝4，
在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，可得矢＝4－2＝2，由AD＝AO·sin
＝4×＝2，可得弦＝2AD＝2×2＝4，所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝(4×2＋22)＝4＋2≈9(平方米)．故选C.
10．在△ABC中，AB＝5，AC＝6，若B＝2C，则向量在方向上的投影是( )
A．－
B．－
C.
D.
答案 B
解析 由正弦定理得
＝?＝?cos
C＝，
由余弦定理得cos
C＝?BC＝或5，
经检验知BC＝5不符合，舍去，所以BC＝，
cos
B＝＝－，
则||cos
B＝－，故选B.
11．“珠算之父”程大位是我国明代伟大的数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成．程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”([注释]三升九：3.9升．次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节的容积为( )
A．1.9升
B．2.1升
C．2.2升
D．2.3升
答案 B
解析 要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d升，下端第一节盛米a1升，
由题意得
解得a1＝1.4，d＝－0.1，所以中间两节盛米的容积为
a4＋a5＝(a1＋3d)＋(a1＋4d)＝2a1＋7d
＝2.8－0.7＝2.1(升)，故选B.
12．《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝.现有周长为2＋的△ABC满足sin
A∶sin
B∶sin
C＝(－1)∶∶(＋1)，试用以上给出的公式求得△ABC的面积为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 因为sin
A∶sin
B∶sin
C＝(－1)∶∶(＋1)，
所以由正弦定理得a∶b∶c＝(－1)∶∶(＋1)，
又a＋b＋c＝2＋，
所以a＝－1，b＝，c＝＋1，
则ac＝1，c2＋a2－b2＝1，
故S＝
＝
＝.
13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________．
答案 32
解析 由题意得log2＝log2(n＋1)－log2(n＋2)，由程序框图的计算公式，可得
S＝(log22－log23)＋(log23－log24)＋…＋[log2n－log2(n＋1)]＝1－log2(n＋1)，由S<－4，可得1－log2(n＋1)<－4?log2(n＋1)>5，解得n>31，
所以输出的n为32.
14．已知平面内三个单位向量，，，〈，〉＝60°，若＝m＋n，则m＋n的最大值是______．
答案
解析 由已知条件＝m＋n，两边平方可得1＝m2＋mn＋n2＝(m＋n)2－mn，∴(m＋n)2－1＝mn，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m，n>0，∴(m＋n)2－1＝mn≤(m＋n)2，当且仅当m＝n时取等号，
∴(m＋n)2≤1，则m＋n≤，即m＋n的最大值为.
15．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理(图1)，即可求得球的体积公式．请在研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为＋＝1，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(图2)，其体积等于________．
答案
解析 椭圆的长半轴长为5，短半轴长为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积
V＝2(V圆柱－V圆锥)
＝2＝.
16．已知O是锐角△ABC外接圆的圆心，∠A＝60°，·＋·＝2m，则m的值为______．
答案
解析 如图所示，取AB的中点D，
则＝＋，OD⊥AB，所以·＝0，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由·＋·＝2m，得·＋·＝－2m(＋)，两边同乘，得·2＋··＝－2m(＋)·，即·c2＋·bc·cos
A＝m·c2，所以·c＋·b·cos
A＝m·c，
由正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)，
得b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C，
代入上式整理，得cos
B＋cos
Ccos
A＝m·sin
C，
所以m＝
＝＝sin
A，
又∠A＝60°，所以m＝sin
60°＝.
回扣3 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1．三种三角函数的性质
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
单调性
在(k∈Z)
上单调递增；在(k∈Z)
上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减
在(k∈Z)上单调递增
对称性
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)
对称中心：(k∈Z)；
对称轴：x＝kπ(k∈Z)
对称中心：(k∈Z)
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象
(1)“五点法”作图
设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得．
(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口．
(3)图象变换
y＝sin
xy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
3．准确记忆六组诱导公式
对于“±α，k∈Z”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．
4．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan
45°等．
(2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(3)弦、切互化：一般是切化弦．
(4)灵活运用辅助角公式asin
α＋bcos
α＝sin(α＋φ).
5．正弦定理及其变形
＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C.
sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝.
a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C.
6．余弦定理及其推论、变形
a2＝b2＋c2－2bccos
A，b2＝a2＋c2－2accos
B，
c2＝a2＋b2－2abcos
C.
推论：cos
A＝，cos
B＝，
cos
C＝.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos
A，a2＋c2－b2＝2accos
B，
a2＋b2－c2＝2abcos
C.
7．面积公式
S△ABC＝bcsin
A＝acsin
B＝absin
C.
1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号．
2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围．
3．求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．
4．三角函数图象变换中，注意由y＝sin
ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，平移量为，而不是φ.
5．在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解．
1．若sin
θ·cos
θ＝，则tan
θ＋的值是( )
A．－2
B．2
C．±2
D.
答案 B
解析 tan
θ＋＝＋＝＝2.
2．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( )
A．y＝sin
B．y＝cos
C．y＝sin
2x＋cos
2x
D．y＝sin
x＋cos
x
答案 A
解析 化简函数的解析式，A中，y＝cos
2x是最小正周期为π的偶函数．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝2，c＝，cos
A＝－，则b的值为( )
A．1
B.
C.
D.
答案 A
解析 根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos
A，则22＝b2＋()2－2b××，所以b2＋b－2＝0，
解得b＝1，或b＝－2(舍去)，故选A.
4．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin
4x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案 B
解析 ∵y＝sin＝sin，
∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin
4x的图象向右平移个单位长度．
5．若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于点对称，则函数f(x)在上的最小值是( )
A．－1
B．－
C．－
D．－
答案 B
解析 f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)
＝2sin，
则由题意知，f＝2sin＝0，又因为0<θ<π，所以<π＋θ＋<，所以π＋θ＋＝2π，所以θ＝，所以f(x)＝－2sin
2x.
