2021届高三数学二轮复习专题四 概率、统计 学案

专题四
概率、统计
一、概率
算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则所拨数字小于600的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，所有的数有个，其中小于600的有个，∴所求概率为．
【评讲建议】具有明显数学史料特征的阅读材料，我们可以将对解答没有任何影响的“新名词”舍去，不用纠结题中出现的数学文化背景，抓住本质解决问题.
《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾?坤?巽?震?坎?离?艮?兑八卦)，每一卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线)，现有3人各自随机的从八卦中任取两卦，恰有2人两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】8卦可分为四类：1阳3阴共3个，3阳1阴共3个，3阳共1个，3阴共1个，
3人各取2卦的法为，2卦的六根线中有四根阳线和两根阴线的方法数为，
因此3人中恰有2人两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线方法为，
∴所求概率为．
【评讲建议】具有明显数学史料特征的阅读材料，我们可以将对解答没有任何影响的“新名词”舍去，不用纠结题中出现的数学文化背景，抓住本质解决问题.
已知随机变量的分布列如下：
1
2
P
n
m
则的最大值（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题得，即，所以，
故，
因为，故，所以由二次函数性质得，当，的最大值.
故选：C
【评讲建议】先根据概率分布列性质得，进而求得，再根据方差的计算公式得，最后结合二次函数性质即可得答案.
小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：
所需时间（分钟）
30
40
50
60
线路一
0.5
0.2
0.2
0.1
线路二
0.3
0.5
0.1
0.1
则下列说法正确的是（
）
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
【答案】BD
【解析】对于选项，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项A错误；对于选项，线路一所需的平均时间为分钟，
线路二所需的平均时间为分钟，
所以线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；
对于选项，线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以选项C错误；
对于选项，所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为，和三种情况，概率为，所以选项D正确．
故选：BD.
【评讲建议】本题考查事件与概率的概念，及概率的应用，考查对立事件、互斥事件、古典概型、相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力.
(多选)下列有关说法正确的是（
）
A．的展开式中含项的二项式系数为20；
B．事件为必然事件，则事件、是互为对立事件；
C．设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为，；
D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则.
【答案】CD
【解析】对于，由二项式定理得：的展开式中含项的二项式系数为，故错误；对于，事件为必然事件，若，互斥，则事件、是互为对立事件；若，不互斥，则事件、不是互为对立事件，故错误
对于，设随机变量服从正态分布，若，则曲线关于对称，则与的值分别为，．故正确．
对于，设事件
“4个人去的景点不相同”，事件
“甲独自去一个景点”，
则（A），（B），，则，故正确.
【评讲建议】这是多个考点的多选题，每一个选项涉及一个（或更多个）知识点，对待这样的问题，谨慎选择的意识要更加明确.
(多选)甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．事件与事件相互独立
D．、、两两互斥
【答案】BD
【解析】因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；
因为，所以，故B正确；
同理，
所以，故AC错误；故选：BD
【评讲建议】本题考查相互独立事件的概率计算公式、条件概率的求法等，解题的关键是理解题设中的各个事件，然后选择准确的公式进行概率的求解.
已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分X服从正态分布N，则下列说法正确的有(
).
参考数据：①；②；
③.
A．这次考试标准分超过180分的约有450人
B．这次考试标准分在内的人数约为997
C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为
D．
【答案】BC
【解析】选项A；因为正态分布曲线关于对称，所以这次考试标准分超过180分的约有人，故本说法不正确；选项B：由正态分布N，可知：，
所以，
因此这次考试标准分在内的人数约为人，故本说法正确；
选项C：因为正态分布曲线关于对称，所以某个人标准分超过180分的概率为，
因此甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为，故本说法正确；
选项D：由题中所给的公式可知：，
，
所以由正态分布的性质可知：所以本说法不正确.
【评讲建议】正态分布作为一种常见的概率分布模型，需要我们准确理解密度函数中参数的意义，以及熟练运用其函数曲线的对称性解决问题.
已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则______；从中随机取一件，其长度误差落在内的概率为______.
（附：若随机变量服从正态分布，则，，.）
【答案】3
0.1359
【解析】由图中密度函数解析式，可得；又由图象可知，则长度误差落在内的概率为：
．
【评讲建议】正态分布作为一种常见的概率分布模型，需要我们准确理解密度函数中参数的意义，以及熟练运用其函数曲线的对称性解决问题.
新冠疫情期间，某市欲派甲、乙、丙三位医生去湖北省的A、B、C、D、E五个市支援，三位医生可去相同的市，也可去不同的市.
(1)
求甲不去A市、乙不去B市的派遣方法数；
(2)
设派到各市的医生人数最多为X，求X的分布列及期望.
