(共27张PPT)
第四节 二次函数y=ax2+bx+c的图象(二)
函数表达式 开口方向 增减性 对称轴 顶点坐标
a>0,开口向上;
a<0,开口向下.
a>0,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.;
a<0,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
北京时间2007年6月1日0:08，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号甲”运载火箭成功发射“鑫诺三号”通信卫星，这是中国“长征”系列运载火箭的第100次飞行。中国“长征”系列运载火箭已完成100次航天发射，其发射记录由两位数步入三位数，中国也成为继美、俄、欧之后世界上第四个主力品牌火箭执行航天发射达到百次的国家。
当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与时间 t (s) 的关系可以用公式 h = - 5 t + 150 t +10 表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
今天我们继续学习： 二次函数y=ax2+bx+c的图象(二)
试一试：分析函数 y=3x - 6x+5 的图象
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2 是可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象
提取二次项系数
配方
整理
化简:去掉中括号
能否转化为上一节课所学知识？
顶点式
解：
根据顶点式
∵a=3>0,
∴开口向上;对称轴是直线x=1;顶点坐标为(1,2).因此，将抛物线y=3x2 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位就能得到该函数的图象。
解：
y=3(x-1)2+2
试一试：分析函数 y=3x - 6x+5 的图象
你还能发现它的图象与各坐标轴的交点是什么吗？
试一试：分析函数 y=3x - 6x+5 的图象
你能用配方法确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标吗？
练一练，马到功成！
如果每次都采取“配方”，岂不是很麻烦？有更好的办法吗？
例：求二次函数y=ax +bx+c的对称轴和顶点坐标．
一般地,对于二次函数y=ax +bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
想一想，马到功成！
例:求二次函数 y=ax +bx+c 的对称轴和顶点坐标．
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
化简:去掉中括号
想一想，马到功成！
解：
顶点坐标公式
二次函数y=ax +bx+c的图象是一条抛物线
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
练一练，马到功成！
如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x +0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称．
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
桥面 -5 0 5
Y/m
x/m
10
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
桥面 -5 0 5
Y/m
x/m
10
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
⑶你是怎样计算的？与同伴交流.
可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
桥面 -5 0 5
Y/m
x/m
10
桥面 -5 0 5
Y/m
x/m
10
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗
桥面 -5 0 5
Y/m
x/m
10
课内拓展延伸
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.
2.当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t +150t+10表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
顶点坐标公式
二次函数y=ax +bx+c的图象是一条抛物线
谈一谈:你的收获
想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？
1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
2.不同点: (1)位置不同
(2)顶点不同
(3)对称轴不同
(4)最值不同
3.联系: y=a(x-h) +k(a≠0) 的图象可以看成将y=ax 的图象经过
特定的平移后得到.
函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax 的关系
作业:
看书:P50-P54,尝试利用Z+Z智能教育平台研究二次函数的图象.
真理来源于实践，又能指导实践.
再见!(共17张PPT)
第二章 二次函数
第五节 用三种方式表示二次函数
y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗？
函数的表示方式
已知矩形周长为20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2.
做一做
x
y
用函数表达式表示：
解析法—用表达式表示函数
已知矩形周长为20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2.
x
y
Y=x(10-x)=-x2+10x
做一做
用表格表示：
列表法—用表格表示函数
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10-x
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
9 16 21 24 25 24 21 16 9
已知矩形周长为20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2.
x
y
做一做
用图象表示:
图象法—用图象表示函数
已知矩形周长为20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2.
x
y
做一做
因为x表示周长为20cm的矩形边长,所以x>0,10-x>0.因此，自变量x的取值范围是0议一议
在上述问题中,自变量x的取值范围是什么？
x
y
即当x=5cm时,长方形的面积最大,它的最大面积=25cm2.
当x取何值时,长方形的面积最大？它的最大面积是多少
（5，25）
∴当x=5时,y最大=25
议一议
请你描述一下y随x的变化而变化的情况.
（5，25）
当0当5议一议
做一做
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的
你能分别用函数表达式、表格和图象表示这种变化吗
用函数表达式表示：
解析法—用表达式表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的
做一做
用表格表示：
列表法—用表格表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的
做一做
x …… -2 -1 0 1 2 3 4 ……
… 8 3 0 -1 0 3 8 …
Y= x2-2x= (x-1)2-1
用图象表示:
图象法—用图象表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的
做一做
根据以上三种表示方式,回答下列问题:
1.自变量x的取值范围是什么
∵x表示任意一个数
∴自变量x的取值范围是:
全体实数
2.图象的对称轴和顶点坐标分别是什么
3.如何描述y随x的变化而变化的情况
由表达式的顶点式和图象,可知图象的对称轴是:直线x=1,顶点坐标是:(1,-1).
由表格和图象可知,y随x的变化而变化的情况是:当x<1时,y随x的增大而减小;当x>1时,y随x的增大而增大.
议一议
知识在于比较
二次函数的三种表示方式各有什么特点 它们之间有什么联系 与同伴进行交流.
表示 优点 缺点
表达式
表格
图象
关系
变量间关系简捷明了,便于分析计算.
需要通过计算,才能得到所需结果
能直接得到某些具体的对应值
不能反映函数整体的变化情况
直观表示了变量间变化过程和变化趋势.
函数值只能是近似值
表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图象是在表达式和表格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达.
学以致用
独立
作业
（1）P58 第1,2题
P73 第1题
P74 第6题
（2）预习P59~60
祝你成功！
胜利在望本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第二章 二次函数
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象（二）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：已经能够正确说出y=ax2、 、y=ax2+c 、y=a(x-c)2 、y=a(x-h)2+k图象的开口方向、增减性、对称轴和顶点坐标，特别是对y=a(x-h)2+k形式的函数有感性认识，知道特定的形式反映特定的几何特征.
学生活动经验基础：学生已经熟练掌握画函数图象的基本步骤：列表、描点、连线，学生能够根据以往画y=ax2、 、y=ax2+c 、y=a(x-c)2 、y=a(x-h)2+k图象的经验理解y=a(x-h)2+k与y=ax2、的图象的关系。
二、教学任务分析
进一步对a、h、k响影二次函数图象产生感性认识，进一步体会建立y=a(x-h)2+k形式的必要性，能够利用二次函数顶点式解决实际问题，鼓励学生利用类比等方法探究数学问题，认识到真理来源于实践，又能指导实践。具体地说，本节课的教学目标是：
知识与技能
1．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程；
2．推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式；
3．能利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题。
过程与方法
1．体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性；
2．在学习的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想。
情感态度与价值观
1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
教学重点：推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式，并利用此解决一些问题。
教学难点：用配方法推导的对称轴和顶点坐标公式
三、教学过程分析
本节课分为五个环节：复习练习、引入课题学习的顶点坐标公式并加以练习、链接生活解决问题、小结、布置作业[来源:21世纪教育网]
第一环节 复习练习
活动内容： [来源:21世纪教育网]
说出y=ax2、 、y=ax2+c 、y=a(x-c)2 、y=a(x-h)2+k图象的开口方向、增减性、对称轴和顶点坐标。
活动目的：对前面知识作回顾，温故而知新，为后面学生学习的顶点公式作铺垫。
实际教学效果： 学生知道特定的函数形式反映特定的几何特征。
第二环节 引入课题学习的顶点坐标公式
活动内容：[来源:21世纪教育网]
1．提供素材：北京时间2007年6月1日零时零八分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号甲”运载火箭成功发射“鑫诺三号”通信卫星，这是中国“长征”系列运载火箭的第一百次飞行。中国“长征”系列运载火箭已完成一百次航天发射，其发射记录由两位数步入三位数，中国也成为继美、俄、欧之后世界上第四个主力品牌火箭执行航天发射达到百次的国家。
2．提出问题：当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与时间 t (s) 的关系可以用公式 h = - 5 t + 150 t +10 表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
3．为了解决这个实际问题，从一个具体的数学问题出发，要求学生求y=3x2-6x + 5的顶点坐标、开口方向、坐标轴等。
引导学生思考：如果二次函数的表达式为y＝a(x-h)2+k的形式，则可以很快知道它的顶点坐标、开口方向等。于是用配方的方法计算出该函数的顶点式，根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标。
4．要求学生利用配方法做P50随堂练习1（原题指定用公式）21世纪教育网
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5．学生在实践中发现，每道题的思路都是一样的，解决这样的问题所经历的步骤和过程类似，能否一般化？让学生尝试完成例题：求二次函数y=ax +bx+c的对称轴和顶点坐标。
6．小结：二次函数y=ax +bx+c的图象是一条抛物线，
7．练习：学生用顶点公式做P50随堂练习1：
活动目的：渗透化归的思想方法。
实际教学效果：
学生通过先计算有具体参数的二次函数的顶点式，再尝试计算出比较抽象的二次函数y=ax +bx+c的顶点式，无疑是降低了难度，得出结论后反过来再应用于一般情况。
在求顶点坐标时，可能会有学生结合图象，如练习（3）指出：对称轴为x＝M，其中M为函数图象与x轴交点的两个坐标的平均值，在（3）中对称轴为，应予以鼓励。
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第三环节 链接生活， 解决实际问题：21世纪教育网
活动内容：
1．提出问题：
两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x +0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关手y轴对称．
2．解决问题：
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？21世纪教育网
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
⑶你是怎样计算的？与同伴交流.
活动目的： 从模仿到活用，通过解决实际问题，对学生进行数形结合思想方法的渗透 ；另外，数学来源于生活，培养学生的数学能力，提高数学修养。
实际教学效果：充分体现以教师为主导，学生为主体的教学原则，让学生自主学习，开动脑筋，理论与实际相结合。
3．想一想
你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗
活动目的：通过对课内知识的变式，培养学生的创新精神。
4．解决上课伊始提出的问题：当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与时间 t (s) 的关系可以用公式
h = - 5 t + 150 t +10 表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
第四环节 课堂小结
活动内容：
1，二次函数y=ax +bx+c的图象是一条抛物线，
2，总结函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系
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活动目的：通过总结函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 ( file: / / / G:\\Mather.exe" \t "_parent )，与y=ax2图象之间的区别与联系，培养学生的分析能力、表达能力、归纳能力，得出的理论可再重新指导实践。
实际教学效果：让学生谈收获 ，分享学习成果提高了学生的分析能力
第五环节 布置作业
看书:P50-P54,
尝试利用Z+Z智能教育平台研究二次函数的图象
四、教学反思
1．要发掘教材，参照课本内容选择适合自己所教学生使用的材料；
2．坚持启发式教学，反对注入式；
3．加强教学的计划性；
4，多采用计算机辅助教学，效果好。
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第二章 二次函数
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象（一）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在前面几节课已经学习过并能够独立作出一个二次函数的图像，掌握了二次函数y=ax2和y=ax2+c的一般性质。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质的探索过程，在探究过程中体会到了由特殊到一般的辩证规律，积累了解决数学问题的经验和方法。学生愿意动手操作，乐于和同伴交流意见，形成不同的意见，积极参加探索解决问题的活动，在活动中感受数学的严密性、严谨性。同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
第2.4节将讨论一般形式的二次函数的图象和性质。它和学生前面几节课学习的、的图象之间有什么区别和联系？如何在已经学习过的类型上通过变化学习新的类型？如何探索一般二次函数的性质等等都是这一节需要关注的。具体的，本节课的教学目标是：
知识与技能
1．能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h和k对二次函数图像的影响。
2．能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法
1．经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的作法和性质的过程。
情感态度与价值观
1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
教学难点：理解y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系，理解a、h和k对二次函数图像的影响。
教学重点：y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的关系，y=a(x-h)2+k的图象性质
三、教学过程分析
本课设计了5个教学环节：复习引入、合作探究、练习提高、课堂小结、布置作业。
第一环节 复习引入
活动内容：提出问题，让学生讨论交流
二次函数y=3（x－1）2+2的图象是什么形状？它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系？21世纪教育网
活动目的：首先提出问题，让学生进入问题情境，并引导、启发学生和以前作过的二次函数的图象联系，使学生学会用类比的方法探究未知的知识。
实际教学效果：学生已经掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，能够类比猜想二次函数y=3（x－1）2+2的图象是一条抛物线。
第二环节 合作探究
活动内容：1、做一做：先作二次函数y=3(x-1)2的图象，再回答问题。
2、议一议
3．想一想
1．做一做
（1）完成下表，并比较3x2与3（x－1）2的值，它们之间有什么关系？
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3x2 21世纪教育网21世纪教育网
3(x-1)2 21世纪教育网
(2)在同一坐标系中作出二次函数 y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
（5）想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置
2．议一议
（1）在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
（2） x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？
（3） 猜一猜,函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2 和y=-3x2的图象的位置和形状.
