2012高考数学二轮复习教案

2012届高考数学二轮复习
专题六 立体几何
【重点知识回顾】
稳定中有所创新,由知识立意转为能力立意
（1） 考查重点及难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定,以及求线面角、二面角等知识都是重点考查的内容，其中线线角、线面角、二面角的求解更是重中之重在难度上平稳过渡，始终以中等偏难为主。实行新课程的高考，命题者在求稳的同时注重创新高考创新，主要体现在命题的立意和思路上注重对学生能力的考查
（2）空间几何体中的三视图仍是高考的一个重要知识点解答题的考查形式仍要注重在一个具体立体几何模型中考查线面的关系
（3）使用，“向量”仍将会成为高考命题的热点，一般选择题、填空题重在考查向量的概念、数量积及其运算律在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面问题的位置关系、角度、长度等问题，比用传统立体几何的方法简便快捷，空间向量的数量积及坐标运算仍是2012年高考命题的重点
（4）支持新课改，在重叠部分做文章,在知识交汇点处命题
立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线面平行的判定：
线面平行的性质：
三垂线定理（及逆定理）：
线面垂直：
面面垂直：
三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°
（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。
如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：
（1）点C到面AB1C1的距离为___________；
（2）点B到面ACB1的距离为____________；
（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；
（4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；
（5）点B到直线A1C1的距离为_____________。
你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：
它们各包含哪些元素？
球有哪些性质？
（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！
（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。
（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。
【典型例题】
空间几何体及三视图
例1．用一些棱长为1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图则这个几何体的体积最大是 7 cm3．
图1（俯视图） 图2（主视图）
例2.一个多面体的直观图及三视图如图所示，则多面体的体积为 ▲ ．
例4.右图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体共有▲ 个．5
例5．如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是 。
例 6.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为
例7.一个几何体的三视图中，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形（如图），根据图中标注的长度，可以计算出该几何体的表面积是 12+4 ．
2.平行与垂直
例8.已知：正方体，，E为棱的中点．
⑴求证：；
⑵求证：平面；⑶求三棱锥的体积
证明：连结，则//， ∵是正方形，∴．
∵面，∴．
又，∴面．
∵面，∴，
∴．
⑵证明：作的中点F，连结．
∵是的中点，∴，
∴四边形是平行四边形，∴ ．
∵是的中点，∴，
又，∴．
∴四边形是平行四边形，//，
∵，，
∴平面面．
又平面，∴面
例9. 多面体中，，，，。
（1）求证：；
（2）求证：
证明：（1）∵
∴
（2）令中点为，中点为，连结、
∵是的中位线
∴
又∵
∴
∴
∴
∵为正
∴
∴
又∵，
∴四边形为平行四边形
∴
∴
例10．如图四边形是菱形，平面， 为的中点. 求证：
⑴ ∥平面；
⑵ 平面平面.
解：证：设 ,连
⑴ ∵为菱形， ∴ 为中点，又为中点。
∴∥
又 , ∴∥
⑵ ∵为菱形， ∴,
又∵， ∴
又 ∴ 又
∴
3.距离与角
例11．已知所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，，求：
⑴．直线AD与平面BCD所成角的大小；
⑵．直线AD与直线BC所成角的大小；
⑶．二面角A-BD-C的余弦值．
⑴如图，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H，
则AH⊥平面DBC，∴∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角
由题设知△AHB≌△AHD，则DH⊥BH，AH=DH，∴∠ADH=45°
⑵∵BC⊥DH，且DH为AD在平面BCD上的射影，
∴BC⊥AD，故AD与BC所成的角为90°
⑶过H作HR⊥BD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，AR⊥BD，故∠ARH为二面角A—BD—C的平面角的补角 设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在△HDB中，HR=a，∴tanARH==2
故二面角A—BD—C的余弦值的大小为
【点评】:本题着眼于让学生掌握通性通法。几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步。斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设 为直线与平面所成的角，为直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角，则有或（如图）
特别地 时，，；时， ，或。
⑴用两面垂直的性质作垂线，找垂足的位置作出线面角，⑵利用三垂线定理证，⑶利用对称性定义法作二面角
【变式与拓展】如图，BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影．
⑴.求PB与平面BCD所成角；
⑵.求BP与平面PCD所成的角.
【解法】
⑴. PD⊥平面BCD，∴BD是PB在平面BCD内的射影，
∴∠PBD为PB与平面BCD所成角,BD⊥BC，
由三垂线定理得BC⊥BD，∴BP=CD，设BC=a，
则BD=a，BP=CD=a∴在Rt△BPD中，
cos∠DBP= ∴∠DBP=45°, 即PB与平面BCD所成角为45°．
⑵.过B作BE⊥CD于E，连结PE，PD⊥平面BCD得PD⊥BE，∴BE⊥平面PCD，
∴∠BPE为BP与平面PCD所成的角,在Rt△BEP中，BE=a, BP=a,∴∠BPE=30° 即BP与平面PCD所成角为30°
例12.在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小
解析1.定义法 过D作DE ⊥PC于E，过E作EF ⊥PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解△DEF即可
【解法一】过D作DE ⊥PC于E，过E作EF ⊥PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-PC-D的平面角
在四棱锥P-ABCD中， PA ⊥平面ABCD且ABCD为矩形，∵AD⊥DC∴PD⊥DC
∵PA=a，AD=BC=2a，∴PD=,PC=,DE=,CE=
同理在Rt△PBC中，，
在Rt△EFC中,FC=, 在Rt△DFC中,DF=,
在△DEF中由余弦定理cos=
所求二面角B-PC-D的余弦值为
解析2.垂面法　　易证面PAB⊥面PBC，过A作AM ⊥BP于M，显然AM ⊥面PBC，从而有AM ⊥PC，同法可得AN ⊥PC，再由AM与AN相交与A得PC ⊥面AMN。设面AMN交PC于Q，则为二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解
【解法二】略
解析3.利用三垂线求解　　把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D。
易证面PEDA ⊥PDC，过E作EF ⊥ PD于F，显然PF ⊥面PDC，在面PCE内，过E作EG ⊥PC于G，连接GF，由三垂线得GF⊥ PC 即为二面角E-PC-D的平面角，只需解△EFG即可
解析4.在面PDC内，分别过D、B作DE ⊥PC
于E，
BF ⊥PC于F，连接EF即可。
利用平面知识求BF、EF、DE的长度，
再利用空间余弦定理求出 即可
【点评】.用几何法求二面角的方法比较多，常见的有：
（1）定义法, 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析１
（2）三垂线求解 ,在棱上的点分别作棱的垂线，如解析２
（3）垂面法, 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析３
用几何法将二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法：①直接利用定义，图(1).②利用三垂线定理及其逆定理，图 (2).最常用。③作棱的垂面，图(3).
