第6讲
与球有关的问题
考点1球体中截面相关问题
例1.(1)我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异．意思是夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为，则两个几何体的体积比也为．已知线段长为4，直线过点且与垂直，以为圆心，以1为半径的圆绕旋转一周，得到环体；以，分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体；过且与垂直的平面为，平面，且距离为，若平面截圆柱体所得截面面积为，平面截环体所得截面面积为，则________，环体体积为_________．
【答案】
【解析】画出示意图，可得，，
其中，，故，即，
环体体积为．
(2)在三棱锥中，平面，，，．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为________；若点是的重心，则过点的平面截球所得截面的面积的最小值为________．
【答案】
【解析】（1）平面，平面，，又，且，平面，平面，，所以是两个直角三角形和的斜边，取的中点，点到四点的距离相等，即点是三棱锥的外接球的球心，，
（2）当点是截面圆的圆心时，此时圆心到截面的距离最大，那么截面圆的半径最小，即此时的面积最小，点是的中点，是的重心，，，所以，截面圆的半径，所以.
故答案为：；.
【点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为，那么外接球的直径，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立的方程．（3）而本题类型，需要过两个平面外接圆的圆心作面的垂线，垂线的交点就是球心．
【跟踪演练】1.
(1)某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示）．该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为的正方体的个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）．若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径为___；现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半径是，球冠的高是，那么球冠的表面积计算公式是
．
由此可知，该实心工艺品的表面积是________．
【答案】
【解析】设截面圆半径为，球的半径为，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即此距离为，根据截面圆的周长可得，得，故，得，
所以球的表面积．如图，，且，则球冠的高，得所截的一个球冠表面积，且截面圆面积为，所以工艺品的表面积．
故答案为：；．
(2)如图，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，点分别在棱上，平面平面，若，则三棱锥的外接球被平面所截的截面面积为___________.
【答案】
【解析】如图所示，
设外接球球心为，球半径为外心为，直线与平面的交点为.
在中，所以，
在中，，则，，所以.
又因为,得,
所以到平面的距离等于到平面的距离，
则所求截面的面积等于外接圆的面积.
故答案为：.
考点2
球体的内接问题
例2.(1)《九章算术》是我国古代的一部数学书记，通过“牟合方盖”解决了球体体积计算的难题，其中一段记载：“今有方锥，下方八尺，高八尺，问：积几何？术曰：下方自乘，以高乘之，三而一，若以立圆外接，问积几何？”意思是“假设有一个正四棱锥（底面是正方形，并且顶点在底面的射影是正方形中心的四棱锥），下底边长是8尺，高8尺，则它的体积是多少？方法是下底边长自乘，以高乘之，再除以3．若这个正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的体积是__________立方尺．”
【答案】
【解析】设这个正四棱锥为，如图：
则，，设球的半径为，则，
在直角三角形中，，所以，
所以，解得，
所以球的体积是立方尺．故答案为：．
【点睛】本题考查了正四棱锥与球的组合体，考查了球的体积公式．
(2)在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】长方体中，平面，平面，所以，
又平面，平面，所以，
因为，所以平面，而平面，所以，
是正方形，所以是与交点，即为的中点，也是的中点．
是直角三角形，设是中点，是中点，则由可得平面（长方体中棱与相交面垂直），是的外心，三棱锥的外接球球心在直线上（线段或的延长线上）．
设，则，解得，
所以外接球半径为，表面积为．
故选：C．
【跟踪演练】2.
(1)世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为米，底面边长为米，是华人建筑大师贝聿铭设计的．若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为____________米．
【答案】
【解析】如下图所示：
在正四棱锥中，设为底面正方形的对角线的交点，则底面，由题意可得，，，则，
设该球的半径为，设球心为，则，
由勾股定理可得，即，解得．
故答案为．
【点睛】本题考查了求空间多面体的外接球半径，常用的方法有：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可．
(2)已知正方体的所有顶点都在球O的表面上，若球的体积为，则正方体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】球的体积为，即，解得，
设正方体的棱长为，由题意知，即，
解得，正方体的体积．故选：D．
考点3
球体的外切问题
例3.(1)已知圆维的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的体积为
．
【答案】
【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为，
由于，故，设内切圆半径为，则：
，
解得：，其体积：．故答案为：．
(2)已知在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上?下底面及母线均相切．过直线的平面截圆柱得到四边形，其面积为8．若P为圆柱底面圆弧的中点，则平面与球O的交线长为___________．
【答案】
【解析】设球的半径为r，则，而，∴．
作于H，∵⊥底面，∴⊥AB，∵P为圆柱底面圆弧的中点，∴AP=BP，
又为AB中点，∴⊥AB，又，∴，∴，
又且，∴，∵，，，
∴，∴，
∴．
平面与球O的交线为一个圆，其半径，
圆周长为．故答案为：．
【点睛】（1）多面体的外接球（内切球）问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：
①公式法；②多面体几何性质法；③补形法；④寻求轴截面圆半径法；⑤确定球心位置法；
（2）一个平面与球相交，所得的截面为一个圆．
【跟踪演练】3.