（4）请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.
总结二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值[21世纪教育网
抛物线 y=a(x-h)2 (a>0) y=a(x-h)2 (a＜0)
顶点坐标[来源:21世纪教育网] （h，0） （h，0）
对称轴 直线x＝h 直线x＝h
位置 在x轴的上方（除顶点外） 在x轴的下方（除顶点外）
开口方向 向上 向下
增减性 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值 当x＝h时，最小值为0 当x＝h时，最大值为0
开口大小 |a|越大，开口越小
3．想一想
（1）在同一坐标系中作出二次函数y=3x ,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
（2）二次函数y=3x ,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系 它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么 作图看一看．
二次函数y=a(x-h) +k与y=ax 的关系
一般地,由y=ax 的图象便可得到二次函数
y=a(x-h) +k的图象:y=a(x-h) +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x-h) +k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
总结二次函数y=a(x-h)2＋k的性质
１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值
抛物线 y=a(x-h)2＋k (a>0) y=a(x-h)2＋k (a＜0)
顶点坐标 （h，k） （h，k）
对称轴 直线x＝h 直线x＝h
位置21世纪教育网 由h和k的符号确定 由h和k的符号确定
开口方向 向上 向下
增减性 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值 当x＝h时，最小值为k 当x＝h时，最大值为k
活动目的：
1、通过填表使不同函数的值在同一表格中呈现出来，便于比较。
2、通过在同一坐标系中做出两个函数的图象，使两个函数的图象特点一目了然，启发学生寻找规律，从而得到结论。
3、使学生通过讨论将总结的结论进一步加深印象，能够熟练得运用到解决问题的过程中去。
实际教学效果：大部分学生对于使用几何画板制作二次函数的图象比较熟练，能够小组合作探究抛物线的性质，但是学生的数学语言归纳还不够精炼。
第三环节 练习提高
活动内容：
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系
（3）对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小 二次函数y=3(x+1)2+4呢
活动目的：对本节知识进行巩固练习。
实际教学效果：学生都能够利用归纳的性质完成课堂练习。
第四环节 课堂小结
活动内容：师生互相交流本节课的学习心得，感受及收获。
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）包括二次函数图象的制作，函数图象性质的总结归纳。
实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获。
第五环节 布置作业
P48 习题2.4 1题.
四、教学反思[来源:21世纪教育网]
本节课的设计没有充分考虑学生的几何画板应用水平。对于学生的合作探究引导还不够。在时间的分配安排上要再合理一点。
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第二章 二次函数
(1) 设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大 最大值是多少
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
M
40m
30m
A
B
C
D
┐
(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大 最大值是多少
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
A
B
C
D
┐
M
N
40m
30m
xm
bm
(1)如果设矩形的一边AD=xcm,那么AB边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大 最大值是多少
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
40cm
30cm
bcm
xcm
A
B
C
D
┐
M
N
(1)设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大 最大值是多少
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
A
B
C
D
┐
M
N
P
40m
30m
xm
bm
H
G
┛
┛
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少
x
x
y
1.理解问题;
“二次函数应用” 的思路
回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.运用数学知识求解;
5.检验结果的合理性, 给出问题的解答.
用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养
鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大 最大面积是多少
2m
ym2
xm
xm
正方形ABCD边长5cm,等腰三角形PQR中,PQ=PR=5cm,
QR=8cm,点D、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两
点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向
左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形
重合部分面积为Scm2，解答下列问题：
(1)当t=3s时，求S的值；
(2)当t=3s时，求S的值；
(3)当5s≤t≤8s时，求S
与t的函数关系式，并求
S的最大值。
M
A
B
C
D
P
Q
R
l
本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决 最大面积问题，增强了应用数学知识的意识， 获得了利用数学方法解决实际问题的经验， 并进一步感受了数学建模思想和数学知识的 应用价值．
通过前面活动，这节课你学到了什么？
P63习题2.8本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第二章 二次函数
3.刹车距离与二次函数
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生经过上一节课的学习，对于抛物线已经有了初步的认识，可以利用描点法作出抛物线的图象；对于抛物线的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标有所了解；能够根据图象认识和理解二次函数的性质。
学生活动经验基础：学生在上节课经历利用描点法作出抛物线的图象的活动过程，因此对于作出二次函数和的图象不会存在太大问题；由于二次函数的图象比较直观，因此在分析两个或者多个二次函数的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标时，也有了上一节课的活动基础。
二、教学任务分析[来源:21世纪教育网]
本节课要研究的问题是关于函数和的图象的作法和性质，逐步积累研究函数图象和性质的经验．为此，本节课的教学目标是：
知识与技能
1.能作出二次函数和的图象，并能够比较它们与二次函数的图象的异同，理解与对二次函数图象的影响。
2.能说出二次函数和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。
过程与方法
经历探索二次函数和的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验。
情感态度与价值观
体会二次函数是某些实际问题的数学模型，由有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
教学重点：和图象的作法和性质[来源:21世纪教育网]
教学难点：能够比较、和的图象的异同，理解与对二次函数图象的影响。
三、教学过程分析
“刹车距离”是二次函数关系的应用之一，本节借助晴天和雨天刹车距离的不同，引出二次函数的系数对图象的影响．由此可知二次函数是某些实际问题的数学模型．
由现实生活中的“刹车距离”联系到二次函数，说明数学应用的广泛性及实用性。
在教学中，由实际问题入手，能激起学生的学习兴趣和信心，运用类比的学习方法，通过与的图象和性质的比较，总结出它们的异同，从而更进一步地掌握不同形式的二次函数的图象和性质．
本节课设计了六个教学环节：情境创设、新课讲解、做一做、议一议、课堂小结、布置作业。
第一环节 情境创设21世纪教育网
活动内容：[来源:21世纪教育网]
1.二次函数y＝x2与y=-x2的图象一样吗？它们有什么相同点？不同点？
2.二次函数是否只有y＝x2与y＝-x2这两种呢 有没有其他形式的二次函数？
活动目的：以问题串的形式引导学生逐步深入的思考，在复习的同时，开门见山的引出新课内容。
实际教学效果：学生对于y＝x2与y＝－x2这两种非常简单的二次函数图象的理解非常深刻，可以很快的说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并且会主动的对它们进行比较（这两个图象关于x轴对称，本身又关于y轴对称，顶点在一起……），说明学生对于抛物线的概念与性质的理解是比较深刻的。
第二环节 新课讲解
活动内容：
1. 给出s＝v2的图象，在同一直角坐标系内作出函数s=v2的图象；
2. 比较s=v2和s＝v2的图象。
活动目的：可以利用描点法作出s=v2的图象，体会二次函数表达式、表格、图象三者之间的联系，也为比较s=v2和s＝v2的图象做好准备。
实际教学效果：学生作图象的能力比较理想，绝大多数同学没有存在什么困难，因为画图象只需要三个步骤，即列表、描点、连线。由于两个图象非常直观，学生可以一边观察图象，一边对两个图象进行比较。学生经过讨论得出了答案：
1.相同点：(1)它们都是抛物线的一部分；(2)二者都位于s轴的左侧；(3)函数值都随v值的增大而增大。
2.不同点：(1)s=v2的图象在s=v2的图象的内侧； (2)s=v2的s比s＝ v2中的s增长速度快。
第三环节 做一做
活动内容：
1.在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象．
(1)完成下表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 33 …
y=x221世纪教育网 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y=2x2 … 18 821世纪教育网[来源:21世纪教育网] 2 0 2 8 18 …
(2)分别作出二次函数y=x2和y=2x2的图象．
(3)二次函数y＝2x2的图象是什么形状 它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
活动目的：让学生作出完整的二次函数图象（在第二环节只是画了一半的图象，原因是速度只能是正数），然后用自己的语言进行描述图象的性质，初步体验二次函数的系数对图象的影响。
实际教学效果：学生基本上可以用自己的语言对两个图象进行比较，但是思考得不是很完整，需要老师及时的补充或者提示，教师可以引导学生从顶点、对称轴、增长速度等角度进行思考，从而深刻的理解二次函数的性质。
第四环节 议一议
活动内容：
1.在同一直角坐标系内作出函数y＝2x2与y＝2x2+1的图象，并比较它们的性质．
2.在同一直角坐标系内作出函数y＝3x2与y＝3x2-1的图象，并比较它们的性质．21世纪教育网
活动目的：对二次函数性质的巩固与拓展，从图象直观理解函数之间（相同）的平移关系，培养学生的动态思维。
实际教学效果：学生通过观察图象，发现两个图象是“全等的”，开口方向、对称轴都是一样的，只是顶点不一样，向上移动了1格。有几个思维活跃的学生马上就开始探索移动的原因，发现y＝2x2+1比y＝2x2的y值多1，就向上移动了一格；这时，教师可以拓展一下：如果减1呢，结果会怎样？减2呢？这样就把第二个问题也解决了。在老师的引导下，学生可以总结出这样的发现：y＝ax2+c的图象可以看成y=ax2的图象整体上下移动得到的，当c>0时,向上移动│c│个单位，当c<0时，向下移动│c│个单位。
第五环节 课堂小结
活动内容：师生互相交流总结：
1.作二次函数图象的步骤：列表、描点、连线。
2. 快速、准确的说出和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。
3. y＝ax2+c的图象可以看成y=ax2的图象整体上下移动得到的，当c>0时,向上移动│c│个单位，当c<0时，向下移动│c│个单位。
活动目的：帮助学生归纳二次函数的性质。
实际教学效果：学生学习这节课是先动手，后操作，因此体会很深，对于作二次函数图象的步骤与归纳二次函数的性质，都得心应手。
第六环节 布置作业
1.完成课本45页习题2.3 1，2
2.函数y＝5x2的图象在对称轴哪侧 y随着x的增大怎样变化
3.函数y＝－5x2有最大值或最小值吗 如果有，是最大值还是最小值 这个值是多少：
[来源:21世纪教育网]
四、教学反思
1.一定要留足时间让学生自己作出二次函数的图象
可能在教学过程中，有些教师会觉得作图象是上一节课的重点，这一节主要是学生观察、分析图象，从而不让学生画图象或者只是简单的画一两个。这种做法看上去好像更加突出了重点、难点，却没有给学生探索与发现的过程，造成学生对于二次函数性质的理解停留在表面，知识迁移相对薄弱，不利于培养学生自主研究二次函数的能力。这将对后面的学习造成困难。所以在教学过程中，一定要留足时间，让学生一边作图，一边发现，而不是教师给出图象，让学生观察。
2. 相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
在归纳二次函数性质的时候，也要充分的相信学生，鼓励学生大胆的用自己的语言进行归纳，因为学生自己的发现远远比老师直接讲解要深刻得多。在教学过程中，要注重为学生提供展示自己聪明才智的机会，这样也利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在让学生归纳二次函数性质的时候，学生可能会归纳得比较片面或者没有找出关键点，教师一定要注意引导学生从多个角度进行考虑，而且要组织学生展开充分的讨论，把大家的观点集中考虑，这样非常有利于训练学生的归纳能力。
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第二章 二次函数
第六节 何时获得最大利润
顶点式、对称轴和顶点坐标公式：
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
回顾旧知
利润=
总利润=
回顾旧知
售价－进价
每件利润×销售额
请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多
何时获得最大利润
某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。
想一想
设销售价为x元(x≤13.5元)，那么
何时获得最大利润
某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。
做一做
销售量可表示为 ： 件；
销售额可表示为： 元；
所获利润可表示为： 元；
当销售单价为 元时，可以获得最大利润,最大利润是 元。
我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在请你验证一下你的猜测(增种多少棵橙子树时，总产量最大？)是否正确。与同伴进行交流你是怎么做的。
何时橙子总产量最大
还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？
想一想
何时橙子总产量最大
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
做一做
在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？
x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
y/个
当增种10棵橙子树时，可以使果园橙子总产量最多。
2、利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系。
何时橙子总产量最大
1、利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系。
议一议
3、增种多少棵橙子，可以使橙子的总产量在60400个以上？
何时获得最大利润
某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
随堂练习
课堂小结
你今天学到了什么？
独立
作业
P61 习题2.7
第1，2题(共18张PPT)
1. y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的__________。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直线x= ,顶点坐标是（ ， ）。
2、二次函数的解析式中
一般式:
顶点式：
交点式：
二次函数
y = ax2 + bx +c (a≠0)
y = a(x-h)2 + k
y = a(x-x1)(x-x2)
3. 抛物线y = x2 + 2x - 4 的对称轴是_______, 开口方向是______,
顶点坐标是___________.