【模拟演练】
一、选择
1．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
2．一个几何体的三视图如图所示，已知侧视图是一个等腰三角形, 根据图中尺寸(单位:),可知这个几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
4．已知、是不重合的直线，、、是两两不重合的平面，给出下列命题：①若则；②若，则;③若，；④若其中真命题的序号为 （ ）
A ①② B ①③ C ①④ D ②④
5.　在正三棱锥中，分别为、的中点，若与所成的角为，则与所成的角为（ ）
　A. 　B. C. D.
7．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC，M、N分别是A1B1，AB的中点，P点在线段上，则与平面的位置关系是 （ ）
A．垂直
B．平行
C．相交但不垂直
D． 要依P点的位置而定
11. 如图所示，设地球半径为，点在赤道上，为地心，点在北纬30°的纬线（为其圆心）上，且点，，共面，点、、共线 若，则异面直线与所成角的正弦值为 （ ）
A. B.
C. D.
二、填空
13.已知一个正四棱柱内接于球，该正四棱柱高为3，体积为24，则这个球的表面积是 。
14．若直线l与平面 所成角为，直线a在平面内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是 。
三解答题
17．（本题满分12分）
如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，点是的中点。
（1）求证：平面平面；
（2）求证：。
18. （本小题满分12分）
如图所示，矩形中，G是对角线AC，BD的交点，， ，F为CE上的点，且，连接FG.
⑴求证：；
⑵求证：//；
⑶求三棱锥的体积.
19．如图,四棱锥的底面为直角梯形，
ABCD,。　
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求二面角的大小　
专题训练答案
1．B 解析：由正方体对角线得到直径可知，，所以棱长为。
2.A 解析：由三视图可知该几何体的底面是底边为6，高是4的等腰三角形，该几何体的高为5，所以。
4．D解析：①只有、相交才正确，所以①错误；②正确；③l还需与、的交线垂直，错误；④由平面与平面平行的性质定理可知正确，选D.
5．C 解析：由正三棱锥的对应棱互相垂直，得。取的中点，连，则，所以△是直角三角形，与所成的角为，就是∠＝，从而∠＝，即与所成的角为，故选C。
7．B 解析：由题设知B1M∥AN且B1M=AN，四边形ANB1M是平行四边形，
故B1N∥AM，B1N∥AMC1平面．又C1M∥CN，得CN∥平面AMC1，则平面B1NC∥AMC1，平面AMC1，∴∥平面B1NC。
11.C 解析：分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易得A（0，R，0），B（R，0，0），C（0，，D（0，0，R），所以， 故选C。
13. 解析：正四棱柱高为3，体积为24，底面积为8，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为5，∴ 球的半径为，球的表面积是。
14．；解析：因为直线l是平面的斜线，斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角，故a与l所成的角大于或等于；又因为异面直线所成的角不大于.
17、证明：（1）平面，平面，。 2分
又，平面，平面，
平面，平面，平面平面。 6分
（2）连结交于点，并连结，四边形为平行四边形
∴为的中点， 又为的中点。 8分
∴在中为中位线， ，平面，
平面，，。 12分
18、解：（1）证明：∵，
∴，∴， 2分
又∵，∴ ， 4分
又∵
∴.，，。 5分
⑵证明：∵，∴，又
∴是的中点，又易知是的中点，
∴在△中，，又，
∴. 9分
⑶由⑵知且， .
∴∴，
又∵，∴，∴在中，。
∴在，
∴在。 12分
解析：（Ⅰ）如图，建立坐标系，
则，，，，，
，，，
，　 2分
，，又，平面　 6分
（Ⅱ）设平面的法向量为，
则，，
又，，
解得
。 8分
平面的法向量取为，
，。　
二面角的大小为。　 12分
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主视图
俯视图
左视图
2
俯视图
主视图
左视图
2
1
2
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
M
N
B
A
C
D
P
Q
O
B
D
P
C
A
B
D
P
C
A
解析一
Ｅ
Ｆ
B
D
P
C
A
解析三
E
F
G
B
D
P
C
A
解析二
Ｍ
Ｎ
Ｑ
B
D
P
C
A
解析四
Ｅ
Ｆ
A
O
B
M
N
A
O
P
A
B
O
P
(1)
(2)
(3)2012届高考数学二轮复习
专题十：选择题的解题方法与技巧
【重点知识回顾】
高考数学选择题占总分值的．
其解答特点是“四选一”，快速、准确、无误地选择好这个“一”是十分重要的．
选择题和其它题型相比，解题思路和方法有着一定的区别，产生这种现象的原因在于选择题有着与其它题型明显不同的特点：①立意新颖、构思精巧、迷惑性强、题材内容相关相近，真假难分；②技巧性高、灵活性大、概念性强、题材内容储蓄多变、解法奇特；③知识面广、跨度较大、切入点多、综合性强．
正因为这些特点，使得选择题还具有区别与其它题型的考查功能：①能在较大的知识范围内，实现对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查；②能比较确切地考查考生对概念、原理、性质、法则、定理和公式的掌握和理解情况；③在一定程度上，能有效地考查逻辑思维能力，运算能力、空间想象能力及灵活和综合地运用数学知识解决问题的能力．
【典型例题】
（一）直接法
直接从题目条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择、涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．
例1、关于函数，看下面四个结论：
①是奇函数；②当时，恒成立；③的最大值是；④的最小值是．其中正确结论的个数为：
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】，
∴为偶函数，结论①错；对于结论②，当时，，
∴，结论②错．
又∵，∴，从而，结论③错．
中，，∴，
等号当且仅当x=0时成立，可知结论④正确．
【题后反思】
直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解，直接法运用的范围很广，只要运算正确必能得到正确的答案，提高直接法解选择题的能力，准确地把握中档题的“个性”，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．
（二）排除法
排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论．
例2、直线与圆的图象可能是：
A． B． C． D．
【解析】由圆的方程知圆必过原点，∴排除A、C选项，圆心（a，-b）,
由B、D两图知．直线方程可化为，可知应选B．
【题后反思】
用排除法解选择题的一般规律是：
（1）对于干扰支易于淘汰的选择题，可采用筛选法，能剔除几个就先剔除几个；
（2）允许使用题干中的部分条件淘汰选择支；
（3）如果选择支中存在等效命题，那么根据规定---答案唯一，等效命题应该同时排除；
（4）如果选择支存在两个相反的，或互不相容的判断，那么其中至少有一个是假的；
（5）如果选择支之间存在包含关系，必须根据题意才能判定．
（三）特例法
特例法也称特值法、特形法．
就是运用满足题设条件的某些特殊值、特殊关系或特殊图形对选项进行检验或推理，从而得到正确选项的方法，常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．
例3、设函数，若，则的取值范围为：
A．（-1，1） B．（） C． D．
【解析】∵，∴不符合题意，∴排除选项A、B、C，故应选D．
例4、已知函数的图像如图所示，则b的取值范围是：
A． B．
C．（1，2） D．
【解析】设函数，
此时．
【题后反思】
这类题目若是脚踏实地地求解，不仅运算量大，而且极易出错，而通过选择特殊点进行运算，既快又准，但要特别注意，所选的特殊值必须满足已知条件．
（四）验证法
又叫代入法，就是将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断，即将各个选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案．
例5、在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意，恒成立”的只有：
A． B． C． D．
【解析】当时，，所以恒成立，
故选A．
例6、若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则r的取值范围是：
A．[4，6] B． C． D．
【解析】圆心到直线的距离为5，则当时，圆上只有一个点到直线的距离为1，当时，圆上有三个点到直线的距离等于1，故应选D．
【题后反思】
代入验证法适用于题设复杂、结论简单的选择题，这里选择把选项代入验证，若第一个恰好满足题意就没有必要继续验证了，大大提高了解题速度．
（五）数形结合法
“数缺形时少直观，形少数时难入微”，对于一些具体几何背景的数学题，如能构造出与之相应的图形进行分析，则能在数形结合，以形助数中获得形象直观的解法．
例7、若函数满足，且时，，则函数的图像与函数的图像的交点个数为：
A．2 B．3 C．4 D．无数个
【解析】由已知条件可做出函数及
的图像，如下图，由图像可得其交点的个数为4个，
故应选C．
例8、设函数，若若，则的取值范围为：
A．（-1，1） B．
C．（） D．
【解析】在同一直角坐标系中，做出函数
和直线x=1的图像，它们相交于（-1，1）和
（1，1）两点，则，得，故选D．
【题后反思】
严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，而是一种数形结合的解题策略，但它在解有关选择题时非常简便有效，不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则错误的图像反会导致错误的选择．
（六）逻辑分析法
分析法就是根据结论的要求，通过对题干和选择支的关系进行观察分析、寻求充分条件，发现规律，从而做出正确判断的一种方法，分析法可分为定性分析法和定量分析法．