【答案】(1)
派甲、乙、丙三位医生去湖北省的、、、、五个市支援，
三位医生可去相同的市，也可去不同的市．基本事件总数．
其中，甲去市的方法有：，乙去市的方法有：，
甲去市且乙去市的方法有5种，甲不去市、乙不去市的派遣方法数为：．
(2)
设派到各市的医生人数最多为，则的可能取值为1，2，3，
，，，
的分布列为：
1
2
3
．
【评讲建议】本题考查排列组合的应用，考查离散型随机变量的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
(1)
基本事件总数．其中，甲去市的方法有：，乙去市的方法有：，甲去市且乙去市的方法有5种，由此能求出甲不去市、乙不去市的派遣方法数．
(2)
设派到各市的医生人数最多为，则的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．
从2021年起，重庆市将进行新高考改革，在选科方式、试卷形式、考查方法等方面都有很大的变化．在数学学科上，有如下变化：新高考不再分文理科数学，而是采用一套试题测评；新高考增加了多选题，给各种层次的学生更大的发挥空间；新高考引入开放性试题，能有效地考查学生建构数学问题、分析问题、解决向题的能力．已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选或不选的得0分．每道多选题共有4个选项，正确答案往往为2项或3项．为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为．现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜．
(1)
在已知某题正确答案是“选两项”的条件下，学生甲乱猜该题，求他不得0分的概率；
(2)
学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试比较两个同学的策略，谁的策略能得更高的分数？并说明理由．
【解析】(1)
分两类：乱猜一个选项得3分，乱猜两个选项得5分．
①猜一个选项得3分的概率为；②猜两个选项得5分的概率为，
故学生甲不得0分的概率．
(2)
设甲、乙两人的得分分别为，，两人的得分期望分别为，，
学生甲：，，
学生甲的得分的分布列为
0
3
故．
学生乙：，，，
学生乙的得分的分布列为
0
3
5
故，因为，所以学生甲的策略最好．
【评讲建议】通过计算期望，进行策略比较（或选择），这类概率题与生活结合密切，体现了数学在生活中的应用.
习近平总书记在2020年元旦贺词中勉励大家：“让我们只争朝夕，不负韶华，共同迎接2020年的到来.”其中“只争朝夕，不负韶华”旋即成了网络热词，成了大家互相砥砺前行的铮铮誓言，激励着广大青年朋友奋发有为，积极进取，不负青春，不负时代.“只争朝夕，不负韶华”用英文可翻译为：“.”
(1)
求上述英语译文中，，，，四个字母出现的频率(小数点后面保留两位有效数字)，并比较四个频率的大小；(用“”连接)
(2)
在上面的句子中随机取一个单词，用表示取到的单词所包含的字母个数，写出的分布列，并求出其数学期望；
(3)
从上述单词中任选两个单词，求其字母个数之和为6的概率，
【答案】(1)
英语译文中共有个字母，，，，四个字母出现的次数分别为，，，，
所以它们的频率分别为，，，，
其大小关系为：出现的频率出现的频率出现的频率出现的频率
(2)
随机变量的所有可能取值为,
；；；
所以分布列为：
所以其数学期望为
(3)
满足字母个数之和为6的情况分为两种情况：
①从含两个字母的两个单词中取一个，再从含4个字母的两个单词中取一个，其取法个数为，
②从含3个字母的4个单词中取两个，其取法个数为，
故所求的概率为．
【评讲建议】本题主要考查频率的求法，数学期望的求法及古典概型的概率计算．
(1)
数出英语译文中字母个数及，，，四个字母出现的次数，利用频率的计算公式即可得到答案；
(2)
求出所有可能取值对应概率，即可写出的分布列，根据分布列利用期望公式即可求出的数学期望；
(3)
根据已知条件，上述单词中任选两个单词其字母个数之和为6有两种情况：一种是，中任取一个，再从，任取一个；另一种是含3个字母的4个单词中取两个，从而可求出字母个数之和为6的基本事件的个数，再求出总的基本事件的个数，然后利用古典概型概率计算公式，即可得到答案.
某烘焙店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为60元，售价为100元.如果卖不完，则剩余的蛋糕在当日晚间集中销毁，现收集并整理了该店100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)如下表：
需求量
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
30
20
12
8
将100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.
(1)
若该烘焙店某一天制作生日蛋糕17个，设当天生日蛋糕的需求量为(单位：个)，当天出售生日蛋糕获得的利润为(单位：元).
①
试写出关于的表达式；
②
求的概率分布列，并计算.
(2)
以烘焙店一天出售生日蛋糕获得利润的平均值作为决策依据，你认为烘焙店每天应该制作17个生日蛋糕还是18个？
【答案】(1)
当时，
当时，
①
②
由①可知的概率分布列为
480
580
680
0.1
0.2
0.7
故
(2)
由(1)②知，当每天制作17个生日蛋糕时，对应利润的平均值
与(1)类似地，可以得到当每天制作18个生日蛋糕时，其对应利润为的分布列为
420
520
620
720
0.1
0.2
0.3
0.4
故
由于故每天应该制作个生日蛋糕.
【评讲建议】求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：阅读理解关；概率计算关；公式应用关.
