第3讲
空间角与距离的计算（1）
考点1用综合法求线线角与线面角
例1.(1)如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，、分别是和的中点，则与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】取的中点，连接、，设，设，
、分别为、的中点，则且，
在正三棱柱中，且，
为的中点，所以，且，
则四边形为平行四边形，所以，，
所以，异面直线与所成的角为或其补角，
，，
，则，，，
由余弦定理可得.
因此，与所成角的余弦值为.
故选：D.
【点睛】本题考查了求异面直线所成角，平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
(2)如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由，，将底面补全为正方形ABCG，如下图示，
O为ABCG对角线交点且，又有，，
∴面，而面，故面面，
若H为DG的中点，连接FH，又为棱的中点，则且，
而，，有平行且相等，即为平行四边形.
∴可将平移至，直线与平面所成角为，且中，
令，，即，
∴△中，，即，
∵，即，
∴，解得（舍去），
综上有，
故选：C
【点睛】本题考查了求直线与平面所成角，常见的方法有：
①定义法：根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；
②向量法：分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个向量方法向量的夹角（或补角）；
③法向量法：求出斜线的方向向量和平面的法向量所夹的锐角，取其余角即为斜线与平面所成的角.
【跟踪演练】1.
(1)如图在四面体中，平面，，那么直线和所成角的余弦值（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设，分别取的中点，连接
，
则，所以（或其补角）就是直线和所成的角，
又平面，平面，所以
，所以，
又，，所以在中，，
所以直线和所成角的余弦值为.
(2)在正三棱锥中，底面是边长等于的等边三角形，侧棱，则侧棱与底面所成的角为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
设点在底面的射影点为点，连接、，则为的外接圆半径，
由正弦定理可得，则，
平面，平面，，，
设该正三棱锥的侧棱与底面所成的角为，则，
，因此，.故选：A.
考点2
用综合法求二面角
例2.(1)如图，在四棱锥中，已知四边形BCDE为平行四边形，平面平面BCDE，，，点O为BE的中点.
则二面角A-BC-O的正切值为____________.
【答案】.
【解析】过O点作BC的垂线，垂足为G，连接AG，则，
因为面BCO，平面，所以，
又，所以面AGO，
平面，所以，故为二面角A-BC-O的平面角，
在直角三角形AGO中，，，所以.
．
【点睛】本题考查了综合法求二面角,常见求二面角的方法：
１.几何法：做出二面角的平面角，运用解三角形的知识求解二面角的大小；
２.建立空间直角坐标系，运用空间向量的数量积运算求得二面角的大小，运用此方法时，注意判断二面角的范围．
(2)如图，四棱锥中，为矩形，平面平面，，是线段上的点(不含端点).设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，取中点，连接，∵，∴，而平面平面，平面平面，∴平面，
连接，作交于，则平面，
∵，∴为直线与所成的角，即，作于，∴，
连接，则是直线与平面所成的角，即，显然，
∴，
作交于，则，连接，由平面得，
，∴平面，∴，∴是二面角的平面角，即，同样，，
由图可知，∴，（都是锐角），
，∴，（也是锐角），
又，，根据上面作图过程知是矩形，，∴，∴，
综上．
故选：D．
【点睛】本题考查了空间角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，解题关键是根据它们的定义作出这些角（平面上的角），然后利用三角函数值比较它们的大小．
【跟踪演练】2.
(1)在棱长为2的正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则二面角余弦值的大小为____________
【答案】
【解析】如图，易得，即为二面角的平面角，因为四面体的棱长为2，则，，，则，
(2)如图，在正四棱锥中，设直线与直线、平面所成的角分别为、，二面角的大小为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】连接、交于，连，取的中点，连，如图：
因为，所以，又因为四棱锥为正四棱锥，所以，
由正四棱锥的性质可知，平面，所以，
易得，，所以，
因为，，且，所以，又都是锐角，所以，因为，，且，所以，因为都是锐角，所以.故选：A
考点3
体积法求点面距离
例3.(1)如图，在正方体中，棱长为1，分别为与的中点，到平面的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设点到平面的距离为．
∵正方体棱长为1，∴，
∴
又，∴，解得
即点到平面的距离为．故选：B．
【点睛】本题考查了求点到面的距离，在空间中求点到面的距离时可利用空间向量进行求解，即将距离问题转化为向量的运算问题处理．另外也可利用等积法求解，解题时可将所求的距离看作是一个三棱锥的高，求出其体积后；将此三棱锥的底面和对应的高改换，再次求出其体积．然后利用同一个三棱锥的体积相等建立关于所求高为未知数的等式，解方程求出未知数即可得到所求的高．
(2)正三棱柱的所有定点均在表面积为的球的球面上，，则到平面的距离为（
）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设等边三角形的外接圆半径为，由正弦定理得.