例9、若定义在区间（-1，0）内的函数满足，则a的取值范围是：
A． B． C． D．
【解析】要使成立，只要2a和x+1同时大于1或同时小于1成立，当时，，则，故选A．
例10、用n个不同的实数可得个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的矩阵，对第i行，记，
（）例如用1、2、3排数阵如图所示，由于此数阵中每一列各
数之和都是12，所以，那么用1，
2，3，4，5形成的数阵中，
A．-3600 B．1800 C．-1080 D．-720
【解析】时，，每一列之和为，，
时，，每一列之和为，，故选C．
【题后反思】
分析法实际是一种综合法，它要求在解题的过程中必须保持和平的心态、仔细、认真的去分析、学习、掌握、验证学习的结果，再运用所学的知识解题，对考察学生的学习能力要求较高．
（七）极端值法
从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变，应用极端值法解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，隆低难度，优化解题过程．
例11、对任意都有：
A． B．
C． D．
【解析】当时，，，故排除A、B，
当时，，，故排除C，因此选D．
例12、设，且，则
A． B．
C． D．
【解析】∵，∵令，则，
易知：，故应选A．
【题后反思】
有一类比较大小的问题，使用常规方法难以奏效（或过于繁杂），又无特殊值可取，在这种情况下，取极限往往会收到意想不到的效果．
（八）估值法
由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程，因此可通过猜测、合情推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，避免“小题大做”．
例13、如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为：
A． B．5 C．6 D．
【解析】由已知条件可知，EF//面ABCD，则F到平面ABCD
的距离为2，∴，而该多面体的体积必大于6，故选D．
例14、已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是：
A． B． C． D．
【解析】设球的半径为R，的外接圆半径，则，故选D．
【题后反思】
有些问题，由于受条件限制，无法（有时也没有必要）进行精确的运算和判断，而又能依赖于估算，估算实质上是一种数字意义，它以正确的算理为基础，通过合理的观察、比较、判断、推理，从而做出正确的判断、估算、省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了时间，从而显得快捷．其应用广泛，它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法．
（九）割补法
“级割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题时间．
例15、一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一
球面上，则此球的表面积为：
A． B． C． D．
【解析】如图，将正四面体ABCD补成正方体，则正四面体、正方体的中心与其外接球的球心共一面，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径，故，选A．
【题后反思】
“割”即化整为零，各个击破，将不易求解的问题，转化为易于求解的问题；“补”即代分散不集中，着眼整体，补成一个“规则图形”来解决问题，当我们遇到不规则的几何图形或几何体时，自然要想到“割补法”．
【模拟演练】
（1）已知是锐角，且，则的取值范围是：
A． B． C． D．
（2）（2007，安徽高考）若，，则A交B补中元素的个数为：
A．0 B．1 C．2 D．3
（3）（2007，山东高考）已知集合，，则
A． B． C． D．
（4）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是：
A． B． C． D．
（5）如果n是正偶数，则
A． B． C． D．
（6）函数，则区间[a，b]上是增函数，且，则函数在[a，b]上是：
A．增函数 B．减函数 C．有最大值M D．有最小值—M
（7）函数的最小正周期是：
A． B． C．2 D．4
（8）过点A（1，-1），B（-1，1）且圆心在直线上的圆的方程是：
A． B．
C． D．
（9）定义在上的奇函数，在上为增函数，当时，的图像如下图所示，则不等式的解集是：
A． B．
C． D．
（10）函数的图像与函数的图像交点的个数为：
A．1 B．2 C．3 D．4
（11）如下图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为：
A． B． C． D．
（12）如下图，直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、
Q分别为侧棱AA1、和CC1上的点，且AP=C1Q，则四棱
锥B—A1PQC的体积为：
A． B． C． D．
（13）如右图所示，在正方体AC1中，
E为AD的中点，O为侧面AA1B1B
的中心，F为CC1上任意一点，则
异面直线OF与BE所成的角是：
A． B． C． D．
（14）要得到函数的图像，只需把函数的图像：
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
（15）函数的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度b-a的最小值是： A．2 B． C．3 D．
（16）已知函数，正实数a，b，c满足，若实数d是函数的一个零点，那么下列四个判断：①db；③dc，其中可能成立的个数为：
A．1 B．2 C．3 D．4
（17）设函数，则使得成立的m的取值为：
A．10 B．0，-1 C．0，-2，10 D．1，-1，11
（18）已知点P是椭圆上的动点，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，O为坐标原点，则的取值范围是：
A． B． C． D．
答案：（1）D （2）C （3）B （4）C （5）B （6）C （7）B （8）C （9）A
（10）C （11）A （12）B （13）D （14）C （15）D （16）B （17）D （18）D
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
1
2
x
y
-3
-2
-1
1
2
3
Y=f(x)
x
y
1
-1
1
O
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 2 1
3 1 2
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
x
y
O
3
O
A
B
C
D
E
F
A
B
C
C1
B1
A1
P
Q
A
B
C
D
A1
C1
B1
D1
G
H
F
O
E2012届高考数学二轮复习
专题五 平面向量
【重点知识回顾】
向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既具有代数特征，又具有几何特征，因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将某些几何问题转化为代数问题，在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。能否理解和掌握平面向量的有关概念，如：共线向量、相等向量等，它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，形成清晰地知识结构，重点掌握相关概念、性质、运算公式 法则等，正确掌握这些是学好本专题的关键
在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。
在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力
因此，在复习中，要注意分层复习，既要复习基础知识，又要把向量知识与其它知识，如：曲线，数列，函数，三角等进行横向联系，以体现向量的工具性
平面向量基本定理（向量的分解定理）
的一组基底。
向量的坐标表示
表示。
. 平面向量的数量积
数量积的几何意义：
（2）数量积的运算法则
【典型例题】
1.向量的概念、向量的运算、向量的基本定理
例1. (2008湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（　 ）
A.(－15,12)　　　B.0 C.－3 D.－11
解：(a+2b)，(a+2b)·c ，选C
点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字
例2、(2008广东文)已知平面向量，且∥，则=（　 ）
A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）
解：由∥，得m＝－4，所以，
＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（C）。
点评：两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的倍，也是共线向量，注意运算的公式，容易与向量垂直的坐标运算混淆
例3．（1）如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量，，， 表示出来。
（1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可
因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，
所以，=＋，= =+，
由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=＋=+=++=2+，
同样在平行四边形 BCDO中，＝＝＝＋(＋)＝＋2，＝＝－
点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示。
例4．已知中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC边上的高为AD，求。
解析：设D(x,y)，则
∵
得
所以。
2. 向量与三角函数的综合问题
例5、（2008深圳福田等）已知向量 ,函数
(1)求的最小正周期; (2)当时, 若求的值．
解：(1) .