4. 抛物线y=2(x-2)(x-3)与x轴的交点为_______________,与y轴的
交点为___________.
5. 已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0) 并经过点M(0,1), 则 此抛物
线的解析式为_______________
y=-x2+1
X = -1
向上
（-1，-5）
(2 ,0) 和（3, 0）
(0 ,12)
【例】我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0 表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度.
二次函数与一元二次方程
【例】竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0 表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么：
用心想一想，马到功成
( 1 ) h和t的关系式是什么？
（2）图象上的每一个点的横、纵坐标分
别代表什么含义？
( 3 ) 小球经过多少秒后落地
你有几种求解方法 与同伴进行交流.
二次函数与一元二次方程
【例】我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0 表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么：
用心想一想，马到功成
( 1 ) h和t的关系式是什么？
（2）图象上的每一个点的横、纵坐标分
别代表什么含义？
( 3 ) 小球经过多少秒后落地
你有几种求解方法 与同伴进行交流.
二次函数与一元二次方程
用心想一想，马到功成
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系
可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)
是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,
小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
(1)h和t的关系式是什么？
(2)小球经过多少秒后落地 你有几种求解方法 与同伴进行交流.
二次函数与一元二次方程
解: 是二次函数h=－5t2＋40t．
解: 8s. 可以利用图象，也可以解方程 －5t2＋40t=0
分别求出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴的交点的坐标,并作出草图.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
思路点拨:与x轴交点就是求当 y=0 时这个方程的解,然后
写成点的坐标.
二次函数与一元二次方程
比一比，看谁快
与x轴交点
（-2，0）和（0，0）
（1，0）
与x 轴无交点
(1) 每个图象与x 轴有几个交点？
(2) 一元二次方程 x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个根
验证一下,一元二次方程 x2-2x+2=0 有根吗
(3) 二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次
方程 ax2+bx+c=0 的根有什么关系
观察下列二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
二次函数与一元二次方程
议一 议、取长补短
归纳整理:
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
1、 有两个交点,
2、 有一个交点,
3、 没有交点.
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
二次函数与一元二次方程
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的
横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程
ax2+bx+c=0的根.
议一 议、取长补短
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数与一元二次方程
归纳整理、理清关系
【例】 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式
h=－4.9t2＋19.6t 来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的间．
（1）t=1时，足球的高度是多少？（2）t为何值时，h最大？（3）球经过多长时间球落地？（4）方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗 （5）方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗
二次函数与一元二次方程
解：（1）t=1时，h=14.7
(2)∵h=－4.9(t-2) 2+19.6 ∴当t=2时，h最大
（3）对于h=－4．9t2＋19．6t 球落地意味着h=0
即－4．9t2＋19．6t=0，解得t1=0（舍去），t2=4 ．
即足球被踢出后经过4s后球落地.
(5)解方程 14.7=－4.9t2＋19.6t 得t=1, t=3
表明球被踢出1秒和3秒时，离地面的高度都是14.7米
图上表示为抛物线与直线h=14.7 的交点的横坐标
(4) 方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是球离地和落地的时间，图上表示为抛物线与x轴交点的横坐 标
二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程 它们的关系如何
二次函数与一元二次方程
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60cm 你是如何知道的
解: 在h=-5t2+v0t+h0中, 令h=60
解得x1=2 , x2=6
一般地，当y取定值时，二次函数即为一元二次方程
例: 已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有交点，求k的
取值范围.
点拨：①因为是二次函数，因而k≠0；
②有交点，所以应为△≥0．
二次函数与一元二次方程
错解：由△=（－7）2－4×k×（－7）=49＋28k＞0，
得k＞－ ．
正确解法：此函数为二次函数，∴k≠0，又与x轴有交点，
∴△=（－7）2－4×k×（－7）= 49＋28k≥0，
得k≥－ ，即k≥－ 且k≠0
（10分钟100分）
二次函数与一元二次方程
1．抛物线y=-3（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为_____
2．抛物线y=x2－2x＋3与x轴的交点个数为 个．
3．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=______
4．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k
的取值范围 ．
5．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx
＋c 经过 象限．
(2,0)(-5,0)
0
8
K≥
一、二、三
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二
次方程ax2+bx+c=0的根关系表
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数与一元二次方程
归纳小结、说一说
课内拓展延伸
P63 习题2.8 1,2题.
二次函数与一元二次方程
补充思考题：
若二次函数y=ax2＋bx＋c的函数值恒为正，则需满足 ，若二次函数y=ax2＋bx＋c的函数值恒为负，则需满足 ．(共15张PPT)
复习填空：
1、一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）
的函数叫做x 的___________.
2、画函数图象的主要步骤是什么？
二次函数
（1）_____ ；
（3）______。
（2）_____ ；
列表
描点
连线
3、请你画出二次函数 y=x2 的图象。
列表：
y
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
… 9 4 1 0 1 4 9 …
y
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
… 9 4 1 0 1 4 9 …
x
y
o
y=x2
(1)你能描述图象的形状吗
与同伴进行交流.
(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么
请你找出几对对称点,并与同伴交流.
(3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
(5)当x取什么值时,y的值最小 最小值是什么？
你是如何知道的？
探究二次函数y=x2的图象和性质
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
二次函数y=x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
当x<0 (在对称轴的左
侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的右
侧)时, y随着x的增大而
增大.
当x=-2时，y=4
当x=-1时，y=1
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
抛物线y=x2在x轴的
上方(除顶点外),顶点
是它的最低点,开口
向上,并且向上无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最小,最小值是0.
探究二次函数y=-x2的图象
二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出
它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行
交流。
o
x
y
y=－x2
x
y
o
y=x2
二次函数y= -x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
它与抛物线y=x2图
像的开口方向相反
它与抛物线y=x2
图像的形状相同
o
y
x
y=x2
y=－x2
说说二次函数y=－x2的图象
有哪些性质？与同伴交流。
（1）图象与x轴交于原点(0，0)
（2） y ≤0
（3）当x <0时，y 随x 的增大
而增大；
当x >0时，y 随x 的增大
而减小。
（4）当 x = 0时， y最大值 = 0
（5）图象关于
y 轴对称。
小结
探究二次函数y=-x2的性质
练习与提高 ：
1、已知函数 是关于x 的二次函数。求：
（1）满足条件的m 的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，
这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？
这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？
o
y
x
2、已知点A(1，a)在抛物线y = x2 上。
（1）求A的坐标；
（2）在x 轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
A
作业
小结：二次函数y=± x2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=x2
y= -x2
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
课后作业 ：
P41习题2．2 1,2题.
祝你成功！
有不断的思考,才会有新的发现;有量的变化,才会有质的进步.
结束寄语:(共20张PPT)
y=ax2+bx+c
想一想
函数y=ax +bx +c的图象
二次函数 y=3(x-1)2+2 的图象是什么形状 它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象。
比较二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象。
⑴完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们之间有什么关系
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3x2
3(x-1)2
27
48
0
3
12
3
12
27
48
27
0
3
12
3
12
27
(2)在同一坐标系中作出二次函数 y=3x2和
y=3(x-1)2的图象．
做一做
(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
y=3(x-1)2
y=3x2
图象是轴对称图形,
对称轴是平行于
y轴的直线:x=1.
顶点坐标
是点(1,0).
(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
二次项系数
相同a>0,
开口都向上.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置
y=3x2
二次函数y=3(x-1)2
与y=3x2的图象形状
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴
向右平移了1 个单位.
在对称轴(直线x=1)左侧
(即x<1时),函数y=3(x-1)2
的值随x的增大而减少.
顶点是最低点,函数
有最小值.当x=1时,
最小值是0。
(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
在对称轴(直线x=1)右侧
(即x>1时),函数y=3(x-1)2
的值随x的增大而增大,.
想一想,在同一坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样
二次函数y=3(x-1)2
与y=3x2的增减性类似.
议一议P47
1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
2. x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大
x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和
y=3(x+1)2的图象．
做一做
完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,
它们之间有什么关系
函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
27 12 3 0 3 12 27
27 12 3 0 3 12 27
27 12 3 0 3 12 27
27 12 3 0 3 12 27
图象是轴对称图形,
对称轴是平行于
y轴的直线:x= -1.
顶点坐标
是点(-1,0).
1.函数y=3(x+1)2的图象与y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
二次项系数相同
a>0,开口都向上.
想一想,二次函数y=3(x+1)2的图象的增减性会怎样
二次函数y=3(x+1)2
与y=3x2的图象形状
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴向左平移了1 个单位.
在对称轴(直线x=-1)左侧
(即x<-1时),函数y=3(x+1)2
的值随x的增大而减少.
顶点是最低点,函数
有最小值.当x=-1时,
最小值是0.
2. x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？
在对称轴(直线x=-1)
右侧(即x>-1时),
函数y=3(x+1)2的值
随x的增大而增大.
猜一猜:函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2
和y=-3x2的图象的位置和形状.
请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.
二次函数y=3(x+1)2
与y=3x2的增减性类似.
2.抛物线y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
y
3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(直线x=1)的左侧(即当x<1时), y随着x的增大而增大;在对称轴(直线x=1)右侧(即当x>1时), y随着x的增大而减小;当x=1时,函数y的值最大(是0).抛物线y=-3(x+1)2在对称轴(直线x=-1)的左侧(即当x<-1时), y随着x的增大而增大;在对称轴(直线x=-1)右侧(即当x>-1时), y随着x的增大而减小;当x=-1时,函数y的值最大(是0).
二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平移了1个单位.
x=-1
x=1
1.抛物线y=-3(x-1)2的顶点是(1,0);对称轴是直线x=1;抛物线y=-3(x+1)2的顶点是(-1,0);对称轴是直线x=-1.
二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
开口大小
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2 (a>0)
y=a(x-h)2 (a<0)
（h，0）
（h，0）
直线x=h
直线x=h
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=h时,最小值为0.
当x=h时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
越小,开口越大.
越大,开口越小.
我思，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=3x ,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
做一做
二次函数y=3x ,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系 它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么 作图看一看．
对称轴仍是平行于y轴的直
线x=1;增减性与y=3x2类似.
顶点是(1,2).
二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x ,
y=3(x-1)2有什么关系 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
开口向上,当
x=1时有最小
值,且最小值为2.
x=1
二次函数y=3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线y=3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上平移2个单位后得到的.
二次函数y=a(x-h) +k与y=ax 的关系
一般地,由y=ax 的图象便可得到二次函数
y=a(x-h) +k的图象:y=a(x-h) +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x-h) +k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
（h，k）
直线x=h
直线x=h
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
向上
向下
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
悟出真谛,练出本事
1.指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标:
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系
(3)对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小 二次函数y=3(x+1)2+4呢
随堂练习
2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0).
(2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴.
(3)最值不同:分别是k和0.
3.联系: y=a(x-h) +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
小结 拓展
二次函数y=a(x-h) +k与y=ax 的关系
知识的升华
独立
作业
P48 习题2.4 1题.
祝你成功！(共16张PPT)
抛物线
y=x2
y=-x2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x 轴的上方
在x 轴的下方
向上
向下
最小值为0
最大值为0
二次函数y=x2 与y=-x2的性质
如图所示
如图所示
情境创设
汽车刹车时向前滑行的距离(称为刹车距离)与什么因素有关
刹车距离与二次函数
你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗
新课讲解
雨天行驶时,由公式(2)来计算：
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数.有研究表明,晴天在某段公路上行驶时,速度为v(km／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式(1)确定,
完成下表：
120
100
80
60
40
20
0
v
128
0
8
32
72
200
288
下图是 的图象，在同一直角坐标系中
作出函数 的图象(先想一想,v可以取任何
值吗 为什么 )．
36
72
100
S=
1
v2
50
S=
1
v2
v/(km/h)
s/m
0
20
40
60
80
16
32
48
64
80
96
112
128
函数 y=ax2 (a≠0)的图象和性质
在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象．
做一做
(1)完成下表：
(2)分别作出y=x2和y=2x2的图象
…
9
18
8
2
0
2
8
18
…
…
…
4
1
0
1
4
9
…
y=2x2
y=x2
…
3
2
1
0
-1
-2
-3
x
二次项系数a>0,开口都向上;对
称轴都是y轴;增减性也相同.