由于球的表面积为，故半径，所以侧棱长.在三角形中，，而，所以三角形的面积为.
设到平面的距离为，由得，解得.故选：B
【点睛】本题考查了几何体外接球有关计算，考查等体积法求点面距离.
【跟踪演练】3.
(1)如图，正四棱锥的高为，且底面边长也为，则点到平面的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由正四棱锥的性质可知，其底面为正方形，
连接、，设交点为点，连接，则平面，且，
底面对角线的长度为，侧棱长度为，斜高，
，
，
设点到平面的距离为，由，即，解得．
故选：A.
(2)已知在正四棱柱中，，，为的中点，则点与平面的距离为（
）
A．2
B．
C．
D．1
【答案】D
【解析】如图所示，连接交于点，
为的中点，
，又平面，平面
平面，即直线与平面的距离为点到平面的距离，设为.
在三棱锥中，，
在三棱锥中，
，
所以，解得,故选：D.
【仿真练习】
一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，，，，
则，．
设异面直线与所成的角为，则，所以，故选：C
2.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
3.直三棱柱的侧棱，底面中，，，则点到平面的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为三棱柱是直三棱锥，所以平面，
所以，
又因为，所以，
因为，
所以平面，
所以，
因为，，，所以平面，
所以，，，
设点到平面的距离为，
则，即，
所以，
所以点到平面的距离为，
故选：D
4.已知长方体的高，则当最大时，二面角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设，，
则由题意得：，，，
所以，由基本不等式得：，
当且仅当时，取得最大值，此时，，
所以，
取的中点，连接，，，如图，
则，，则就是二面角的平面角，
在等腰三角形中，因为，，所以，
在等腰三角形中，因为，，所以，
在长方体，求得，
故在三角形中，由余弦定理得，故选：B.
5.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为），地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面．在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线．是晷面的截线，依题意可知、．
由于，所以，
由于，
所以，也即晷针与点处的水平面所成角为，故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（
）
A．D1D⊥AF
B．A1G∥平面AEF
C．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为
D．点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍
【答案】BCD
【解析】
对于选项A，由，即与并不垂直，所以D1D⊥AF,故A错误.
对于选项B，如下图，延长FE、GB交于G’连接AG’、GF，有GF//BE又E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，所以，而，即；又因为面
面=，且面，面，所以A1G∥平面AEF，故B正确.
对于选项C，取中点，连接，由题意知与平行且相等，所以异面直线A1G与EF所成角的平面角为，若正方体棱长为2，则有，即在中有，故C正确.
对于选项D，如下图若设G到平面AEF的距离、C到平面AEF的距离分别为、，则由且，知，故D正确.
故选：BCD
7.如图，已知正方体的棱长为，E是棱CD上的动点.则下列结论中正确的有（
）
A．
B．二面角的大小为
C．三棱锥体积的最小值为
D．平面
【答案】ABD
【解析】选项A，连接、，则由正方体可知，
，，，
则平面，又因为平面，
所以，选项A正确；
选项B，因为，
则二面角即为二面角，
由正方体可知，平面，
则为二面角的平面角，且，
所以选项B正确；
选项C，设点到平面的距离为，
则，
连接、，易证平面平面，
则在棱上，点到平面的距离最短，
即点与重合时，三棱锥的体积最小，
由正方体知平面，
所以，
则选项C错误；
选项D，由正方体知，
平面平面，且平面，
则由面面平行的性质定理可知平面，则选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分．
8.如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点到平面的距离为______________.
【答案】
【解析】
连结，设点到平面的距离为，
∵，，∴，
从而，，得的面积，
由平面及，
得三棱锥的体积，
∵平面，平面，∴，
又，∴，
由，，得的面积，
由得，
故点到平面的距离等于.
故答案为：
9.如图，多面体中，面面，面面，面，，，.则的大小为_________；若，则二面角的余弦值为_____________.
【答案】
.
【解析】取、的中点、，连接、、.
因为，为的中点，则，
平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
同理面，故，故、、、共面.
又面，平面，面面，故.
故四边形为平行四边形，故，
平面，平面，，
又，，，，
故；
在平面内作于，在平面作于，连接.
因为、分别为、的中点，故，又，故，
，，，，平面，
平面，，所以，为二面角的平面角，
又由（1）可得，故.
由（1）可得，
，则，故.
在中，由等面积法有，
所以，，
故，，故，
由余弦定理可得，
因此，二面角的余弦值为.