(1)
①分、两种情况讨论，根据表格中数据，分别求出当天的利润关于当天需求量的函数解析式；
②求出的所有可能，利用古典概型求出对应的概率，得到的分布列；
(2)
求出烘焙店一天加工17个蛋糕的利润期望以及每天加工18个这种蛋糕的利润期望，比较大小即可判断结果．
《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．
(1)
求物理原始成绩在区间的人数；
(2)
按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．
（附：若随机变量，则，，）
【答案】(1)
因为物理原始成绩，
所以
．
所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人）．
(2)
由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．
所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，
所以，，
，．
所以的分布列为
0
1
2
3
所以数学期望．
【评讲建议】第(1)问考查正态分布的相关知识，第(2)问是二项分布.
2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状?大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状?大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
(1)
若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
(2)
若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
【答案】(1)
选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件，则，
所以两位顾客均享受到免单的概率为；
(2)
若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、.
，，
，.
故的分布列为，
所以（元）.
若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，
由已知可得，故，
所以（元）.
因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.
【评讲建议】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题步骤如下：
(1)
判断随机变量的可能取值；
(2)
说明随机变量取各值的意义（即表示什么事件）并求出取该值的概率；
(3)
列表写出随机变量的分布列；
(4)
利用期望公式求值
①
选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率；
②
选择方案一，计算所付款金额的分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额的数学期望值，比较得出结论.
在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼．排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲乙两队进行排球比赛：
(1)
若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局．接下来两队赢得每局比赛的概率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
(2)
若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权．设两队打了个球后甲赢得整场比赛，求的取值及相应的概率．
【答案】(1)
依题意，甲队将以或的比分赢得比赛．
若甲队以的比分赢得比赛，则第4局甲赢，
若甲队以的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢．
故甲队最后赢得整场比赛的概率为．
(2)
依题意，每次发球，发球队得分的概率为，接发球方得分的概率为．
甲接下来可以以或赢得比赛，故取值为2或4．
若甲乙比分为，则取值为2，其赢球顺序为“甲甲”，对应发球顺序为“甲甲”，
，
若甲乙比分为，则取值为4，其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”，
对应发球顺序为“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”，
．
【讲评建议】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
(1)
甲队将以或的比分赢得比赛．若甲队以的比分赢得比赛，则第4局甲赢，若甲队以的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢．由此能求出甲队最后赢得整场比赛的概率．
(2)
每次发球，发球队得分的概率为，接发球方得分的概率为．甲接下来可以以或赢得比赛，故取值为2或4．若甲乙比分为，则取值为2，其赢球顺序为“甲甲”，对应发球顺序为“甲甲”，若甲乙比分为，则取值为4，其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”，对应发球顺序为“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”，由此能求出的取值及相应的概率．
某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀．竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81．假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z服从正态分布N(71，81)．
(1)
估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？
(2)
该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数(10，11，…，99)，若产生的两位数的数字相同，则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费．假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？
参考数据：若Z~N(，2)，则P(－＜Z＜＋)≈0.68．
【答案】(1)
因得分Z~N(71，81)，所以标准差＝9，所以优秀者得分Z≥＋，
由P(－＜Z＜＋)≈0.68得，P(Z≥＋)≈0.16．
因此，估计这次参加竞赛活动得分优秀者的人数为10×0.16＝1.6(万人)．
4分
(2)
方法一
设抽奖一次获得的话费为X元，
则P(X＝40)＝＝，P(X＝10)＝，
所以抽奖一次获得电话费的期望值为E(X)＝×40＋×10＝13．
又由于10万人均参加抽奖，且优秀者参加两次，
所以抽奖总次数为10＋10×0.16＝11.6万次，
因此，估计这次活动所需电话费为11.6×13＝150.8万元．
方法二
设每位参加活动者获得的电话费为X元，则X的值为10，20，40，50，80．
且P(X＝10)＝(1－0.16)×＝，P(X＝20)＝0.16×()2＝，
P(X＝40)＝(1－0.16)×＝，P(X＝50)＝0.16×()×()×2＝，
P(X＝80)＝0.16×()2＝．
所以E(X)＝10×＋20×＋40×＋50×＋80×＝15.08．
因此，估计这次活动所需电话费为10×15.08＝150.8(万元)．
【评讲建议】本题的第(2)问从两个角度给出了两种解法，解法一是抓住“抽奖一次获得电话费的期望值”，解法二是抓住“每位参加活动者获得的电话费”.
疫情期间，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，食堂为同学们提供了A餐、B餐两种餐盒.经过前期调研，食堂每天备餐时A、B两种餐盒的配餐比例为3：1.为保证配餐的分量足，后勤会对每天的餐盒的重量进行抽查.若每天抽查5个餐盒，假定每个餐盒的包装没有区分，被抽查的可能性相同，
(1)
求抽取的5个餐盒中有三个B餐的概率；
(2)
某天配餐后，食堂管理人员怀疑B餐配菜有误，需要从所有的餐盒中挑出一个B餐盒查看.如果抽出一个是A餐盒，则放回备餐区，继续抽取下一个；如果抽到的是B餐盒，则抽样结束.规定抽取次数不超过次.假定食堂备餐总数很大，抽样不影响备餐总量中A、B餐盒的比例.若抽样结束时抽到的A餐盒数以随机变量X表示，求X的分布列与数学期望.