(1)阿基米德（公元前年—公元前年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设球的半径为，
根据题意圆柱的表面积为，解得，
所以该球的体积为．故选：C
(2)如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为的大球放置在底面半径和高均为的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入（
）个小球．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，过球心与圆柱体底面圆心的平面截得该图形的平面图，
设球的半径为，实心小球的半径为，
由题意可得，解得，
因为小球球心在以为圆心，为半径的圆上，，周长为，
所以，
即，
故该工艺品最多可放入15个小球．故选：B
考点4
与球有关的综合问题
例3.(1)已知三棱锥的所有棱长都相等，点是线段上的动点，点是线段上靠近的三等分点，若的最小值为，则三棱锥外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如下图所示：将平面，平面展开至同一平面，连接交于点，
故的值最小为，设三棱锥的棱长为，
则在中，，，，
由余弦定理可知，解得，
所以三棱锥的棱长为6，将该四面体置于正方体中，可得正方体的外接球即为四面体的外接球，如下图所示：
所以正方体的棱长为，所以正方体的外接球半径为，
故四面体的外接球半径为，外接球表面积．故选：C．
【点睛】本题考查了正四面体可以看成是正方体的三组对棱所构成的三棱锥，此时正四面体的棱长是正方体棱长的倍．
(2)已知三棱锥的侧棱都相等，侧棱的中点分别为，，，棱的中点为，平面．且，．若四面体的每个顶点都在球的球面上，则该球面与三棱锥侧面的交线总长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示：
连结，
∵
，，，，分别为各棱的中点，，
∴，
∴点即为球的球心，
∵平面，
∴球面与三棱锥侧面的交线总长为，故选：C．
【点睛】本题考查了与球有关的综合问题，①涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系；②求与球有关的“切”或者“接”球半径时，往往用到的方法有构造法或者直接确定球心．③球体中常常用到以下结论：设球的半径为，球的截面圆的半径为，则球心到截面的距离为④求三棱锥的体积要注意如何选取底面和顶点.因为三棱锥的每一个面都可以作为底面，每一个顶点都可以作为顶点.
【跟踪演练】3.
(1)已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且的长分别为，又，侧面与底面成角，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，当且仅当时取等号，
因为侧面与底面成角，则，，
，所以，故外接球的表面积为．故选：A．
(2)已知三棱锥，，，平面且，则此三棱锥的外接球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，设球心为，三角形ABC外接圆心为，
平面，，设球半径为，圆的半径为，
则在三角形ABC中，由正弦定理可得，即，
在直角三角形中，，即，解得，
则外接球的体积为．故选：D．
【仿真练习】
一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为，则球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设球的半径为，圆锥的底面半径为，因为球心到截面的距离为1，
所以有：，
则题中圆锥体积，解得，故球的表面积为.
故选：C
2.在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设正方体的棱长为，则，
由于三棱锥的表面积为，所以，
所以，所以正方体的外接球的半径为，
所以正方体的外接球的体积为故选：B．
3.如图，在四边形中，，，.现沿对角线折起，使得平面平面，且三棱锥的体积为，此时点，，，在同一个球面上，则该球的体积是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵，，∴的外接圆半径为.由题意知，平面平面，如图，取的中点，连结，则平面，球心在上.因为三棱锥的体积为，所以，解得，∴球心到平面的距离为（为外接球的半径），由勾股定理可得，∴，故所求球的体积为．故选：A.
4.已知正方体的棱长为2，以为球心，为半径的球面与平面的交线长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意知.
如图，
在平面内任取一点P，使，
则，
故以A为球心，为半径的球面与平面的交线是以为圆心，以2为半径的圆弧，故该交线长为.故选：D.
5.四面体中，，且异面直线与所成的角为．若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】构建直三棱柱，设分别为的外心，连接，
取其中点，则为直三棱柱的外接球的球心，也为四面体的外接球的球心，因为异面直线与所成的角为，所以．
设三棱柱底面的外接圆半径为，则，，再由余弦定理，，
所以，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，
故四面体的体积的最大值为．故选：A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
6.已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的是（
）
A．球的半径为
B．球的表面积为
C．球的内接正方体的棱长为
D．球的外切正方体的棱长为
【答案】BD
【解析】设球的半径为，的外接圆圆心为，半径为，
可得，
因为球心到平面的距离等于球半径的，
所以，得，所以A不正确；
所以球的表面积，选项B正确；
球的内接正方体的棱长满足，显然选项C不正确；
球的外切正方体的棱长满足，显然选项D正确．
故选：BD
7.已知在棱长为4的正方体中，E为棱的中点，以点E为球心，以为半径的球的球面记为Γ，则下列结论正确的是（
）
A．Γ与面的交线长为
B．直线被Γ截得的线段长为
C．若点H为Γ上的一个动点，则的最小值为
D．Γ与截面的交线长为
【答案】ABD
【解析】因为平面，所以平面截Γ所得小圆的半径，
圆心为点B，所以Γ与面的交线长为，故A项正确；
点E到直线的距离为点C到直线的距离的，
设点C到直线的距离为，由，
即，解得.
即E到直线的距离为，
所以直线被Γ截得的线段长为，故B项正确；
因为，所以点在该球外，
所以的最小值为，故C项错误；
过E作于，连接，
则，，，，
连接，在上取，则，
所以点F在该球上，在上取，
则，，所以点G在该球上，
所以以点E为球心，以为半径的球面与对角面的交点为F，G，
又因为，所以，，
所以该交线的长为，故D项正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分．
8.在三棱锥中，侧棱底面且则该三棱锥的外接球的体积为________．
【答案】
【解析】在中，由余弦定理可知
因为，所以是顶角为钝角的等腰三角形，
设的外接圆的直径为，由正弦定理可知，
因为侧棱底面，，所以三棱锥的外接球的直径为，由勾股定理可知，
所以三棱锥的外接球的半径为，
所以三棱锥的外接球的体积为故答案为：.
9.粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成．因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为的正四棱锥，则这个粽子的表面积为________，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为________．
【答案】
【解析】每个侧面三角形的面积均为，底面正方形的面积为，
所以四棱锥的表面积为；球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥五个面都相切，正四棱锥的高为，设球的半径为，
所以四棱锥的体积，故，
．故答案为；.
10.在棱长为的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为________．
【答案】
【解析】如图1所示，设圆柱的底面半径为，母线长为，圆柱的外接球半径为，
取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点到圆柱底面圆上每个点的距离都等于，则为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得．
本题中，平面，设的外接圆为圆，可将三棱锥内接于圆柱，如图2所示：
图1
图2
图3
设的外接圆直径为，，该三棱锥的外接球直径为，则．
如图3所示：设，则，，，
，
当且仅当时，取得最大值，
由，可得，，
所以，的最大值为，由正弦定理得，即的最小值为，
因此，，所以，三棱锥外接球的表面积为．故三棱锥外接球的表面积的最小值为．故答案为：．
四、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11.三棱锥的顶点都在同一个球面上，满足过球心，且，则
（1）求三棱锥体积的最大值；
（2）当三棱锥体积最大时，求平面截球所得的截面圆的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】依题意可知，是球的直径，所以当，，
即时，三棱锥体积取得最大值为，此时，
即三角形是等边三角形，
设其外接圆半径为，由正弦定理得，
所以等边三角形的外接圆的面积，
也即平面截球所得的截面圆的面积为．
12.已知等边三角形的边长为，，分别为，的中点，将沿折起得到四棱锥．点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，求四棱锥外接球的半径以及点到平面距离的最大值为______．
【答案】，
【解析】如图所示，设的中点为，
，分别为等边三角形和梯形的外接圆圆心．
在中，为的中点，所以，
则为梯形外接圆的直径．连接，．
由题意，当四棱锥的体积最大时，平面平面，
过作平面的垂线，过作平面的垂线，两条垂线交于点，
则点即为四棱锥外接球的球心．
四边形为矩形，则．
在等边三角形中，，则，，
即．
又，所以四棱锥外接球的半径，
所以点到平面距离的最大值．第6讲
与球有关的问题
考点1球体中截面相关问题
例1.(1)我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异．意思是夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为，则两个几何体的体积比也为．已知线段长为4，直线过点且与垂直，以为圆心，以1为半径的圆绕旋转一周，得到环体；以，分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体；过且与垂直的平面为，平面，且距离为，若平面截圆柱体所得截面面积为，平面截环体所得截面面积为，则________，环体体积为_________．
(2)在三棱锥中，平面，，，．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为________；若点是的重心，则过点的平面截球所得截面的面积的最小值为________．
【跟踪演练】1.(1)某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示）．该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为的正方体的个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）．若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径为___；现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半径是，球冠的高是，那么球冠的表面积计算公式是
．
由此可知，该实心工艺品的表面积是________．
(2)如图，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，点分别在棱上，平面平面，若，则三棱锥的外接球被平面所截的截面面积为___________.