故答案为：
.
10.如图，已知多面体中，四边形为梯形，，，平面，，，为线段(包括端点)上的一个动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为_________.
【答案】
【解析】如图，将多面体放到正方体中，
连接，则，
∴直线与直线所成的角即与所成的角，
设正方体的棱长为，点到直线的距离为，则，
∵，∴当取得最小值时取得最小值，
连接、，则的最小值为点到平面的距离，
连接，交于点，则平面，
∴的长为点到平面的距离的最小值，且，
∴，∴直线与直线所成角的正弦值的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11.如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，.点分别是棱的中点.
（1）求证：四点共面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：点分别是棱的中点，
四点共面.
（2）作，垂足为F
平面，平面，
直线直线
直线且与相交于
直线平面
即为直线与平面所成的角.
在直角中，，所以，
由面积可得，
在直角中，，，
直线与平面所成角的正弦值为.
12.如图，已知长方体，，，直线与平面所成的角为30°，垂直于E．
（1）若F为棱上的动点，试确定F的位置使得平面，并说明理由；
（2）若F为棱上的中点；求点A到平面的距离；
（3）若F为棱上的动点（端点，除外），求二面角的大小的取值范围．
【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）．
【解析】（1）时，平面，证明如下：
延长交于.
因为平面，所以是直线与平面所成的角，即，所以．
由，所以，，
在上取点，使得，连接，
∵，则，，又，∴是平行四边形， ，
，是平行四边形，
∴，∴是平行四边形，∴
∴，又平面，平面，∴平面，即平面．
（2），，
由长方体性质可得，，，∵，∴，
∴，设到平面的距离为，则由得
，∴．
（3）作，垂足为，作于，连接，则平面，平面，∴，同理，
∵，平面，∴平面，
而平面，∴，∴是二面角的平面角，
设，，则由是矩形得，，
则，
∴，是锐角，∴．
∴二面角的范围是．第3讲
空间角与距离的计算（1）
考点1用综合法求线线角与线面角
例1.(1)如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，、分别是和的中点，则与所成角的余弦值为（
）
B．
C．
D．
(2)如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪演练】1.(1)如图在四面体中，平面，，那么直线和所成角的余弦值（
）
A．
B．
C．
D．
(2)在正三棱锥中，底面是边长等于的等边三角形，侧棱，则侧棱与底面所成的角为（
）
A．
B．
C．
D．
考点2
用综合法求二面角
例2.(1)如图，在四棱锥中，已知四边形BCDE为平行四边形，平面平面BCDE，，，点O为BE的中点.
则二面角A-BC-O的正切值为____________.
(2)如图，四棱锥中，为矩形，平面平面，，是线段上的点(不含端点).设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪演练】2.(1)在棱长为2的正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则二面角余弦值的大小为____________
如图，在正四棱锥中，设直线与直线、平面所成的角分别为、，二面角的大小为，则（
）
A．
B．
C．
D．
考点3
体积法求点面距离
例3.(1)如图，在正方体中，棱长为1，分别为与的中点，到平面的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
(2)正三棱柱的所有定点均在表面积为的球的球面上，，则到平面的距离为（
）
A．1
B．
C．
D．
【跟踪演练】3.(1)如图，正四棱锥的高为，且底面边长也为，则点到平面的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
(2)已知在正四棱柱中，，，为的中点，则点与平面的距离为（
）
A．2
B．
C．
D．1
【仿真练习】
一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（
）
A．
B．
C．
D．
2.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
3.直三棱柱的侧棱，底面中，，，则点到平面的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
4.已知长方体的高，则当最大时，二面角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
5.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为），地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面．在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为
（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（
）
A．D1D⊥AF
B．A1G∥平面AEF
C．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为
D．点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍
7.如图，已知正方体的棱长为，E是棱CD上的动点.则下列结论中正确的有（
）
A．
B．二面角的大小为
C．三棱锥体积的最小值为
D．平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分．
8.如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点到平面的距离为______________.
9.如图，多面体中，面面，面面，面，，，.则的大小为_________；若，则二面角的余弦值为_____________.
10.如图，已知多面体中，四边形为梯形，，，平面，，，为线段(包括端点)上的一个动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为_________.
四、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11.如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，.点分别是棱的中点.
（1）求证：四点共面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
12.如图，已知长方体，，，直线与平面所成的角为30°，垂直于E．
（1）若F为棱上的动点，试确定F的位置使得平面，并说明理由；
（2）若F为棱上的中点；求点A到平面的距离；
（3）若F为棱上的动点（端点，除外），求二面角的大小的取值范围．