顶点都是
原点(0,0).
二次函数y=2x2的
图象形状与y=x2
一样,仍是抛物线.
(3)二次函数y=2x2的图象是什么形状 它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
只是开口
大小不同.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-x2和y=-2x2的图象,会是什么样
x
y
0
y=2x2
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
函数y=2x2+1的图象是什么形状 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么 它与y=2x2的图象有什么相同和不同
议一议
y
0
y=2x2
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5.5
9
1.5
2
3
1
1.5
0.5
1
0
1.5
-0.5
3
-1
5.5
-1.5
y
9
x
-2
x
y=2x2+1
y=2x2+1与y=2x2的比较
1
2
3
-1
-2
-3
0.
1.
2.
3.
4.
-1
x
y
5
y=2x2+1
y=2x2
y=2x2+1与
y=2x2的比较
0.25
0.5
0.75
-0.25
-0.5
-0.75
0
x
-1
1
0.25.
0.5.
0.75.
1.
y
-0.25.
-0. 5.
-0.75.
-1.
y=3x2
你知道函数y=3x2-1的大致图象和位置吗
0.25.
0.25.
0.5.
0.75.
-0.25
-0.5.
-0.75.
0.
x
-1
1
-0.25.
-0. 5.
-0.75.
-1.
y=3x2-1
y=3x2
二次函数y=3x2-1图象可以由y=3x2 的图象向下平移一个单位得到.
函数
y=ax2+c
y=ax2
开口方向
a>0时,向上
a<0时,向下
对称轴
y轴
y轴
顶点坐标
（0,0）
（0,c）
a>0时,向上
a<0时,向下
二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象有什么关系？
当c > 0 时，二次函数y= ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象向上平移 c个单位得到.
当c < 0 时，二次函数y= ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象向下平移-c个单位得到.
能作出y=ax2和y=ax2+c的图象，并能够比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响.
说出y=ax2和y=ax2+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，以及它们之间的联系.
课堂小结
1.完成课本45页习题2.3 1，2 .
2.函数y＝5x2的图象在对称轴哪侧 y随着x的增大怎样变化
3.函数y＝－5x2有最大值或最小值吗 如果有，是最大值还是最小值 这个值是多少？
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第二章 二次函数
1.二次函数所描述的关系
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，对一次函数、反比例函数的相关知识如：各种变量、函数的一般形式、图像、增减性等知识有一定基础，相关应用也较常见，学生在学二次函数前具备了一定函数方面的基础知识、基本技能。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些解决实际问题活动，感受到了函数反映的是变化过程，并可通过列表、解析式、图像了解变化过程，对各种函数的表达方法的特点有所了解，获得了探究学习新函数知识的基础；同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
本课的具体学习任务：本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系，并能利用尝试求值的方法解决实际问题． 让学生通过分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系)，从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值．在教学中，让学生通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。
教学目标
(一)知识与技能
1．探索并归纳二次函数的定义．
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
(二)过程与方法
1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．[来源:21世纪教育网]
2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系．
3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
(三)情感态度与价值观
1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．[来源:21世纪教育网]
教学重点：二次函数的概念
教学难点：经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：课前准备、创设问题情境引入新课、想一想、做一做、归纳小结、课堂反馈、布置作业。
第一环节 课前准备
活动内容：引导学生复习函数的概念及已经学习过的几种函数：
1.对“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗？我们学过那些关于函数的生活实际问题呢？
2.函数的定义是怎样下的？
3.让我们一起来回忆一下这些函数的一般形式。
活动目的：函数是对初中生来说是较抽象的概念，而且学生距离之前学习函数相关内容有较长时间间隔，这里有必要从学生已有的知识经验出发，学习新的内容，注重知识之间的联系，调动学生学习的积极性与主动性，也为接下来的学习作好铺垫。
实际教学效果：通过“温故”又可重新唤起学生对变量、自变量、因变量、函数等概念的理解，在回顾以前学习过的具体实例中能更好的帮助学生了解“函数”本质所在，而同学们比较熟悉的一次函数、反比例函数更能让他们回忆学习函数的过程。
第二环节 创设问题情境，引入新课
活动内容：投影片：(§2．1A)
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
（4）大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？
请大家先独立思考，再互相交流后回答
活动目的：此处提问时先由学生思考哪些是变量,等学生思考并回答后再提问哪些是自变量,哪些是因变量。这样设计问题由简单到复杂，逐步推进，同时也可让学生初步体会到问题中所蕴涵着的函数关系。探究橙子的数量与橙子树之间的关系、及用关系式表示这一关系的过程，为引出二次函数的概念作铺垫，使学生感受二次函数与生活的密切联系。第（4）个问题让学生初次接触到本节课所要学习的新函数，为下面的学习作了一引子。
实际教学效果：学生在一个实际问题中第二次回忆起几种变量，及时对第一环节的“温故”进行反馈，而问题的设置由浅入深，学生在初三再学习函数有了好的开端，问题中的变化过程也恰好反映了函数本质所在，学生在不知不觉中也在复习函数的表示方法中的解析式法。开放问题（４）在小组之间互相猜测、互相补充，通过判断对比也加深了对一次函数、反比例函数印象。21世纪教育网
第三环节 想一想
活动内容：如果你是果园的负责人，你最关心的问题是什么 （在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？）
你能根据表格中的数据作出猜测吗？
安排学生思考，可以是小组合作，也可以是自主学习的形式，然后组织交流。在反映函数什变化过程中，教师用自己的手势向学生说明此函数的增减性，0－10时y随x的增大而增大，10－20时y随x的增大而减小，使学生形成对二次函数图象的初步印象
活动目的：让学生作主，在生活情景中学习数学，带着兴趣学数学，体验每个人都学有用的数学。用统计的方法得到关于最大产量的一种猜想，问题的最后解决留在以后。从上面的活动中，使学生初步了解新函数的增减性的与众不同和新函数的重要应用 (求最值)。
实际教学效果：学生经过前两个环节的学习，对新函数有了一定了解，事实上新函数的很多相关知识已经出现，学生知道它是确实有别于一次函数、反比例函数的新函数，这种新函数也是从实际问题中出现的，而且新函数的增减性也有别于其它函数。[来源:21世纪教育网]
第四环节 做一做21世纪教育网
活动内容：投影片：(§2．1B)
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．（本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的“报酬”，本息和就是本金和利息的和．利息＝本金×利率×期数(时间)．）
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．在这个关系式中，y是x的函数吗？
活动目的：通过解决生活中数学问题，进一步熟悉用函数解析式反映变化过程，21世纪教育网
实际教学效果：学生对本金、利息、利率、本息和等到概念不是很熟悉，需要老师的指引，加之有了上面的学习，之后学生则能够较容易列出函数解析式。
第五环节 归纳总结
活动内容：从我们刚才推导出的式子y＝－5x2＋100x＋60000和y＝100x2＋200x＋100中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢？[来源:21世纪教育网]
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)．
提问：
1．上述概念中的a为什么不能是0？
2．对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？
3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键看什么？
4．二次函数的解析式，与我们所学过的什么知识相类似？通过这个问题，使学生能把二次函数与一元二次方程初步搭上联系即可，为以后的教学做好铺垫．
由这三个问题加深学生对二次函数意义的理解，也同时给出了二次函数的三个特例：y=ax2+bx（a≠0）；y=ax2+c（a≠0）；y=ax2（a≠0），使学生深刻理解：看一个函数是否是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0．
例1．下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y=3(x-1) +1 (2)y=x+1/x
(3)s=3-2t (4) y=1/x -x
(5) v=Л r
例2、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m )与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
活动目的：在以上两例的基础上，给出二次函数的定义，并举出以前所见到的一些二次函数关系式，通过练习加强对二次函数的理解。
实际教学效果：通过对比前面得到函数解析式以及一次函数的定义，学生能够得到二次函数的定义，开始对没有一次项或常数项的二次函数不能判断，对但通过例题练习，学生能较好地掌握二次函数定义。
注意：(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边自变量的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.
(3)二次函数y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)还有以下几种特殊表示形式:
①y=ax --------- (a≠0,b=0,c=0,).
②y=ax +c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
③y=ax +bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
第六环节 课堂反馈
活动内容
①.下列函数中,哪些是二次函数？
(1）v=10πr (3) s=3-2t
(5) y=(x+3) -x (6) y=3(x-1) +1;
②.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m )与矩形一边长a(m)之间的关系式是什么？它是什么函数？
③.如果函数y= +kx+1是二次函数,则k的值一定是______
④.如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k的值一定是______
⑤圆的半径是4cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm .
（1）写出y与x之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm, 2cm时,圆的面积增加多少？
活动目的：通过“随堂练习”和习题，学生进一步明确二次函数的概念和进一步体会二次函数所描述的关系。
实际教学效果：学生基本都能理解二次函数的概念，判断那些函数是二次函数，使学生感受二次函数与生活的密切联系。
[来源:21世纪教育网]
第七环节 布置作业
必做题： 课本P36-37习题2.1第1、2题；
选做题： 课本P77B组第2题。
四、教学反思21世纪教育网
1．给出表格让学生探索，等于让学生沿着教师的思维进行思考和探究，这样做限制了学生的思维，使学生失去了自己探索的空间，不能全身心地投入数学学习。从本节的教后反馈来看，不借助上述的表格，放手让学生自主探索，学生完全能找到解决问题的办法。通过探究的过程，既培养了学生的观察能力，也回顾了学生已有的知识，如取值的过程从5，10，15的这一取法，就是在八年级上册所学的估算的思想，分段取值，逐步逼近。发现函数与方程的联系（如：令－5x2+100x＝0解得x1＝0，x2=20），发现变与不变的关系（如：发现60000是常量，进而去研究－5x2+100x的值的大小）。学生自己探究过程所得出的结论不仅能很好地达到本节的教学目的，同时对下面几节的教学也起到了很好的铺垫作用。第二天的教学就能很好地说明这点，在学习第二节课二次函数的图象时，学生能很快想起本节所描述的函数特征，使得函数的学习不再变得抽象难懂。21世纪教育网
2． 在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
函 数
变量之间的关系
一次函数
y=kx+b (k≠0)
反比例函数
正比例函数y=kx(k≠0)
Y/个
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X/棵
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第二章 二次函数
6.何时获得最大利润
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。
学生的活动经验基础：在前面对二次函数的研究中，学生研究了二次函数的图象和性质，掌握了研究二次函数常用的方法。
二、教学任务分析
“何时获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴。二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值。而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题。因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践。即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。具体地，本节课的教学目标是：
(一)知识与技能
1、经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。
2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力。21世纪教育网
(二)过程与方法
经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。
(三)情感态度与价值观
1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心。21世纪教育网
2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值
教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：复习回顾、创设问题情境讲授新课、巩固练习、实践应用、课堂小结、课后作业。
第一环节 复习回顾
活动内容：
1．复习二次函数y＝ax2+bx+c的相关性质：顶点坐标、对称轴、最值等。
2．复习这节课所要用的其他相关知识：利润=售价－进价，总利润=每件利润×销售额
活动目的：为后面新课作准备
第二环节 创设问题情境，引入新课
活动内容：（有关利润的问题）
某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。
请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多
设销售单价为x(x≤13.5)元，那么
(1)销售量可以表示为 ；
(2)销售额可以表示为 ；
(3)所获利润可以表示为 ；
(4)当销售单价是 元时，可以获得最大利润，最大利润是 ．21世纪教育网
这是一个有实际意义的问题，要想解决它，就必须寻找出问题本身所隐含的一些关系，并把这些关系用数学的语言表示出来。
设销售单价为x元，则与原先的单价相比，降低了(13.5-x)元，而每降低1元，可多售出200件，降低了(13.5-x)元，则可多售出200(13.5-x)件，因此共售出500+200(13.5-x)件，若所获利润用y(元)表示，则y＝(x-2.5)[500+200(13.5-x)]。
经过分析之后，上面的4个问题就可以解决了。
(1)销售量可以表示为500+200(13.5-x)=3200—200x。
(2)销售额可以表示为x(3200-200x)=3200x-200x2。
(3)所获利润可以表示为(3200x-200x2)-2.5(3200-200x)＝-200x2+3700x-8000。
(4)设总利润为y元，则
y＝-200x2+3700x-800021世纪教育网
=-200(x-.
