（导学教程）2012届高三数学（理）二轮复习试题：专题五第二讲综合验收评估（北师大版）

一、选择题
1．已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，F(0，－5)为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为
A.－＝1　　　　　　　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析　根据焦点坐标，可知该双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．根据已知，设a＝2t，b＝3t，则25＝(2t)2＋(3t)2，解得t2＝，故a2＝，b2＝.所以所求的双曲线方程是－＝1.
答案　B
2．已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆＋＝1的离心率为，则m等于
A. B.
C.或 D.或
解析　因为椭圆的焦点在y轴上，
故a2＝m，b2＝2，
故e2＝＝＝1－＝1－＝，
解得m＝.
答案　B
3．(2011·无锡模拟)设椭圆＋＝1(m＞0，n＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析　依题意得抛物线y2＝8x的焦点坐标是(2,0)，
则椭圆的右焦点坐标是(2,0)，
由题意得m2－n2＝22且e＝＝，m＝4，n2＝12，
椭圆的方程是＋＝1，选B.
答案　B
4．(2011·烟台模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为
A．5x2－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．5x2－＝1
解析　∵抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，∴c＝1；
又e＝，a＝，b2＝c2－a2＝，
所以该双曲线方程为5x2－＝1，故选D.
答案　D
5．如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝45°，则椭圆的离心率等于
A. B.
C. D.
解析　∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，kOC＝kAB＝1，
又BC∥x轴，∴根据椭圆的对称性，
不妨设C(m，m)(m＞0)，B(－m，m)，
∴kAB＝＝1，∴m＝，
∵点C在椭圆上，∴＋＝1，
∴a2＝3b2，c2＝2b2，∴e＝.
答案　C
6．(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则
A．n＝0 B．n＝1
C．n＝2 D．n≥3
解析　如图所示，A，B两点关于x轴对称，F点坐标为，设A(m，)(m＞0)，则由抛物线定义，
|AF|＝|AA1|，即m＋＝|AF|.
又|AF|＝|AB|＝2，
∴m＋＝2，整理，
得m2－7pm＋＝0，①
∴Δ＝(－7p)2－4×＝48p2＞0，
∴方程①有两相异实根，记为m1，m2，
且m1＋m2＝7p＞0，m1·m2＝＞0，
∴m1＞0，m2＞0，∴n＝2.
答案　C
二、填空题
7．双曲线C：－＝1(m＞0)的离心率等于2，则该双曲线渐近线的斜率是________．
解析　设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则a＝2，b＝，
故e＝＝＝ ＝ ＝2，
解得m＝12.
故其渐近线的斜率为±＝±.故填±.
答案　±
8．(2011·浙江)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上．若＝5，则点A的坐标是________．
解析　由题意知F1(－，0)，F2(，0)．设A(a，b)，B(xB，yB)，则＝(a＋，b)，＝(xB－，yB)．
由＝5得xB＝，yB＝，代入椭圆方程得＋2＝1.
又因为＋b2＝1，联立，解得a＝0，b＝±1.
答案　(0,1)或(0，－1)
9．已知双曲线kx2－y2＝1的一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，那么双曲线的离心率为________；渐近线方程为________．
解析　双曲线kx2－y2＝1的渐近线方程是y＝±x.
又因为一条渐近线方程与直线2x＋y＋1＝0垂直，∴＝，k＝，
∴双曲线的离心率为e＝＝；
渐近线方程为x±y＝0.
答案　；x±y＝0
三、解答题
10．如图所示，已知直线l：y＝kx＋2(k为常数)过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，直线l被圆x2＋y2＝4截得的弦长为d.
(1)若d＝2，求k的值；
(2)若d≥，求椭圆离心率e的取值范围．
解析　(1)取圆中弦的中点M，连接OM.
由平面几何知识，知|OM|＝＝1，
解得k2＝3，k＝±.
∵直线l过点F、B，∴k＞0，则k＝.
(2)设圆中弦的中点为M，连接OM，则|OM|2＝，
d2＝4≥2，解得k2≥.
∴e2＝＝＝≤.
∴0＜e≤.
11．已知点A(1,1)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|＋|AF2|＝4.
(1)求椭圆的两焦点坐标；
(2)设点B是椭圆上任意一点，当|AB|最大时，求证：A，B两点关于原点O不对称．
解析　(1)由椭圆定义，知2a＝4，∴a＝2.
∴＋＝1.
把A(1,1)代入，得＋＝1，得b2＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
∴c2＝a2－b2＝4－＝，即c＝.
故两焦点坐标为，.
(2)反证法：假设A，B两点关于原点O对称，则B点坐标为(－1，－1)，
此时|AB|＝2，而当点B取椭圆上一点M(－2,0)时，则|AM|＝，∴|AM|＞|AB|.
从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立．
12．(2011·宜昌模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，且椭圆经过点N(2， －3)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求椭圆以M(－1,2)为中点的弦所在直线的方程．
解析　(1)由椭圆经过点N(2，－3)，
得＋＝1，
又e＝＝，解得：a2＝16，b2＝12.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)显然M在椭圆内，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是以M为中点的弦的两个端点，
则＋＝1，＋＝1.
相减得：＋＝0.
整理得：kAB＝－＝，
则所求直线的方程为：y－2＝(x＋1)，
即3x－8y＋19＝0.
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