又因为函数f(x)在上是减函数，
所以函数f(x)在上的最小值为
f＝－2sin
＝－，故选B.
6．(2016·全国Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos
A等于( )
A.
B.
C．－
D．－
答案 C
解析 设BC边上的高AD交BC于点D，
由题意B＝，AD＝BD＝BC，DC＝BC，
tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan
A＝＝－3，
所以cos
A＝－，故选C.
7．若sin
2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是( )
A.
B.
C.或
D.或
答案 A
解析 ∵sin
2α＝，α∈，
∴2α∈，即α∈，cos
2α＝－，
又sin(β－α)＝，β∈，
∴β－α∈，cos(β－α)＝－，
∴cos(α＋β)＝cos
[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos
2α－sin(β－α)sin
2α
＝×－×＝，
又α＋β∈，
∴α＋β＝，故选A.
8．设函数y＝sin
ωx(ω>0)的最小正周期是T，将其图象向左平移T个单位长度后，得到的图象如图所示，则函数y＝sin
ωx(ω>0)的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 A
解析 方法一 由已知图象知，y＝sin
ωx(ω>0)的最小正周期是2×＝，所以＝，解得ω＝，所以y＝sin
x.由2kπ－≤x≤2kπ＋得到单调递增区间是(k∈Z)．
方法二 因为T＝，所以将y＝sin
ωx(ω>0)的图象向左平移T个单位长度后，
所对应的解析式为y＝sin
ω.
由图象知，ω＝，所以ω＝，
所以y＝sinx.由2kπ－≤x≤2kπ＋得到单调递增区间是(k∈Z)．
9．已知f(x)＝sin
x＋cos
x(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝0对称，则φ的值可以是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 已知f＝sin
x＋cos
x＝2sin，
y＝f＝2sin关于直线x＝0对称，
所以f(0)＝2sin＝±2，
所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z，
当k＝0时，φ＝，故选B.
10．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，其图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为，若f(x)>0对x∈恒成立，则φ的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由已知得函数f(x)的最小正周期为，则ω＝，
当x∈时，x＋φ∈，
因为f(x)>0，即cos>，
所以(k∈Z)，
解得－＋2kπ≤φ≤－＋2kπ(k∈Z)，
又|φ|<，所以－<φ≤－，故选B.
11．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f?的值为________．
答案 1
解析 根据图象可知，A＝2，＝－，
所以周期T＝π，ω＝＝2.又函数过点，
所以sin＝1，又0<φ<π，
所以φ＝，则f(x)＝2sin，
因此f?＝2sin＝1.
12．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________．
答案
解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2，
所以f(x)＝3sin，
那么当x∈时，－≤2x－≤，
所以－≤sin≤1，故f(x)∈.
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，角B为锐角，且sin2B＝8sin
A·sin
C，则的取值范围为____________．
答案
解析 因为sin2B＝8sin
A·sin
C，由正弦定理可知，
b2＝8ac，所以cos
B＝
＝＝
＝－5∈(0,1)，
令t＝，t>0，则0<－5<1，
解得
答案 3
解析 因为cos∠BAD＝－，
故sin∠BAD＝
＝，
在△ADC中运用余弦定理，可得
cos∠CAD＝＝，
则sin∠CAD＝
＝，
所以sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD)
＝×＋×＝＝，
在△ABC中运用正弦定理，可得
＝?BC＝××＝3.
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos
C＋(cos
A－sin
A)cos
B＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝2，b＝，求△ABC的面积．
解 (1)由已知得
－cos(A＋B)＋cos
Acos
B－sin
Acos
B＝0，
即sin
Asin
B－sin
Acos
B＝0，因为sin
A≠0，
所以sin
B－cos
B＝0，又cos
B≠0，所以tan
B＝，
又0
B＝，cos
B＝，b＝，
所以＝＝＝，
又a＝2，
所以sin
A＝＝，
因为a
因为A＋B＋C＝π，
所以sin
C＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝，
所以S△ABC＝absin
C＝.
16．已知函数f(x)＝sin
xcos
x＋sin2x＋(x∈R)．
(1)当x∈时，求函数f(x)的最小值和最大值；
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝，f(C)＝2，若向量m＝(1，a)与向量n＝(2，b)共线，求a，b的值．
解 (1)∵函数f(x)＝sin
xcos
x＋sin2x＋(x∈R)，
∴f(x)＝sin
2x＋＋
＝sin
2x－cos
2x＋1
＝sin＋1.
∵－≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，
∴1－≤sin＋1≤2，
∴f(x)的最小值是1－，最大值是2.
(2)∵f(C)＝sin＋1＝2，
∴sin＝1，
∵0
∵向量m＝(1，a)与向量n＝(2，b)共线，
∴b－2a＝0，即b＝2a.①
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos
，
即a2＋b2－ab＝3.②
由①②得a＝1，b＝2.
回扣4 数 列
1．牢记概念与公式
等差数列、等比数列
等差数列
等比数列
通项公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1(q≠0)
前n项和
Sn＝＝na1＋d
(1)q≠1，Sn＝＝；
(2)q＝1，Sn＝na1
2.活用定理与结论
(1)等差、等比数列{an}的常用性质
等差数列
等比数列
性质
①若m，n，p，q∈N
，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；②an＝am＋(n－m)d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列
①若m，n，p，q∈N
，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；②an＝amqn－m；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sm≠0)
(2)判断等差数列的常用方法
①定义法
an＋1－an＝d(常数)(n∈N
)?{an}是等差数列．
②通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N
)?{an}是等差数列．
③中项公式法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N
)?{an}是等差数列．
④前n项和公式法
Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N
)?{an}是等差数列．
(3)判断等比数列的常用方法
①定义法
＝q(q是不为0的常数，n∈N
)?{an}是等比数列．
②通项公式法
an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N
)?{an}是等比数列．
③中项公式法
a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N
)?{an}是等比数列．
3．数列求和的常用方法
(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．
(2)形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和．
(3)通项公式形如an＝(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和．
(4)通项公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a为常数，n∈N
)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论．
(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．
(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.
