第1讲
空间线面平行与垂直（1）
考点1点线面位置关系的判定
例1.(1)（多选）设是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】对于选项A，若，则与平行、相交或异面，故A错误；
对于选项B，若，则或，故B错误，
对于选项C，若，则或，故C错误，
对于选项D，若，则，故D正确；故选：D
【点睛】本题考查了空间点、线、面位置关系，对这种的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中．
(2)（多选）如图所示，在长方体，若，、分别是、的中点，则下列结论中成立的是（
）
A．与垂直
B．平面
C．与所成的角为
D．平面
【答案】ABD
【解析】连接、、，则为的中点，
对于选项A，平面，平面，，
、分别为、的中点，则，，故A正确；
对于选项B，四边形为正方形，则，
又，，平面，
，平面，故B正确；
对于选项C，易知为等边三角形，则，
，则与所成的角为，故C错误；
对于选项D，，平面，平面，平面，故D正确．故选：ABD．
【点睛】本题考查线线垂直、线面垂直、线面平行以及异面直线所成角的判断．
【跟踪演练】1.
(1)已知是两个平面，是两条直线．有下列命题：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
④如果，那么．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【解析】①如果，那么或，故①不正确；
②如果，那么，这就是线面平行推得线线平行的性质定理，故②正确；
③如果，那么，这就是利用面面平行推线面平行的性质定理，故③正确；
④缺少这个条件，故④不正确.
故答案为：②③
(2)已知是平面内的两条相交直线，且直线，则“”是“”的（
）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，因为是平面内的两条相交直线，，根据线面垂直的判定定理，可得；当时，因为，所以，综上，“”是“”的充要条件.故选：A.
考点2
运用相关定理解决平行、垂直的证明问题
例2.(1)《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（
）
A．8
B．16
C．24
D．28
【答案】C
【解析】根据正八边形的性质可得，底面边长都相等，底面每个内角都为，
，，所以
，，，因为平面，
且，则平面，因为，所以共有4个阳马；同理，平面，共4个；平面，共4个；
平面，共4个；平面，共4个；
平面，共4个；故有24个阳马．故选：C．
【点睛】本题考查了空间立体几何线线垂直、线面垂直判定定理，考查了空间想象能力．
(2)如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，分别为，的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）求证：平面．
【答案】证明见解析
【解析】（1），且为的中点，，
底面为矩形，，．
（2）底面为矩形，，平面平面，平面，
．又，，平面，平面平面．
（3）如图，取中点，连接，．
，分别为和的中点，，且，
四边形为矩形，且为的中点，，，
，且，四边形为平行四边形，
，又平面，平面，平面．
【点睛】本题考查了空间立体几何线线垂直、线面垂直判定定理，面面垂直判定与性质定理，线面平行的判定定理，考查了空间想象能力．
【跟踪演练】2.
(1)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点．已知PA⊥AB，PA⊥AD.
求证：(1)
直线PB∥平面OEF；(2)
平面OEF⊥平面ABCD.
【答案】证明见解析
【解析】证明：(1)
在△PBD中，O为BD的中点，F为PD的中点．所以OF∥PB，
因为PB?平面OEF，OF?平面OEF，所以直线PB∥平面OEF
(2)解法1 连结AC，因为底面ABCD为平行四边形，O为BD的中点，所以O为AC的中点．在△PAC中，O为AC的中点，E为PC的中点，
所以OE∥PA，因为PA⊥AB，PA⊥AD，所以OE⊥AB，OE⊥AD，
又因为AB∩AD＝A，AB，AD在平面ABCD内，所以OE⊥平面ABCD.
因为OE?平面OEF，所以平面OEF⊥平面ABCD.