所以，T＝.
(2) 由得，
∵，∴　∴ ∴
点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.
例6、（2007山东文）在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，且，求．
解：（1）
又 解得．
，是锐角． ．
（2）由， ， ．
又 ． ．
． ．
　　点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。
3. 平面向量与函数问题的交汇
例7．已知平面向量a＝(，－1)，b＝(, ).
(1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)；
(2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间
解：（1）法一：由题意知x＝(,),
y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y
故x · y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t.
法二：∵a＝(，－1)，b＝(, ), ∴. ＝2，＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x · y＝0，即－k2＋t(t2－3)2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t
(2)由(1)知：k＝f(t) ＝t3－t ∴kˊ＝fˊ(t) ＝t3－,
令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
[归纳] 第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用
[变式] 已知平面向量＝(，－1)，＝(，)，若存在不为零的实数k和角α，使向量＝＋(sinα－3), ＝－k＋(sinα),且⊥，试求实数k 的取值范围。
[点拨] 将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数综合运用能力。
解：仿例3（1）解法（二）可得
k＝( sinα－)2－,而－1≤sinα≤1,
∴当sinα＝－1时，k取最大值1； sinα＝1时，k取最小值－.
又∵k≠0 ∴k的取值范围为 .
4. 平面向量在平面几何中的应用
例8、如图在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问与的夹角取何值时， 的值最大？并求出这个最大值
解：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设|AB|=c，|AC|=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b）.且|PQ|=2a，|BC|=a.设点P的坐标为（x，y），则Q（-x，-y），
∴cx-by=a2cos.∴=- a2+ a2cos.故当cos=1，即=0（方向相同）时，的值最大，其最大值为0.
点评：本题主要考查向量的概念，运算法则及函数的有关知识，平面向量与几何问题的融合。考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。
例9、已知A、B为抛物线(p>0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，
若，求抛物线的方程。
CD是否恒存在一点K，使得
Y
A
F P
B
X
O
D K C
解：（1）提示：记A（）、B （）设直线AB方程为代入抛物线方程得
（2）设线段AB中点P在在准线上的射影为T，
则
＝－＝－＝0
故存在点K即点T，使得
[实质：以AB为直径的圆与准线相切]
[变式]（2004全国湖南文21）如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.设点P分有向线段所成的比为，证明:；
解：依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得
①
设A、B两点的坐标分别是 、、x2是方程①的两根.
所以
由点P（0，m）分有向线段所成的比为，
得
又点Q是点P关于原点的对称点，
故点Q的坐标是（0，－m），从而.
所以
【模拟演练】
一、选择题
1．已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点分有向线段M1M2的比为3：2，则的值为 （ ）
A． B． C． D．4
2．已知a,b是非零向量且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是 （ ）
A． B． C． D．
3．已知向量=(2，0),向量=（2，2），向量=（），则向量与向量的夹角的范围为 （ ）
A．［0，］ B．［，］ C．［，］ D．［，］
4．设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·= （ ）
A． B． C．3 D．－3
5． O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ()，，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．已知平面上直线l的方向向量e=（,），点O（0，0）和A(1, －2)在上的射影分别是O/和A/，则，其中λ=（ ）
A． B． C．2 D．－2
7、（ ）
A． B. C. D. 1
8、已知，，则向量与（ ）
A.互相平行 B. 夹角为 C.夹角为 D.互相垂直
9、已知向量的夹角是（ ）
A． B． C． D．
10、若向量，，则等于（ ）
A. B. C. D.
11、已知非零向量若且又知则实数的值为 （ ）
A. B. C. 3 D. 6
12. 把函数y＝的图象按a＝（－1，2）平移到F′，则F′的函数解析式为
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
二、填空题
13．已知向量a、b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b||a－b|的值是 .
14.已知M、N是△ABC的边BC、CA上的点，且＝,＝,设＝，＝，则＝ .
15. △ABC中，,其中A、B、C是△ABC的三内角，则△ABC是 三角形。
16. 已知为坐标原点，动点满足，其中且，则的轨迹方程为 .
三、解答题
17. 已知向量，.（1）若，试判断与能否平行
（2）若，求函数的最小值.
18. 设函数，其中向量，.
（1）求函数的最大值和最小正周期；
（2）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的.
19. 如图，△ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、b、c，A为圆心，直径PQ＝2ｒ，问：当P、Q取什么位置时，·有最大值
20. 已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP至点N，且
（1）求动点N的轨迹方程；
（2）直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若且4≤≤，求直线l的斜率的取值范围
21. 已知点是圆上的一个动点，过点作轴于点，设.
（1）求点的轨迹方程；
（2）求向量和夹角的最大值，并求此时点的坐标
22. 在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断
它是否会进入警戒水域，并说明理由.
专题训练答案
一、选择题
1. D 2. B 3. D 4. B 5. B 6. D 7．A 8．A 9．D 10．B
11．D 12． A
二、填空题
13． 14. ；15.直角16.
三、解答题
17. 解：（1）若与平行，则有，因为，，所以得，这与相矛盾，故与不能平行.
