2021届高考数学（统考版）二轮备考提升指导与专练4 恒成立问题（文）Word含解析

优培4
恒成立问题
例1：对任意实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
例2：若不等式对任意恒成立。求实数的取值范围是
．
例3：若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
例4：（2019全国Ⅱ理）已知函数的定义域为，，且当时，，若对任意的，都有，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
一、选择题
1．对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数，若对一切，都成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知定义在上的函数为减函数，若对任意，不等式
恒成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．设函数的定义域为，满足，且当时，
．若对任意，都有，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．已知函数，对任意的，恒成立，则实数的取值范围是________．
8．已知不等式对任意，恒成立，那么实数的取值范围为_______．
三、解答题
9．已知函数．
（1）已知函数在区间上的最小值为，求的值；
（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
10．已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行．
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
优培4
恒成立问题
例1：
【答案】A
【解析】∵对任意实数，不等式恒成立，
∴恒成立，等价于，
因为，所以，
当时，等号成立，所以，
故所求出实数的取值范围是，故选A．
例2：
【答案】
【解析】可转化为，
设，则是关于的一次型函数，
要使恒成立，只需，解得．
例3：
【答案】A
【解析】因为不等式对任意恒成立，所以，
当时，，，
由数形结合分析可知只需，得．
例4：
【答案】B
【解析】由当，，且当时，可知当时，，当时，，……，
当时，，
对任意的，都有有，
解得的取值范围是．
一、选择题
1．
【答案】A
【解析】的最小值为，
所以对任意实数恒成立只需，
解得．
2．
【答案】B
【解析】由题意得，对一切，都成立，
即在上恒成立，
而，则实数的取值范围为．
3．
【答案】B
【解析】由于定义在上的函数为减函数，，
所以，得对任意恒成立．
令()，则，
所以在上为减函数，，
所以，则．
4．
【答案】A
【解析】由题可知，的图象关于轴对称，且在上单调递减，
由的图象特征可得在上恒成立，
得在上恒成立，所以．
5．
【答案】A
【解析】令，则，
∴在单调递减，在单调递增，
又∵，，∴，
∴对任意，，即恒成立，
令，则，
∴在单调递减，∴，∴，故选A．
6．
【答案】D
【解析】当时，的最小值是；
由知，当时，，其最小值是；
当时，，其最小值是；
要使，则，解得或，
然后数形结合可知时，都有恒成立．
二、填空题
7．
【答案】
【解析】函数为奇函数，，即，
∴，
又函数单调递增，∴，对任意的，恒成立，
∴，∴．
8．
【答案】
【解析】如图，构造直线和曲线，
分别在其上取点，，
原不等式即．
而的最小值，即点到直线距离的最小值，
亦即曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离，
令，得，所以切点为，易知，
由，得．
三、解答题
9．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）函数对称轴，
当时，，∴；
当时，，∴(舍)，
∴．
（2）∵不等式在区间上恒成立，
∴在区间上恒成立，即，
∴，∴．
10．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）函数的定义域为，，
又曲线在点处的切线与直线平行，
所以，即，
∴，，
由且，得，即的单调递减区间是；
由且，得，即的单调递增区间是．
（2）由（1）知不等式恒成立可化为恒成立，
即恒成立，
令，，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以时，函数有最小值，
由恒成立，得，
即实数的取值范围是．
-
1
-