（导学教程）2012届高三数学（理）二轮复习试题：专题六第一讲综合验收评估（北师大版）

一、选择题
1．(2011·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于
A．80　　　　　　　　　　　 B．40
C．20 D．10
解析　(1＋2x)5的第r＋1项为Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr，
令r＝2，得x2的系数为22·C＝40.
答案　B
2．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法种数为
A．18 B．24
C．30 D．36
解析　解法一　如丙、丁分到同一个班级，则方法数就是三个元素的一个全排列，即A；若丙分到甲或乙所在的班级，则丁只能独自一个班级，方法数是2A；同理，若丁分到甲或乙所在的班级，则丙独自一个班级，方法数是2A.根据分类加法计数原理，总的方法数是5A＝30.
解法二　总的方法数是CA＝36，甲、乙被分到同一个班级的方法数是A＝6，故甲、乙不分到同一个班级的方法数是36－6＝30.
答案　C
3．在二项式n的展开式中，各项系数之和为4，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为
A．6 B．9
C．12 D．18
解析　令x＝1得各项系数的和为4n，各项的二项式系数的和等于2n，根据已知得方程4n＋2n＝72，解得n＝3.二项展开式的通项公式为Tr＋1＝C()3－rr＝3rCx－r，显然当r＝1时，通项是常数，这个常数是9.故选B.
答案　B
4．某中学高三年级共有12个班级，在即将进行的月考中，拟安排12位班主任老师监考数学，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任老师监考，则不同的监考安排方案共有
A．4 455种 B．495种
C．4 950种 D．7 425种
解析　从12位老师中选出8位，他们各自监考自己的班级，方法数是C；剩下的4位老师都不监考自己的班级，记4位老师为甲、乙、丙、丁，他们各自的班级分别为A，B，C，D，则甲只能在B，C，D中选一个，有3种方法，假设甲在B，此时若乙在A，则丙、丁只能互换班级，若乙在C，D之一，也各有1种方法．甲在C，D时也分别有3种方法，故这时的安排方法数是3×(1＋1＋1)＝9.根据分步乘法计数原理，监考安排方案共有C·9＝4 455(种)，故选A.
答案　A
5．如图所示，在1×6的矩形长条格中，两格涂红色，两格涂黄色，两格涂蓝色，但要求至少有一种颜色涂在了相邻的两格，则不同的涂色方法总数为
A．90 B．60
C．30 D．10
解析　没有限制的涂法有CCC＝90(种)；若没有任何两种颜色涂在相邻两格，可以这样排列颜色，首先在两个位置上排列其中一种颜色，只有一种排法，在这种颜色隔出的三个空位上选两个排列其中的第二种颜色，有方法数C＝3，然后在这四个位置隔出的五个空位中选出两个位置，排列第三种颜色，有方法数C＝10，这样排列颜色的方法数是30，最后把这样的颜色排列顺次涂在六个格子内，这样得到的就是没有任何一种颜色涂在相邻两格的方法数．故至少有一种颜色涂在了相邻的两格的方法数是90－30＝60.
答案　B
6．如图所示，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于4×2×3的长方体框架(由24个棱长为1个单位长度的正方体框架组合而成)．一建筑工人从A点沿脚手架到B点，每步走1个单位长度，且不连续向上攀登，则其行走的最近路线共有
A．150条 B．525条
C．840条 D．1 260条
解析　第一步走完长4、宽2的矩形框架，相当于6步中有两步走宽，故有C种走法，第二步向上攀登时，相当于在6个位置的空隙中不相邻的插入三个元素，故有C种方法，∴从A点沿脚手架到B点，共有C·C＝525种走法，故选B.
答案　B
二、填空题
7．若(x－a)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，且a5＝56，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝________.
解析　由题知a5＝(－a)3C＝56，∴a＝－1，令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28.
答案　28
8．(2011·广东六校联考)某国家代表队要从6名短跑运动员中选4人参加亚运会4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有________种参赛方法．
解析　分情况讨论．①甲、乙均不参赛有A＝24种参赛方法，②甲、乙有且只有一人参赛有CC(4！－3！)＝144种，③甲、乙两人均参赛有C(4！－2×3！＋2！)＝84种参赛方法．故共有24＋144＋84＝252种参赛方法．
答案　252
9．若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝________.
解析　a9与x3无关，变换x10＝[－1＋(x＋1)]10，得a9＝C(－1)9＝－10.
答案　－10
三、解答题
10．在一次射击比赛中，有8个泥制靶子排成如图所示的三列(其中两列有3个靶子，一列有2个靶子)，一位神枪手按下面的规则打掉所有的靶子：(1)首先他选择将要有一个靶子打掉的一列，(2)然后在被选中的一列中打掉最下面的一个没被打掉的靶子．那么打掉这8个靶子共有多少种顺序？
解析　解法一　在以这8个靶子为元素的排列(被打掉的顺序)中，同一列靶子间一定是按由下至上的顺序被打掉，即同一类元素间的顺序一定，因而所求顺序有＝560(种)．
解法二　将8个泥制的靶子按被打掉的先后顺序排成一列，每一种排列对应一种顺序．
第一步，安排左列3个靶子被打掉后的位置，有C种方法；
第二步，安排中列2个靶子被打掉后的位置，有C种方法；
第三步，安排右列3个靶子被打掉后的位置，有C种方法．
故共有CCC＝560种方法．
11．二项式(axm＋bxn)2 011(a＞0，b＞0，m，n≠0)中有2 010m＋n＝0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项．
(1)试求常数项是第几项；
(2)求的最值．
解析　(1)当Tr＋1＝C(axm)2 011－r(bxn)r＝Ca2 011－rbrx(2 011－r)m＋nr为常数项时，则(2 011－r)m＋nr＝0，又2 010m＋n＝0，从而r＝1，所以它是第2项．
(2)∵第2项又是系数最大的项，
∴
从而即1 005≤≤2 011，
所以的最大值为2 011，最小值为1 005.
12．有4个不同的小球，4个不同的盒子，现要把球全部放进盒子内．
(1)恰有1个盒子不放球，共有多少种方法；
(2)恰有2个盒子不放球，共有多少种方法？
解析　(1)确定1个空盒有C种方法；选2个球放在一起有C种方法．
把放在一起的2个小球看成“一个”整体，则意味着将3个球分别放入3个盒子内，有A种方法．故共有CCA＝144种方法．
(2)确定2个空盒有C种方法.4个球放进2个盒子可分成(3,1)，(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法，
第二类有序均匀分组有·A种方法．
故共有C(CCA＋·A)＝84种方法．
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