1．已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是±.
3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求时，无法正确赋值求解．
4．易忽视等比数列中公比q≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．
5．运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．
6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项．
7．裂项相消法求和时，裂项前后的值要相等，
如≠－，
而是＝.
8．通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成n为奇数和n为偶数两种情况的分段形式．
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S13>0，S14<0，若ak·ak＋1<0，则k等于( )
A．6
B．7
C．13
D．14
答案 B
解析 因为{an}为等差数列，S13＝13a7，S14＝7(a7＋a8)，
所以a7>0，a8<0，a7·a8<0，所以k＝7.
2．已知在等比数列{an}中，a1＋a2＝3，a3＋a4＝12，则a5＋a6等于( )
A．3
B．15
C．48
D．63
答案 C
解析 ＝q2＝4，所以a5＋a6＝(a3＋a4)·q2＝48.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为( )
A．6
B．7
C．12
D．13
答案 C
解析 ∵a1>0，a6a7<0，
∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，
又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，
∴S12>0，S13<0，
∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.
4．已知数列{an}满足＝9·(n∈N
)且a2＋a4＋a6＝9，则等于( )
A．－
B．3
C．－3
D.
答案 C
解析 由已知＝9·＝，所以an＋1＝an＋2，所以数列{an}是公差为2的等差数列，
a5＋a7＋a9＝(a2＋3d)＋(a4＋3d)＋(a6＋3d)
＝(a2＋a4＋a6)＋9d＝9＋9×2＝27，
所以＝＝－3.故选C.
5．已知正数组成的等比数列{an}，若a1·a20＝100，那么a7＋a14的最小值为( )
A．20
B．25
C．50
D．不存在
答案 A
解析 在正数组成的等比数列{an}中，因为a1·a20＝100，由等比数列的性质可得a1·a20＝a7·a14＝100，那么a7＋a14≥2
＝2＝20，当且仅当a7＝a14＝10时取等号，所以a7＋a14的最小值为20.
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N
)，则an等于( )
A．2n＋1
B．2n
C．2n－1
D．2n－2
答案 A
解析 an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－4－(2an－4)?an＋1＝2an，再令n＝1，∴S1＝2a1－4?a1＝4，
∴数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，
∴an＝4·2n－1＝2n＋1，故选A.
7．已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则等于( )
A．2
B．3
C．5
D．7
答案 B
解析 ∵在等差数列{an}中，a2，a4，a8成等比数列，
∴a＝a2a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，∴d2＝a1d，∵d≠0，∴d＝a1，∴＝＝3，故选B.
8．已知Sn为数列{an}的前n项和，若an(4＋cos
nπ)＝n(2－cos
nπ)(n∈N
)，则S20等于( )
A．31
B．122
C．324
D．484
答案 B
解析 由题意可知，因为an(4＋cos
nπ)＝n(2－cos
nπ)，
所以a1＝1，a2＝，a3＝3，a4＝，a5＝5，a6＝，…，
所以数列{an}的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，偶数项构成首项为，公差为的等差数列，
所以S20＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)
＝122，故选B.
9．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则(n∈N
)的最小值为( )
A．4
B．3
C．2－2
D.
答案 A
解析 由题意a1，a3，a13成等比数列，可得(1＋2d)2＝1＋12d，解得d＝2，故an＝2n－1，Sn＝n2，因此＝＝＝＝(n＋1)＋－2，由基本不等式知，＝(n＋1)＋－2≥2－2＝4，当且仅当n＝2时取得最小值4.
10．已知F(x)＝f－1是R上的奇函数，数列{an}满足an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)(n∈N
)，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝n－1
B．an＝n
C．an＝n＋1
D．an＝n2
答案 C
解析 由题意F(x)＝f?－1是R上的奇函数，即F(x)关于(0,0)对称，则f(x)关于对称．
即f(0)＋f(1)＝2，f?＝1，f?＋f?＝2，
f?＋f＝2，
则an＝f(0)＋f?＋…＋f?＋f(1)＝n＋1.
11．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
答案 20
解析 设公差为d，则a3＋a8＝2a1＋9d＝10，
3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋(a1＋6d)＝4a1＋18d＝2×10＝20.
12．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln
a1＋ln
a2＋…＋ln
a20＝________.
答案 50
解析 ∵数列{an}为等比数列，且a10a11＋a9a12＝2e5，
∴a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，∴a10a11＝e5，
∴ln
a1＋ln
a2＋…＋ln
a20＝ln(a1a2…a20)
＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝ln
e50＝50.
13．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，Sn＋1＋(－1)nSn＝2n，则S100＝____________.
答案 198
解析 当n为偶数时，Sn＋1＋Sn＝2n，Sn＋2－Sn＋1＝2n＋2，所以Sn＋2＋Sn＝4n＋2，故Sn＋4＋Sn＋2＝4(n＋2)＋2，所以Sn＋4－Sn＝8，由a1＝2知，S1＝2，又S2－S1＝2，所以S2＝4，因为S4＋S2＝4×2＋2＝10，所以S4＝6，所以S8－S4＝8，S12－S8＝8，…，S100－S96＝8，所以S100＝24×8＋S4＝192＋6＝198.
14．若数列{an}满足a2－a1>a3－a2>a4－a3>…>an＋1－an>…，则称数列{an}为“差递减”数列．若数列{an}是“差递减”数列，且其通项an与其前n项和Sn(n∈N
)满足2Sn＝3an＋2λ－1，则实数λ的取值范围是________．
答案
解析 当n＝1时，2a1＝3a1＋2λ－1，a1＝1－2λ，当n>1时，2Sn－1＝3an－1＋2λ－1，所以2an＝3an－3an－1，an＝3an－1，所以an＝3n－1，an－an－1＝3n－1－3n－2＝3n－2，依题意3n－2是一个递减数列，所以2－4λ<0，λ>.
