（导学教程）2012届高三数学（理）二轮复习试题：专题一第一讲综合验收评估（北师大版）

一、选择题
1．(2011·珠海模拟)设函数f(x)＝ln的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N等于
A．{x|x＜0}　　　　　　　　 B．{x|x＞0且x≠1}
C．{x|x＜0且x≠－1} D．{x|x≤0且x≠－1}
解析　∵M＝{x|x＜0}，N＝{x|x≠－1}，
∴M∩N＝{x|x＜0且x≠－1}．故选C.
答案　C
2．(2011·广东)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为
A．4 B．3
C．2 D．1
解析　A∩B的元素个数等价于圆x2＋y2＝1与直线x＋y＝1的交点个数，显然有2个交点．
答案　C
3．(2011·佳木斯模拟)使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是
A．x＜0 B．x≥0
C．x∈{－1,3,5} D．x≤－或x≥3
解析　∵2x2－5x－3≥0的解集为，
∴x∈{－1,3,5}是不等式成立的一个充分不必要条件．
答案　C
4．下列命题中是真命题的是
A．若向量a，b满足a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若a＜b，则＞
C．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
D． x∈R，使得sin x＋cos x＝成立
解析　对于选项A，若向量a、b满足a·b＝0，不能得出a＝0或b＝0，因此A不正确．对于选项B，如取a＝－2，b＝1，此时有a＜b，但＜，因此B不正确．对于选项C，如取b＝0，a＝0，c＝1，此时有b2＝ac，但a，b，c不成等比数列，因此C不正确．对于选项D，sin x＋cos x＝sin ∈[－，]，且∈[－，]，因此D正确．综上所述，选D.
答案　D
5．下列有关命题的说法正确的是
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要而不充分条件
C．命题“ x∈R，使得x2＋x＋1＜0”的否定是“ x∈R，均有x2＋x＋1＜0”
D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
解析　对于A，注意到一个命题的否命题是将其题设与结论分别进行否定所形成的新命题，命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，因此A不正确．对于B，当x＝－1时，x2－5x－6＝0，因此“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分条件，B不正确．对于C，命题“ x∈R，使得x2＋x＋1＜0”的否定是“ x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，因此C不正确．对于D，由于命题“若x＝y，则sin x＝sin y”是真命题，因此其逆否命题也是真命题(注：互为逆否的两个命题的真假性一致)，D正确．综上所述，选D.
答案　D
6．设M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N M”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要
解析　因“a＝1”，即N＝{1}，满足“N M”，
反之“N M”，则N＝{a2}＝{1}，
或N＝{a2}＝{2}，不一定有“a＝1”．
所以“a＝1”是“N M”的充分不必要条件．
答案　A
二、填空题
7．已知c＞0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上为减函数；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则实数c的取值范围是________．
解析　因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，所以p、q两个命题一真一假．若命题p为真命题，则0＜c＜1；若命题q为真命题，则0＜c≤.所以若p真q假，则实数c的取值范围是，若q真p假则无解．故实数c的取值范围是.
答案　
8．如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A*B为________．
解析　集合A＝[0,2]，集合B＝(1，＋∞)．图中的阴影部分是[A∩( RB)]∪[( RA)∩B]，A∩( RB)＝[0,1]，( RA)∩B＝(2，＋∞)，所以[A∩( RB)]∪[( RA)∩B]＝{x|0≤x≤1或x＞2}．
答案　{x|0≤x≤1或x＞2}
9．(2011·江苏)设集合A＝，
B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B≠ ，则实数m的取值范围是________．
解析　∵A∩B≠ ，∴A≠ ，∴m2≥，
∴m≥或m≤0.显然B≠ .
要使A∩B≠ ，只需圆(x－2)2＋y2＝m2(m≠0)与x＋y＝2m或x＋y＝2m＋1有交点，
即≤|m|或≤|m|，
∴≤m≤2＋.
又∵m≥或m≤0，∴≤m≤2＋.
当m＝0时，(2,0)不在0≤x＋y≤1内．
综上所述，满足条件的m的取值范围为.
答案　
三、解答题
10．已知命题p：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，试写出p的否命题和命题的否定，判断它们的真假，并说明理由．
解析　p的否命题：“若x≠1或y≠2，则x＋y≠3”．这是一个假命题．
綈p：“若x＝1且y＝2，则x＋y≠3”．此命题也为假命题．
11．已知集合A＝{x|x2＋(2＋a)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x∈R|x＞0}，试问是否存在实数a，使得A∩B＝ ？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解析　解法一　假设存在实数a满足条件A∩B＝ ，则有①当A≠ 时，由A∩B＝ ，B＝{x∈R|x＞0}，知集合A中的元素为非正数，
设方程x2＋(2＋a)x＋1＝0的两根为x1，x2，则由根与系数的关系，得解得a≥0；
②当A＝ 时，则有Δ＝(2＋a)2－4＜0，
解得－4＜a＜0.
综合①②，知存在满足条件A∩B＝ 的实数a，
其取值范围是(－4，＋∞)．
解法二　假设存在实数a满足条件A∩B≠ ，
则方程x2＋(2＋a)x＋1＝0的两实数根x1，x2至少有一个为正，
因为x1·x2＝1＞0，所以两根x1，x2均为正数．
则由根与系数的关系，得
解得即a≤－4.
又∵集合{a|a≤－4}的补集为{a|a＞－4}，
∴存在满足条件A∩B＝ 的实数a，
其取值范围是(－4，＋∞)．
12．已知全集U＝R，非空集合A＝，
B＝.
(1)当a＝时，求( UB)∩A；
(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
解析　(1)当a＝时，A＝，B＝，所以( UB)∩A＝.
(2)若q是p的必要条件，即p q，可知A B.
因为a2＋2＞a，所以B＝{x|a＜x＜a2＋2}．
当3a＋1＞2，即a＞时，A＝{x|2＜x＜3a＋1}，
解得＜a≤；
当3a＋1＝2，即a＝时，A＝ ，符合题意；
当3a＋1＜2，即a＜时，A＝{x|3a＋1＜x＜2}，
解得－≤a＜；
综上，a∈.
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