2021届高考数学（统考版）二轮备考提升指导与专练5 导数的应用（文）Word含解析

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导数的应用
例1：设函数，若，则_______．
例2：曲线在点处的切线方程为__________．
例3：已知函数．
（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
【答案】（1），单调增区间为，单调减区间为；（2）证明见解析．
一、选择题
1．曲线在点处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知曲线在点处的切线方程为，则（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数，则（
）
A．在单调递增
B．在单调递减
C．的图像关于直线对称
D．的图像关于点对称对称
二、填空题
5．曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为__________．
6．曲线在点处的切线方程为__________．
三、解答题
7．已知函数，
（1）若，求的取值范围；
（2）设，讨论函数的单调性．
8．已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
9．已知函数．证明：
（1）存在唯一的极值点；
（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
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导数的应用
例1：
【答案】
【解析】，，解得．
例2：
【答案】
【解析】，∴斜率为，由，知切线方程为．
例3：
【答案】（1），单调增区间为，单调减区间为；（2）证明见解析．
【解析】（1）定义域为，．
∵是极值点，∴，∴．
∵在上递增，，∴在上递增．
又在上递减，∴在上递增．
又，∴当时，，递减；
当时，，递增，
综上，，单调增区间为，单调减区间为．
（2）∵，∴当时，有，
∴．
令，，，
同（1）可证在上递增，
又，
∴当时，，递减；当时，，递增，
∴，
∴当时，．
一、选择题
1．
【答案】C
【解析】因为，
所以曲线在点处的切线斜率为，
故曲线在点处的切线方程为．
2．
【答案】D
【解析】令，则，，
得．
，可得，故选D．
3．
【答案】D
【解析】∵为奇数，∴，即，
∴，∴，∴切线方程为，∴选D．
4．
【答案】C
【解析】由题意知，，
所以的图像关于直线对称，C正确，D错误；
又，在上单调递增，在上单调递减，
A、B错误，
故选C．
5．
【答案】
【解析】由题意可得，设切点为，则，得，
∴，∴切点坐标为，
∴切点方程为，即．
6．
【答案】
【解析】∵，
∴结合导数的几何意义可知曲线在点处的切线方程的斜率为，
∴切线方程为．
7．
【答案】（1）；（2）在和上单调递减．
【解析】（1）等价于，
设，，
当时，，所以在上递增；
当时，，所以在递减，
故，所以，即，
所以的取值范围是．
（2），
所以，
令，则，
令，得；，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以，在和上单调递减．
8．
【答案】（1）在单调递减，在上单调递增；（2）．
【解析】由题知的定义域为，且，
（1）时，，令，解得．
当时，；当时，，
∴在单调递减，在上单调递增．
（2）①当时，恒成立，在上单调递增，不符合题意；
②当时，令，解得，
当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增．
∴，
∴要使有两个零点，则即可，则，
综上，若有两个零点，则．
9．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1），
设，，
则在上递增，，，
所以存在唯一，使得，
当时，；当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以存在唯一的极值点．
（2）由（1）知存在唯一，使得，即，
，
，，
所以函数在上，上分别有一个零点．
设，，则，
有，，
设，当，时，恒有，
则时，有．
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