江苏省13市2021届高三第一次模拟考试数学试题分类汇编
导数及其应用
备注：（地区名后面，题号1-8为单选，9-12为多选）
（2021·盐城、南京·一模）3．函数在其定义域上的图象大致为
【答案】：D
【解析】：首先判断出该函数是奇函数，排除AB选项，当x＞1时，，选D
（2021·无锡·一模）3．函数f(x)＝的大致图象为（
）
【答案】A
（2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）11．若函数的值域为[2，)，则
A．
B．m≥2
C．
D．
【答案】ABD
【解析】当时，，所以在上单调递减，；当时，，所以在上单调递增，．因为，所以，所以A正确；
因为的值域为，所以，所以B正确；
设，则，所以在上单调递增．
因为，所以，所以，所以C错误；
当时，，
所以，即，故D正确．
另解：构造函数，通过考察函数的单调性，判断出D正确．
故选ABD．
（2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）8．已知曲线在A(，)，B(，)两点处的切线分别与曲线相切于C(，)，D(，)，则的值为
A．1
B．2
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，曲线在点处的切线方程为，
即得到，曲线在点处的切线方程为，即得到，所以解得．同理可得，，则是方程()的两个解．用代入方程()也成立，所以，又，所以，故答案选B．
（2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）6．函数的图象大致为
A
B
C
D
6．函数的图象大致为
A
B
C
D
【答案】D
【解析】由题意可知的定义域为，令，则，即函数有无数个零点，则排除A、B选项；当时，，则，，故答案选D.
（2021·常州·一模）4．设函数，若函数的图象在点(1，)处的切线方程为y＝x，则函数的增区间为
A．(0，1)
B．(0，)
C．(，)
D．(，1)
【答案】C
【解析】的定义域为，
∵函数的图象在点(1，)处的切线方程为y=x，
∴解得：
∴
欲求的增区间
只需，解得：
即函数的增区间为(，)
故选：C
【名师点睛】函数的单调性与导数的关系：
已知函数在某个区间内可导，
（1）如果>0，那么函数在这个区间内单调递增；如果<0，那么函数在这个区间内单调递减；
（2）函数在这个区间内单调递增，则有；函数在这个区间内单调递减，则有；
（2021·常州·一模）16．已知函数，则使不等式成立的实数t的取值范围是
．
【答案】
【解析】，
，
，所以的图象关于直线对称，
时，
设，则，，
，，
所以，即
即是减函数，所以时函数为增函数，
因此由得，解得且．．
故答案为：
【名师点睛】思路点睛：本题考查函数的对称性与单调性，利用对称性、单调性不等式，求解方法类似于二次函数：对开口向上的抛物线，离对称轴越近，函数值越小，开口向下的抛物线，离对称轴越近，函数值越大．
（2021·无锡·一模）16．若对于恒成立，当a=0时，b的最小值为
；当a>0时，的最小值是
．(第一空2分，第二空3分)
【答案】1，
（2021·连云港·一模）6．函数的部分图象大致为
【答案】A
【解析】分析函数
f(x)的性质可知，f(x)的图象关于点(2,0)对称，排除
C
项；
当
x
的值趋近于正无穷时，f(x)的值趋近于
0，排除
D
项；
当
x∈(1,2)时，f(x)＞0，排除
B
项，故选A.
（2021·连云港·一模）8．定义方程的实数根叫做函数的“保值点”．如果函数与函数的“保值点”分别为，，那么和的大小关系是
A．＜
B．＞
C．＝
D．无法确定
【答案】B
【解析】因为
g'(x)＝1，令
g(x)＝g'(x)，解得
α＝1；又
h'(x)＝
，令
h'(x)＝k(x)，结合
k(x)
和
h(x)两函数图象可知，β＜1，所以
α＞β，故选
B.
（2021·连云港·一模）12．已知函数，则
A．是奇函数
B．＜1
C．在(﹣1，0)单调递增
D．在(0，)上存在一个极值点
【答案】BCD
【解析】f(x)为非奇非偶函数，A
错误；注意到
ex≥x＋1，当且仅当
x＝0
时，取“＝”，故|f(x)|
≤
|sinx|
≤
1
，又两处等号无法同时成立，故|f(x)|＜1
，B正确；
f’(x)
＝当
x∈(－1，0)时，f’(x)＞0，C
正确；注意到
f’(0)＝1＞0，f’()＝－故
f’(x)在[0，]上存在零点，即
f(x)在[0，]上存在极值点，D
正确．
（2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若函数有两个零点，，证明：．
【解析】
（2021·连云港·一模）22．（本小题满分12分）已知函数，，aR．
（1）若a＝﹣1，证明：当x≥0时，；
（2）讨论在x[0，π]上零点的个数．
【解析】
（2021·常州·一模）21．（本小题满分12分）已知函数，a，bR．
（1）若a＞0，b＞0，且1是函数的极值点，求的最小值；
（2）若b＝a＋1，且存在[，1]，使成立，求实数a的取值范围．
【解析】
（2021·苏州·一模）22．（本小题满分12分）已知函数，其中e是自然对数的底数，a＞0．
（1）若曲线在点(1，)处的切线斜率为2e﹣1，求a的值；
（2）对于给定的常数a，若对x
(0，)恒成立，求证：b≤a．
【解析】（1）因为，所以切线斜率为，
即，
构造，
由于，所以在上单调递增，
又，所以；
（2）设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以，
若对恒成立，
则对恒成立，
即对恒成立，
设，
由（
）可知，
当且仅当时等号成立
由，因为，所以单调递增，
又，
所以存在，使得，
即方程有唯一解，
