第5讲
空间几何体的表面积与体积
考点1求空间几何体的表面积
例1.(1)已知某圆柱底面的半径为1，高为2，则该圆柱的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
(2)已知四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，且侧面底面，，若四棱锥外接球的体积为，则该四棱锥的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪演练】1.
(1)将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_________.
(2)已知正方体的个顶点中，有个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为（
）
A．
B．
C．
D．
考点2
求空间几何体的体积
例2.(1)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异“．意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为3的圆的三分之一，则该几何体的体积为（
）
A．π
B．π
C．4
D．
(2)《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鱉臑．如图，四面体为鱉臑，平面，为直角，且，则的体积为________．
【跟踪演练】2.
(1)斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有，图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体）组成．若棱台两底面面积分别是，，高为，长方体形凹槽的高为，斗的密度是．那么这个斗的质量是（
）
A．
B．
C．
D．
(2)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2
cm，高为2
cm，内孔半轻为0.5
cm，则此六角螺帽毛坯的体积是
▲
cm.
考点3
空间几何体的表面积与体积的最值问题
例3.(1)古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点、距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体中，点是正方体的表面(包括边界)上的动点，若动点满足，则点所形成的阿氏圆的半径为______；若是的中点，且满足，则三棱锥体积的最大值是______.
阿波罗尼奥斯
(2)四面体中，，且异面直线与所成的角为．若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪演练】3.
(1)已知正三棱柱的各棱长均为，底面与底面的中心分别为、，是上一动点，记三棱锥与三棱锥的体积分别为、，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
(2)已知三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，，则该三棱锥体积的最大值是_____________．
【仿真练习】
一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
2.南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为、，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为、，则命题：“、相等”是命题“、总相等”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（
）
A．
B．
C．
D．
4.在棱长为的正方体中，为正方形的中心，，，分别为，，的中点，则四面体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
5.如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点，若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB?PD于点E?F(可与端点重合)，则四棱锥的体积的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
6.已知四边形是等腰梯形（如图1），，，，．将沿折起，使得（如图2），连结，，设是的中点.下列结论中正确的是（
）
A．
B．点到平面的距离为
C．平面
D．四面体的外接球表面积为
7.如图，在直三棱柱中，，，?分别为，的中点，过点??作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（
）
A．三棱柱外接球的表面积为
B．
C．若交于，则
D．将三棱柱分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分．
8.已知三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥的体积为__________．
9.长为的圆柱形木材有一部分镶嵌在墙体中，截面如图所示（阴影为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦，弓形高，估算该木材镶嵌在墙中的侧面积约为______________.
10.已知菱形边长为3，，为对角线上一点，.将沿翻折到的位置，记为且二面角的大小为120°，则三棱锥的外接球的半径为______；过作平面与该外接球相交，所得截面面积的最小值为______.
四、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11.如图，BE，CD为圆柱的母线，是底面圆的内接正三角形，M为BC的中点．
（1）证明：平面AEM⊥平面BCDE；
（2）设BC=BE，圆柱的体积为，求四棱锥A-BCDE的体积．
12.如图所示的几何体为一简单组合体，在底面中，，，，平面，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求该组合体的体积．第5讲
空间几何体的表面积与体积
考点1求空间几何体的表面积
例1.(1)已知某圆柱底面的半径为1，高为2，则该圆柱的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为圆柱的底面半径为1，高为2，
所以圆柱的表面积.故选：C.
【点睛】本题考查了求圆柱体的表面积,考查了运算能力．
(2)已知四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，且侧面底面，，若四棱锥外接球的体积为，则该四棱锥的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设四棱锥外接球的球心为，过作底面的垂线，垂足为，
因为四边形是长方形，所以的底面中心，即对角线的交点，
过作三角形的垂线，垂足为，所以是正三角形外心，
设外接球半径为，外接球的体积为，所以，即，
过作，则是的中点，连接，所以，，因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，所以平面，所以，
所以四边形是平行四边形，即，设，则，，所以，由勾股定理得，即，解得，所以，，
因为，所以平面，平面，
所以，，，
因为，，
作于，所以为的中点，所以，所以，，所以．故选:B．
【点睛】本题考查了四棱锥的表面积问题，关键点是确定球心的位置及计算边长，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．
【跟踪演练】1.
(1)将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_________.
【答案】
【解析】因为等腰直角三角形的斜边长为4，所以直角边长为，
由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径，母线长，
则其表面积为.
故答案为：.