∵-200＜0
∴抛物线有最高点，函数有最大值。
当x＝＝9.25元时，
y最大= =9112.5元.
即当销售单价是9．25元时，可以获得最大利润，最大利润是9112．5元．
活动目的：
通过这个实际问题，让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析，是教学的一个重要内容。
21世纪教育网
第三环节 巩固练习
活动内容：解决本章伊始，提出的“橙子树问题”（1.验证猜测；2.进一步分析）
1．本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的函数关系是：二次函数表达式y＝(600-5x)(100+x)＝-5x2+100x+60000。
当时曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在可以验证当初的猜测是否正确？你是怎么做的？与同伴进行交流。
实际教学效果：
大多数学生可以利用二次函数的顶点式解决问题。
y＝-5x2+100x+60000＝-5(x2-20x+100-100)+60000＝-5(x-10)2+60500。
当x=10时，y最大=60500。
2．议一议：（要求学生画出二次函数的图象，并根据图象回答问题）
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系。21世纪教育网
(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？
实际教学效果：
学生可以顺利解决这个问题，答案如下[来源:21世纪教育网]
(1)当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x>10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小。
(2)由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60400个以上。
第四环节 实践应用
活动内容：
某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
解：设销售单价为；元，销售利润为y元，则[21世纪教育网]
y=(x-20)[400-20(x-30)]
＝-20x2+1400x-20000
＝-20(x-35)2+4500。
所以当x=35元，即销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．
第五环节 课堂小结
本节课经历了探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会了二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受了数学的应用价值。
学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，提高解决问题的能力。
第六环节 课后作业
习题2．7第1，2题
四、教学反思[来源:21世纪教育网]
本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践。即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。
在教学中，要对学生进行适时的引导，并采用小组讨论的方式掌握本节课的内容，从而发展学生的数学应用能力。
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1. 抛物线y=ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点纵
坐标是3，求这条抛物线的表达式______
2．若a＜0，b＞0，c ＜ 0，△＜0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过 象限．
3. 在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=－x2＋10x．
（1）经过_____ s ，炮弹达到它的最高点，最高点的高度是_____ m ．（2）经过_____ s ，炮弹落在地上爆炸．
4.一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与_____交点的____坐标。
5.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线_________交点的_________坐标 .
一元二次方程的图象解法
三、四
5
25
10
ｘ轴
横
y= h
横
(1) 用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
(2) 观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间 。
(3) 用等分计算的方法确定方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
用心想一想，马到功成
一元二次方程的图象解法
(如何更准确估计近似值？)
(1) 用描点法作二次函数y=x2+2x-10图象；
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
(3) 观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3
的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.
(4) 借助计算器确定方程x2+2x-10=3的方程的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
(2) 作直线y=3；
(如何更准确估计近似值？)
(1) 原方程可变形为x2+2x-13=0；
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
(3) 观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.
(4) 借助计算器确定方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.;
(2) 用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象；
创新解法
利用二次函数的图象求一元二次方程3x2-x=1的近似根.
(1)用描点法作二次函数y=3x2-x-1的图象；
(2)观察估计二次函数y=3x2-x-1的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个在0与1之间,分别约为-0.4和0.8.
一元二次方程的图象解法
(3)确定方程3x2-x-1=0的解;
方程3x2-x-1=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈0.8.
利用二次函数的图象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根.
(1)用描点法作二次函数y=-2x2+4x+1的图象；
(2)观察估计二次函数y=-2x2+4x+1的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个在2与3之间,分别约为-0.2和2.2.
(3）确定方程-2x2+4x+1=0的近似根为:x1≈-0.2,x2≈2.2.
一元二次方程的图象解法
归纳小结、说一说
一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标
既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根
课内拓展延伸
作业布置：
P72 习题2.9 1题
阅读课后《走进函数大家庭》本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第二章 二次函数
2.结识抛物线
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法作出函数图象的方法。在本章第一节课中，又学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验。
学生活动经验基础：在学习一次函数、反比例函数过程中，学会了用描点法作出函数图象的方法，学生已具备了一定的作图能力，并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数形结合的必要性和重要性，获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
教科书基于学生对二次函数的概念认识，提出了本课的具体学习任务：能利用描点法作出函数y＝±x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝±x2的性质。为此，本节课的教学目标是：
(一)知识与技能
1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．
2．猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同．
(二)过程与方法
1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
(三)情感与态度
1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．[来源:21世纪教育网]
2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
教学重点：作出函数y＝±x2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y＝±x2的性质。
教学难点：由y=x2的图象及性质对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点。
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：情境引入、温故知新、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业。
第一环节 情境引入（生活中的抛物线）
活动内容：
寻找生活中的抛物线
活动目的：
通过让学生寻找生活中的抛物线，让生活走进数学，让学生对抛物线有感性认识，以激发学生的求知欲，同时，让学生体会到数学来源于生活。
实际教学效果：
学生通过开动脑筋，产生联想，寻找出生活中大量的类似抛物线的事物，再通过师生共同鉴定、修正，使学生获得大量对抛物线感性认识的经验。
第二环节 温故知新
活动内容：
复习：(1)二次函数的概念，（2）画函数的图象的主要步骤，（3）根据函数y=x2列表
活动目的：
让学生回忆与本节课有关的主要知识，为本节课探究二次函数的图象和性质做知识上、经验上的准备。
实际教学效果：
通过对有关知识的复习，学生对二次函数的概念、画函数的图象的主要步骤有了进一步的认识。
第三环节 合作学习（探究二次函数y＝±x2的图象和性质）
活动内容：
1. 用描点法画二次函数y=x2的图象，并与同桌交流。
2. 观察图象，探索二次函数y=x2的性质，提出问题：
(1) 你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流.
(2) 图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么
请你找出几对对称点,并与同伴交流.
(3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么 [来源:21世纪教育网][来源:21世纪教育网]
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？21世纪教育网
(5)当x取什么值时,y的值最小 最小值是什么？
你是如何知道的？
3.二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象
4.它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流。
5.说说二次函数y=－x2的图象有哪些性质？与同伴交流。
活动目的：
1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，
获得利用图象研究函数性质的经验．
2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
3. 通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．[来源:21世纪教育网]
4．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
实际教学效果：
1. 通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
第四环节 练习与提高
活动内容：
1、已知函数 是关于x 的二次函数。求：
（1）满足条件的m 的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，
这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？[来源:21世纪教育网]
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？
这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？
2、已知点A(1，a)在抛物线y=x2 上。
（1）求A的坐标；
（2）在x 轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
与同伴进行交流.
活动目的：
1.对本节知识进行巩固练习。
2.将获得的新知识与旧知识相联系，共同纳入知识系统。
3.培养学生整合知识的能力。21世纪教育网21世纪教育网
实际教学效果：
1.学生通过练习，进一步认识了二次函数y＝±x2的图象，
理解了二次函数y＝±x2的性质；
3. 让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而培养学生全面思考问题的良好思维习惯。
第五环节 课堂小结
活动内容：
小结：二次函数y=± x2的性质
根据图形填表：
21世纪教育网
抛物线 y=x2 y=－x2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
活动目的：
培养学生整理知识、归纳知识的习惯。
实际教学效果：
学生通过整理、归纳知识，厘清了知识之间的内在联系，有利于知识的储存和应用。
第六环节 布置作业
P41 习题2.2 1,2题
1．说说自己生活中遇到的哪些动物和植物身体的部分轮廓线呈抛物线形状.
2．设正方形的边长为a,面积为S,试作出S随a的变化而变化的图象.
四、教学反思21世纪教育网
1．要创造性的使用教材
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。学生在以前已学过解一元二次方程，等腰三角形等知识，本节课根据学生的实际情况增加了两道较综合的练习，目的是引导学生及时整合所学知识，有利于培养学生分析问题解决问题的能力。
2．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
小组合作学习交流，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。另外，练习与提高的第二题，难度偏大，可根据学生的实际情况作取舍。
o
y
x
A
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第二章 二次函数
7.最大面积是多少
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。
学生的活动经验基础：通过第七节的学习，学生已经经历了由实际问题转化为数学问题的过程，对解决这类问题有了处理经验。
二、教学任务分析
本节课将进一步利用二次函数解决问题，是上一节内容的进一步升华和提高，具体的教学目标如下：
(一)知识与技能
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
(二)过程与方法
1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．
2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．
(三)情感态度与价值观
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．
2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．
3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．
教学重点21世纪教育网
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．
教学难点
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积的问题．
三、教学过程分析21世纪教育网
本节课分为五个环节，分别是：创设问题情境引入新课、归纳升华、课堂练习活动探究、课时小结、课后作业
[21世纪教育网
第一环节 创设问题情境，引入新课
上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求二次函数的最大值，实际上就是利用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要审清题意，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，建立数学模型。在此基础上，利用我们所学过的数学知识，逐步得到问题的解答过程．[来源:21世纪教育网]
本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积的问题．
活动内容：由四个实际问题构成
1．问题一：如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．
(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？
(2)设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
问题一的设计目的：
对于这个问题，教师将其作为例题，不论是对问题本身的分析，还是具体的解法过程，都将作出细致、规范的讲解和示范。具体的过程如下：
分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC．由△EBC∽△EAF，得即．所以AD＝BC＝(40－x)．
(2)要求面积y的最大值，即求函数y＝AB·AD＝x·(40－x)的最大值，就转化为数学问题了．
下面请小组开始讨论并写出解题步骤．
(1)∵BC∥AD，
∴△EBC∽△EAF．∴．
又AB＝x，BE＝40－x，
∴．∴BC＝(40－x)．
∴AD＝BC＝(40－x)＝30－x．
(2)y＝AB·AD＝x(30－x)＝－x2＋30x
＝－(x2－40x＋400－400)
＝－(x2－40x＋400)＋300
＝－(x－20)2＋300．
当x＝20时，y最大＝300．
即当x取20m时，y的值最大，最大值是300m2．
2．问题二：将问题一变式：“设AD边的长为x m，则问题会怎样呢？”21世纪教育网
解：∵DC∥AB，
∴△FDC∽△FAE．
∴．
∵AD＝x，FD＝30－x．
∴．[来源:21世纪教育网][来源:21世纪教育网]
∴DC＝(30－x)．
∴AB＝DC＝(30－x)．
y＝AB·AD＝x·(30－x)
＝－x2＋40x
＝－(x2－30x＋225－225)
＝－(x－15)2＋300．
当x＝15时，y最大＝300．
即当AD的长为15m时，长方形的面积最大，最大面积是300m2．21世纪教育网
活动目的：
在活动解决之初（末），揭示该问题与问题一的关系
3．问题三：对问题一再变式
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少
活动目的：
有了前面两题作基础，这个问题可以留给学生自己解决，作为练习
4．问题四：
某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？
分析：x为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系．要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy＋x2最大，而由于4y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以y＝．面积S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x·＝πx2＋＝－3.5x2＋7.5x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．21世纪教育网
解：∵7x＋4y＋πx＝15，
∴y＝．
设窗户的面积是S(m2)，则21世纪教育网
S＝πx2＋2xy
＝πx2＋2x·
＝πx2＋
＝－3.5x2＋7.5x
＝－3.5(x2－x)
＝－3.5(x－)2＋．
∴当x＝≈1.07时，
S最大＝≈4.02．
即当x≈1.07m时，S最大≈4.02m2，此时，窗户通过的光线最多．
实际教学效果：
问题四中的数量关系，较前面3个问题，处理起来比较繁琐，教师要给予学生及时的指导和帮助。
第二环节 归纳升华
活动内容：
同学们能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢？与同伴进行交流．
活动目的：
通过前面例题的学习和感受，学生讨论交流，在教师的帮助下归纳出：
基本流程为：理解题目 分析已知量与未知量 转化为数学问题．
解决此类问题的基本思路是：
(1)理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
(3)用数学的方式表示它们之间的关系；
(4)做函数求解；
(5)检验结果的合理性，拓展等．
第三环节 课堂练习，活动探究
活动内容：
1. 用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大 最大面积是多少
2. 正方形ABCD边长5cm,等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形重合部分面积为Scm2，解答下列问题：
(1)当t=3s时，求S的值；
(2)当t=3s时，求S的值；
(3)当5s≤t≤8s时，求S与t的函数关系式，并求S的最大值。
第四环节 课时小结
本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积的问题，增强了应用数学知识的意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学建模思想和数学知识的应用价值．
第五环节 课后作业
习题2．8 1、2
M
A
B
C
D
P
Q
R
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第二章 二次函数
5. 用三种方式表示二次函数
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在已经学习过二次函数可以由解析式、列表、画图象三种方法表示。能通过本节课达到理解这三种方法各有各的特点，各有各的用途，它们是从不同的侧面反映了一个二次函数的性质，从而能在实际问题中灵活运用这三种方法解决实际问题。
学生活动经验基础：学生在本节课前已具备了运用解析式、列表、画图象这三种方法解决一些实际问题的能力。21世纪教育网
二、教学任务分析
本节课的教学目标是：
知识与技能21世纪教育网
1．通过运用解析式、列表、画图象三种方法表示二次函数，比较这三种方法表示二次函数的优缺点，从而为解决函数类实际问题打下坚实的基础。
2．通过学生实际解题过程，达到灵活掌握用解析式、列表、画图这三种方法表示二次函数。
3．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。
过程与方法21世纪教育网
1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。
2．让学生在学习活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和归纳总结的能力。
情感态度与价值观21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
在学习过程中体会学以致用，提高运用所学知识解决实际问题的能力。
教学重点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基础
教学难点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基础
三、教学过程分析
本节课设计了三个教学环节：解决问题、课堂小结、布置作业。
第一环节 解决问题
活动内容：
1．问题一：已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2. y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？
2．当学生完成上述的三个任务之后，进一步帮助学生明晰以下问题：
（1）在上述问题中,自变量x的取值范围是什么？
（2）当x取何值时,长方形的面积最大？它的最大面积是多少 21世纪教育网
（3）请你描述一下y随x的变化而变化的情况.