【答案】(1)
依题意，随机地抽取一个餐盒得到B餐盒的概率为，用表示“抽取的5个餐盒中B餐盒的个数”，则服从二项分布，即，∴其中有三个B餐盒的概率.
(2)
的可能取值为：0，1，2，…，.
，，……，，.
所以的分布列为
X
0
1
2
……
n
P
……
的数学期望为：①
②
①-②得
.
即的数学期望为.
【评讲建议】本题考查二项分布，随机变量的概率分布列与数学期望，错位相减法求和．考查了学生的数据处理能力，运算求解能力．属于中档题．
(1)
用表示“抽取的5个餐盒中B餐盒的个数”，则服从二项分布，即，由此可计算出概率；
(2)
的可能取值为：0，1，2，…，.依次计算出概率得分布列，由期望公式写出期望计算式，由数列求和的错位相减法求得结论．
某地政府为了帮助当地农民脱贫致富，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为每件8元.当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂，每件只能卖5元.每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于，则销售5000件；若气温位于，则销售3500件；若气温低于，则销售2000件.为制定今年8月份的生产计划，统计了前三年8月份的气温范围数据，得到下面的频数分布表：
气温范围
（单位：）
天数
4
14
36
21
15
以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率.
(1)
求今年8月份这种食品一天销售量（单位：件）的分布列和数学期望；
(2)
设8月份一天销售这种食品的利润为（单位：元），这种食品一天生产量为（单位：件），若，求的数学期望的最大值及对应的的值.
【答案】(1)
今年8月份这种食品一天的销量（件）的可能取值为2000、3500、5000.
，，.
故的分布列为：
2000
3500
5000
0.2
0.4
0.4
的期望（件）.
（2）由题知，这种食品一天的需求量至多为5000件，至少为2000件.
当时，
若气温不低于，则；
若气温位于，则；
若气温低于，则；
此时.
故的数学期望的最大值为11900，此时.
【评讲建议】考查随机变量的分布列以及数学期望在实际中的应用，中档题.
(1)
今年8月份这种食品一天的销量（件）的可能取值为2000、3500、5000，分别计算概率，然后求数学期望即可.
(2)
根据气温分三段计算利润：若气温不低于，能全部销售，每件的利润是4元，则总利润可求；若气温位于，只能销售3500件，每件的利润是4元，件未能销售，每件折3元，则总利润可求；若气温低于，只能销售2000件，每件的利润是4元，件未能销售，每件折3元，则总利润可求；据此可求出的数学期望的最大值以及对应的的值.
2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段记作区，，记作，，记作，，记作，，例如10点04分，记作时刻64．
(1)
估计这600辆车在时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)
为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在之间通过的车辆数为，求的分布列与数学期望；
(3)
由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻服从正态分布，其中可用这600辆车在之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在之间通过的车辆数（结果保留到整数）．
若则，，
．
【答案】(1)
这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为，即
(2)
结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在前通过的车辆数就是位于时间分组中在，这一区间内的车辆数，即，所以的可能的取值为0，1，2，3，4．
所以，，，
，，
所以的分布列为：
0
1
2
3
4
所以．
(3)
由(1)得，，
所以，估计在之间通过的车辆数也就是在，通过的车辆数，
由，，得，，
所以估计在在之间通过的车辆数为辆．
【讲评建议】本题考查了离散型随机变量的概率分布列，超几何分布，正态分布等知识，阅读量大，审清题意是关键，属于中档题．
(1)
将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可．
(2)
抽样比为，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量的所有可能的取值，计算出每个对应的概率，列分布列，求期望即可．
(3)
根据频率分布直方图估计出方差，再结合(1)求出的期望，得到，再根据其对称性处理即可．
二、统计
某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论错误的是（
）
注：后指年及以后出生，后指年之间出生，前指年及以前出生.
A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的
C．互联网行业中从事运营岗位的人数后一定比前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数后一定比后多
【答案】D
【解析】对于选项A，因为互联网行业从业人员中，“后”占比为，
其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为和，
则“后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的.
“前”和“后”中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成，
故选项A正确；
对于选项B，因为互联网行业从业人员中，“后”占比为，
其中从事技术岗位的人数占的比为，
则“后”从事技术岗位的人数占总人数的.
“前”和“后”中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过，故选项B正确；
对于选项C，“后”从事运营岗位的人数占总人数的比为，
大于“前”的总人数所占比，故选项C正确；
选项D，“后”从事技术岗位的人数占总人数的，
“后”的总人数所占比为，条件中未给出从事技术岗位的占比，故不能判断，所以选项D错误.
故选：D.