15．Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg
an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg
99]＝1.
(1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1
000项和．
解 (1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，
解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n(n∈N
)．
b1＝[lg
1]＝0，b11＝[lg
11]＝1，b101＝[lg
101]＝2.
(2)因为bn＝
所以数列{bn}的前1
000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1
893.
16．各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足：Sn＝a＋an＋(n∈N
)．
(1)求an；
(2)设数列的前n项和为Tn，证明：对一切正整数n，都有Tn<.
(1)解 由Sn＝a＋an＋，①
可知当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1＋，②
由①－②化简得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
又数列{an}各项为正数，
∴当n≥2时，an－an－1＝2，故数列{an}成等差数列，公差为2，又a1＝S1＝a＋a1＋，解得a1＝1，
∴an＝2n－1(n∈N
)．
(2)证明 Tn＝＋＋＋…＋＋
＝＋＋＋…＋＋.
∵＝<
＝＝，
∴Tn＝＋＋＋…＋＋<1＋＋＋…＋＋
＝1＋
＝1＋－<.
回扣5 概率与统计
1．分类加法计数原理
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法(也称加法原理)．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法(也称乘法原理)．
3．排列
(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．
(3)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．
(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝1.
4．组合
(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．
(3)组合数的计算公式：C＝＝＝，由于0！＝1，所以C＝1.
(4)组合数的性质：①C＝C；②C＝C＋C.
5．二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N
)．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk.
6．二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.
7．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C.
(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k<时，二项式系数是递增的；当k>时，二项式系数是递减的．
当n是偶数时，那么其展开式中间一项的二项式系数最大．
当n是奇数时，那么其展开式中间两项和的二项式系数相等且最大．
(3)各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，
即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
8．概率的计算公式
(1)古典概型的概率计算公式
P(A)＝；
(2)互斥事件的概率计算公式
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
(3)对立事件的概率计算公式
P()＝1－P(A)；
(4)几何概型的概率计算公式
P(A)＝.
(5)条件概率公式
P(B|A)＝.
9．抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样．
(1)从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，则每个个体被抽到的概率都为；
(2)分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．
10．统计中四个数据特征
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．
(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．
(3)平均数：样本数据的算术平均数，
即＝(x1＋x2＋…＋xn)．
(4)方差与标准差
方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
标准差：
s＝.
11．离散型随机变量
(1)离散型随机变量的分布列的两个性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
(2)期望公式
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
(3)期望的性质
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；
③若X服从两点分布，则E(X)＝p.
(4)方差公式
D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，标准差为.
(5)方差的性质
①D(aX＋b)＝a2D(X)；
②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；
③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(6)独立事件同时发生的概率计算公式
P(AB)＝P(A)P(B)．
(7)独立重复试验的概率计算公式
Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.
12．线性回归
线性回归方程＝x＋一定过样本点的中心(，)．
13．独立性检验
利用随机变量K2＝来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大．
14．正态分布
如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是：①P(μ－σ
1．关于两个计数原理应用的注意事项
(1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
(2)混合问题一般是先分类再分步．
(3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．
(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．
2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．
3．排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题排除法处理．(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．(10)正难则反，等价条件．
4．对于二项式定理应用时要注意
(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．
项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．
(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系．
(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
(4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a，b.
5．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．
6．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
7．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．
8．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．
9．易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误．
1．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )
A．224
B．112
C．56
D．28
答案 B
解析 根据分层抽样，从8名女生中抽取2人，从4名男生中抽取1人，所以抽取2名女生1名男生的方法数为CC＝112.
2．采用系统抽样方法从学号为1到50的50名学生中选取5名参加测试，则所选5名学生的学号可能是( )
A．1,2,3,4,5
B．5,26,27,38,49
C．2,4,6,8,10
D．5,15,25,35,45
答案 D
解析 采用系统抽样的方法时，即将总体分成均衡的若干部分，分段的间隔要求相等，间隔一般为总体的个数除以样本容量，据此即可得到答案．采用系统抽样间隔为＝10，只有D答案中的编号间隔为10.故选D.
3．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有( )
A．210种
B．420种
C．630种
D．840种
答案 B
解析 因为要求3位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1男2女或2男1女．若选出的3位教师是1男2女，则共有CCA＝180(种)不同的选派方法；若选出的3位教师是2男1女，则共有CCA＝240(种)不同的选派方法，所以共有180＋240＝420(种)不同的方案，故选B.
4．有5张卡片，上面分别写有数字1,2,3,4,5.从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 方法一 从5张卡片中随机抽2张的结果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，2张卡片上的数字之积为偶数的有7种，故所求概率P＝.
方法二 从5张卡片中抽取2张的结果有C＝10(种)，2张卡片上的数字之积为奇数的有C＝3(种)，故所求概率为P＝＝.
5．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数，中位数的估计值为( )
A．62,62.5
B．65,62
C．65,63.5
D．65,65
答案 D
解析 选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横坐标即为中位数．最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65；前两个矩形的面积为(0.01＋0.02)×10＝0.3，由于0.5－0.3＝0.2，则×10＝5，所以中位数为60＋5＝65.故选D.
6．道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线须继续行进，某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯48秒，红灯47秒，黄灯5秒，小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口不等待的概率为( )
A．0.95
B．0.05
C．0.47
D．0.48
答案 D
解析 由题意得小张路过该路口不等待的概率为＝0.48.
7．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮事件D＝ABC∪AB∪AC，且A，B，C相互独立，ABC，AB，AC互斥，所以P(D)＝P(ABC∪AB∪AC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＝××＋××＋××＝，故选B.
