（导学教程）2012届高三数学（理）二轮复习试题：专题七第三讲综合验收评估（北师大版）

一、选择题
1．(2011·长沙模拟)若实数x、y满足＋＝1，则x2＋2y2有
A．最大值3＋2　　 　 　 B．最小值3＋2
C．最大值6 D．最小值6
解析　x2＋2y2＝(x2＋2y2)＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当x＝±y时，等号成立．
答案　B
2．不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[3，＋∞) D．(－∞，－3]∪[2，＋∞)
解析　由|x－1|＋|x＋2|≥|(x－1)－(x＋2)|＝3得在数轴上两个界点x＝－3和x＝2，故x≤－3或x≥2，故选D.
答案　D
3．已知a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为
A．3 B．6
C．9 D．12
解析　把a＋b＋c＝1代入＋＋得到＋＋
＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.
答案　C
4．不等式|x2－1|≤1的解集是
A．[－，] B．[－1,1]
C．(－，) D．[－2,2]
解析　原不等式可化为－1≤x2－1≤1，
即0≤x2≤2，则x∈[－，]．
答案　A
5．不等式3≤|5－2x|＜9的解集为
A．(－2,1] B．[－1,1]
C．[4,7) D．(－2,1]∪[4,7)
解析　
从而可得原不等式的解为(－2,1]∪[4,7)．
答案　D
6．若x，y，a∈R＋，且＋≤a恒成立，则a的最小值是
A. B.
C．1 D.
解析　原不等式可化为a≥，
而＜＝＝1，
∴a≥1.
答案　C
二、填空题
7．已知关于x的不等式|3x－1|＜a有唯一的整数解，则实数a的取值范围是________．
解析　由题意知，使|3x－1|的整数值最小时x＝0合适，而第二小的x＝1不合适，代入得|0－1|＜a，|3－1|≥a，所以1＜a≤2.
答案　1＜a≤2
8．若不等式|x－2|＋|x＋3|＜a的解集为 ，则a的取值范围为________．
解析　|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，
要使不等式的解集是 ，则a≤5.
答案　a≤5
9．对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|·(|x－1|＋|x－2|)恒成立，则实数x的取值范围是________．
解析　原不等式可变形为≥|x－1|＋|x－2|，
而＝＋≥＝2，
所以只要|x－1|＋|x－2|≤2即可，解得x∈.
答案　
三、解答题
10．(2011·江苏)解不等式x＋|2x－1|＜3.
解析　原不等式可化为
或
解得≤x＜或－2＜x＜.
所以原不等式的解集是.
11．(2011·辽宁)已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.
(1)证明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．
解析　(1)证明　f(x)＝|x－2|－|x－5|＝
当2＜x＜5时，－3＜2x－7＜3，所以－3≤f(x)≤3.
(2)由(1)可知，
当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；
当2＜x＜5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x＜5}；
当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．
综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x≤6}．
12．(2011·课标全国卷)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a＞0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
解析　(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.
由此可得x≥3或x≤－1.
故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．
(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.
此不等式化为不等式组
或
即或
因为a＞0，所以不等式组的解集为.
由题设可得－＝－1，故a＝2.
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