【评讲建议】引导学生读题，提取关键信息，读懂图表是关键！
演讲比赛共有10位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分．8个有效评分与10个原始评分相比，不变的数字特征是（
）．
A．中位数
B．平均数
C．方差
D．极差
【答案】A
【解析】设10位评委评分按从小到大排列为，
则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，A正确．
②原始平均数，后来平均数，平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确；
③，
由②易知，C不正确．
④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．
故选：A.
【评讲建议】一组数，删去部分数，它们的数字特征有何变化？回归计算公式（或相关性质）进行思考是根本.
气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度（都是正整数，单位：的记录数据如下：
①甲地5个数据的中位数为26，众数为22；
②乙地5个数据的平均数为26，方差为5.2；
③丙地5个数据的中位数为26，平均数为26.4，极差为8．
则从气象意义上肯定进入夏季的地区是　　
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】D
【解析】①因为众数为22，所以至少出现2次，若有一天低于22，则中位数不可能是26，所以甲地肯定进入夏季；
②设温度由低到高为：，，，，，
根据方差的定义，，
所以，
若有一天低于22，不妨设，则不满足平均数26，故没有低于22的，所以乙地进入夏季；
③设温度由低到高为：，，，，，
由题意可得，，取，则，故，，，
由平均数的定义可得：，
，可得，
与矛盾，所以丙地进入夏季．
故选：．
【评讲建议】本题主要考查的是数字特征．利用中位数、众数、平均数、极差、方差怎么来估算该组数据的其他数，是中档题．
(多选)冬末春初，咋暖咋寒，人们容易感冒发热.
若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产.
某大型公司规定：若连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热.
下列连续7天的统计特征数中，能判断该公司没有发生群体性发热的为
A.
中位数为3，众数为2
B.
均值小于1，中位数为1
C.
均值为3，众数为4
D.
均值为2，标准差为
【答案】BD
【解析】设该组数据为，且，
对于A，因为中位数为3，众数为2，则该组数据可以为1,2,2,3,4,5,6，也可以为2,2,2,3,3,4,4，即A不能判定；
因为均值小于1，且中位数为1，即，且，所以，，则，即B能判定；
因为均值为3，所以，又因为众数为4，则该组数据可以为0,0,0,0,4,4,13，也可以为1,1,2,4,4,4,5，即C不能判定；
因为标准差为，所以方差为2，因为均值为2，所以，解得，即D能判定.
综上，选BD.
【评讲建议】本题主要考查的是平均数、方差等数字特征．举反例、考虑极端情况是解决这类选择题的常见想法．
已知一组数据，，，…，的平均数为，方差为.
若，，，…，的平均数比方差大4，则的最大值为__________．
【答案】-1
【解析】设新数据，，，…，的平均数为，方差为，
可得：，，由新数据平均数比方差大4，
可得，可得，可得：，
由，可得，可得当时，可得的最大值为：，
故答案为：.
【评讲建议】本题主要考查了平均数、方差的性质，应引导学生多分析题目，将题目的条件进行翻译，准确列出相应的关系式.
为了推进分级诊疗，实现“基层首诊?双向转诊?急慢分治?上下联动”的诊疗模式，某城市自2020年起全面推行家庭医生签约服务.已知该城市居民约为1000万，从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.
(1)
估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数；
(2)
据统计，该城市被访者的签约率约为44%.为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由.
【答案】(1)
该城市年龄在50-60岁的签约人数为：万；
在60-70岁的签约人数为：万；
在70-80岁的签约人数为：万；
在80岁以上的签约人数为：万；
故该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数为：万；
(2)
年龄在10-20岁的人数为：万；
年龄在20-30岁的人数为：万.
所以，年龄在18-30岁的人数大于180万，小于230万，签约率为30.3%；
年龄在30-50岁的人数为万，签约率为37.1%.
年龄在50岁以上的人数为：万，签约率超过55%，上升空间不大.
故由以上数据可知这个城市在30-50岁这个年龄段的人数为370万，基数较其他年龄段是最大的，且签约率非常低，所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到以上，应着重提高30-50这个年龄段的签约率.
【评讲建议】“陈述理由”类的统计题，需关注.
小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔在某周的周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x元和销售量y支之间的数据如下表所示：
星期
1
2
3
4
5
单支售价x(元)
1.4
1.6
1.8
2
2.2
销售量y(支)
13
11
7
6
3
(1)
根据表格中的数据，求出y关于x的回归直线方程；
(2)
请由(1)所得的回归直线方程预测销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为0.56元，为达到日利润(日销售量×单支售价-日销售量×单支进价)最大，在(1)的前提下应该如何定价？
(其中：回归直线方程，，，)
【答案】(1)
因为，，
所以，则.
所以，回归直线方程为.
(2)
当时，，得，
假设日利润为，则：，
易知，即
根据二次函数的性质，可知当元时，有.
所以单支售价为1元时，销售量为18件；为使日利润最大，单支定价为1.5元.