8．在二项式n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为( )
A．32
B．－32
C．0
D．1
答案 C
解析 依题意得所有二项式系数的和为2n＝32，解得n＝5.
因此，令x＝1，则该二项展开式中的各项系数的和等于5＝0，故选C.
9．某天连续有7节课，其中语文、英语、物理、化学、生物5科各1节，数学2节．在排课时，要求生物课不排第1节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同排法的种数为( )
A．408
B．480
C．552
D．816
答案 A
解析 数学在第(1,2)节，从除英语外的4门课中选1门安排在第3节，剩下的任意排，故有CA＝96(种)排法；数学在第(2,3)节，从除英语、生物外的3门课中选1门安排在第1节，从除英语外剩下的3门课中再选1门安排在第4节，剩下的任意排，故有CCA＝54(种)排法；数学在(3,4)，(4,5)，(5,6)情况一样，当英语在第1节时，其他任意排，故有A＝24(种)排法，当英语不在第1节时，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第1节，再从除英语外剩下的3门中选2门放在数学课前1节和后1节，剩下的任意排，有CAA＝36(种)排法，故共有3×(24＋36)＝180(种)排法；数学在第(6,7)节时，当英语在第一节时，其他任意排，故有A＝24(种)排法，当英语不在第1节，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第1节，再从除英语外的剩下的3门中选1门放在第5节，剩下的任意排，有CCA＝54(种)排法，故有24＋54＝78(种)排法，根据分类加法计数原理，共有96＋54＋180＋78＝408(种)排法．故选A.
10．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得线性回归方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为( )
A．11.4万元
B．11.8万元
C．12.0万元
D．12.2万元
答案 B
解析 由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴
＝8－0.76×10＝0.4，
∴线性回归方程
＝0.76x＋0.4，
∴当x＝15时，
＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
11．已知等比数列{an}的第5项是二项式4展开式中的常数项，则a3·a7＝________.
答案 36
解析 4的展开式的通项为Tk＋1＝Cx4－2k，
令4－2k＝0，得k＝2，∴常数项为C＝6，即a5＝6.
∵{an}为等比数列，∴a3·a7＝a＝62＝36.
12．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插入方法共有________种．
答案 336
解析 由题意得3本不同的书，插入到原来的5本不同的书中，可分为三步，第一步：先插入第一本，插入到原来5本不同的书排成的一排所形成的6个间隔中，有A＝6(种)方法；第二步：再插入第二本，插入到原来6本不同的书排成的一排所形成的7个间隔中，有A＝7(种)方法；第三步：再插入第三本，插入到原来7本不同的书排成的一排所形成的8个间隔中，有A＝8(种)方法，共有6×7×8＝336(种)不同的插入方法．
13．(x2－x＋1)10的展开式中x3的系数为________．
答案 －210
解析 (x2－x＋1)10＝[1＋(x2－x)]10的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(x2－x)k，对于(x2－x)k通项公式为
Tm＋1＝Cx2k－2m(－x)m＝(－1)mCx2k－m，
令2k－m＝3且m≤k≤10，m∈N，k∈N，
得k＝2，m＝1或k＝3，m＝3，(x2－x＋1)10的展开式中x3的系数为CC·(－1)＋CC·(－1)3＝－210.
14．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为η，若η的期望E(η)>，则p的取值范围是________．
答案
解析 由已知得P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1－p)p，
P(η＝3)＝(1－p)2，则E(η)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，解得p>或p<，
又p∈(0,1)，所以p∈.
15．某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水(A级水)达到环保标准(简称达标)的概率为p(0
现有以下四种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；
方案四：混在一起化验．
化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
(1)若p＝，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；
(2)若p＝，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一，二，四中哪个最“优”？
(3)若“方案三”比“方案四”更“优”，求p的取值范围．
解 (1)该混合样本达标的概率是2＝，
所以根据对立事件原理，不达标的概率为1－＝.
(2)方案一：逐个检测，检测次数为4.
方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为；若不达标则检测次数为3，概率为.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6.
其分布列如下，
ξ2
2
4
6
P
2
C××
2
可求得方案二的期望为E(ξ2)＝2×＋4×＋6×＝，
方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5.
其分布列如下，
ξ4
1
5
P
4
1－4
可求得方案四的期望为E(ξ4)＝1×＋5×＝.
比较可得E(ξ4)
η3
2
5
P
p3
1－p3
E(η3)＝2·p3＋5(1－p3)＝5－3p3；
方案四：设化验次数为η4，η4可取1,5.
η4
1
5
P
p4
1－p4
E(η4)＝1·p4＋5(1－p4)＝5－4p4；
由题意得E(η3)
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50
kg，新养殖法的箱产量不低于50
kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
箱产量<50
kg
箱产量≥50
kg
总计
旧养殖法
新养殖法
总计
(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．
附：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
K2＝.
解 (1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50
kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50
kg”．
由题意知，P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．
旧养殖法的箱产量低于50
kg的频率为
(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，
故P(B)的估计值为0.62.
新养殖法的箱产量不低于50
kg的频率为
(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，
故P(C)的估计值为0.66.
因此事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.409
2.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量<50
kg
箱产量≥50
kg
总计
旧养殖法
62
38
100
新养殖法
34
66
100
总计
96
104
200
K2＝≈15.705.
由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50
kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，
箱产量低于55
kg的直方图面积为
(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋≈52.35(kg)．
回扣6 立体几何与空间向量
1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系
2．三视图
(1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．
(2)三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样．
3．柱、锥、台、球体的表面积和体积
侧面展开图
表面积
体积
直棱柱
长方形
S＝2S底＋S侧
V＝S底·h
圆柱
长方形
S＝2πr2＋2πrl
V＝πr2·l
棱锥
由若干三角形构成
S＝S底＋S侧
V＝S底·h
圆锥
扇形
S＝πr2＋πrl
V＝πr2·h
棱台
由若干个梯形构成
S＝S上底＋S下底＋S侧
V＝(S＋＋S′)·h
圆台
扇环
S＝πr′2＋π(r＋r′)l＋πr2
V＝π(r2＋rr′＋r′2)·h
球
S＝4πr2
V＝πr3
4.平行、垂直关系的转化示意图
(1)
(2)两个结论
①?a∥b，②?b⊥α.
