（导学教程）2012届高三数学（理）二轮复习试题：专题三第二讲综合验收评估（北师大版）

一、选择题
1．向量v＝，v是直线y＝x的方向向量，a1＝5，则数列{an}的前10项和为
A．50　　　　　　　　　 B．100
C．150 D．200
解析　依题意得＝an＋1－，an＋1＝an.
又a1＝5，所以an＝5，数列{an}的前10项和为5×10＝50，选A.
答案　A
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝ax2＋x(a∈N＋)的图象上．则
A．n与an的奇偶性相异 B．n与an的奇偶性相同
C．a与an的奇偶性相异 D．a与an的奇偶性相同
解析　Sn＝an2＋n，an＝Sn－Sn－1
＝an2＋n－a(n－1)2－(n－1)＝2an＋1－a(n≥2)，
an与1－a的奇偶性相同，故选C.
答案　C
3．数列{an}的通项公式是an＝，若数列的前n项和为20，则项数n等于
A．11 B．99
C．120 D．121
解析　因为an＝＝2(－)，
所以Sn＝2(－1)＋2(－)＋…＋2(n＋1－)
＝2(－1)．
由题意得Sn＝2(－1)＝20，解得n＝120.
答案　C
4．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋1(n∈N)，则f(n)等于
A.(8n－1) B.(8n＋1－1)
C.(8n＋3－1) D.(8n＋4－1)
解析　显然，f(n)为数列{23n＋1}的前n项和Sn＝24＋27＋210＋…＋23n＋1与2的和．
数列{23n＋1}为一个首项为a1＝24，公比为q＝23的等比数列，由等比数列的前n项和公式可得Sn＝＝，
故f(n)＝2＋Sn＝2＋＝
＝＝(8n＋1－1)．
答案　B
5．数列{an}前n项和为Sn，已知a1＝，且对任意正整数m，n，都有am＋n＝am·an，若Sn＜a恒成立，则实数a的最小值为
A. B.
C. D．2
解析　由am＋n＝am·an，知a2m＝a，a3m＝a，…，an m＝a，
又因为a1＝，故an＝n，
Sn＝＝＜，
故a≥，所以a的最小值为，故选A.
答案　A
6．(2011·湖州模拟)甲、乙两间工厂的月产值在2010年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值．乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2010年11月份发现两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂2011年6月份的月产值大小，则有
A．甲的产值小于乙的产值 　 B．甲的产值等于乙的产值
C．甲的产值大于乙的产值 　 D．不能确定
解析　设甲各个月份的产值为数列{an}，乙各个月份的产值为数列{bn}，则数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且a1＝b1，a11＝b11，故a6＝≥＝＝＝b6，由于在等差数列{an}中，公差不等于0，故a1≠a11，上面的等号不能成立，故a6＞b6.
答案　C
二、填空题
7．(2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
解析　设所构成数列{an}的首项为a1，公差为d，
依题意即
解得∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
答案　
8．在一个数列中，若每一项(有限数列的最后一项除外)与它的后一项的积都为同一个常数，则称该数列为等积数列，其中的常数称为公积．若数列{an}是等积数列，且a10＝2，公积为6，则a3·a7·a11·…·a2 011的值为________．
解析　由题意知，a9＝a11＝3，由此有a8＝a12＝2，
可得结论：所有奇数项均为3，所有偶数项均为2.
而a3·a7·a11·…·a2 011为503个奇数项之积，所以a3·a7·a11·…·a2 011＝3503.
答案　3503
9．(2011·常州模拟)数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝＋(n∈N＋)，则当an取得最大值时n等于________．
解析　由题意可知：
①－②得：nan＝＋－－＝n，
即an＝nn(n≥2，n∈N＋)，
当n＝1时仍满足此式，故an＝nn(n∈N＋)．
由得≤n≤，
而n∈N＋，∴n＝5，即当n＝5时，an取得最大值．
答案　5
三、解答题
10．已知函数f(x)＝.
(1)若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，bn＝，
求证：是等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
(2)记Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若＜m恒成立，求m的最小整数值．
解析　(1)∵an＋1＝f(an)＝，bn＝，∴an＝－1，an＋1＝－1.
∴－1＝＝＝－1＋.
整理得4bn＋1＝bn＋1.
设4(bn＋1＋p)＝bn＋p，则p＝－.
∴4＝bn－，∴＝.
∴数列是以b1－＝为首项，为公比的等比数列．
∴bn－＝×n－1，即bn＝×n－1＋.
(2)Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋n
＝×＋n＝＋n，
∵g(n)＝＝是关于n的减函数，
∴的最大值为＝.
由于＜m恒成立，∴m＞，
∴m的最小整数值为2.
11．(2011·天津八校高三一次联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－n(n∈N＋)．
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)若bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式≥128的最小n值．
解析　(1)因为Sn＝2an－n，令n＝1，解得a1＝1，
再分别令n＝2，n＝3，解得a2＝3，a3＝7.
(2)因为Sn＝2an－n，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N＋)，
两式相减，得an＝2an－1＋1，
所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N＋)．
又因为a1＋1＝2，所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．
则an＋1＝2n.故an＝2n－1.
(3)因为bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，
所以bn＝(2n＋1)·2n.
所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，①
2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，②
①－②，得－Tn＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1
＝6＋2×－(2n＋1)·2n＋1
＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1.
所以Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.
若≥128，
则≥128，
即2n＋1≥27，所以n＋1≥7，解得n≥6.
所以满足不等式≥128的n的最小值为6.
12．(2011·绵阳模拟)已知各项均为正数的数列{an}满足2a＋3an＋1an－2a＝0，(n∈N＋)，且a3＋是a2，a4的等差中项，数列{bn}的前n项和Sn＝n2.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)若Tn＝＋＋…＋，求证：Tn＜；
(3)若cn＝－，Tn′＝c1＋c2＋…＋cn，求使Tn′＋n·2n＋1＞125成立的正整数n的最小值．
解析　(1)∵2a＋3an＋1an－2a＝0，∴(an＋1＋2an)(2an＋1－an)＝0，
∵数列{an}的各项均为正数，
∴an＋1＋2an＞0，∴2an＋1－an＝0，
即an＋1＝an(n∈N＋)，
∴数列{an}是以为公比的等比数列．
∵a3＋是a2，a4的等差中项，∴a2＋a4＝2a3＋，
即a1q＋a1q3＝2a1q2＋，
∴a1＋a1＝a1＋，∴a1＝，
∴数列{an}的通项公式为an＝n.
当n＝1时，b1＝S1＝1；
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
又2×1－1＝1，所以bn＝2n－1.
(2)证明　∵Tn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝
＝，
∴Tn＜.
(3)由(1)及cn＝－得，
cn＝－n·2n.
∵Tn′＝c1＋c2＋…＋cn，∴Tn′＝－2－2·22－3·23－4·24－…－n·2n，①
∴2Tn′＝－22－2·23－3·24－4·25－…－(n－1)·2n－n·2n＋1，②
②－①得，Tn′＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋2n－n·2n＋1
＝－n·2n＋1
＝(1－n)·2n＋1－2.
要使Tn′＋n·2n＋1＞125成立，只需2n＋1－2＞125成立，即2n＋1＞127，所以n≥6.
∴使Tn′＋n·2n＋1＞125成立的正整数n的最小值为6.
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