（2）由于，又因为，所以， 于是，当，即时取等号.故函数的最小值等于.
18．解：（1）由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).
所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是＝.
（2）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，
于是d＝（，－2），k∈Z.
因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时d＝（―，―2）即为所求.
19. 解：·＝（）·（）
＝（）·（－）
＝－r2＋··
设∠BAC＝α，PA的延长线与BC的延长线相交于D，∠PDB＝θ，则
·＝－r2＋cbcosθ＋racosθ
∵a、b、c、α、r均为定值，
∴当cosθ＝1，即AP∥BC时，·有最大值.
20. 略解 （1）y2＝4x (x＞0)
（2）先证明l与x轴不垂直，再设l的方程为
y＝kx＋b(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立直线与抛物线方程，得
ky2－ 4y＋4b＝0,由，得.
又 故 而
解得直线l的斜率的取值范围是
21. 解析：（1）设，，则，，
.
（2）设向量与的夹角为，则，
令，则，
当且仅当时，即点坐标为时，等号成立.
22. 解: （I）如图，AB=40，AC=10，
由于,所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为（海里/小时）.
（2）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，
设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,
BC与x轴的交点为D.
由题设有，x1=y1= AB=40,
x2=ACcos,
y2=ACsin
所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.
又点E（0，-55）到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.
.精品资料。欢迎使用。
O
x
A
C
B
a
例7图
y
A
C
B
a
Q
P2012届高考数学二轮复习
专题四 三角函数
【重点知识回顾】
三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力
方法技巧：
1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可概括为“奇变偶不变，符号看象限”，变与不变是相对于对偶关系的函数而言的
2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中，显得十分重要，根据三角函数的，可简记为“一全正，二正弦，三两切，四余弦”，其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正
3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取
4.求三角函数值域的常用方法：
求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下方法：
（1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域；
（2）利用的有界性求值域；
（3）换元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意等价性
5. 三角函数的图象与性质
（一）列表综合三个三角函数，，的图象与性质，并挖掘：
⑴最值的情况；
⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；
⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；
的对称轴是，对称中心是；
的对称轴是，对称中心是
的对称中心是
注意加了绝对值后的情况变化.
⑷写单调区间注意.
（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，并能由图象写出解析式．
⑴“五点法”作图的列表方式；
⑵求解析式时处相的确定方法：代（最高、低）点法、公式.
（三）正弦型函数的图象变换方法如下：
先平移后伸缩
　　的图象
得的图象
得的图象
得的图象
得的图象．
先伸缩后平移
的图象
得的图象
得的图象
得的图象得的图象．
【典型例题】
例1.已知，求（1）；（2）的值.
解：（1）；
(2)
.
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化
例2.已知向量
，且，
(1)求函数的表达式；
(2)若，求的最大值与最小值
解：(1)，，，又，
所以，
所以，即；
(2)由(1)可得，令导数，解得，列表如下：
t －1 (－1，1) 1 (1，3)
导数 0 － 0 +
极大值 递减 极小值 递增
而所以
说明：本题将三角函数与平面向量、导数等综合考察，体现了知识之间的融会贯通。
例3. 平面直角坐标系有点
（1）求向量和的夹角的余弦用表示的函数；
（2）求的最值.
解：（1），
即
（2） ， 又 ，
， ， .
说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意
例4. 设 [0, ], 且 cos2+2msin-2m-2<0 恒成立, 求 m 的取值范围.
解法 1 由已知 0≤sin≤1 且 1-sin2+2msin-2m-2<0 恒成立.
令 t=sin, 则 0≤t≤1 且 1-t2+2mt-2m-2<0 恒成立.
即 f(t)=t2-2mt+2m+1=(t-m)2-m2+2m+1>0 对 t[0, 1] 恒成立.
故可讨论如下:
(1)若 m<0, 则 f(0)>0. 即 2m+1>0. 解得 m>, ∴(2)若 0≤m≤1, 则 f(m)>0. 即 -m2+2m+1>0. 亦即 m2-2m-1<0. 解得: 1(3)若 m>1, 则 f(1)>0. 即 0m+2>0. ∴mR, ∴m>1.
综上所述 m>. 即 m 的取值范围是 (, +∞).
解法 2 题中不等式即为 2(1-sin)m>-1-sin2.∵[0, ], ∴0≤sin≤1.
当 sin=1 时, 不等式显然恒成立, 此时 mR;
当 0≤sin<1 时,恒成立.
令 t=1-sin, 则 t(0, 1], 且 恒成立.
易证 g(t)=1-在 (0, 1] 上单调递增, 有最大值 - ,
∴m>. 即 m 的取值范围是 (, +∞).
说明：三角函数与不等式综合，注意“恒成立”问题的解决方式
【模拟演练】
一、选择
1．点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．函数在区间(，)内的图象大致是 （ ）
A． B． C． D．
6．已知∠A．∠B．∠C为三角形的三个内角，且，则△ABC是 （　　）
A．等边三角形　　 B．等腰三角形　　C．直角三角形　 D．无法确定
7．关于函数的图象，有以下四个说法：
①关于点对称； ②关于点对称；
③关于直线对称； ④关于直线对称
则正确的是 （　　）
A．①③　 B．②③　 C．①④　　 D．②④
9.如图，某走私船在航行中被我军发现，我海军舰艇在处获悉后，测出该走私船在方位角为，距离为的处，并测得走私船正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度沿直线方向前去追击.舰艇并在B处靠近走私船所需的时间为 （ ）
A．20 B． C．30 D．50
11．在中，分别为三个内角的对边，设向量，若向量，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空
13．已知向量且，则与方向相反的单位向量的坐标为_________。
原专题三的平面向量与三角函数的第15题
16．已知函数（， ，）的一段图象如图所示，则这个函数的单调递增区间为 。
18．（ 12分）已知，
（1）求的最大值和最小值；
（2）若不等式在上恒成立，求m的取值范围。
19．（12分）已知向量，且分别为的三边所对的角。
（1）求角C的大小；
（2）若成等差数列，且，求c的边长。
21．（12）已知：向量 ，，函数
（1）若且，求的值；
（2）求函数的单调增区间以及函数取得最大值时，向量与的夹角．
专题训练答案
1．D 解析： ，易知角终边在第三象限，从而有为正，为负，所以点位于第四象限。
2．A．解：y＝，所以，选A．。
6．B．解：因为，所以
即：，有
即＝，即
则，又因为为三角形的内角，则，所以为等腰三角形。
7．B．解：当时，＝1，当x＝时，＝0，所以，②③正确。
9．B 解：设舰艇收到信号后在处靠拢走私船，则，，又nmile，.
由余弦定理，得
，
即
.
化简，得
，
解得（负值舍去）.