活动目的：
1．对于1，通过学生的学习活动，让学生亲自体会到函数表达式，表格和图象这三种方法表示二次函数各自的优缺点。
2．对于2，通过学生对三个问题的解答，让学生体会到函数表达式，表格和图象这三种表示方式各自的特点，为归纳总结的得出做一个适当的准备。给予学生自由讨论的时间，让学生在学习活动中通过相互间的合作与交流，相互启发，进一步发展学生合作交流的能力和归纳总结的能力。
3．在这个问题的解决过程中，教师要通过多种途径（画图、列表等）帮助更好地理解函数。
3．问题二：两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的
（1）你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗
（2）自变量x的取值范围是什么
（3）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么
（4）如何描述y随x的变化而变化的情况
（5）你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的？
活动目的：
通过实例，进一步帮助学生明晰二次函数的三种表示方法，为后面的讨论做铺垫。这个问题与前一问题相比，会留给学生更多的时间用于自我探索和练习。
实际教学效果：
1．通过两个有情境、有背景的具体问题，让学生经历了用三种方式表示二次函数的过程，既是对前面所学的回顾，也可以让学生进一步体会三种方式之间的联系与各自不同的特点。
2．由于是实际问题，自变量的取值不是全体实数，是有范围的，所以要帮助学生理解，为什么画图时之画在第一象限。[来源:21世纪教育网]
第二环节 课堂小结
活动内容：21世纪教育网
1．二次函数的三种表示方式各有什么特点 它们之间有什么联系 与同伴进行交流.
表示 优点 缺点
表达式 变量间关系简捷明了,便于分析计算. 需要通过计算,才能得到所需结果
表格 能直接得到某些具体的对应值 不能反映函数整体的变化情况
图象 直观表示了变量间变化过程和变化趋势. 函数值只能是近似值
关系 表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图象是在表达式和表格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达.
2．对本节知识进行巩固，原则上由学生复述内容及要点。
21世纪教育网
活动目的：
将前面两个特殊问题一般化，比较和概括出三种表达方式的优缺点。
实际教学效果：
由于之前通过特殊问题作了铺垫，这里学生概括起来比较顺利。
第三环节 布置作业
（1）P58 习题2.6第1,2题[来源:21世纪教育网]
（2）预习 P59~60
四、教学反思
1．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
通过学习活动应给予学生展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。课件中“勇敢表现奖属于自信的人！”及“相信你能行！”等语句其实主要是提醒自己在课上要多激励学生，让所有的学生都相信我能行。
2．注意改进的方面
课堂的容量稍显不足，可以多加一道应用型函数题以加深对三种表示函数方法的理解。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作讨论更具实效性。
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第二章 二次函数
8.二次函数与一元二次方程（二）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在上学期学习了用多种方法求解一元二次方程的根，其中有因式分解法、配方法、求根公式法，通过这些方法他们可以准确的求出方程的根。在上节课，他们学习了通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，来讨论一元二次方程的根的情况；理解了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标。这些知识基础完全可以使他们很好的完成本节课的学习目标。
学生活动经验基础：学生在本章第4节学习了“二次函数y=ax2+bx+c的图象”，其间他们学习了用列表、描点的方法画出抛物线。上节课他们又学习了利用“数”与“形”两种方法来研究二次函数与一元二次方程关系的问题，因此他们积累了一定的数形结合思想运用的认识经验，这些经验可以让他们很好的理解本节新课的学习任务。
二、教学任务分析
本课的具体学习任务：进一步体会二次函数与一元二次方程之间的联系；通过观察二次函数图象与x轴的交点，估计对应的一元二次方程的根的取值，进一步培养学生运用“数形结合”思想解决问题的能力;由于学生明白了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标，学生在知识准备上，他们已经有了较充分的准备。本节课就是对上节课从实践方面对二次函数与一元二次方程关系进行一次体验。教师在课堂上只需要通过新课前的热身练习题组，由易到难的设问，让学生回顾上节课的学习内容，再通过挑战性的语言，让学生对本节新课充满期待和探索的欲望。在想一想、填一填、议一议、试一试等活动中，让他们体验到数学活动充满着探索与创造，从而感受数学的理论学习最终要落实到实践应用上。本节课的教学目标是：
知识与技能
1．巩固理解二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根；
2．巩固理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标．
过程与方法
1．经历一元二次方程ax2+bx+c=0的根的近似值的探索得到的过程；
2．经历一元二次方程ax2+bx+c=h的根的近似值的探索得到的过程。
情感态度与价值观
1．通过对一元二次方程根的近似值探索过程，进一步体会二次函数与方程之间的联系．
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：仔细观察、大胆联想；课前热身、耐心填一填；用心想一想、马到成功；教材题变形、拓展提高；大胆尝试、练一练；课堂小结；课内外提高、布置作业。
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第一环节 仔细观察、大胆联想
问题：函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示，
x= 为该图象的对称轴，根据图象
信息你能得到关于系数a，b，c的一些 -1 1
什么结论？ -1
分析点拨：
⑴ a＞0
⑵ -1＜c＜0
⑶ b2-4ac＞0;
⑷ ∵x= , ∴2a=-3b;
⑸ 由⑴，(4)得b＜0
⑹ 由⑴,⑵,⑸得 abc＞0;
⑺ 考虑x = 1时y＜0，所以有a+b+c＜0
⑻ 又x = -1 时 y＞0，所以有a-b+c＞0;
⑼ 考虑顶点的纵坐标，有0＜c-＜-1。
活动目的：
通过一道开放性的训练题，来训练学生由“形”到“数”的形数结合能力，由于结论开放，可以考察出不同层次学生的思维能力，观察问题的是否仔细、全面。教学中先给学生独立思考的时间，再小组议论的形式，借此培养学生合作探究、相互交流、取长补短的合作意识和团队精神。
实际教学效果：
由于本练习题思考解决的入手点的多样性，学生回答问题的积极性很高，小组间的议论很热烈。教学中，我开展了看哪个小组得到的结论多的活动，同学们之间、学习小组之间的竞争气氛被很好的调动起来。有的小组得到了5个结论，有的小组得到了6个结论，我及时带领同学再认真从不同角度审图，精简点拨之后，又有些小组受到启发，踊跃抢答。当同学们回答完我事先准备好的答案后，他们还提出了另一些结论：如a+2b+4c＜0，＜2等。课堂的气氛被学生精彩的回答渲染的非常热烈。
第二环节 课前热身、耐心填一填
活动内容：
1. 抛物线y=ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的表达式___________________ .
2．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过 象限．
3. 在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=－x2＋10x．（1）经过_____时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是_____？（2）经过_____秒，炮弹落在地上爆炸？
4.一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线与直线________交点的________坐标。21世纪教育网
5.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线与直线_________交点的_________坐标 .
活动目的：21世纪教育网
教学第二个环节课前热身训练准备利用5分钟时间让学生尽快进入到学习新知识的准备中来。问题（1）的设置解题入手方向有三个，可以分别从一般式、顶点式、交点式考虑解决。以此来巩固学生求二次函数解析式的分析、运算能力。问题（2）是考察学生对二次函数系数a、b、c、△如何决定抛物线图象位置，培养学生从“数”到“形”的探究能力。问题（3）是对上节课知识内容的复习，考察学生对二次函数与一元二次方程关系的理解是否准确。问题（4）、（5）即作为对上节课内容的回顾，又为引入本节新课作好了铺垫。
实际教学效果： 21世纪教育网
学生对第（1）小题的解答确实出现了三种解法，由于时间有限，我没有做详细点评，只是提示了可以用三种方法得到，但三种方法的简洁程度的确不同。第（2）小题从已知a、b、c的条件只能判断出图象的开口、对称轴的位置，还不能判定顶点的位置，但学生很容易联想到上节课学习的△＞0可以决定图象与x轴有两个交点的结论，最终较准确判断出抛物线的位置。第（3）小题由于是上节课例题的简单变形，学生通过变形为顶点式和解方程很快的得到结论。第（4）（5）小题考察学生对上节课学习内容的理解，在实际教学中，他们大多能够准确回答出，为随后的新课作好了引如的准备。
第三环节 用心想一想，马到功成
活动内容：
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
分析解答：
(1) 用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象
(2) 观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与
x轴的交点的横坐标；
由图象可知：图象与x轴有两个交点,其横坐标
一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,
分别约为-4.3和2.3.
(3) 确定方程x2+2x-10=0的解;
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:
x1≈-4.3,x2≈2.3
活动目的：
这一环节是本节新课的重点内容，例题的设计意图一是让学生巩固对二次函数图象抛物线的形成的认识，其二主要是让他们运用二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根的原理，经历一元二次方程根的近似值探索过程，进一步体会二次函数与方程之间的联系。
实际教学效果：
在带领学生回顾二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根的原理之后，我引导学生明确了除应用求根公式计算二次方程的根之外，还可以利用画二次函数图象与x轴的交点求二次方程的根。起初学生不明白为什么能用求根公式很快计算出根来，偏偏还要用画图的方法。此时，我向同学们解释说，用求根公式求解是体现数形结合思想中“数”的一面，我们现在准备利用“形”的一面来解题。于是学生便饶有兴趣的思考下去了。
利用列表、描点画抛物线的方法学生显的比较陌生了，我就在黑板上边启发、边示范、边讲解，取自变量之前，最好先把一般式转化为顶点式，先找出顶点的横坐标，再在它左右等距离取不同的自变量值，然后分别求出对应的纵坐标值。在坐标系中描出各个点后，用光滑的曲线连接即成草图。在观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标时，由于画图误差，观察数据与实际值有较大偏差。此时我向同学们提出一个问题：“如何更准确的估计出根的取值？如果精确到十分位，那么到底近似值取-4.1、-4.2、-4.3、-4.4、-4.5、-4.6、-4.7、-4.8、-4.9中的哪一个更准确呢？”我故意把这9个数值在黑板上一一列出来，学生马上想到可将-4到-5之间的单位长再十等分,把这9个自变量值分别代入函数中，借助计算器确定哪一个的函数值最接近0，那么它就是根的近似值。教学中虽然我发现了学生普遍感觉到这种方法很麻烦，但在探索求根的近似值的过程中，有必要让他们感受到数学探索的过程并不是总充满乐趣，有时还是很艰辛的。
第四环节 教材题变形，拓展延伸[来源:21世纪教育网]
活动内容：
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
分析解答：
(1) 用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象
(2) 作直线y=3；
(3) 观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,
另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.