(2)已知正方体的个顶点中，有个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示，在正方体中，三棱锥符合题目条件，且三棱锥的四个侧面全为等边三角形，
设正方体的棱长为，则三棱锥的棱长为，
所以正方体的表面积为，，即三棱锥
的表面积为，
则三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为：．故选：B．
考点2
求空间几何体的体积
例2.(1)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异“．意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为3的圆的三分之一，则该几何体的体积为（
）
A．π
B．π
C．4
D．
【答案】A
【解析】由题意可知，该几何体的体积等于圆锥的体积，
因为圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一，
所以圆锥的底面周长为，所以圆锥的底面半径为1，母线长为3，
所以圆锥的高为，所以圆锥的体积圆锥．
从而所求几何体的体积为．故选:A．
【点睛】本题考查了数学文化与圆锥体积的求法，考查了圆锥侧面展开图的特征，正确理解题意是解题的关键．
(2)《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鱉臑．如图，四面体为鱉臑，平面，为直角，且，则的体积为________．
【答案】
【解析】由题意知平面，，，
所以的面积为，因此，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数学文化与四面体体积的求法，考查了空间想象能力与数学运算能力．
【跟踪演练】2.
(1)斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有，图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体）组成．若棱台两底面面积分别是，，高为，长方体形凹槽的高为，斗的密度是．那么这个斗的质量是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知，棱台的体积为，
设长方体的长为，宽为，则，则原长方体的高为，
所以，长方体凹槽的体积为，
所以，“斗”的体积为，
因此，“斗”的质量为．故选：C．
【点睛】本题考查了组合体体积的计算，同时也跨学科考查了质量、密度与体积之间的关系，考查计算能力．
(2)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2
cm，高为2
cm，内孔半轻为0.5
cm，则此六角螺帽毛坯的体积是
▲
cm.
【答案】
【解析】正六棱柱体积为，圆柱体积为，
所求几何体体积为,故答案为：
考点3
空间几何体的表面积与体积的最值问题
例3.(1)古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点、距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体中，点是正方体的表面(包括边界)上的动点，若动点满足，则点所形成的阿氏圆的半径为______；若是的中点，且满足，则三棱锥体积的最大值是______.
阿波罗尼奥斯
【答案】
【解析】在上取点，在延长线上取点，使得，，则是题中阿氏圆上的点，由题意是阿氏圆的直径，
，则，，所以，∴阿氏圆半径为；
正方体中，都与侧面垂直，从而与侧面内的直线垂直，
如图，则，∴，即在上述阿氏圆上，
∵的面积是2为定值，因此只要到平面距离最大，则三棱锥体积的最大，
由于点在阿氏圆上，当是阿氏圆与交点时，到平面距离最大，
此时，因此，，
三棱锥体积的最大值为．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了棱锥的体积，考查新定义的理解与应用．解题关键是正确理解新定义得出圆半径，由已知角相等得出点就在新定义“阿氏圆”上，从而易得它到底面距离最大时的位置，从而得出最大体积．
(2)四面体中，，且异面直线与所成的角为．若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】构建直三棱柱，设分别为的外心，连接，
取其中点，则为直三棱柱的外接球的球心，也为四面体的外接球的球心，因为异面直线与所成的角为，所以．
设三棱柱底面的外接圆半径为，则，，再由余弦定理，，
所以，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，
故四面体的体积的最大值为．故选:A．
【点睛】本题解题关键是构建直三棱柱，再利用等体积法将转化为，进一步只需求出面积的最大值即可．
【跟踪演练】3.
(1)已知正三棱柱的各棱长均为，底面与底面的中心分别为、，是上一动点，记三棱锥与三棱锥的体积分别为、，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
∵正三棱柱的各棱长均为，
∴，且，
∴，
由得：，当且仅当点为的中点时等号成立，
∴的最大值为，故选：A.
(2)已知三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，，则该三棱锥体积的最大值是_____________．
【答案】
【解析】
如图所示，设，则，外接圆的半径为
则三棱锥的高为，三棱锥的体积公式为，
设，则，，
令，解得，在单增，单减，
，
所以三棱锥体积最大值为,故答案为：
【仿真练习】
一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设正方体的棱长为，则，
由于三棱锥的表面积为，
所以,所以
所以正方体的外接球的半径为，
所以正方体的外接球的体积为,故选：．
2.南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为、，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为、，则命题：“、相等”是命题“、总相等”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由祖暅原理可知，若、总相等，则、相等，即必要性成立；
假设夹在两平行平面间的底面积为的棱柱和底面积为的棱锥，它们的体积分别为、，则，这两个几何体被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为、，但与不总相等，即充分性不成立．
因此，命题是命题的必要不充分条件．故选：B．
3.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，
所以，即的近似值为，故选:B.
4.在棱长为的正方体中，为正方形的中心，，，分别为，，的中点，则四面体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
如图所示，连接交于点，连接，连接,
由正方体的特点可知，，,则格据线面垂直的判定定理可知平面，
则，
,故,故选：B.