5．用空间向量证明平行、垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．则有：
(1)线面平行
l∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)线面垂直
l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
(3)面面平行
α∥β?μ∥v?μ＝λv?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.
(4)面面垂直
α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
6．用向量求空间角
(1)直线l1，l2的夹角θ满足cos
θ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量)．
(2)直线l与平面α的夹角θ满足sin
θ＝|cos〈l，n〉|(其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)．
(3)平面α，β的夹角θ满足cos
θ＝|cos〈n1，n2〉|，则二面角α—l—β的平面角为θ或π－θ(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)．
1．混淆“点A在直线a上”与“直线a在平面α内”的数学符号关系，应表示为A∈a，a?α.
2．在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主．
3．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数.
4．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m?α的限制条件．
5．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系．
6．几种角的范围
两条异面直线所成的角：0°<α≤90°；
直线与平面所成的角：0°≤α≤90°；
二面角：0°≤α≤180°.
7．空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错．
1．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )
A.
B.
C.
D．π
答案 D
解析 由三视图可知，该几何体为球的，其半径为1，则体积V＝××π×13＝π.
2．直三棱柱ABC—A1B1C1的直观图及三视图如图所示，D为AC的中点，则下列命题中是假命题的是( )
A．AB1∥平面BDC1
B．A1C⊥平面BDC1
C．直三棱柱的体积V＝4
D．直三棱柱的外接球的表面积为4π
答案 D
解析 由三视图可知，直三棱柱ABC—A1B1C1的侧面B1C1CB是边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB＝BC＝2.
连接B1C交BC1于点O，连接OD.
在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，
∴OD∥AB1，
又OD?平面BDC1，AB1?平面BDC1，
∴AB1∥平面BDC1.故A正确；
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
∴AA1⊥BD.又AB＝BC＝2，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
又AA1∩AC＝A，AA1，AC?平面AA1C1C，
∴BD⊥平面AA1C1C，
又A1C?平面AA1C1C，
∴BD⊥A1C.
又A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，
B1C1，B1B?平面B1C1CB，
∴A1B1⊥平面B1C1CB，
又BC1?平面B1C1CB，
∴A1B1⊥BC1.
∵BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，
A1B1，B1C?平面A1B1C，
∴BC1⊥平面A1B1C，
又A1C?平面A1B1C，
∴BC1⊥A1C，
又BD∩BC1＝B，BD，BC1?平面BDC1，
∴A1C⊥平面BDC1.故B正确；
V＝S△ABC×C1C＝×2×2×2＝4，故C正确；
此直三棱柱的外接球的半径为，其表面积为12π，D错．故选D.
3．已知直线l，m和平面α，则下列结论正确的是( )
A．若l∥m，m?α，则l∥α
B．若l⊥α，m?α，则l⊥m
C．若l⊥m，l⊥α，则m∥α
D．若l∥α，m?α，则l∥m
答案 B
解析 若l∥m，m?α，则l∥α或l?α，故A错误；若l⊥α，m?α，则l⊥m，B正确；若l⊥m，l⊥α，则m?α或m∥α，故C错误；若l∥α，m?α，则l∥m或l，m异面，故选B.
4．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l
B．m∥n
C．n⊥l
D．m⊥n
答案 C
解析 由题意知，α∩β＝l，∴l?β，
∵n⊥β，∴n⊥l.
故选C.
5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
答案 D
解析 假设α∥β，由m⊥平面α，n⊥平面β，得m∥n，这与已知m，n为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l1，则l1⊥m，l1⊥n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，
所以l1∥l.
6.如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直于平面CB1D1；③直线AH和BB1所成的角为45°；④AH的延长线经过点C1，其中假命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 B
解析 ∵AB＝AA1＝AD，BA1＝BD＝A1D，
∴三棱锥
A－BA1D为正三棱锥，
∴点H是△A1BD的垂心，故①正确；
∵平面A1BD与平面B1CD1平行，AH⊥平面A1BD，
∴AH⊥平面CB1D1，故②正确；
∵AA1∥BB1，
∴∠A1AH就是直线AH和BB1所成的角，
在直角三角形AHA1中，
∵AA1＝1，A1H＝××＝，
∴sin∠A1AH＝≠，故③错误；
根据正方体的对称性得到AH的延长线经过点C1，
故④正确，故选B.
7．将正方体纸盒展开如图，则直线AB，CD在原正方体中的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交成60°角
D．异面且成60°角
答案 D
解析 如图，直线AB，CD异面．因为CE∥AB，
所以∠ECD即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠ECD＝60°.
8．长方体的顶点都在同一球面上，其同一顶点处的三条棱长分别为3,4,5，则该球面的表面积为( )
A．25π
B．50π
C．75π
D.π
答案 B
解析 设球的半径为R，由题意可得(2R)2＝32＋42＋52＝50，∴4R2＝50，球的表面积为S＝4πR2＝50π.
9.如图，三棱锥A－BCD的棱长全相等，点E为棱AD的中点，则直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 方法一 取AB中点G，连接EG，CG.
∵E为AD的中点，∴EG∥BD.
∴∠GEC为CE与BD所成的角．设AB＝1，
则EG＝BD＝，
CE＝CG＝，
∴cos∠GEC＝
＝
＝.
方法二 设AB＝1，则·＝(－)·(－)＝·(－)
＝2－·－·＋·
＝－cos
60°－cos
60°＋cos
60°＝.