考点2
球体的内接问题
例2.(1)《九章算术》是我国古代的一部数学书记，通过“牟合方盖”解决了球体体积计算的难题，其中一段记载：“今有方锥，下方八尺，高八尺，问：积几何？术曰：下方自乘，以高乘之，三而一，若以立圆外接，问积几何？”意思是“假设有一个正四棱锥（底面是正方形，并且顶点在底面的射影是正方形中心的四棱锥），下底边长是8尺，高8尺，则它的体积是多少？方法是下底边长自乘，以高乘之，再除以3．若这个正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的体积是__________立方尺．”
(2)在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪演练】2.
(1)世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为米，底面边长为米，是华人建筑大师贝聿铭设计的．若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为____________米．
(2)已知正方体的所有顶点都在球O的表面上，若球的体积为，则正方体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
考点3
球体的外切问题
例3.(1)已知圆维的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的体积为
．
(2)已知在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上?下底面及母线均相切．过直线的平面截圆柱得到四边形，其面积为8．若P为圆柱底面圆弧的中点，则平面与球O的交线长为___________．
【跟踪演练】3.
(1)阿基米德（公元前年—公元前年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
(2)如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为的大球放置在底面半径和高均为的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入（
）个小球．
A．
B．
C．
D．
考点4
与球有关的综合问题
例3.(1)已知三棱锥的所有棱长都相等，点是线段上的动点，点是线段上靠近的三等分点，若的最小值为，则三棱锥外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
(2)已知三棱锥的侧棱都相等，侧棱的中点分别为，，，棱的中点为，平面．且，．若四面体的每个顶点都在球的球面上，则该球面与三棱锥侧面的交线总长为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪演练】3.
(1)已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且的长分别为，又，侧面与底面成角，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
(2)已知三棱锥，，，平面且，则此三棱锥的外接球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【仿真练习】
一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为，则球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
2.在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
3.如图，在四边形中，，，.现沿对角线折起，使得平面平面，且三棱锥的体积为，此时点，，，在同一个球面上，则该球的体积是（
）
A．
B．
C．
D．
4.已知正方体的棱长为2，以为球心，为半径的球面与平面的交线长为（
）
A．
B．
C．
D．
5.四面体中，，且异面直线与所成的角为．若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
6.已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的是（
）
A．球的半径为
B．球的表面积为
C．球的内接正方体的棱长为
D．球的外切正方体的棱长为
7.已知在棱长为4的正方体中，E为棱的中点，以点E为球心，以为半径的球的球面记为Γ，则下列结论正确的是（
）
A．Γ与面的交线长为
B．直线被Γ截得的线段长为
C．若点H为Γ上的一个动点，则的最小值为
D．Γ与截面的交线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分．
8.在三棱锥中，侧棱底面且则该三棱锥的外接球的体积为________．
9.粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成．因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为的正四棱锥，则这个粽子的表面积为________，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为________．
10.在棱长为的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为________．
四、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11.三棱锥的顶点都在同一个球面上，满足过球心，且，则
（1）求三棱锥体积的最大值；
（2）当三棱锥体积最大时，求平面截球所得的截面圆的面积．
12.已知等边三角形的边长为，，分别为，的中点，将沿折起得到四棱锥．点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，求四棱锥外接球的半径以及点到平面距离的最大值为______．