(2)在平行六面体中，．
求证：（1）；（2）．
【答案】证明见解析
【解析】（1）在平行六面体中，．
因为平面，平面，所以平面．
（2）在平行六面体中，四边形为平行四边形，又因为，
所以四边形为菱形，因此．又因为，，所以．又因为，平面，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．
考点3
图形翻折问题中所涉及的平行、垂直问题
例3.(1)在等腰梯形中，为的中点，将与分别沿向上折起，使重合于点
（1）在折后的三棱锥中，证明；
（2）若，且折后的三棱锥的表面积是，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）折后的三棱锥P一DCE如图所示.取线段的中点，
连接在中，是的中点，所以
在中，是的中点，所以而，
所以平面而平面，所以.
（2）当时，三棱锥是正四面体，设其棱长为.
由解得.则
故三棱锥的体积为
(2)如图，是正方形，点在以为直径的半圆弧上（不与，重合），为线段的中点，现将正方形沿折起，使得平面平面.
（1）证明：平面.
（2）若，当三棱锥的体积最大时，求到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：因为平面平面是正方形，
平面平面，所以平面.
因为平面，所以.
因为点在以为直径的半圆弧上，所以.
又，所以平面.
（2）当点位于的中点时，的面积最大，三棱锥的体积也最大.
因为，所以，所以的面积为，
所以三棱锥的体积为.
因为平面，所以，
，的面积为.
设到平面的距离为，由，得，
即到平面的距离为
.
【点睛】本题考查了折叠问题,①解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口;②把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决．
【跟踪演练】3.
(1)如图（1）所示，平面四边形由等边与直角拼接而成，其中，，为线段的中点，的面积为.现将沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图（2）所示.
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）∵为等边三角形，且为的中点，∴.
∵平面平面，平面平面，面，
∴平面，∵平面，∴.
又，，，平面.
∴平面，
∵平面，∴；
（2）∵等边的面积为，故，即边长，
∵，，，∴面.
∵，，，∴.
∵是边长为2的等边三角形，且为的中点，
∴，，
∴的面积.
由（1）知，平面，∴平面，∴，
由知，，
∴的面积为.
设点到平面的距离为，
∵，∴，即，
解得，即点到平面的距离为.
(2)在矩形中，，为的中点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置（如图2），且平面平面
（1）证明：平面；
（2）若为的中点，为的中点，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：由题意，易得，
∴即，
又∵平面平面，交线为∴平面,∴
又∵∴平面
（2）取中点，连接
∵∴，
又∵平面平面，交线为∴平面
∵为的中点，为的中点
∴
【仿真练习】
一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知两条不同的直线和不重合的两个平面，且，有下面四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中真命题的序号是（
）
A．①②
B．②③
C．②③④
D．①④
【答案】A
【解析】因为两条不同的直线和不重合的两个平面，且，
对于①，由，可得，故①正确；
对于②，若，可得，故②正确；
对于③，若，则有可能，故③错误；
对于④，当时，则有可能，故④错误．
综上，真命题的序号是①②．故选：A．
2.已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题不正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．，则与所成的角和与所成的角相等
【答案】A
【解析】选项A：若，则或，
又，并不能得到这一结论，故选项A错误；
选项B：若，则由线面垂直的性质定理和线面平行的
性质定理可得，故选项B正确；
选项C：若，则有面面平行的性质定理可知，
故选项C正确；
选项D：若，则由线面角的定义和等角定理知，与
所成的角和与所成的角相等，故选项D正确.故选:A
3.，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的有（
）个
①若，，，，则
②若，，则
③若，，则
④异面直线，满足：，，且，，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于①，由面面平行的判断定理可知缺了相交的条件，故①错；
对于②，由面面垂直的性质可知缺了垂直于两个平面的交线的条件，故②错；
对于③，过作一个平面，使得，则，故，而，故，故③正确．
对于④，过作一个平面，使得，则，因为直线，异面，故必相交，又，，故，结合可得，故④正确．故选:C．
4.下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中不成立的选项有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由正方体的平面展开图还原正方体如图，
由图形可知，，故A错误；
由，四边形为平行四边形，所以，故B正确；
因为,,所以平面,所以，故C正确；因为，而,所以，故D正确．
故选:A.