(4) 确定方程x2+2x-10=3的解;
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
x1≈-4.7,x2≈2.7
活动目的：
巩固学生理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标这一代数原理，培养学生熟练画函数图象的能力，提高运算的准确性和熟练使用计算器的能力。由于要列表、取值计算、描点的工作量较大，教学中我组织了学生在学习小组内合作、分工来完成，借此培养学生合作意识。
实际教学效果：
学生经过前一例题的学习，他们都跃跃欲试。我知道要完整给出图象解法是很费时间的，于是我组织了小组间的画图竞赛，看哪个小组完成的又好又准确。学习小组之间首先设计好解题思路，列表、取点、计算、描点、连线。当他们发现左边的交点横坐标在-5到-4之间时，模仿例题的方法也对将单位长进行了十等分,借助计算器求出了函数值，起初他们发现值都在3的左右而不是0时有些迷惑，随后便恍然大悟。看到他们完全沉浸在数学探索、发现的乐趣中的样子，我心理很欣慰。
在小组成果对比中，同学们发现有个小组的图象和别人的不同，起初有些议论，我就请了这个小组的成员上了讲台发言。原来他们把方程x2+2x-10=3转化成了x2+2x-13=0，这样问题就转化成前面已经解决了问题了。
附创新解法2：
(1) 原方程可变形为x2+2x-13=0；
(2) 用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象
(3) 观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之
间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7。
(4) 确定方程x2+2x-10=3的解;
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:
x1≈-4.7 ，x2≈2.7
同学们明白了这种解法的简洁原因，我也不失时机的向全班同学强调了数学学习中“化陌生为熟悉、化繁为简”的化归思想的重要性。
第五环节 大胆尝试、练一练
活动内容：
问题1：利用二次函数的图象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根
分析解答：
1)用描点法作二次函数y=-2x2+4x+1的图象；
2)观察估计二次函数y=-2x2+4x+1的图象与x
轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有
两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个
在2与3之间,分别约为-0.2和2.2
(3) 确定方程x2+4x+1=0的解;
由此可知,方程x2+4x+1=0的近似根为:
x1≈-0.2, x2≈2.2
问题2：利用二次函数的图象求一元二次方程3x2-x=1的近似根.
分析解答：
(1) 原方程可变形为3x2-x-1=0；
(2) 用描点法作二次函数y=3x2-x-1的图象
(3) 观察估计抛物线y=3x2-x-1和x轴的交点的横坐标；
图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在
-1与0之间,另一个在0与1之间,分别约为-0.4和0.8.
（4） 可估计x1≈-0.4, x2≈0.821世纪教育网
活动目的：本环节是考察同学们是否理解了用图象法求方程根的方法，能否快速准确的利用图象探求方程根的近似值，观察他们是否能自觉利用化归思想把复杂问题转化简单情况解决。
实际教学效果：在课堂巡视观察中，学生基本上掌握了用图象法估计方程根的方法，对第（2）小题也都能自觉转化为简单情况加以解决，说明学生基本上都掌握了本节课的学习任务。但他们也表示以后真的碰到这个问题时，他们准备先用求根公式把根计算出来，估计出根的近似值，再同时画出图象会更加快捷一些。
第六环节 归纳小节、说一说21世纪教育网
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，通过学生的发言，观察他们是否理解了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标，是否掌握了用画图象的方法来探求方程根的方法。
实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，他们普遍认同了函数问题研究时，应该用数形结合思想从两方面来考虑问题，说明数形结合思想在他们的数学思维中逐渐形成 。但他们也表示有的时候从“数”的一面研究比较方便，有时从“形”的一面研究问题会更简洁些。
四、教学反思
1．要准确把握教材的设计意图
开始备课时，我并没有认为这节课有多大的必要性，认为学生只要会用求根公式就行了。但在教学时，看到学生动手画图、计算、估值、讨论的投入样子，我逐渐明白了本节课的设计意图不仅仅是看重结果，更重要的是过程。
2．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
要想让学生爱数学，必须让他们对数学感兴趣，让他们有学习数学成功的体验。教学中相信学生，并为不同层次学生设计、提供展示自己的机会，多给予肯定的评价。
3．注意改进的方面
本节课由于前面复习巩固旧知识的内容较多，评讲的时间也响应长了些，影响了后面新知识的充分展开，课堂小结时显的有些仓促[来源:21世纪教育网]。
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复习：
1、什么是函数？
2、什么叫做一次函数？
3、什么叫做反比例函数？
4、函数有哪些表示方法？
在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果对于x 的每
一个可取的值，都有唯一一个y 值与它对应，那么y 称为x 的
函数。
形如y=kx+b (k、b为常数，k≠0)
形如y= (k为常数，k≠0)
解析法
列表法
图象法
温故知新
函 数
函数知多少
变量之间的关系
一次函数y=kx+b (k≠0)
反比例函数
正比例函数y=kx(k≠0)
温故知新
源于生活的数学
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
想一想
问题一
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
(1)问题中有哪些变量
其中哪些是自变量
哪些是因变量
问题一
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树 这时平均每棵树结多少个橙子
(100+x)棵
(600-5x)个
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
问题一
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
y= (100+x) (600-5x)
=-5x2+100x+60000
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
生活问题数学化
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量
你能根据表格中的数据作出猜想吗
y=(100+x)(600-5x)=-5x +100x+60000.
在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？
X/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
y/个
想一想
在种树问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？
x - 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -
y - -
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y=-5x +100x+60000,
用心想一想，马到功成
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你发现了吗？
用心想一想，马到功成
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
亲历知识的发生和发展
想一想
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
y=100(x+1) =100x +200x+100.
亲历知识的发生和发展
问题二
二次函数
y=-5x +100x+60000,
y=100x +200x+100.
有何特点
y是x的函数吗？y是x的一次函数吗？ y是x的反比例函数吗？
定义：一般地,形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
思索归纳
y=-5x +100x+60000,
y=100x +200x+100.
定义：一般地,形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
提问:
1．上述概念中的a为什么不能是0？
2．二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0
或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是
不是二次函数？
3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键
看什么？
思索归纳
y=-5x +100x+60000,
y=100x +200x+100.
定义：一般地,形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
提示:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且
a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项
和常数项,但不能没有二次项.
思索归纳
定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax +bx+c(a,
b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
的几种不同表示形式:
(1)y=ax --------- (a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax +c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax +bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
思索归纳
1.下列函数中,哪些是二次函数？
怎么判断
(1）y=3(x-1) +1;
(3) s=3-2t .
(5) v=πr .
（是）
（是）
（是）
（不是）
（不是）
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m )与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
是二次函数.
解：S=a( - a)=a(30-a)
=30a-a
= -a +30a .
2
60
4.如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k的值一定是______ .
0
3.如果函数y= +kx+1是二次函数,
则k的值一定是______ .
0或3
5.圆的半径是4cm,假设半径增加xcm时,
圆的面积增加ycm .
（1）写出y与x之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm, ,
2cm时,圆的面积增加多少？
定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax +bx+c(a,
b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
的几种不同表示形式:
(1)y=ax --------- (a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax +c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax +bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
小结 拓展
定义中应该注意的几个问题:
2.定义的实质是：ax +bx+c是整
式,自变量x的最高次数是二次.
回味无穷
小结 拓展
作业
课本P36页习题2.1
第1,2题本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第二章 二次函数
8.二次函数与一元二次方程（一）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在上学期已经学习过一元二次方程的知识，之前学习了二次函数的图象和代数表达式的三种表示方法，其中主要对一般式和顶点式做了大量的训练，因而从“数”的方面对二次函数有了比较全面的认识，但对交点式仍然停留在感性认识层面，特别是对于从数形结合的这一数学思想来认识二次函数，他们对整章各节知识的关系还没有真正完整的形成，通过从本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系开始，学生将会对二次函数的“数”和“形”真正开始进行全面、深刻的接触。[来源:21世纪教育网]
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了认识二次函数图象、求二次函数解析式、利用建立二次函数的数学模型，通过转化为顶点式求出最值，解决了一些简单的实际问题，感受到了二次函数与生活的紧密联系，他们已经有了探索本节课的数学基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了一次函数图象应用的学习，对于一次函数和一元一次方程的关系有了较多的认识，因此教学中多采取联想、类比的启发式教学，相信他们会有能力完成好本节新课的学习任务。
二、教学任务分析
本课的具体学习任务：体会二次函数与一元二次方程之间的联系；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生运用数形结合思想解决问题的能力;学生的认识要上升到理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标是有困难的，教师必须在课堂上要通过由易到难的设问，巧妙的启发，肯定的评价，努力营造出让学生探索二次函数与一元二次方程关系的氛围，使他们体验到数学活动充满着探索与创造，从而感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，有意识的培养学生初步的创新精神和实践能力．本节课的教学目标是：
知识与技能：
1．理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根；
过程与方法：
1．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．
2．理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标。
情感态度与价值观：
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系；
2．通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性。
教学重点：
理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根
教学难点：
理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标
三、教学过程分析
本节课设计了八个教学环节：课前热身、耐心填一填；用心想一想、马到成功；合作议一议、取长补短；教材题变形、拓展提高；开拓创新、试一试；大胆尝试、练一练；课堂小结；课内外提高、布置作业。
第一环节 课前热身、耐心填一填
活动内容：
1. y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的__________。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直线x=_____, 顶点坐标是（ ， ）。
2. 二次函数的解析式中的一般式是: y = ax2 + bx +c (a≠0)
顶点式：y = a(x-h)2 + k
交点式：y = a(x-x1)(x-x2)
3. 抛物线y = x2+2x- 4的对称轴是_______, 开口方向是______, 顶点坐标是___________.
4. 抛物线y=2(x-2)(x-3) 与x轴的交点为_______________,与y轴的交点为___________.
5. 已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0) ，并经过点M(0,1), 则此抛物线的解析式为_______________ 。
活动目的：
教学第一个环节课前热身练习，是利用3分钟时间让学生尽快进入到课堂角色中来。问题的设置从最简单的概念二次函数入手，紧接着从“形”的方面对抛物线图象的最基本性质：开口方向、对称轴的表达式、顶点坐标公式回顾，再从“数”的方面对二次函数解析式的三种表达形式回顾。目的一是巩固学生之前所学的基本知识，为本节课学习新知识做好铺垫，二是有意识对班级内基础较差的同学提问，增强他们对后面学习新内容的信心。第3小题要求学生熟练掌握把一般式转化为顶点式的配方法，第4小题目的是让学生回顾求抛物线y= ax2＋bx＋c与x轴交点的问题，就是y=0，转化为二次方程ax2＋bx＋c=0的根就是抛物线与x轴交点的横坐标，教学中通过对这个问题的点评，让学生明确二次函数的学习应该从“数”与“形”两方面进行研究。第5小题的解答虽然可以有三种途径：一般式、顶点式、两根式都可以探索得到，但三种方法的简洁程度不相同，反映的思维深度也不一样，通过提问、启发在课堂中尽量让学生回答出三种解法，并对比三种方法的优劣。热身练习时，教师在课室中巡视，用肯定学生的话语鼓励学生，用启发性的语言提示学生，努力营造出宽松、和谐的课堂气氛,为之后的新课学习作好准备。21世纪教育网
实际教学效果：
课前的热身训练中，由于这5个练习题设置基本，精巧简练，所以这个环节在知识上起到了承前启后的作用，在教与学的双边活动中也营造出了较为宽松的课堂气氛。特别是第5小题的一题多解，即活跃了学生的思维 ，也为本节新课“探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系”打好了铺垫。
第二环节 用心想一想，马到功成
活动内容：
1．我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t (s)的关系如图所示,那么
(1) 图象上每个点的横、纵坐标含义是什么？
(2) h和t的关系式是什么？
（3）小球经过多少秒后落地
你有几种求解方法 与同伴进行交流.
2．分别求出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴的交点的坐标,并快速作出草图.
思路点拨: 与x轴交点就是求当 y=0 时这个方程的解, 然后写成点的坐标.