5.如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点，若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB?PD于点E?F(可与端点重合)，则四棱锥的体积的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设,则
所以，
，
，
所以，则，
令，因为，
所以，
所以，
所以，故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
6.已知四边形是等腰梯形（如图1），，，，．将沿折起，使得（如图2），连结，，设是的中点.下列结论中正确的是（
）
A．
B．点到平面的距离为
C．平面
D．四面体的外接球表面积为
【答案】BD
【解析】因为，，
所以为等腰直角三角形，过C做，交AB于F，如图所示：
所以，即AE=BF，又，，
所以，则，
对于A：因为，，平面BCDE，
所以平面BCDE，平面BCDE，
所以，
若，且平面ADE，
则平面ADE，
所以DE
与已知矛盾，所以BC与AD不垂直，故A错误；
对于B：连接MC，如图所示，
在中，DE=DC=1，所以，又，EB=2，
所以，所以，
又因为，平面AEC，
所以平面AEC，平面AEC，
所以，即为直角三角形，
在中，，所以，
因为是的中点，
所以的面积为面积的一半，所以，
因为，
所以DE即为两平行线CD、EB间的距离，
因为，设点E到平面的距离为h，
则，即，
所以，所以点到平面的距离为，故B正确；
对于C：因为，平面ADC，平面ADC，
所以平面ADC，
若平面，且平面AEB，
所以平面ACD平面AEB，与已知矛盾，故C错误.
对于D：因为，所以的外接圆圆心为EB的中点，
又因为，所以的外接圆圆心为AB的中点M，
根据球的几何性质可得：四面体的外接球心为M，
又E为球上一点，在中，
所以外接球半径,
所以四面体的外接球表面积，故D正确.
故选：BD
7.如图，在直三棱柱中，，，?分别为，的中点，过点??作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（
）
A．三棱柱外接球的表面积为
B．
C．若交于，则
D．将三棱柱分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为
【答案】CD
【解析】如图所示：将该三棱柱视为正方体的一部分，则三棱柱外接球的半径，，其表面积为，故A错误；
延长与交于点，连接交于，连接，则平面即为截面．
因为，是中点，所以是的中点，由与相似，得，得，而是的中点，所以与不平行且必相交，所以与截面不平行，故B项错误；
因为，又，所以在中，，故C项正确；延长交于点，则将三棱柱分成体积较大部分的体积为
，
所以剩余部分的体积为，所以体积之比为，故D项正确．
故选:CD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分．
8.已知三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥的体积为__________．
【答案】
由，
可知在面上的射影为的外心．
又与底面所成的角为，，
故在中，．
在底面中，，
于是，所以，
因为是以为底边的等腰三角形，故为锐角，
从而，即，
所以的面积为，从而体积．故答案为：.
9.长为的圆柱形木材有一部分镶嵌在墙体中，截面如图所示（阴影为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦，弓形高，估算该木材镶嵌在墙中的侧面积约为______________.
【答案】
【解析】
设截面圆的半径为，点在线段上，
，，
根据垂径定理可得，解得，
所以，则有，故可得弧，
结合木材长，可得答案为,
故答案为：
10.已知菱形边长为3，，为对角线上一点，.将沿翻折到的位置，记为且二面角的大小为120°，则三棱锥的外接球的半径为______；过作平面与该外接球相交，所得截面面积的最小值为______.
【答案】
【解析】因为且四边形为菱形，所以均为等边三角形，
取的重心为，过作平面、平面的垂线，且垂线交于一点，
此时即为三棱锥的外接球球心，如下图所示：
记，连接，因为二面角的大小为，
且，所以二面角的平面角为，
因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以，又，所以，
所以三棱锥的外接球的半径为；
当截面面积取最小值时，此时截面，又因为截面是个圆，设圆的半径为，外接球的半径为，
又因为且，所以，
所以，所以此时截面面积为.
四、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11.如图，BE，CD为圆柱的母线，是底面圆的内接正三角形，M为BC的中点．
（1）证明：平面AEM⊥平面BCDE；
（2）设BC=BE，圆柱的体积为，求四棱锥A-BCDE的体积．
【答案】(1)证明见解析;(2)12.
【解析】（1）根据题意可得，．又为圆柱的母线，平面．
，，
平面．
又平面，平面平面．
（2）由题可设，由是底面圆的内接正三角形易得，底面圆的半径．
．，由（1）可知，平面．
．
12.如图所示的几何体为一简单组合体，在底面中，，，，平面，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求该组合体的体积．
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【解析】（1）证明：因为平面，，所以平面．又因为平面，所以，又因为，且，所以平面，又因为平面，所以平面平面．
（2）面将几何体分成四棱锥和三棱锥两部分，过作，因为平面，平面，所以，又因为，，所以平面，即为四棱锥的高，并且，，所以，因为平面，且已知，为顶角等于的等腰三角形，，，
所以，所以组合体的体积为