5.在直三棱柱中，.以下能使的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为直三棱柱所以，
又因为，所以
因为，平面，
所以平面，所以，
那么，要证，
故只需要证明平面，即证，
因为直三棱柱的侧面都是长方形，
当增加条件时，则可以得到，
因为，，平面，
所以平面，
所以.
故选:B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
6.已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，那么下列判断正确的是（
）
A．若，
，则
B．若，，，
，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】ABC
【解析】A．根据“垂直于同一条直线的两个平面互相平行”，可知A正确；
B．记，因为且，所以且异面或且相交，
又因为，且，所以，故B正确；
C．根据“平行直线中若有一条直线垂直于某个平面，则另一条直线也垂直于该平面”，可知C正确；
D．因为，，所以平行或异面，故D错误，故选:ABC．
7.如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中正确的是(
)
A．|BM|是定值
B．点M在某个球面上运动
C．存在某个位置，使DE⊥A1C
D．存在某个位置，使MB∥平面A1DE
【答案】ABD
【解析】取CD中点N，连接MN，BN，则MN∥DA1，BN∥DE，所以平面MBN∥平面A1DE，所以MB∥平面A1DE，故D正确；由∠A1DE＝∠MNB，MN＝A1D＝定值，NB＝DE＝定值，由余弦定理可得MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos∠MNB，所以MB是定值，故A正确．因为B是定点，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，故B正确，A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得C不正确．因此，故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分．
8.如图，在长方体中，，，M、N分别为棱，的中点，则平面与平面的位置关系为_______________,直线与平面ADM的位置关系为_______
【答案】垂直
不平行
【解析】由题意平面，平面，故平面平面，对平面，显然BN与平面ADM不平行，故答案为：垂直
不平行．
9.设，是两个不同的平面，l是直线且，则“”是“”的______.条件(参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要).
【答案】充分不必要
【解析】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
因为直线且
所以由判断定理得.
所以直线，且
若，直线则直线，或直线，或直线l与平面相交，或直线l在平面内.
所以“”是“”成立的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
10.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①BD⊥AC；
②△BAC是等边三角形；
③三棱锥D－ABC是正三棱锥；
④平面ADC⊥平面ABC．
其中正确的是___________
【答案】①②③
【解析】
设等腰直角三角形△ABC的腰为a，则斜边BC=a，
D为BC的中点，∴AD⊥BC，
又平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD=AD，BD⊥AD，BD?平面ABD，
∴BD⊥平面ADC，又AC?平面ADC，
∴BD⊥AC，故①正确；
②由A知，BD⊥平面ADC，CD?平面ADC，
∴BD⊥CD，又∴由勾股定理得：，又AB=AC=a，
∴△ABC是等边三角形，故②正确；
③∵△ABC是等边三角形，DA=DB=DC，
∴三棱锥D-ABC是正三棱锥，故③正确．
④∵△ADC为等腰直角三角形，取斜边AC的中点F，则DF⊥AC，又△ABC为等边三角形，连接BF，则BF⊥AC，
∴∠BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，
由BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，故平面ADC与平面ABC不垂直，故④错误；
故答案为：①②③．
四、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)
求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)
求证：C1F∥平面ABE.
【解析】(1)
证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，
因为AB?平面ABC，所以BB1⊥AB.
又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，BB1，BC?平面B1BCC1，
所以AB⊥平面B1BCC1.
又AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)证明：取AB中点G，连结EG，FG.
因为E，F分别是A1C1，BC的中点，
所以FG∥AC，且FG＝AC.
因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以FG∥EC1，且FG＝EC1.
所以四边形FGEC1为平面四边形，
所以C1F⊥EG.
又因为EG?平面ABE，C1F?平面ABE，
所以C1F∥平面ABE.