[来源:21世纪教育网]
（1）观察下列二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象，每个图象与x 轴有几个交点？21世纪教育网
(2) 一元二次方程x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个根 验证一下一元二次方程 x2-2x+2=0 有根吗
(3)说说二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
3．归纳整理:
a.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
1、 有两个交点,
2、 有一个交点,
3、 没有交点.
b.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
c.完成下列表格，观察二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根及一元二次方程的根的判别式有什么关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点 有两个相异的实数根 b2-4ac > 0
有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0
没有交点 没有实数根 b2-4ac ＜0
活动目的：
这一环节是本节课的重点内容，在教材提供的生活素材背景下，例题是由一个待定的二次函数解析式与对应图象一并给出的，目的很明显：为学生直接铺设一个数形结合的情境，有意识的引导学生从数形两方面结合起来考虑问题，由于学生已经有了一次函数图象应用的学习经历，具备了一定的数形结合思想基础，为了求出v0和h0，只要教师引导学生分析清楚由于高度h与时间t成二次函数关系，故图象必然是呈现出抛物线的形式。教学中我特意增加了“图象上的每一个点的横坐标、纵坐标分别表示什么含义？”这一问题来启发学生，使他们认识到满足这个函数关系的点（h,t）一定在抛物线图象上，反之图象上的每一个点的横坐标、纵坐标分别是小球被抛出的时间与高度。
当学生理解了这个关系后，再引导学生观察图象上是否有已知的点，他们的注意力自然会去观察图象与x轴的交点（0，0）和（8，0），至此求h、t就转化为求解方程组的问题。
学生在此认识的基础上，教师再出示第3问，启发学生认识到物体落地表示高度h=0，对应图象上的点纵坐标为零，研究图象与x轴的两个交点，第二个交点的横坐标就是落地时的时间。
紧接着给出求出三个函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2与x轴的交点，再画出它们的草图，教学中我组织开展了“比一比”这个活动，看谁解方程速度快？看谁画图快？在激发学生的学习积极性的同时，来训练学生运算能力和巩固对二次函数图象抛物线的认识，。
随后的三个问题给出从观察图象开始，再用代数方法求三个方程的根，逐步引导学生体会二次函数与一元二次方程的对应关系，这个关系虽然是从最简单的情形入手，即图象与x轴的交点就是一元二次方程根的问题，但只要突破了这一学习难点，学生就会对二次函数与一元二次方程的对应关系恍然大悟，随后的学习他们就会更加有信心和兴趣了。
为了更加完整、系统的使学生明确二次函数与一元二次方程的对应关系，随后教学中设计了一个表格，教师再次组织学习小组进行讨论、交流、发言，目的是让学生完整建立本节课的认知结构，理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根；同时进一步培养学生合作交流、清晰表达的数学能力。
实际教学效果：
由于教学设计体现出步步为营的战术特点，学生在小组成员的相互讨论中，在教师的引导启发下，不知不觉中完成了对新知识的学习理解。
第三环节 教材题变形，拓展延伸
活动内容：
【例】 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h=－4.9t2＋19.6t 来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间．
（1）当t=1时，足球的高度是多少？
（2）t为何值时，h最大？
（3）经过多长时间球落地？21世纪教育网
（4）方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗
（5）方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗 21世纪教育网
解：（1）t=1时，h=14.7
(2)∵h=－4.9(t-2) 2+19.6 ∴当t=2时，h最大
（3）对于h=－4．9t2＋19．6t 球落地表示h=0
即－4．9t2＋19．6t=0，
解得t1=0（舍去），t2=4 ．
即足球被踢出后经过4s后球落地.
(4)方法一：解方程 0=－4.9t2＋19.6t 得t=0, t=4
根t=0，t=4分别表示足球离开地面和落地的时刻
方法二：直接观察抛物线与直线x轴的交点（0，0），（4，0）即可
图形表示方程的根就是抛物线与x轴的两个交点
(5)方法一：解方程 14.7=－4.9t2＋19.6t 得t=1, t=3
方法二：图象法，过点（0，14.7）作一条与y轴垂直的直线，找到它与抛物线的交点，再分别过交点作x轴的垂线，找出两个垂足的横坐标即可。
表明球被踢出1秒和3秒时，离地面的高度都是14.7秒
活动目的：再次设计一个与教材例题相似的问题情景，给出一个以问题串的形式引导学生逐步深入的思考二次函数与一元二次方程的对应关系。前三问用提问的形式给出，经学生独立思考后答出。第四问引导学生观察到方程－4.9t2＋19.6t =0是函数h=－4.9t2＋19.6t 的函数值h取0的情况，其实际意义就是足球的高度为零时时间所满足的关系。当然该方程的一个根就是足球落地的时间，而另一个根的实际含义就是足球刚被踢出时离地的那一刻。这是本节课的又一个难点，为了突破这个难点，教学中教师要耐心启发、引导，不断的设问、鼓励，力争由学生自己来揭示出来，体现出学生的主体性、主动性。在认识了第三问基础上，第四问的给出，鼓励学生用类比的思想方法去考虑，问题就会迎刃而解了。在肯定学生的思考同时，此时教师再提出一个问题：我们用求一元二次方程的根来解决的问题，你能再用图象法解决这个问题吗？启发学生用形的一面去考虑问题。目的是鼓励学生在学习上永不满足、勇于探索，同时再次强化学生认识到数学学习要有意识的养成从“数”“形”两方面去研究的思想方法。
以上四个问题串的设计，由易到难，一环紧扣一环，从认识一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c 图象与x轴交点的横坐标，到理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标，这个体会感受的过程对于学生来说起初是模糊的，此时组织学生合作交流讨论，再由小组派代表发言，教师启发、引导学生将问题表达清楚。教学中引导学生用类比的方法来研究，即分解了学生学习上思维难点，又把学生思维逐步引向深处。
实际教学效果：学生经过前一环节对二次函数与一元二次方程关系有了初步认识后，他们明白了一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c 图象与x轴交点的横坐标，本环节前4个问题，作为对函数式求值、认识二次函数顶点式、理解抛物线图象的形成、及之前内容的巩固训练，是一道很好的练习，课堂教学中学生踊跃回答，气氛热烈。第4问虽然有些特别，但学生有了前面问题的理解认识，他们也可以说出方程的根就是抛物线与x轴的交点。但第5问给出后，学生静了下来。我知道他们虽然明白一些，但却不知如何表达？特别是用图形来表示一元二次方程14.7= －4.9t2＋19.6t的根这个问题对于他们很陌生。此时正是教师发挥指点迷津的作用绝好时机，我马上指出前一问中h=0的几何意义是什么？学生回答h=0表示直线x轴。那么h=14.7的几何意义又是什么呢？他们恍然大悟，明白了方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是抛物线与直线h=14.7的交点。5个问题一步步逐渐揭示出方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义，教师在这时再顺势提出更一般的问题：一元二次方程ax2+bx+c=h的根的几何意义又是什么呢？学生就不难理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标了。学生在课堂上有时热烈，有时安静，有时欲说还羞，有时又很满足，他们完全沉浸在数学探索、发现的乐趣中了。
第四环节 开拓创新，试一试21世纪教育网[21世纪教育网]
活动内容：
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60cm 你是如何知道的
活动目的：此环节作为一个练习给出，此处留给学生充分的时间 ，让他们整理自己的认识，首先在学习小组内互相表达，然后在全班发言，虽然问题和前面的比较一样，但由学生自己独立思考，教师要作出及时的肯定评价，这一环节目的是巩固学生对前面知识讲解的理解、消化，并能够清晰、完整的回答出。
实际教学效果：
教学中老师让学习小组先互相讲解，然后再由小组成员推荐上讲台面向全班同学讲解，一个同学发言指出他们的做法，把h=60带入函数式中，转化为求方程的根。全班同学用赞许的眼光肯定了他的解法。看到他只是从“数”的角度解决的，我知道学生要形成数形结合的思想意识是需要过程的。我向全班同学启发问到：其他小组还有没有另外的解法？另一位同学说：前面同学是从代数的角度解决的问题，我还可以用几何方法解决。画出直线h=60，找到它与抛物线的交点，两个交点的横坐标就是问题的结论。他的讲解赢得了同学热烈的掌声。我没有让他坐下，在肯定了他能够用数形结合的思想考虑问题的同时，又追问了他一个问题：如果你的抛物线图形没有画准，那么图象法得到的结论准确吗？你能比较一下两种解法的优劣吗？此刻所有同学都深刻体会到代数解法精确，而图象法快捷。
第五环节 放开手脚，做一做
活动内容：
例: 已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为什么
错解：由△=（－7）2－4×k×（－7）=49＋28k＞0，
得k＞－ ．
正确解法：此函数为二次函数，∴k≠0，又与x轴有交点，
∴△=（－7）2－4×k×（－7）= 49＋28k≥0，
得k≥－ ，
故k≥－ 且k≠0
点拨：①因为是二次函数，因而k≠0；
②有两个交点，但未点明为两个不同点，所以应为△≥0．
活动目的：对本节知识进行巩固练习，教师带领学生分析题目是描述几何关系的语言，即“形”作为条件，那么我们应该通过什么途径来研究呢？学生自然会想到应转化为代“数”的一面来考虑。使学生更加加深数形结合的思想的运用，熟练对数与形进行转化。在学生高高兴兴作出解答后，教师应关注他们是否考虑学生对两个交点的理解，以及k的取值范围了没有？
实际教学效果：学生基本都能把问题转化为根的判别式的值大于零，受到了较好的教学效果。但很多学生没有条件虽然说有两个交点，但未点明为两个不同点，所以应为△≥0；另外二次函数的存在条件是二次项的系数不为零只有个别同学注意到。教学中先让有问题的学生板演出他的解法△＞0，我故意打一个大大的半对号，请同学们说说原因，当有同学提出应为△≥0，我仍然说道还不完整，再请同学们思考，直到给出完整的解法。同学们在问题的思考探索中培养了他们分析题目要全面、仔细的好习惯。
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第六环节 大胆尝试、练一练
活动内容：21世纪教育网
1．抛物线y=-3（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为 _______
2．抛物线y=x2－2x＋3与两坐标轴交点的个数为 个．
3．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ____________
4．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 ．
5．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c 经过 象限．
活动目的：用课堂形成性评价方式检查学生本节课的学习效果，学生基本上都能够顺利完成前4个小题的解答，第5小题的综合性非常强。由于是限时训练，学生大多可以得到80分，让他们明白数学的学习是一环紧扣一环的，新旧知识的联系需要及时的复习总结。进一步巩固用“数”研究“形”，用“形”研究“数”是函数学习的两条主线和主要研究方法。
实际教学效果：学生迅速的完成了前4个小题的解答，但被第5小题难住了。在第5分钟时我让同桌相互交换批改打分。大多同学得到80分，他们很不服气，我反问他们知道为什么答不出第5小题的原因吗？以此来强调在函数学习中，一要注意知识前后的联系，及时复习巩固，我鼓励同学们认真回顾二次函数系数a、b、c是如何决定抛物线的位置的，让学生结合本节课新知识的学习，就可以更加准确的判断出抛物线的位置；二是应注意研究方法：用“数”研究“形”，用“形”研究“数”是函数学习的两条主线，是两把相互配合的利器，希望同学们认真体会、自觉应用。
第七环节 归纳小节、说一说
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，是否理解了理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，即何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；是否掌握了通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，来讨论一元二次方程的根的情况；是否理解了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标。
实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，师生互相交流总结完善同学们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，教师用前面学生出现的错误认识为例，再次强调研究函数问题时，用“数”研究“形”，用“形”研究“数”要相互配合使用，结合两种方法的优势。学生此时对本章的学习真正有了完整的认识。
四、教学反思
1．教案设计时要备好教材
教材只是为教师提供最基本的教学素材，特别是课改的新教材提供的内容表面上显得很简单，学生预习时总觉得容易，上课有时注意力显得不够集中。教师备课时要吃透教材，在讲授二次函数这一章时更应该注意这一点，准确把握新知识的发生点。明确学生在什么地方是模糊的，什么地方是需要加强巩固的，讲授时紧紧扣住数形结合的思想这条主线，培养学生尽早形成对本章知识完整的理解。
2．教案设计前要备好学生
为了使学生准确理解教材内容，讲授时教师要充分调动课堂内一切积极因素。用设问、反问等语言调动学生的求知欲望，用启发性的语言吸引学生，用肯定的话语鼓励学生，力争营造出师生互动、生生互动的和谐课堂气氛。
3．注意改进的方面
教师在学生讨论时应该参与到学生中去，对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的关注等，使每一位同学都能有收获，使小组合作学习更具实效性。
y=x-2x+2
y=x-2x+1
y=x+2x
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