（导学教程）2012届高三数学（理）二轮复习试题：专题七第一讲综合验收评估（北师大版）

一、选择题
1．(2011·汕头模拟)从球外一点引球的切线，则
A．可以引无数条切线，所有切点组成球的一个大圆
B．可以引无数条切线，所有切点组成球的一个小圆
C．只可以引两条切线，两切点的连线过球心
D．只可以引两条切线，两切点的连线不过球心
解析　从球外一点可以引球的无数条切线，所有切点组成球的一个小圆．
答案　B
2．从不在⊙O上的一点A作直线交⊙O于B、C，且AB·AC＝64，OA＝10，则⊙O的半径等于
A．2　　　　　　　 B．6
C．2或6 D．8或
解析　设圆O的半径为r，当点在圆外时，由切割线定理得AB·AC＝64＝(10＋r)(10－r)，解得r＝6，当点在圆内时，由相交弦定理得AB·AC＝64＝(r＋10)(r－10)，解得r＝2.
答案　C
3．如图所示，⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，已知PA＝6，AB＝7，PO＝12，则⊙O的半径为
A．8 B．2
C．6 D.
解析　设圆的半径为r，根据割线定理，
得PA·PB＝PC·PD，
即6×＝(12－r)(12＋r)，解得r＝8.
答案　A
4．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点D，若AD＝32，CD＝18，则AB的长为
A．1 600 B．40
C．4 D．96
解析　连接BD，则BD⊥AC，由射影定理，知AB2＝AD×AC＝32×50＝1 600，故AB＝40.
答案　B
5．如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点．已知PA＝2，点P到⊙O的切线长PT＝4，则弦AB的长为
A. B．8
C．6 D．16
解析　由圆的几何性质知PT2＝PA·PB，∴PB＝8，又PA＝2，∴AB＝6.
答案　C
6．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则等于
A．4 B．6
C．9 D.
解析　连接CD.
∵AC为⊙O的直径，∴CD⊥AD.
∵△ABC为直角三角形．
∴AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴＝＝＝.
答案　D
二、填空题
7．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，AD∶AB＝1∶3，若DE＝2，则BC＝________.
解析　∵DE∥BC，∴＝，∴BC＝6.
答案　6
8．如图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若∠ACB＝120°，则∠APB＝________.
解析　连接OA、OB，∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠ACB＝120°，∴∠AOB＝120°.
又P、A、O、B四点共圆，故∠APB＝60°.
答案　60°
9．如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.
解析　由切割线定理知，
PC2＝PA·PB，解得PC＝2.
又OC⊥PC，故CD＝＝＝.
答案　
三、解答题
10．(2011·大连重点中学第二次联考)如图所示，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.
求证：(1)∠DEA＝∠DFA；
(2)AB2＝BE·BD－AE·AC.
证明　(1)连接AD.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠EDA＝90°.
又EF⊥AB，∠EFA＝90°，
则A、D、E、F四点共圆，∴∠DEA＝∠DFA.
(2)由(1)，知BD·BE＝BA·BF，
又△ABC∽△AEF，∴＝，
即AB·AF＝AE·AC.
∴BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝AB(BF－AF)＝AB2.
11．如图，BD、CE是△ABC的高．求证：ADE∽△ABC.
证明　∵BD、CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.
又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△ADB，∴＝.
又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.
12．(2011·课标全国卷)如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．
(1)证明：C，B，D，E四点共圆；
(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．
解析　(1)证明　如图，连接DE，在△ADE和△ACB中，AD·AB＝mn＝AE·AC，即＝.又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB.
因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆．
(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.
如图，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.
从而HF＝AG＝5，DF＝(12－2)＝5.
故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.
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