答案：B
11．B 解析：由，得，又，所以，所以。
13. 解：因为，所以，解得：，所以，所以，所以与方向相反的单位向量的坐标为。
16． 解：由图象可知： ；A＝＝3。所以，y＝3sin（2x＋），
将代入上式，得：＝1，＝2k＋，即＝2k＋，
由｜｜＜，可得：所以，所求函数解析式为：。
∵当时，单调递增
∴
18．解：（1）
。 4分
所以当=1时。
所以当=-1时。 6分
（2）在上恒成立，
即在上恒成立，
只需， 。 8分
令，，
。
所以当时，有最小值，，
故。 12分
19．解：（1），
，
。 2分
又，，
。 4分
，。 6分
（2）成等差数列， 。
。 8分
又，。
， 。 10分
，，
，。 12分
21.解：∵＝。 2分
（1）由得即，
∵ 　　　　∴或
∴或。 4分
（2）∵
＝
。 8分
由得，
∴的单调增区间. 10分
由上可得，当时，由得
，，　　　∴。 12分2012届高考数学二轮复习
专题二 函数与导数
【重点知识回顾】
1．函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势．函数的图象也是高考命题的热点之一．近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了．
2．对于函数部分考查的重点为：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象；指数函数、对数函数的概念、图象和性质；应用函数知识解决一些实际问题；导数的基本公式，复合函数的求导法则；可导函数的单调性与其导数的关系，求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
【典型例题】
1．函数的性质与图象
函数的性质是高考考查的重点内容．根据函数单调性和奇偶性的定义，能判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，掌握求函数最大值和最小值的常用方法．函数的图象是函数性质的直观载体，能够利用函数的图象归纳函数的性质．对于抽象函数一类，也要尽量画出函数的大致图象，利用数形结合讨论函数的性质．
例1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是（ ）
答案：B
解析：在选项B中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．
点评：函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视．
例2．已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，则
答案：-8
解析：因为定义在R上的奇函数，满足，所以，所以, 由为奇函数，所以函数图象关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间[0,2]上是增函数，所以在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，不妨设，由对称性知，．所以．
点评：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．
2．函数与解方程、不等式的综合问题
函数与方程、不等式、数列是密切相关的几个部分，通过建立函数模型来解决有关他们的综合问题是高考的考查方向之一，解决该类问题要善于运用转化的思想方法，将问题进行不断转化，构建模型来解决问题．
例2．x为何值时，不等式成立．
解析：当时，．
当时，．
故时，．
时，为所求．
点评：该题考查了对数不等式的解法，其基本的解题思路为将对数不等式转化为普通不等式，需要注意转化之后的范围发生了变化，因此最后要检验，或者转化时将限制条件联立．
3．函数的实际应用
函数的实际运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，考生应具备用初等数学思想方法研究函数的能力，运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．
例3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）
解析：设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得：
．
则，令，即，解得．
当时，；当时，，
因此，当时，取得最小值，元．
答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．
点评：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题．利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法．
4．导数与单调性、极（最）值问题．
导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单调性，极值、最值时，具有其独特的优越性，要理解导数的几何意义，熟练导数的运算公式，善于借助导数解决有关的问题．
例4．已知函数，其中．
（1）当满足什么条件时，取得极值
（2）已知，且在区间上单调递增，试用表示出的取值范围．
解析： （1）由已知得，令，得，
要取得极值，方程必须有解，
所以△，即， 此时方程的根为：
，，
所以
当时，
x (-∞，x1) x 1 (x1，x2) x2 (x2，+∞)
f’(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
所以在x 1， x2处分别取得极大值和极小值．
当时，
x (-∞，x2) x 2 (x2，x1) x1 (x1，+∞)
F’(x) － 0 ＋ 0 －
f (x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数
所以在x 1， x2处分别取得极大值和极小值．
综上，当满足时，取得极值．
（2）要使在区间上单调递增，需使在上恒成立．
即恒成立，所以，
设，，
令得或(舍去)，
当时，，当时，单调增函数；
当时，单调减函数，
所以当时，取得最大，最大值为．
所以．
当时，，此时在区间恒成立，
所以在区间上单调递增，
当时最大，最大值为，所以．
综上，当时， ；当时， ．
点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值．运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题．
【模拟演练】
1．函数的图象（ ）
A． 关于原点对称 B．关于主线对称
C． 关于轴对称 D．关于直线对称
2． 定义在R上的偶函数的部分图象如右图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A． B．
C． D．
4． 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为 ．
5． 已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 ．
6．已知函数且
（I）试用含的代数式表示；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点．
7．已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是．
（I）求函数的解析式；
（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值．
【参考答案】
1．答案：A
解析：由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A．
2．答案：C
解析：根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在上单调递减，注意到要与的单调性不同，故所求的函数在上应单调递增．而函数在上递减；函数在时单调递减；函数在（上单调递减，理由如下y＇=3x2>0(x<0)，故函数单调递增，显然符合题意；而函数，有y＇=-<0(x<0)，故其在（上单调递减，不符合题意，综上选C．
3． 答案：D
解析：因为满足，所以，所以函数是以8为周期的周期函数，则，，，又因为在R上是奇函数， ，得，，而由得，又因为在区间[0,2]上是增函数，所以，所以，即，故选D．
4．答案：1
解析：由已知得，，，
，，
，，，
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现．，所以f（2009）= f（5）=1．
5．答案：
解析：由得：
，
即，∴∴，
∴切线方程为，即．
6．解析：（I）依题意，得，
由得．
（Ⅱ）由（I）得，
故，
令，则或，
①当时，，
当变化时，与的变化情况如下表：
+ - +
单调递增 单调递减 单调递增
由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为．
②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R；
③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为．
综上：
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为R；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为
（Ⅲ）当时，得，由，得．
由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故，
所以直线的方程为，
由得
解得，
，
所以线段与曲线有异于的公共点．
7．解析：（I）由已知,切点为(2,0),故有,即……①
又，由已知得……②
联立①②，解得．
所以函数的解析式为．
（II）因为．
令．
当函数有极值时，则，方程有实数解，
由，得．
①当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值；
②当时，有两个实数根情况如下表：
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以在时，函数有极值；
当时，有极大值；当时，有极小值．
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A B C D
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x
f(x)=m (m>0)2012届高考数学二轮复习
专题七 解析几何
【重点知识回顾】
解析几何是高中数学的重要内容之一，各地区在这一部分的出题情况较为相似，一般两道小题一道大题，分值约占15%，即22分左右.具体分配为：直线和圆以及圆锥曲线的基础知识两个容易或中档小题，机动灵活，考查双基；解答题难度设置在中等或以上，一般都有较高的区分度，主要考查解析几何的本质——“几何图形代数化与代数结果几何化”以及分析问题解决问题的能力.