所以b≤a得证．
（2021·无锡·一模）22.(本小题满分12分)已知函数，其中e是自然对数的底数．
（1）设直线是曲线的一条切线，求a的值；
（2）若，使得对恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】
（2021·盐城、南京·一模）22．（本小题满分12分）设函数(a＞1)．
（1）求证：有极值点；
（2）设的极值点为，若对任意正整数a都有(m，n)，其中m，nZ，求n﹣m的最小值．
【解析】解：（1）由题意得f(x)＝axlna－e－x，所以f
(x)＝ax(lna)2＋e－x＞0，所以函数f
(x)单调递增，
由f
(x)＝0，得(ae)xlna＝1，(ae)x＝．
因为a＞1，所以＞0，所以x＝logae．
当x＞logae时，f
(x)＞0，f(x)单调递增；当x＜logae时，f
(x)＜0，f(x)单调递减．
因此，当x=logae时函数f(x)有极值．
（2）方法一
由（1）知，函数f(x)的极值点x0(即函数f
(x)的零点）唯一，
因为f
(－1)＝－e．
令g(a)＝，则g(a)＝＝0，得a＝e．
当a＞e时，g(a)＜0，g(a)单调递减；当0＜a＜e时，g(a)＞0，g(a)单调递增，
所以g(a)≤g(e)＝，所以f
(－1)
＝－e＜0．
而f
(0)＝lna－1，当a＝2时，f(0)＜0，
当a≥3时，f(0)＞0．
又f
(1)＝alna－．
因为a为正整数且a≥2时，所以alna≥2ln2＞1＞．
当a≥2时，f(1)＞0．
即对任意正整数a＞1，都有f
(－1)＜0，f
(1)＞0，所以x0∈(－1，1)恒成立，
且存在a＝2，使x0∈(0，1)，也存在a＝3，使x0∈(－1，0)．
所以n－m的最小值为2．
方法二
由（1）知x0＝logae＝－．
令lna＝k，k＝ln2，ln3，…，则x0＝－＝0，得k＝1．
先证：lnk≤k－1．
令g(k)＝lnk－k＋1，则g(k)＝，
当k＞1时，g(k)＜0；当k＜1时，g(k)＞0．
所以g(k)≤g(1)＝0，即lnk≤k－1成立．
所以x0＝－＞－1．
又当k≥ln3时，x0＝－＜0，
而2ln2>1，所以ln2＞＞，所以＜e．
当k＝ln2时，x0＝＞0，且x0＝＜＜1，
所以x0∈(－1，1)恒成立，且存在a＝2，使x0∈(0，1)，也存在a＝3，使x0∈(－1，0)．
所以n－m的最小值为2.
（2021·扬州·一模）21.(本小题满分12分)
已知函数．
（1）若函数在处取极小值，求实数m的值；
（2）设，若对任意，不等式≥恒成立，求实数a的值．
【解析】江苏省13市2021届高三第一次模拟考试数学试题分类汇编
导数及其应用
备注：（地区名后面，题号1-8为单选，9-12为多选）
（2021·盐城、南京·一模）3．函数在其定义域上的图象大致为
（2021·无锡·一模）3．函数f(x)＝的大致图象为（
）
（2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）11．若函数的值域为[2，)，则
A．
B．m≥2
C．
D．
（2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）8．已知曲线在A(，)，B(，)两点处的切线分别与曲线相切于C(，)，D(，)，则的值为
A．1
B．2
C．
D．
（2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）6．函数的图象大致为
A
B
C
D
（2021·常州·一模）4．设函数，若函数的图象在点(1，)处的切线方程为y＝x，则函数的增区间为
A．(0，1)
B．(0，)
C．(，)
D．(，1)
（2021·常州·一模）16．已知函数，则使不等式成立的实数t的取值范围是
．
（2021·无锡·一模）16．若对于恒成立，当a=0时，b的最小值为
；当a>0时，的最小值是
．(第一空2分，第二空3分)
（2021·连云港·一模）6．函数的部分图象大致为
（2021·连云港·一模）8．定义方程的实数根叫做函数的“保值点”．如果函数与函数的“保值点”分别为，，那么和的大小关系是
A．＜
B．＞
C．＝
D．无法确定
（2021·连云港·一模）12．已知函数，则
A．是奇函数
B．＜1
C．在(﹣1，0)单调递增
D．在(0，)上存在一个极值点
（2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若函数有两个零点，，证明：．
（2021·连云港·一模）22．（本小题满分12分）已知函数，，aR．
（1）若a＝﹣1，证明：当x≥0时，；
（2）讨论在x[0，π]上零点的个数．
（2021·常州·一模）21．（本小题满分12分）已知函数，a，bR．
（1）若a＞0，b＞0，且1是函数的极值点，求的最小值；
（2）若b＝a＋1，且存在[，1]，使成立，求实数a的取值范围．
（2021·苏州·一模）22．（本小题满分12分）已知函数，其中e是自然对数的底数，a＞0．
（1）若曲线在点(1，)处的切线斜率为2e﹣1，求a的值；
（2）对于给定的常数a，若对x
(0，)恒成立，求证：b≤a．
（2021·无锡·一模）22.(本小题满分12分)已知函数，其中e是自然对数的底数．
（1）设直线是曲线的一条切线，求a的值；
（2）若，使得对恒成立，求实数m的取值范围．
（2021·盐城、南京·一模）22．（本小题满分12分）设函数(a＞1)．
（1）求证：有极值点；
（2）设的极值点为，若对任意正整数a都有(m，n)，其中m，nZ，求n﹣m的最小值．
（2021·扬州·一模）21.(本小题满分12分)
已知函数．
（1）若函数在处取极小值，求实数m的值；
（2）设，若对任意，不等式≥恒成立，求实数a的值．