∴cos〈，〉＝＝＝，故选A.
10．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，
则O(0,0,0)，B(，0,0)，A(0，－1,0)，B1(，0,2)，则1＝(，1,2)，
则＝(－，0,0)为侧面ACC1A1的法向量，
故sin
θ＝＝.
11.如图，在空间四边形ABCD中，点M∈AB，点N∈AD，若＝，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．
答案 平行
解析 由＝，得MN∥BD.
而BD?平面BDC，MN?平面BDC，
所以MN∥平面BDC.
12．如图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的有________条．
答案 6
解析 如图，连接EG，EH，FG，EF，HG，
∵EH∥FG且EH＝FG，
∴EFGH四点共面，由EG∥AB′，EH∥AD′，
EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，
可得平面EFGH与平面AB′D′平行，
∴符合条件的共有6条．
13．点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成角的大小是________．
答案
解析 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方形ABCD的边长为1，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1,0)，因此
cos〈，〉＝
＝，
因此PB和AC所成角的大小为.
14．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：
①?β∥γ；②?m⊥β；
③?α⊥β；④?m∥α.
其中，正确的命题是________．(填序号)
答案 ①③
解析 ①中平行于同一平面的两平面平行是正确的；②中m，β可能平行，相交或直线在平面内；③中由面面垂直的判定定理可知结论正确；④中m，α可能平行或线在面内．
15．如图(1)，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图(2)所示的五棱锥P－ABFED，且PB＝.
(1)求证：BD⊥PA；
(2)求四棱锥P－BFED的体积．
(1)证明 ∵点E，F分别是边CD，CB的中点，
∴BD∥EF.
∵菱形ABCD的对角线互相垂直，
∴BD⊥AC，
∴EF⊥AC，
∴EF⊥AO，EF⊥PO.
∵AO?平面POA，PO?平面POA，AO∩PO＝O，
∴EF⊥平面POA，
∴BD⊥平面POA，
又PA?平面POA，
∴BD⊥PA.
(2)解 设AO∩BD＝H.
连接BO，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝4，BH＝2，
HA＝2，HO＝PO＝，
在Rt△BHO中，BO＝＝，
在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2，
∴PO⊥BO.
∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF?平面BFED，
BO?平面BFED，
∴OP⊥平面BFED，
梯形BFED的面积S＝(EF＋BD)·HO＝3，
∴四棱锥P－BFED的体积
V＝S·PO＝×3×＝3.
16.如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤1)．
(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE；
(2)若二面角C－AE－D的大小为60°，求λ的值．
(1)证明 如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，E(0,0，λa)．
∴＝(－a，a,0)，＝(－a，－a，λa)，
·＝a2－a2＋0·λa＝0，
∴·＝0对任意λ∈(0,1]都成立，即对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE.
(2)解 显然n＝(0,1,0)是平面ADE的一个法向量，
设平面ACE的法向量为m＝(x，y，z)，
∵＝(－a，a,0)，＝(－a,0，λa)，∴
即∴
取z＝1，则x＝y＝λ，∴m＝(λ，λ，1)，
∵二面角C－AE－D的大小为60°，
∴|cos〈n，m〉|＝＝＝，
∵λ∈(0,1]，∴λ＝.
回扣7 解析几何
1．直线方程的五种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．
(4)截距式：＋＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．
2．直线的两种位置关系
当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：
(1)两直线平行l1∥l2?k1＝k2.
(2)两直线垂直l1⊥l2?k1·k2＝－1.
提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．
3．三种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离
|AB|＝.
(2)点到直线的距离d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0)．
(3)两平行线间的距离d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．
提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等．
4．圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
5．直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．
(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．
6．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)
|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M
标准方程
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
图形
几何性质
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≥a
x≥0
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±a,0)
(0,0)
对称性
关于x轴，y轴和原点对称
关于x轴对称
焦点
(±c,0)
轴
长轴长2a，短轴长2b
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝＝
(0
e＝1
准线
x＝－
渐近线
y＝±x
7.直线与圆锥曲线的位置关系
判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．
弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝
|y1－y2|.
8．解决范围、最值问题的常用解法
(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解．
(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．
(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．
9．定点问题的思路
(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
10．求解定值问题的两大途径
(1)
→
(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．
11．解决存在性问题的解题步骤
第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；
第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；
第三步：得出结论.
1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．
2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为＋＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．
3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.
4．在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合．
5．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式，导致错解．
6．在圆的标准方程中，误把r2当成r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件．
7．易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．
8．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．
9．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误．
10．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．
11.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、
弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行．
1．直线2mx－(m2＋1)y－＝0的倾斜角的取值范围为( )
A．[0，π)
B.∪
C.
D.∪
答案 C
解析 由已知可得m≥0，直线的斜率k＝.当m＝0时，k＝0；当m>0时，k＝＝≤＝1，又因为m>0，所以0
2．直线ax＋by－a－b＝0(a≠0)与圆x2＋y2－2＝0的位置关系为( )
A．相离
B．相切
C．相交或相切
D．相交
答案 C
解析 由已知可得，圆的圆心坐标为(0,0)，半径为，
圆心到直线的距离为，其中(a＋b)2≤2(a2＋b2)，所以圆心到直线的距离为≤，所以直线与圆相交或相切，故选C.
3．曲线x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )
A.
B．2
C.＋1
D.－1
答案 C
解析 因为圆心(0,1)到直线x－y－1＝0的距离为＝>1，所以半圆x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为＋1，到直线x－y－1＝0的距离的最小值为点(0,0)到直线x－y－1＝0的距离，为，
所以a－b＝＋1－＝＋1.
4．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于( )
A．4
B．3
C．2
D.
答案 C
解析 由于圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，半径r＝2，而圆心O(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1，∴|AB|＝2＝2＝2.