解析几何的主要内容是高二中的直线与方程，圆与方程，圆锥曲线与方程考查的重点：直线的倾斜角与斜率、点到直线的距离、两条直线平行与垂直关系的判定、直线和圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系；圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、曲线与方程、圆锥曲线的简单应用等，其中以直线与圆锥曲线的位置关系最为重要。
圆锥曲线方程这章扩展开的内容比较多，比较繁杂，对学生来说不一定要把所有的结论一一记住，关键是掌握圆锥曲线的概念实质以及直线和圆锥曲线的关系.因此，在复习过程中要注意下述几个问题：
（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键，同时勿忘用定义解题.
（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)；
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.
（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义.
（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用.
（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等.解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.
【典型例题】
1.直线的基本问题：直线的方程几种形式、直线的斜率、两条直线平行与垂直的条件、两直线交点、点到直线的距离。
例 1 已知与，若两直线平行，则的值为 ．
解析： ．
点评：解决两直线平行问题时要记住看看是不是重合．
易错指导：不知道两直线平行的条件、不注意检验两直线是否重合是本题容易出错的地方。
例2 经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 ．
解析：圆心坐标是，所求直线的斜率是，故所求的直线方程是，即
点评：本题考查解析几何初步的基本知识，涉及到求一般方程下的圆心坐标，两直线垂直的条件，直线的点斜式方程，题目简单，但交汇性很强，非常符合在知识网络的交汇处设计试题的命题原则，一个小题就把解析几何初步中直线和圆的基本知识考查的淋漓尽致
易错指导：基础知识不牢固，如把圆心坐标求错，不知道两直线垂直的条件，或是运算变形不细心，都可能导致得出错误的结果
2.圆的基本问题：圆的标准方程和一般方程、两圆位置关系.
例3 已知圆的方程为．设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
解析：圆心坐标是，半径是，圆心到点的距离为，根据题意最短弦和最长弦（即圆的直径）垂直，故最短弦的长为，所以四边形的面积为
点评：本题考查圆、平面图形的面积等基础知识，考查逻辑推理、运算求解等能力。解题的关键有二，一是通过推理知道两条弦互相垂直并且有一条为圆的直径，二是能根据根据面积分割的道理，推出这个四边形的面积就是两条对角线之积的一半。本题是一道以分析问题解决问题的能力立意设计的试题。
易错指导：逻辑思维能力欠缺，不能找到解题的关键点，或是运算能力欠缺，运算失误，是本题不能解答或解答错误的主要原因
3.圆锥曲线的基本问题：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其性质，求简单的曲线方程.
例4已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）
A. （，－1） B. （，1） C. （1，2） D. （1，－2）
解析：定点在抛物线内部，由抛物线的定义，动点到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点到点和抛物线的准线距离之和最小时，求点的坐标，显然点是直线和抛物线的交点，解得这个点的坐标是。
点评：本题考查抛物线的定义和数形结合解决问题的思想方法类似的题目在过去的高考中比较常见
易错指导：不能通过草图和简单的计算确定点和抛物线的位置关系，不能将抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离，是解错本题或不能解答本题的原因
例5已知圆．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．
解析： 圆和轴的交点是，和轴没有交点。故只能是点为双曲线的一个顶点，即；点为双曲线的一个焦点，即。，所以所求双曲线的标准方程为。
点评：本题考查圆和双曲线的基础知识，考查数形结合的数学思想。解题的关键是确定所求双曲线的焦点和顶点坐标
易错指导：数形结合的思想意识薄弱，求错圆与坐标轴的交点坐标，用错双曲线中的关系等，是不同出错的主要问题
4.直线与圆锥曲线的位置关系
例6若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
解析：设圆心坐标为，则且.又，故，由得（圆心在第一象限、舍去）或，故所求圆的标准方程是。
点评：本题考查直线和圆的有关基础知识，考查坐标法的思想，考查运算能力。解题的关键是圆心坐标
易错指导：不能把直线与圆相切的几何条件通过坐标的思想转化为代数条件，或是运算求解失误等
例7 （过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为______________
解析：双曲线右顶点，右焦点，双曲线一条渐近线的斜率是，直线的方程是，与双曲线方程联立解得点的纵坐标为，故△AFB的面积为
点评：本题考查双曲线的基础知识和运算能力。
易错指导：过右焦点和渐近线平行的直线和双曲线只有一个交点，如果写错渐近线的方程，就会解出两个交点，不但增加了运算量，还使结果错误。
例8 在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以为圆心，为半径的圆做圆，若过点，所作圆的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为
解析：过点作圆的两切线互相垂直，如图，这说明四边形是一个正方形，即圆心到点的距离等于圆的半径的倍，即，故
点评：本题把椭圆方程、圆和圆的切线结合起来，考查椭圆的简单几何性质，体现了“在知识的网络交汇处设计试题”的原则，较全面地考查了解析几何的基本知识。解题的突破口是将圆的两条切线互相垂直转化为一个数量上的关系。
易错指导：陷入圆的两条切线互相垂直，不能通过数形结合的方法找到解题途径等，是考生解错本题的主要原因。
例9设，椭圆方程为，
抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，
与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
解析：（1）由得，
当得，G点的坐标为，，，
过点G的切线方程为即，
令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，
即，
即椭圆和抛物线的方程分别为和；
（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理以为直角的只有一个
若以为直角，设点坐标为，
、两点的坐标分别为和，
。
关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。
点评：本题考查椭圆和抛物线方程的求法、抛物线的切线方程的求法、存在性问题的解决方法、分析问题解决问题的能力，是一道几乎网罗了平面解析几何的所有知识点并且和导数的应用交汇在一起的综合性试题，是一道“在知识网络的交汇处”设计的典型试题。
易错指导：本题把抛物线和椭圆结合在一起，题目的条件里还有两条直线，考生在心理上畏惧，可能出现的问题是思维混乱，理不清题目中错综复杂的关系，找不到正确的解题思路；在解决第二问时缺乏分类讨论的思想意识产生漏解等
【模拟演练】
一、选择
1.下列各组直线中，两条直线互相平行的是 （ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
2. 直线绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆的位置关系是（ ）.
A．直线与圆相切 B．直线与圆相交但不过圆心
C．直线与圆相离 D．直线过圆心
2.A解析：由得，所以，
即，倾斜角为．从而所求直线倾斜角为，斜率，直线，即．此时，所以直线与圆相切．
3.双曲线的右焦点为，右准线与一条渐近线交于点，的
面积为，则两条渐近线的夹角为 （ ）
A． B． C． D．
5、已知A、B、C三点在曲线y=上，其横坐标依次为1，m,4(1＜m＜4)，当△ABC的面积最大时，m等于( )
A.3 B. C. D.
6.已知双曲线的两个焦点为、，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是 （　　）
A． B． C． D．
7. 已知点F是双曲线的左右焦点，以为一边的等边三角形与双曲线的两交点恰为等边三角形两边中点，则双曲线离心率（ ）.