【评讲建议】(1)
分别求出，，再结合，，可求出，从而得到回归直线方程；
(2)
令，求出的值即可，即可求出单支售价；假设日利润为，可得到，进而求出的范围，结合二次函数的性质，可求出最大值，及取得最大值时的值.
新高考取消文理科，实行“”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表：
年龄(岁)
频数
了解
(1)
请根据上表完成下面列联表，并判断是否有的把握认为对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？
了解新高考
不了解新高考
总计
中青年
中老年
总计
附：
(2)
现采用分层抽样的方法从中老年人中抽取人，再从这人中随机抽取人进行深入调查，求事件“恰有一人年龄在”发生的概率.
【答案】(1)
列联表如下表所示：
了解新高考
不了解新高考
总计
中青年
中老年
总计
，
所以有把认为对新高考的了解与年龄有关；
(2)
按分层抽样从年龄在、、中依次抽取的人数为、、，
记抽取的人为、，从抽取的人为，从抽取的人为，
则所有可能的结果有、、、、、，共种，
事件所包含的基本事件有：、、、，共种，所以，.
【评讲建议】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．当基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举.
(1)
根据题中信息可完善列联表，并计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
(2)
计算出按分层抽样从年龄在、、中依次抽取的人数为、、，记抽取的人为、，从抽取的人为，从抽取的人为，列举出所有的基本事件，确定事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求出事件的概率.
为了解国内不同年龄段的民众旅游消费的基本情况.某旅游网站从其数据库中随机抽取了1000条客户信息进行分析，这些客户一年的旅游消费金额数据如下表所示；
旅游消费（千元）
年轻人（人）
95
85
70
50
65
35
中老年人（人）
60
95
115
130
115
85
把一年旅游消费金额满8千元称为“高消费”，否则称为“低消费”.
(1)
从这些客户中随机选一人.求该客户是高消费的中老年人的概率；
(2)
估计低消费的年轻人的平均消费；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)
完成下面的列联表，并判断能否有99%的把握认为旅游消费的高低与年龄有关.
低消费
高消费
合计
年轻人
中老年人
合计
附表及公式：，其中
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)
样本中总客户数为1000，其中高消费的中老年人有200人，
随机选一人，则该客户是高消费的中老年人的概率为.
(2)
样本中低消费的年轻人的平均消费为（千元）.
(3)
2×2列联表如下：
低消费
高消费
合计
年轻人
300
100
400
中老年人
400
200
600
合计
700
300
1000
，
因为，所以有99%的把握认为旅游消费的高低与年龄有关.
【评讲建议】(1)
根据样本中总客户数为1000，其中高消费的中老年人有200人,利用古典概型的概率求法求解.
(2)
利用频率分布表的平均数公式求解.
(3)
根据频率分布表完成2×2列联表，再利用公式求得，与临界值表对照下结论.
三、概率与统计综合
(多选)下列说法正确的是（
）
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍；
B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为；
C．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
D．设两个独立事件和都不发生的概率为，发生且不发生的概率与发生且不发生的概率相同，则事件发生的概率为.
【答案】BD
【解析】A选项，设一组数据为,则每个数据都乘以同一个非零常数后,可得，
则，所以方差也变为原来的倍，故A不正确.
B选项，从中任取3条有4中取法,其中能构成三角形的只有3,5,7一种，故这3条线段能够成三角形的概率为，故B正确.
C选项，由，两个变量的线性相关性越强，，两个变量的线性相关性越弱，故C不正确.
D选项，根据题意可得,
设，则，得，即，解得或（舍）.
所以事件发生的概率为，故D正确.
【评讲建议】A.
根据数据的变化与方差的定义进行判断；B．利用古典概型的概率公式进行判断；C．结合相关性系数与相关性之间的关系进行判断；D．根据独立性概率公式建立方程组进行求解即可．
(多选)下列说法正确的是(
)
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍
B．设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位
C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），则P（ξ＞1）=0.5
【答案】BD
【解析】对于选项A：将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差变为原来的a2倍，故错误.
对于选项B：若有一个回归方程，变量x增加1个单位时，，故y平均减少5个单位，正确.
对于选项C：线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误.
对于选项D：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），由于正态曲线关于x=1对称，则P（ξ＞1）=0.5，正确.
【评讲建议】对A，方差应变为原来的a2倍；对B，x增加1个单位时计算y值与原y值比较可得结论；线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱；根据正态曲线关于x=1对称即可判断.
2018以来，依托用户碎片化时间的娱乐需求、分享需求以及视频态的信息负载力，短视频快速崛起；与此同时，移动阅读方兴未艾，从侧面反应了人们对精神富足的一种追求，在习惯了大众娱乐所带来的短暂愉悦后，部分用户依旧对有着传统文学底蕴的严肃阅读青睐有加.某读书APP抽样调查了非一线城市和一线城市各100名用户的日使用时长（单位：分钟），绘制成频率分布直方图如下，其中日使用时长不低于60分钟的用户记为“活跃用户”.
(1)
请填写以下列联表，并判断是否有99%的把握认为用户活跃与否与所在城市有关？
活跃用户
不活跃用户
合计
城市
城市
合计
临界值表：
0.050
0.010
3.841
6.635
参考公式：.
(2)
以频率估计概率，从城市中任选2名用户，从城市中任选1名用户，设这3名用户中活跃用户的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
由已知可得以下列联表：
活跃用户
不活跃用户
合计
城市
60
40
100
城市
80
20
100
合计
140
60
200
计算，
所以有99%的把握认为用户是否活跃与所在城市有关.
(2)
由统计数据可知，城市中活跃用户占，城市N中活跃用户占，
设从城市中任选的2名用户中活跃用户数为，则
设从城市中任选的1名用户中活跃用户数为，则服从两点分布，
其中.故，
；
；
；
.
故所求的分布列为
0
1
2
3
.
【评讲建议】本题考查了列联表、离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查了考生的数据处理能力、分析问题的能力，属于中档题.
(1)
根据频率分布直方图分别求出城市、中的活跃用户与不活跃用户，即可得出列联表.
(2)
由统计数据可知，城市中活跃用户占，城市N中活跃用户占，设从城市中任选的2名用户中活跃用户数为，，设从城市中任选的1名用户中活跃用户数为，服从两点分布，，利用二项分布求出概率即可得出分布列，再利用期望公式即可求解.
有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：
送餐单数
38
39
40
41
42
甲公司天数
10
10
15
10
5
乙公司天数
10
15
10
10
5
(1)
从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；
(2)
假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：
①
求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；
②
小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.
【答案】(1)
由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，则.
(2)
①设乙公司送餐员的送餐单数为，日工资为元，则
当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.所以的分布列为：
228
234
240
247
254
.
②
依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为，
所以甲公司送餐员的日平均工资为元，因为，所以小张应选择甲公司应聘.（意义对即可）
【评讲建议】根据题意求出随机变量的可能取值，写出随机变量的分布列与数学期望，根据古典概率计算公式、组合计算公式，计算所求概率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
(1)
记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，可得（A）的值．
(2)
①设乙公司送餐员送餐单数为，可得当时，，以此类推可得：当时，当时，的值．当时，的值，同理可得：当时，的值．求出的所有可能取值．可得的分布列及其数学期望．
②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．
自从新型冠状病毒爆发以来，全国范围内采取了积极的措施进行防控，并及时通报各项数据以便公众了解情况，做好防护．以下是湖南省2020年1月23日-31日这9天的新增确诊人数．
日期
23
24
25
26
27
28
29
30
31
时间
1
2
3
4
5
6
7
8
9
新增确诊人数
15
19
26
31
43
78
56
55
57
经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒，就有可能传染病毒．
(1)
将1月23日作为第1天，连续9天的时间作为变量，每天新增确诊人数作为变量，通过回归分析，得到模型用于对疫情进行分析．
对表中的数据作初步处理，得到下面的一些统计量的值（部分数据已作近似处理）：
，，，，，，，．
根据相关数据，求该模型的回归方程（结果精确到，并依据该模型预测第10天新增确诊人数．
(2)
如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3，在一次12人的家庭聚餐中，只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为，求最有可能（即概率最大）的值是多少．
附：对于一组数据，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
【答案】(1)
令，则，，
，，
关于的线性回归方程为，故该模型的回归方程为．
当时，，预测第10天新增确诊人数为64人．
(2)
由题意可知，，
化简得，，解得，，为整数，．故最有可能的值是3．
【讲评建议】本题考查线性回归方程的求法与应用、独立重复事件的概率、组合数的计算，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于中档题．
某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：，得到如图的频率分布直方图：
(1)
根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到；
(2)
若从这80个零件中尺寸位于，之外的零件中随机抽取4个，设表示尺寸在，上的零件个数，求的分布列及数学期望；
(3)
已知尺寸在，上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率．现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个．企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为99元．若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用．现对一箱零件随机抽检了11个，结果有1个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由．
【答案】(1)
由于，内的频率为，
，内的频率为，设中位数为，，
由，得，故中位数为63.47；
(2)
这80个零件中尺寸位于，之外的零件共有7个，其中尺寸位于，内的有3个，
位于，共有4个，随机抽取4个，则，2，3，4，
，，，，
1
2
3
4
；
(3)
根据图象，每个零件是二等品的概率为，
设余下的89个零件中二等品的个数为，由二项分布公式，，
若不对余下的零件作检验，设检验费用与赔偿费用的和为，，
若对余下的零件作检验，则这一箱检验费用为9900元，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，则，因为，所以应该对余下的零件作检验．（或者与9900相差不大，可以不做检验都行．
【评讲建议】本题考查离散型随机变量分布列，数学期望，求中位数，考查运算能力和解决问题的能力，中档题．
(1)
求出中位数即可；
(2)
这80个零件中尺寸位于，之外的零件共有7个，其中尺寸位于，内的有3个，位于，共有4个，随机抽取4个，则，2，3，4，求出分布列求出期望；
(3)
根据题意，设余下的89个零件中二等品的个数为，求出，若不对余下的零件作检验，设检验费用与赔偿费用的和为，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，则，若对余下的零件作检验，则这一箱检验费用为9900元，比较判断即可．
为了研究全年国内旅游人均消费情况与性别的关系，某互联网旅游公司从其网络平台数据库中抽取1000条用户信息进行调查，得到如下数据：
消费金额（千元）
男（人数）
105
80
67
48
44
56
女（人数）
65
102
111
122
112
88
合计（人数）
170
182
178
170
156
144
把全年旅游消费满16000元的游客称为“酷爱旅游者”．
(1)
请完成下列列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“酷爱旅游者”与性别有关；
非酷爱旅游者
酷爱旅游者
合计
男
女
合计
(2)
在庆祝公司成立15周年的系列活动中，董事会决定在其平台数据库的所有“酷爱旅游者”中随机抽取4名用户，担任网站的“形象大使”，每位“形象大使”可获得30000元奖金．另外，为了进一步刺激旅游消费，提升网站的知名度，公司将在其平台数据库的所有用户中抽取100名幸运用户给予现金奖励，规则如下：幸运用户在网页上点击“抽奖”按钮，屏幕上会随机显示两个数字，每个数字出现的可能性是相等的．两个数字中，若同时有数字1和5，则获得一等奖，奖励1000元；若只有数字1和5中的一个，则获得二等奖，奖励500元；若数字1和5都没有，则获得三等奖，奖励200元．每位“酷爱旅游者”可进行两次抽奖；每位“非酷爱旅游者”可进行一次抽奖．
①视频率为概率，求抽取的4名“形象大使”中，既有男“酷爱旅游者”，又有女“酷爱旅游者”的概率；
②如果所有的“形象大使”和幸运用户都不放弃奖励，记移动支付平台支出的奖金总额为，求的数学期望．
附：参考公式：，其中．
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)
由表格中的数据可得列联表如下：
非酷爱旅游者
酷爱旅游者
合计
男
300
100
400
女
400
200
600
合计
700
300
1000
，
故在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为“酷爱旅游者”与性别有关．
(2)
①视频率为概率，在“酷爱旅游者”中随机抽取1名用户，该用户为男酷爱旅游者的概率为，为女酷爱旅游者的概率为，
抽取的4名“形象大使”中，既有男酷爱旅游者，又有女酷爱旅游者的概率为．
②在从所有用户中抽取的100名幸运用户中，为“酷爱旅游者”的概率为，为“非酷爱旅游者”的概率为，名幸运用户每人的抽奖次数的数学期望是．
记幸运用户抽奖一次获得的奖金为元，
则，
，
，
，
．
【评讲建议】本题考查独立性检验、独立重复试验的概率、离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生对数据的分析与处理处理能力，属于中档题．
(1)
由表格中的数据可填写列联表，再根据的参考公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；
(2)
①视频率为概率，在“酷爱旅游者”中随机抽取1名用户，该用户为男、女酷爱旅游者的概率分别是和，再结合独立重复试验的概率和对立事件的概率即可得解；
②在从所有用户中抽取的100名幸运用户中，为“酷爱旅游者”和“非酷爱旅游者”的概率分别是和，从而求得100名幸运用户每人的抽奖次数的数学期望；记幸运用户抽奖一次获得的奖金为元，则的可能取值为1000，500，200，求出每个的取值所对应的概率后可得，再由即能得解．
绿色已成为当今世界主题，绿色动力已成为时代的驱动力，绿色能源是未来新能源行业的主导．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)
估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．
(2)
根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第(1)问中样本标准差的近似值为50．用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值．
①
现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任选一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的概率；
②
从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽车中单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的数量为，求．
(3)
某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操纵微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”则可获得购车优惠券．已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上依次标有第0格、第1格、第2格、、第50格．从第0格开始，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到，直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第格的概率为，2，，，其中，试说明，2，，是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，
，．
【答案】(1)
估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值：
（千米）．
(2)
①，，．
②
依题意有，．
(3)
第一次掷硬币出现正面，摇控车移到第一格，其概率为，即，
摇控车移到第格的情况是下面两种，而且只有两种：
①摇控车先到第格，又掷出反面，其概率为；
②摇控车先到第格，又掷出正面，其概率为．
，，
时，数列是首项为，公比为的等比数列，
，，，，．
此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．
【评讲建议】本题考查平均数、概率、离散型随机事件数学期望的求法，考查频率分布直方图、正态分布、二项分布、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
(1)
利用频率分布直方图能估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值．
(2)
①由，，能求出．
②
推导出，由此能求出．
(3)
第一次掷硬币出现正面，摇控车移到第一格，其概率为，即，摇控车移到第格的情况只有两种：①摇控车先到第格，又掷出反面，其概率为；②摇控车先到第格，又掷出正面，其概率为．推导出，由此能求出结果．
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