（导学教程）2012届高三数学（理）二轮复习试题：专题一第二讲综合验收评估（北师大版）

一、选择题
1．(2011·安徽)若点(a，b)在y＝lg x图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是
A.　　　　　　　　 B．(10a,1－b)
C. D．(a2,2b)
解析　由题意b＝lg a,2b＝2lg a＝lg a2，
即(a2,2b)也在函数y＝lg x图象上．
答案　D
2．(2011·西城模拟)函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的
解析　因为y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)是偶函数，
x∈(0，π)时，x＞sin x，故C正确．
答案　C
3．(2011·珠海模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
解析　因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，
所以函数是以8为周期的周期函数，
则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，
又因为f(x)在R上是奇函数，
f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，
f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，
而由f(x－4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)
＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，
又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，
所以f(1)＞f(0)＝0，
所以－f(1)＜0，即f(－25)＜f(80)＜f(11)，故选D.
答案　D
4．(2011·山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为
A．6 B．7
C．8 D．9
解析　∵f(x)是最小正周期为2的周期函数，
且0≤x＜2时，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)，
∴当0≤x＜2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.
由周期函数的性质知，当2≤x＜4时，f(x)＝0有两个根，
即x3＝2，x4＝3；当4≤x＜6时，f(x)＝0有两个根，
即x5＝4，x6＝5，x7＝6也是f(x)＝0的根．
故函数f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴交点的个数为7.
答案　B
5．(2011·湖北)已知U＝{y|y＝log2x，x＞1}，P＝，则 UP＝
A. B.
C．(0，＋∞) D．(－∞，0]∪
解析　∵U＝{y|y＝log2x，x＞1}＝{y|y＞0}，P＝＝，
∴ UP＝＝.
答案　A
6．(2011·济南模拟)下列函数既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是
A．f(x)＝x B．f(x)＝－|x＋1|
C．f(x)＝ln(x≠2) D．f(x)＝(ax＋a－x)
解析　在C中f(x)的定义域为(－2,2)，
又f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，
又f(x)＝ln＝ln是减函数，所以C正确．
答案　C
二、填空题
7．(2011·北京)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
解析　画出分段函数f(x)的图象如图所示，结合图象可以看出，若f(x)＝k有两个不同的实根，也即函数y＝f(x)的图象与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1)．
答案　(0,1)
8．已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则n＋m＝________.
解析　由已知得m＝，0＜m＜1，n＞1，∴[m2，n]＝，
f＝＝2|log2n|＝2f(n)．∴f(x)在区间[m2，n]上的最大值为f＝2f(n)．
∴2|log2n|＝2，∵n＞1，∴n＝2.m＝.故n＋m＝.
答案　
9．(2011·上海)设g(x)是定义在R上的以1为周期的函数，若函数f(x)＝x＋g(x)在区间[3,4]上的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[－10,10]上的值域为________．
解析　设x1∈[3,4]，f(x1)＝x1＋g(x1)∈[－2,5]．
∵g(x)是定义在R上的以1为周期的函数，
∴当x2∈[4,5]时，f(x2)＝f(x1＋1)＝x1＋1＋g(x1＋1)∈[－1,6]；
x3∈[5,6]时，f(x3)＝f(x1＋2)
＝x1＋2＋g(x1＋2)∈[0,7]；
…；
x7∈[9,10]时，f(x7)＝f(x1＋6)＝x1＋6＋g(x1＋6)∈[4,11]．
同理，当x∈[－10，－9]时，f(x)＝f(x1－13)＝x1－13＋g(x1－13)∈[－15，－8]．
综上分析知，当x∈[－10,10]时，
函数的值域为[－15,11]．
答案　[－15,11]
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x2－2ax＋3a2－1(a＞0,0≤x≤1)，求函数f(x)的最大值和最小值．
解析　f(x)＝x2－2ax＋3a2－1
＝(x－a)2＋2a2－1，
由a＞0知，当a≥1时，由于f(x)在[0,1]上是减函数，故f(x)的最大值为f(0)＝3a2－1，最小值为f(1)＝3a2－2a；
当0＜a＜1时，f(x)的最小值为f(a)＝2a2－1，f(x)的最大值为f(0)，f(1)中的较大者．
若f(0)＜f(1)，则3a2－1＜3a2－2a，
解得a＜，所以当0＜a＜时，
f(x)的最大值为f(1)＝3a2－2a；
当≤a＜1时，f(x)的最大值为f(0)＝3a2－1.
11．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
解析　(1)∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
由于f′(x)＝ex＋e－x＞0恒成立，
所以f(x)是R上的增函数．
(2)不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0可化为
f(x－t)≥－f(x2－t2)，即f(x－t)≥f(－x2＋t2)，
又f(x)是R上的增函数，
所以上式等价于x－t≥－x2＋t2，
即x2＋x－t2－t≥0恒成立，
故有Δ＝1－4(－t2－t)≤0，
即(2t＋1)2≤0，所以t＝－.
综上所述，存在t＝－，
使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立．
12．(2011·大连模拟)若定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1成立，且当x＞0时，f(x)＞1.
(1)求证：f(x)－1为奇函数；
(2)求证：f(x)是R上的增函数；
(3)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)＜3.
解析　(1)证明　∵定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1成立．
令x1＝x2＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)－1，即f(0)＝1.
令x1＝x，x2＝－x，
f(x－x)＝f(x)＋f(－x)－1，∴[f(x)－1]＋[f(－x)－1]＝0，
∴f(x)－1为奇函数．
(2)证明　∵由(1)，知f(x)－1为奇函数，
∴f(x)－1＝－[f(－x)－1]．
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，
∵f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，
∴f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)－1
＝f(x2)－[f(x1)－1]＝f(x2)－f(x1)＋1，
∵当x＞0时，f(x)＞1，
∴f(x2－x1)＝f(x2)－f(x1)＋1＞1，
∴f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)是R上的增函数．
(3)∵f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，且f(4)＝5，
∴f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，即f(2)＝3，
由不等式f(3m2－m－2)＜3，
得f(3m2－m－2)＜f(2)．
由(2)，知f(x)是R上的增函数，
∴3m2－m－2＜2，即3m2－m－4＜0，则－1＜m＜，
∴不等式f(3m2－m－2)＜3的解集为.
.精品资料。欢迎使用。 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )