（导学教程）2012届高三数学（理）二轮复习试题：专题三第三讲综合验收评估（北师大版）

一、选择题
1．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个是偶数
D．假设a，b，c至多有两个是偶数
解析　至少有一个的否定是一个也没有，即a，b，c都不是偶数．
答案　B
2．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，……类比有x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a等于
A．n　　　　　　　　　　 B．2n
C．n2 D．nn
解析　第一个式子是n＝1的情况，此时a＝1，第二个式子是n＝2的情况，此时a＝4，第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33，归纳可以知道a＝nn.
答案　D
3．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到△ABC为钝角三角形的结论，三边a、b、c应满足的条件是
A．a2＜b2＋c2 B．a2＝b2＋c2
C．a2＞b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
解析　a为最大边，则角A为最大角，若△ABC为钝角三角形，则角A必须为钝角，故cos A＝＜0，所以b2＋c2－a2＜0 a2＞b2＋c2，选C.
答案　C
4．下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n个图案中白色的正方形个数为
A．5n＋3 B．5n
C．3n＋5 D．3n
解析　由题意可知，每个图案都是3行，第一个图案有3列，第二个图案有5列，第三个图案有7列，…所以第n个图案有2n＋1列，所以第n个图案中正方形的个数为3(2n＋1)＝6n＋3，又知第n个图案中有n个黑色小正方形，所以第n个图案中白色正方形的个数为6n＋3－n＝5n＋3.
答案　A
5．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为
A. B.
C. D.
解析　由平面类比到空间，将面积和体积进行类比，容易得出两个正方体重叠部分的体积恒为，所以选B.
答案　B
6．(2011·福建)对于函数f(x)＝asin x＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是
A．4和6 B．3和1
C．2和4 D．1和2
解析　∵f(1)＝asin 1＋b＋c，f(－1)＝－asin 1－b＋c，
且c是整数，∴f(1)＋f(－1)＝2c是偶数．
在选项中只有D中两数和为奇数，不可能是D.
答案　D
二、填空题
7．(2011·山东)设函数f(x)＝(x＞0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
解析　依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.
所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝.
答案　
8．下面的数组均由三个数组成：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(an，bn，cn)．
(1)请写出cn的一个表达式，cn＝________.
(2)若数列{cn}的前n项和为Mn，则M10＝________.(用数字作答)
解析　(1)通过观察归纳，得an＝n，bn＝2n，cn＝an＋bn＝n＋2n.
(2)M10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝2 101.
答案　n＋2n；2 101
9．经过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为________．
解析　过圆上一点(x0，y0)的切线方程是把圆的方程中的x2，y2中的一个x和一个y分别用x0，y0代替，圆和椭圆都是封闭曲线，类比圆上一点的切线方程可以得到，过椭圆上一点(x0，y0)的切线方程也是把椭圆方程中的x2，y2中的一个x和一个y分别用x0，y0代替，即得到切线方程为＋＝1.
答案　＋＝1
三、解答题
10．已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an＞0，令bn＝，则数列{bn}(n∈N＋)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．
解析　由题意，得等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，令bn＝，则数列{bn}(n∈N＋)也是等差数列．
设等差数列{an}的公差为d，
则bn＝＝＝a1＋(n－1)，
所以数列{bn}是以a1为首项，为公差的等差数列．故所得命题成立．
11．已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．
(1)对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；
(2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．
解析　(1)证明　假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，
则有a＝a1a3，
即2＝λ
λ2－4λ＋9＝λ2－4λ 9＝0，矛盾，
所以{an}不是等比数列．
(2)因为bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1
＝－(－1)n·(an－3n＋21)＝－bn，
又b1＝－(λ＋18)，
所以当λ＝－18时，bn＝0(n∈N＋)，
此时{bn}不是等比数列；
当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0，
由bn＋1＝－bn
可知bn≠0，所以＝－(n∈N＋)．
故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列．
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋)．
(1)求S1，S2，S3，S4的值；
(2)猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．
解析　(1)由题意知，S1＝a1＝1，
S2＝4a2，即a1＋a2＝4a2，
得a2＝，又a1＝1，∴S2＝.
同理得，S3＝9a3，即S2＋a3＝9a3，
得a3＝，∴S3＝，
S4＝16a4，即S3＋a4＝16a4，
得a4＝，∴S4＝.
(2)猜想：Sn＝，
证明　①当n＝1时，S1＝＝1，与已知相符，故结论成立，
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，结论成立，
即Sk＝，
由已知可得Sk＋1＝(k＋1)2ak＋1，
整理得[(k＋1)2－1]Sk＋1＝(k＋1)2Sk，
即Sk＋1＝Sk，
∴Sk＋1＝·＝＝，
即当n＝k＋1时，结论也成立，
综合①②知，对n∈N＋，都有Sn＝.
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )