2021届高考数学二轮复习备考-与球有关的内切、外接问题课件（30张ppt)

2021届高三数学二轮复习备考-与球有关的内切、外接问题课件（30张ppt)
空间几何体的外接球问题
与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系.
一、直接法(公式法)
例1　(1)一个正方体的棱长为a，则该正方体的外接球半径为______，
内切球半径为____.
解析　设该正方体的外接球半径为R，内切球半径为r，
正方体的体对角线长即为外接球直径，棱长即为内切球的直径，
(2)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为3，则
这个球的体积为_____.
解析　设正六棱柱的底面边长为x，高为h，
反思感悟
本题运用公式R2＝r2＋d2，求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式.
二、构造法(补形法)
6π
解析　根据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，
于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球.
设其外接球的半径为R，
故其外接球的表面积S＝4πR2＝6π.
(2)三棱锥A－BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝ ，则该三棱锥A－BCD外接球的体积为________.
解析　因为AB⊥BC，BC⊥CD，
则AD为三棱锥A－BCD的外接球的直径.
设外接球的半径为R.
构造如图所示的长方体，
反思感悟
一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R＝ .
三、寻求轴截面圆半径法
例3　(1)正四棱锥S－ABCD的底面边长和各侧棱长都为 ，点S，A，
B，C，D都在同一球面上，则此球的体积为_____.
解析　如图，设正四棱锥的底面中心为O1，
∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O，
∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.
得SA2＋SC2＝AC2.
∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形.
(2)在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比.
解　作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径
为R，正方体的棱长为a，那么CC′＝a，OC＝ .
在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，
反思感悟
根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
四、确定球心位置法
例4　(1)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝ ，AC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为________.
16π
解析　取PC的中点O，
∵△PAC为直角三角形且∠PAC＝90°，
即OA＝OB＝OP＝OC，
即点O到点P，A，B，C四点的距离相等，
∴O为外接球的球心，
∴S球＝4πR2＝16π.
(2)三棱锥A－BCD，侧棱长为2 ，底面是边长为2 的等边三角形，
则该三棱锥外接球的体积为_______.
解析　如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O′在线段AO上，O′为外接球球心，
又OO′2＋OD2＝O′D2，
反思感悟
找几何体的外接球球心，即找点O，使点O与几何体各顶点的距离相等.正棱锥的外接球球心在垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点.
五、利用等体积法求内切球半径
例5　在正三棱锥A－BCD中，底面边长为2，高为1，则该三棱锥的
表面积为______，内切球半径为____.
解析　如图所示，O为△BCD的中心，且AO垂直于底面BCD，E为BC的中点，
∵底面边长为2，
设内切球半径为r，球心为O′，
∴VA－BCD＝VO′－ABC＋VO′－ACD＋VO′－ABD＋VO′－BCD，
空间几何体的外接球问题
1、球体的体积与表面积
复习回顾
2、球心O与截面圆圆心O1 的连线垂直于截面圆；设球O半径为R，截面圆的半径为r，OO1=d，则有R2=r2+d2.
O
O1
①
②
（2021年武汉市三月调考16题）如图,该图展现的是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体,其由两个全等且平行的正六边形作为基底,侧面由12个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成.若某个正六角反棱柱各棱长均为1 ,则其外接球的表面积____.
基本补形模型__能补成长方体的棱锥模型：
P
A
B
C
图1_4
直棱柱与圆柱的外接球：
总结：直棱柱和圆柱的外接球球心是
上下底面外心连线的终点。
A
B
C
P
Q
R
O2
O1
O
有一条侧棱垂直于底面的棱锥
例：在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA=AB=BC=CA=2，则三棱锥P-ABC 外接球的表面积为____.
分析与解答：
设底面外接圆半径为r，三棱锥外接球半径为R，则有
2r = ????????????????????=433，∴r =233,
?
∴????2=????2+?22=43+1=73
?
∴外接球的表面积????=4????????2=283????
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（2021年武汉市三月调考16题）如图,该图展现的是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体,其由两个全等且平行的正六边形作为基底,侧面由12个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成.若某个正六角反棱柱各棱长均为1 ,则其外接球的表面积____.
分析与解答：设上、下两个正六边形的中心分别为O1，O2，连接O1O2，则线段O1O2 的中点O即为球心。
取等腰梯形ABCD，其中AB=2，CD=3，AD=BC= 32；
?
则O1O22=322?2?322=3?1
∴外接球半径R2=OA2=OO12+AO12
=????1????224+????????12=3?14+1=3+34
?
∴外接球表面积S=4????????2=4?????3+34=(3+3)????
?
不适合用补形法解决外接球问题的棱锥
例：已知三棱锥中P-ABC 中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB 和△ABC 均为边长为的2正三角形，则三棱锥外接球的半径为________ .
P
B
A
C
H
O
O2
O1
分析与解答：
取AB中点H，连接PH、CH,则PH⊥AB，CH⊥AB，分别过△PAB，△CAB的中心O1、O2作与平面PAB，平面CAB的垂线交于点O，O即为三棱锥P-ABC的外接球球心。
四边形OO1HO2是正方形，可求得OO2=O2H=33，O2P=233，设外接球的半径为R，则R2=O2P2+OO22=53，
∴R=153.
?
方法总结：
一、想要正确解决外接球问题，必须先将几何体的线面关系分析 清楚，将几何体的有关数量条件利用到位，即要尽可能弄清楚几何体的结构特征。
二、一般地，能用补形法解决外接球问题的几何体，其结构中应有一条棱及与此棱垂直的面。另外，如果几何体具有较好对称性，也可以考虑将其放到长方体或者圆柱体中去解决。
三、过球截面的外接圆的圆心的垂线必定过球心。所以，我们在找几何体外接球球心和半径时，可以先找到几何体的两个面的外心，再作出过这两个外心且分别与这两个面垂直的直线，则这两条直线的交点即为外接球的球心。
本课结束