微专题1：构造函数法解选填压轴题 Word版

微专题：构造函数法解选填压轴题
高考中要取得高分，关键在于选准选好的解题方法，才能省时省力又有效果。近几年各地高考数学试卷中，许多方面尤其涉及函数题目，采用构造函数法解答是一个不错的选择。所谓构造函数法是指通过一定方式，设计并构造一个与有待解答问题相关函数，并对其进行观察分析，借助函数本身性质如单调性或利用运算结果，解决原问题方法，简而言之就是构造函数解答问题。怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。
几种导数的常见构造：
1．对于，构造
若遇到，则可构
2．对于，构造
3．对于，构造
4．对于
[或]，构造
5．对于，构造
6．对于，构造
一、构造函数法比较大小
例1．已知函数的图象关于y轴对称,且当成立，，，,则的大小关系是
(
)
【解析】因为函数关于轴对称,所以函数为奇函数.因为,
所以当时,,函数单调递减,
当时,函数单调递减.
因为,,,所以,所以,选D.
变式:
已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，
若，则下列关于的大小关系正确的是（
D
）
例2．已知为上的可导函数，且，均有，则有
A．，
B．，
C．，
D．，
【解析】构造函数则，
因为均有并且，所以，故函数在R上单调递减，
所以，即
也就是，故选D．
变式:
已知函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，为自然对数的底数，则（
C
）
例3．在数列中，．则数列中的最大项为(
)．
A．　　　
B．
C．
　
D．不存在
【解析】由已知，，，
易得.
猜想当时，是递减数列
又由知，令，
则
当时，，则，即
在内为单调递减函数，
时，是递减数列，即是递减数列
又，数列中的最大项为
故选B．
练习1．已知函数对任意的满足,则（
）A．
B.
C.
D.
提示：构造函数，选D．
二、构造函数法解恒成立问题
例1．若函数y=在R上可导且满足不等式恒成立，对任意正数、，若，则必有（
）
A．　　　
B．
C．
　
D．
【解析】由已知
∴构造函数
，
则，
从而在R上为增函数。
∴
即，故选C。
例2．已知是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足≤0，对任意正数、，若，则必有（
）
A．　　　
B．
C．
　
D．
【解析】，，故在（0，+∞）上是减函数，
由，有，即
。故选A。
变式1.设是上的可导函数，分别为的导函数，且满足，则当时，有（
C
）
变式2.
设函数
时，有（
C
）
A．
B．
C．
D．
例3．设函数在R上的导函数为，且，下面不等式恒成立的是（
）
A．　　　
B．
C．
　
D．
【解析】由已知，首先令得，排除B，D．
令，则，
①　当时，有，
所以函数单调递增，所以当时，
，从而．
②　当时，有，
所以函数单调递减，所以当时，
，从而．
综上．故选A．
例4．
如果，那么下面的不等式恒成立的是（
）
A．
　　　
B．
C．
　
D．
【解析】构造函数，易证在R上是奇函数且单调递增
+
==lg1
=
0
即：
又是增函数
即。故选B．
练习1.
已知，则实数的关系是（
D
）
A.
B.
C.
D.
【解析】构造函数，是增函数，又，，故选D．
练习2.
已知函数是R上的可导函数，当时，有,则函数的零点个数是(
B
)
A.0
B.1
C.
2
D.3
【解析】由，得，构造函数，
则
，∵当时，有,∴当时，
即当时，，此时函数单调递增，此时，
当时，，此时函数单调递减，此时，
作出函数和函数的图象，（直线只代表单调性和取值范围），由图象可知函数的零点个数为1个．故选B．
三、构造函数法解不等式
例1.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　)
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)
D．(－∞，＋∞)
【解析】构造函数G(x)＝f(x)－2x－4，所以，由于对任意x∈R，，
所以>0恒成立，所以G(x)＝f(x)－2x－4是R上的增函数，
又由于G(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以G(x)＝f(x)－2x－4>0，
即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)，故选B.
变式1.
已知函数满足，且，则的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
【解析】构造新函数,
则，
，对任意，有，即函数在R上单调递减，
所以的解集为，即的解集为，选D.
变式2.定义在上的函数，其导函数满足，且，则关于的不等式的解集为
变式3.已知函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，且，则的解集为
变式4.函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为（
A
）
A.
B.
C.
D.
例2
设是定义在R上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集是
解：因为当x＞0时，有恒成立，即[]′＜0恒成立，
所以在内单调递减．
因为，所以在（0，2）内恒有；在内恒有．
又因为是定义在R上的奇函数，
所以在内恒有；在内恒有．
又不等式的解集，即不等式的解集．所以答案为∪（0，2）．
变式1.
已知定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式
的解集为（
C
）
A
B.
C.
D.
变式2.函数的定义域为R，，对任意x∈R，都有成立，则不等式的解集为（
C
）
A.
B.
C.
D.
变式3.
设是定义在上的函数，其导函数为，若，,则不等式的解集为（
D
）
A.
B.
C.
D.
变式4.函数是定义在上的偶函数,,且时,,则不等式的解集是__________（提示：构造的为奇函数，）
例4设是上的可导函数，，，则不等式的解集为
变式1．设分别是定义在上的奇函数、偶函数，当时，，，则不等式的解集为
.
变式2．已知上的函数满足，且，若，则关于的不等式的解集为
.
变式3.
设奇函数定义在上，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为_.
（提示：构造的为偶函数）
四、构造函数法求值
例1．设是上的可导函数，且，，.则的值为
.
提示：由得，所以，即，
设函数，则此时有，
故，
变式．已知的导函数为，当时，，且，若存在，使，则的值为
1
.（提示：构造）
例2．已知定义在上的函数满足，且，
，若有穷数列的前项和等于，则等于
5
.
解：∵
，∴，
即函数单调递减，∴0＜a＜1．又，
即
∴解得或a=2（舍去）．
∴，即，
数列是首项为，公比的等比数列，
∴，由，解得n=5。
变式1．
已知,都是定义在R上的函数，，，且
（，且）。，若数列的前项和大于62，则的最小值为（
A
）
A
8
B
7
C
6
D
5
变式2．已知、都是定义在R上的函数，，，．在区间上随机取一个数，
的值介于4到8之间的概率是（　　）
　
A．
B．
C．
D．
解：由题意，，∴[
]'＜0，
∴函数在R上是减函数，∵，∴0＜a＜1
∵．
∴∴
∵的值介于4到8，∴
∴在区间上随机取一个数x，的值介于4到8之间的概率是，故选A．
【模型总结】
关系式为“加”型
（1）
构造
（2）
构造
（3）
构造
（注意对的符号进行讨论）
关系式为“减”型
（1）
构造
（2）
构造
（3）
构造
（注意对的符号进行讨论）
构造函数法是在求解某些数学问题时，根据问题的条件或目标，构想组合一种新的函数关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。构造函数法解题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要解决的目标。
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