（导学教程）2012届高三数学（理）二轮复习试题：专题五第一讲综合验收评估（北师大版）

一、选择题
1．(2011·东莞模拟)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是
A．x－2y－1＝0　　　　　　　 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析　所求直线的斜率等于，故所求直线方程为y－0＝(x－1)，即x－2y－1＝0，故选A.
答案　A
2．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且2lg sin B＝lg sin A＋lg sin C，则两条直线l1：xsin2A＋ysin A＝a与l2：xsin2B＋ysin C＝c的位置关系是
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交不垂直
解析　已知2lg sin B＝lg sin A＋lg sin C，
可得sin2B＝sin Asin C，故＝，
又＝，所以两直线重合，故选B.
答案　B
3．(2011·广东)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为
A．0 B．1
C．2 D．3
解析　集合A表示圆x2＋y2＝1上的点构成的集合，集合B表示直线y＝x上的点构成的集合，可判定直线和圆相交，故A∩B的元素个数为2.
答案　C
4．以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且与渐近线相切的圆的方程是
A．x2＋y2－10x＋9＝0 B．x2＋y2－10x＋16＝0
C．x2＋y2＋10x＋16＝0 D．x2＋y2＋10x＋9＝0
解析　据题意知圆心为(5,0)，
双曲线的渐近线是4x±3y＝0，
∴r＝4，故所求圆的方程是(x－5)2＋y2＝16，
即x2＋y2－10x＋9＝0.
答案　A
5．(2011·海淀模拟)圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为
A. B.
C．2 D．2
解析　x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心(0,0)到2x＋y－15＝0的距离d＝3，因此，公共弦长为2＝2.
答案　C
6．(2011·珠海模拟)已知直线l：y＝－1，定点F(0,1)，P是直线x－y＋＝0上的动点，若经过点F、P的圆与l相切，则这个圆面积的最小值为
A. B．π
C．3π D．4π
解析　由于圆经过点F、P且与直线y＝－1相切，所以圆心到点F、P与到直线y＝－1的距离相等．由抛物线的定义知圆心C在以点(0,1)为焦点的抛物线x2＝4y上，圆与直线x－y＋＝0的交点为点P.显然，圆心为抛物线的顶点时，半径最小，为1，此时圆面积最小，为π.故选B.
答案　B
二、填空题
7．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则实数a＝________.
解析　由得a＝－1.
答案　－1
8．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．
解析　由题知，圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，直线AB的方程为x－y＋2＝0.因为圆心到直线AB的距离为d＝，所以圆周上的点到直线AB的最小距离为－1.又AB＝2，所以△ABC面积的最小值是×2×＝3－.
答案　3－
9．若直线l：2x＋y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5相交于A、B两点，则|AB|＝________.
解析　圆心C(1，－2)到直线l的距离为d＝＝，
则|AB|＝2 ＝.
答案　
三、解答题
10．设直线l经过点P(3,4)，圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4.
(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；
(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．
解析　(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，
而圆C的圆心是C(1，－1)，
所以，当直线l经过圆C的圆心时，
直线l的斜率为k＝.
(2)由题意，设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0.
又直线l与圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4交于两个不同的点，
所以圆心到直线的距离小于圆的半径，
即＜2.
解得k＞.
所以直线l的斜率的取值范围为.
11．(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
解析　(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，
与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.
则圆C的半径为＝3.
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组
消去y，得方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2＞0.
因此x1,2＝，
从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，
所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②
由①②得a＝－1，满足Δ＞0，故a＝－1.
12．已知圆M的方程为x2＋(y－2)2＝1，直线l的方程为x－2y＝0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.
(1)若∠APB＝60°，试求点P的坐标；
(2)若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD＝时，求直线CD的方程；
(3)求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
解析　(1)设P(2m，m)，由题可知MP＝2，
所以(2m)2＋(m－2)2＝4，
解之得m＝0或m＝.
故所求点P的坐标为P(0,0)或P.
(2)由题意易知k存在，设直线CD的方程为y－1＝k(x－2)，
由题知圆心M到直线CD的距离为，
所以＝，解得，k＝－1或k＝－，
故所求直线CD的方程为x＋y－3＝0或x＋7y－9＝0.
(3)证明　设P(2m，m)，MP的中点Q，因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为(x－m)2＋2＝m2＋2.
化简得：x2＋y2－2y－m(2x＋y－2)＝0，此式是关于m的恒等式，
故解得或
所以经过A，P，M三点的圆必过定点(0,2)或(1,0)．
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