（导学教程）2012届高三数学（理）二轮复习试题：专题四第二讲综合验收评估（北师大版）

一、选择题
1．(2011·浙江)下列命题中错误的是
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析　两个平面α，β垂直时，设交线为l，则在平面α内与l平行的线都平行于平面β，故A正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；两个平面都与三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D错误．
答案　D
2．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中正确的是
A．若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β
B．若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m α，则m∥α
解析　对于A，m也可能在面α内或面β内，故A错；对于B，若m与n平行，则α与β可能相交，故B错，对于C，m与β可能平行，故C错．所以选D.
答案　D
3．(2011·中山模拟)已知m、n为直线，α、β为平面，给出下列命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
③若α⊥β，m∥α，则m⊥β；④若m⊥α，m∥β，则α⊥β.
其中正确命题的个数是
A．0　　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
解析　对于①，由线面的位置关系可以判定是正确的；对于②，直线n可能在平面α内，所以②错误；对于③，举一反例：m β且m与α、β的交线平行时，也有m∥α，③错误；对于④，可以证明其正确性，④正确．故选C.
答案　C
4．已知l，m是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列条件，能得到α∥β的是
A．l∥α，l∥β B．α⊥γ，β⊥γ
C．m α，l α，m∥β，l∥β D．l⊥α，m⊥β，l∥m
解析　选项A得不到α∥β；选项B中的平面α，β可能平行也可能相交；选项C中的直线m，l可能平行，则α与β可能相交；选项D中，由l∥m，m⊥β，可得l⊥β，再由l⊥α可得α∥β.故选D.
答案　D
5．(2011·温州联考)已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
解析　对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面；对于选项C，α与β也可能相交；对于选项D，α与β也可能相交．故选B.
答案　B
6．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论成立的是
A．若a α，b β，且a∥b，则α∥β
B．若a α，b β，且a⊥b，则α⊥β
C．若a∥α，b α，则a∥b
D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b
解析　分别在两个相交平面内且和交线平行的两条直线也是平行线，故选项A的结论不成立；任意两个相交平面，在一个平面内垂直于交线的直线，必然垂直于另一个平面内平行于交线的直线，故选项B中的结论不成立；当直线与平面平行时，只有经过这条直线的平面和已知平面的交线及已知平面内平行于交线的直线与这条直线平行，其余的直线和这条直线不平行，故选项C中的结论不成立；根据直线与平面垂直的性质定理知，选项D中的结论成立．故选D.
答案　D
二、填空题
7．给出下列四个命题：
①对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面直线都平行；
②一条直线与两个相交平面平行，则它必与这两个平面的交线平行；
③过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；
④对两条异面直线，存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等．
其中正确命题的序号为________．
解析　①显然错误，若点在其中一条异面直线上明显不可能作出，既使点在两条异面直线外，也不一定能作出；②正确；③错误，θ＝90°时，即过平面外一点作与该平面垂直的直线有且只有一条；④正确．
答案　②④
8．如图所示，在(1)中的矩形ABCD内，AB＝4，BC＝3，E是CD的中点，沿AE将△ADE折起，如图(2)所示，使二面角D－AE－B为60°，则四棱锥D－ABCE的体积是________．
解析　在平面图形中，Rt△ADE斜边上的高是，
故折起后棱锥的高是sin 60°＝，
棱锥的底面积为9，故其体积为
V＝×9×＝.
答案　
9．(2011·福建)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析　由于在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，
∴AC＝2.
又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF 平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝AC＝.
答案　
三、解答题
10．(2011·陕西)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．
解析　(1)证明　∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.
又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC.
∵AD 平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.
(2)由(1)知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA.
∵DB＝DA＝DC＝1，∴AB＝BC＝CA＝，
从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝×1×1＝，
S△ABC＝×××sin 60°＝，
∴三棱锥D－ABC的表面积S＝×3＋＝.
11．(2011·济南模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别为所在棱的中点，O为面对角线A1C1的中点．
(1)求证：平面MNP∥平面A1C1B；
(2)求证：OM⊥平面A1C1B.
证明　(1)连接D1C，则MN为△DD1C的中位线，
∴MN∥D1C.
又∵D1C∥A1B，∴MN∥A1B.
同理，MP∥C1B.
而MN与MP相交，MN，MP在平面MNP内，
A1B，C1B在平面A1C1B内，
∴平面MNP∥平面A1C1B.
(2)连接C1M和A1M，设正方体的棱长为a，
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，C1M＝A1M，
又∵O为A1C1的中点，
∴A1C1⊥MO，
连接BO和BM，在△BMO中，
经计算知：OB＝a，MO＝a，BM＝a，
∴OB2＋MO2＝MB2，
即BO⊥MO，而A1C1，BO 平面A1C1B，
∴MO⊥平面A1C1B.
12．在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB＝2，O是AB中点．
(1)在棱PA上求一点M，使得OM∥平面PBC；
(2)求证：平面PAB⊥平面ABC.
证明　(1)当M为棱PA中点时，OM∥平面PBC.
证明如下：∵M，O分别为PA，AB中点，
∴OM∥PB，又PB 平面PBC，OM 平面PBC，
∴OM∥平面PBC.
(2)连接OC，OP，∵AC＝CB＝，O为AB中点，AB＝2，
∴OC⊥AB，OC＝1.
同理，PO⊥AB，PO＝1.
又PC＝，
∴PC2＝OC2＋PO2＝2，
∴∠POC＝90°.∴PO⊥OC.
又AB∩OC＝O，
∴PO⊥平面ABC.
∵PO 平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABC.
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