12.如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，
求证：平面BCD⊥平面EGH.
[解析] (1)证法一：连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.
在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，
所以四边形DFCG为平行四边形，
则M为CD的中点，又H为BC的中点，
所以HM∥BD．
又HM?平面FGH，BD?平面FGH，所以BD∥平面FGH.
证法二：在三棱台DEF－ABC中，
由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，
所以四边形HBEF为平行四边形，
可得BE∥HF.
在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB．
又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED．
因为BD?平面ABED，所以BD∥平面FGH.
(2)连接HE，GE.
因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB，
由AB⊥BC，得GH⊥BC．
又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，
因此四边形EFCH是平行四边形，
所以CF∥HE.
又CF⊥BC，所以HE⊥BC．
又HE，GH?平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.
又BC?平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.第1讲
空间线面平行与垂直（1）
考点1点线面位置关系的判定
例1.(1)（多选）设是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
(2)（多选）如图所示，在长方体，若，、分别是、的中点，则下列结论中成立的是（
）
A．与垂直
B．平面
C．与所成的角为
D．平面
【跟踪演练】1.
(1)已知是两个平面，是两条直线．有下列命题：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
④如果，那么．
其中所有真命题的序号是__________．
(2)已知是平面内的两条相交直线，且直线，则“”是“”的（
）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
考点2
运用相关定理解决平行、垂直的证明问题
例2.(1)《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（
）
A．8
B．16
C．24
D．28
(2)如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，分别为，的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）求证：平面．
【跟踪演练】2.
(1)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点．已知PA⊥AB，PA⊥AD.
求证：(1)
直线PB∥平面OEF；(2)
平面OEF⊥平面ABCD.
(2)在平行六面体中，．
求证：（1）；（2）．
考点3
图形翻折问题中所涉及的平行、垂直问题
例3.(1)在等腰梯形中，为的中点，将与分别沿向上折起，使重合于点
（1）在折后的三棱锥中，证明；
（2）若，且折后的三棱锥的表面积是，求三棱锥的体积.
(2)如图，是正方形，点在以为直径的半圆弧上（不与，重合），为线段的中点，现将正方形沿折起，使得平面平面.
（1）证明：平面.
（2）若，当三棱锥的体积最大时，求到平面的距离.
【跟踪演练】3.
(1)如图（1）所示，平面四边形由等边与直角拼接而成，其中，，为线段的中点，的面积为.现将沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图（2）所示.
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离.
(2)在矩形中，，为的中点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置（如图2），且平面平面
（1）证明：平面；
（2）若为的中点，为的中点，求三棱锥的体积.
【仿真练习】
一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知两条不同的直线和不重合的两个平面，且，有下面四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中真命题的序号是（
）
A．①②
B．②③
C．②③④
D．①④
2.已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题不正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．，则与所成的角和与所成的角相等
3.，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的有（
）个
①若，，，，则
②若，，则
③若，，则
④异面直线，满足：，，且，，则
A．
B．
C．
D．
4.下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中不成立的选项有（
）
A．
B．
C．
D．
5.在直三棱柱中，.以下能使的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
6.已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，那么下列判断正确的是（
）
A．若，
，则
B．若，，，
，则
C．若，，则
D．若，，则
7.如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中正确的是(
)
A．|BM|是定值
B．点M在某个球面上运动
C．存在某个位置，使DE⊥A1C
D．存在某个位置，使MB∥平面A1DE
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分．
8.如图，在长方体中，，，M、N分别为棱，的中点，则平面与平面的位置关系为_______________,直线与平面ADM的位置关系为_______
9.设，是两个不同的平面，l是直线且，则“”是“”的______.条件(参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要).
10.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①BD⊥AC；
②△BAC是等边三角形；
③三棱锥D－ABC是正三棱锥；
④平面ADC⊥平面ABC．
其中正确的是___________
四、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)
求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)
求证：C1F∥平面ABE.
12.如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.