5．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
答案 B
解析 O1(－2,2)，r1＝1，O2(2,5)，r2＝4，
∴|O1O2|＝5＝r1＋r2，
∴圆O1和圆O2外切，
∴与圆O1和圆O2都相切的直线有3条．故选B.
6．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A.
B.
C.
D．1
答案 C
解析 如图，
由题意可知F，设P点坐标为，
显然，当y0<0时，kOM<0；
当y0>0时，kOM>0，要求kOM的最大值，不妨设y0>0，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，kOM＝＝≤＝，当且仅当y＝2p2时，等号成立，故选C.
7．已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线－＝1(a>0)相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为( )
A．3
B．2
C.
D.
答案 A
解析 依题意知，
抛物线的准线为x＝－2，代入双曲线方程得
y＝±·，
不妨设A.
∵△FAB是等腰直角三角形，
∴＝p＝4，求得a＝，
∴双曲线的离心率为e＝＝＝＝3，
故选A.
8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2
B．3
C．6
D．8
答案 C
解析 由题意得F(－1,0)，设点P(x0，y0)，
则y＝3(－2≤x0≤2)．
·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y
＝x＋x0＋3
＝(x0＋2)2＋2.
又因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·取得最大值，最大值为6，故选C.
9．已知函数y＝f(x)＝ax＋1－2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，设抛物线E：y2＝4x上任意一点M到准线l的距离为d，则d＋的最小值为( )
A．5
B.
C.
D.
答案 C
解析 当x＋1＝0，即x＝－1时，y＝－1，故A(－1，－1)，设抛物线的焦点为F(1,0)，根据抛物线的定义可知，当F、A、M三点共线时d＋的最小值为＝.
10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2＝30°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是( )
A．7－4
B．2－
C.－1
D．4－2
答案 B
解析 由题意设椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1，且c＝c1.
由题意·＝1，(
)
由∠F1PF2＝30°及余弦定理，得
椭圆中：4c2＝4a2－(2＋)|PF1||PF2|，
双曲线中：4c2＝4a＋(2－)|PF1||PF2|，
可得b＝(7－4)b2，代入(
)式，得
c4＝aa2＝(c2－b)a2＝(8－4)c2a2－(7－4)a4，
即e4－(8－4)e2＋(7－4)＝0，
得e2＝7－4，即e＝2－，故选B.
11．已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，则m的值为________；动直线l：mx－y＝1被圆C：x2－2x＋y2－8＝0截得的最短弦长为________．
答案 0或2 2
解析 由两直线垂直的充要条件得m×1＋(－1)×m(m－1)＝0，∴m＝0或m＝2；圆的半径为3，动直线l过定点(0，－1)，当圆心(1,0)到直线的距离最长，即d＝＝时，弦长最短，此时弦长为2＝2.
12．已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝________.
答案 4
解析 设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝2，|AB|＝2，所以|OM|＝3，解得m＝－，
由解得A(－3，)，B(0,2)，
则AC的直线方程为y－＝－(x＋3)，BD的直线方程为y－2＝－x，令y＝0，解得C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4.
13．已知F1，F2是双曲线－＝1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值为________．
答案 16
解析 由双曲线方程－＝1知，2a＝8，
由双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2a＝8，①
|QF2|－|QF1|＝2a＝8，②
①＋②得|PF2|＋|QF2|－(|QF1|＋|PF1|)＝16.
∴|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝16.
14．在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过定点________．
答案 (0,2)
解析 设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝x2，则y′＝x，则在点A处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，化简得y＝x1x－y1，同理，在点B处的切线方程为y＝x2x－y2.又点Q(t，－2)的坐标满足这两个方程，代入得－2＝x1t－y1，－2＝x2t－y2，则说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝xt－y，即直线AB的方程为y－2＝tx，因此直线AB恒过定点(0,2)．
15．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解 (1)由题设可知，直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与圆C交于两点，所以<1.
解得
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
Δ＝16(1＋k)2－4(1＋k2)×7
＝－12k2＋32k－12>0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
经检验，满足Δ>0.
所以l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在l上，所以|MN|＝2.
16．已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝r2与圆F2：(x－1)2＋y2＝(4－r)2(0
(2)证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标；
(3)求△ABM的面积的最大值．
解 (1)设圆F1，圆F2的公共点为Q，
由已知得|F1F2|＝2，|QF1|＝r，|QF2|＝4－r，
故|QF1|＋|QF2|＝4>|F1F2|，
因此曲线E是长轴长2a＝4，焦距2c＝2的椭圆，且b2＝a2－c2＝3，所以曲线E的方程为＋＝1.
(2)由曲线E的方程，得上顶点M(0，)，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，x1≠0，x2≠0，若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x＝x1，故y1＝－y2，且y＝y＝3，因此kMA·kMB＝·＝－＝，与已知不符，因此直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋m，代入椭圆E的方程＋＝1，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0.(
)
因为直线AB与曲线E有公共点A，B，
所以方程(
)有两个非零不等实根x1，x2，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
又kAM＝＝，
kMB＝＝，
由kAM·kBM＝，
得4(kx1＋m－)(kx2＋m－)＝x1x2，
即(4k2－1)x1x2＋4k(m－)(x1＋x2)＋4(m－)2＝0，
所以4(m2－3)(4k2－1)＋4k(m－)(－8km)＋4(m－)2(3＋4k2)＝0，
化简得m2－3m＋6＝0，故m＝或m＝2，
结合x1x2≠0知，m＝2，即直线AB恒过定点N(0,2)．
(3)由Δ>0且m＝2得k<－或k>，
又S△ABM＝|S△ANM－S△BNM|＝|MN|·|x2－x1|
＝
＝
＝＝≤，
当且仅当4k2－9＝12，即k＝±时，△ABM的面积最大，最大值为.
回扣8 函数与导数
1．函数的定义域和值域
(
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