A． B． C． D．
8.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则点坐标为 ( )
Ａ.或　　 Ｂ.或　　
Ｃ.或　　 Ｄ.或
10. 设经过椭圆上的任意两点的连线的垂直平分线与轴交点的横坐标为，则（ ）
A. B. C. D.
12、
二、填空
14.直线与中心在原点，焦点在轴上，实轴长为，离心率为的双曲线交于两点，若的中点为，则直线的方程是 ．
19.已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且.
(1)求直线的方程；
(2)求圆的方程；
(3)设点在圆上，试问使△的面积等于8的点共有几个？证明你的结论.
20.直线与双曲线的右支交于不同两点，（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线右焦点？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
21.已知点、的坐标分别是、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为。
（1）求证：点的轨迹在一个椭圆上，并写出椭圆的方程；
（2）设过原点的直线交（1）中的椭圆于点、，定点的坐标为，试
求面积的最大值，并求此时直线的斜率；
22.已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动
直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.
（I）证明: 为定值;
（II）若△POM的面积为，求向量与的夹角；
(Ⅲ) 证明直线PQ恒过一个定点.
专题训练答案
1.B解析：将以上各式转化为斜截式，A.与，斜率不相同；
B.与斜率相同，截矩不相同；
C.与斜率相同，截矩相同；
D.与斜率不相同.故选B.
3.A解析：设坐标为根据右准线与一条渐近线交于点，可得，因此点坐标为，因此的面积为，得，因此两条渐近线的夹角为..
5、B解析：由题意知A(1，1)，B(m,),C(4,2).直线AC所在方程为x－3y+2=0,
点B到该直线的距离为d=.
∵m∈(1,4),∴当时，S△ABC有最大值，此时m=.
6.D解析：根据得，因此，解之得或，因此则该双曲线的方程是.
7.A解析.要求双曲线的离心率就需要构造特征量之间的关系，注意到双曲线与等边三角形的交点在双曲线上，且三边反映了特征量之间的关系，可以构造三角形求解.因此连接,在中，
.
8、解析：∵抛物线的焦点为，准线为 ∴
设，过点向准线作垂线，则
∵，又
∴由得，即，解得选B.
10、解析：设此两点分别为的中点为则有① ② ①－②得：，再根据垂直两直线的斜率之积等于-1，故可知AB的中垂线的方程为：，
令 选A.
12、
14.解析：根据题意，故，故双曲线方程为，设，则，，两式相减得
，由，
故，故直线的方程是，即．
19、解：⑴直线的斜率 ，中点坐标为 ，
∴直线方程为 .
⑵设圆心，则由在上得： ①
又直径,,，又
∴ ②
由①②解得或
∴圆心 或
∴圆的方程为 或.
⑶ ，
∴ 当△面积为时 ，点到直线的距离为 . 又圆心到直线的距离为，圆的半径 且
∴圆上共有两个点使 △的面积为.
20、解：（1）将直线的方程代入双曲线的方程后，
整理得：---①，
依题意，直线与双曲线的右支交于不同两点，
∴，
解得的取值范围是，
（2）设两点的坐标分别是，则由①式得----②，
假设存在实数使得以线段为直径的圆经过双曲线右焦点，
则由得，
即------③，
整理得：，
把②式及代入③式化简得，解得或，又不符合，所以舍去.
可知可使得以线段AB为直径的圆过双曲线的右焦点.
21、解：（1）设为轨迹上的动点，由题意
即，点的轨迹在椭圆上；
（2）（Ⅰ）当直线垂直于轴时，，此时
（Ⅱ）当直线不垂直于轴时，设该直线方程为，代入椭圆中
得：、两点的坐标为：，
则
又点到直线的距离，
由，得，等号成立时
综上，的最大值是，此时
22、解：（I）设点、M、A三点共线，
(II)设∠POM=α，则
由此可得tanα=1
又
(Ⅲ)设点、B、Q三点共线，
即
即
即
即
由（*）式，代入上式，得
由此可知直线PQ过定点.
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A
y
x
O
B
G
F
F12012届高考数学二轮复习
专题十二 高考中的解答题的解题策略
【重点知识回顾】
解答题可分为低档题、中档题和高档题三个档次，低档题主要考查基础知识和基本方法与技能，中档题还要考查数学思想方法和运算能力、思维能力、整合与转化能力、空间想象能力，高档题还要考查灵活运用数学知识的能力及分析问题和解决问题的能力．
解答题的解题步骤
1.分析条件，弄清问题
2.规范表达，实施计划
3.演算结果，回顾反思
解答题的解题策略
1.从条件入手——分析条件，化繁为简，注重隐含条件的挖掘；
2.从结论入手——执果索因，搭好联系条件的桥梁；．
3.回到定义和图形中来；
4.换一个角度去思考；
5优先作图观察分析，注意挖掘隐含条件；
6.注重通性通法，强化得分点。
【典型例题】
1.从定义信息入手
定义信息型题是近几年来高考出现频率较高的新题型之一，其命题特点是：给出一个新的定义、新的关系、新的性质、新的定理等创新情境知识，然后在这个新情境下，综合所学知识并利用新知识作为解题工具使问题得到解决，求解此类问题通常分三个步骤：（1）对新知识进行信息提取，确定化归方向；（2）对新知识中所提取的信息进行加工，探究解题方法；（3）对提取的知识加以转换，进行有效组合，进而求解．
例1、根据定义在集合A上的函数，构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据，计算出；②若，则数列发生器结束工作，若，则输出x1,并将x1反馈回输入端，再计算出，并依此规律继续下去，现在有，，
（Ⅰ）求证：对任意，此数列发生器都可以产生一个无穷数列；
（Ⅱ）若，记，求数列的通项公式．
【解析】（Ⅰ）证明：当，即0x>0，
∴，又，∴，∴，
即．故对任意有；由有，由有；以此类推，可以一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列．
（Ⅱ）由，可得，
∴，即，
令，则，又
，
∴数列是以为首项，以为公比的等差数列，
∴，于是．
【题后反思】
本题以算法语言为命题情境，构造一个数列发生器，通过定义工作原理，得到一个无穷数列，这是命题组成的第一部分，解答时只需依照命题程序完成即可，第（Ⅱ）问其实是一个常规的数学问题，由上可知，创新题的解答还是需要考生有坚实的数学解题功底．
2. 由巧法向通法转换
巧法的思维起点高，技巧性也强，有匠心独具、出人意料等特点，而巧法本身的思路难寻，方法不易把握，而通法则体现了解决问题的常规思路，而顺达流畅，通俗易懂的特点．
例2、已知，求的取值范围．
【解析】由，得，
∴，
∴
，
从而得．
【题后反思】
本题是一典型、常见而又方法繁多、技巧性较强的题目，求解时常常出错，尤其是题目的隐含条件的把握难度较大，将解法退到常用的数学方法之一——消元法上来，则解法通俗、思路清晰．
3. 常量转化为变量
转化思想方法用于研究、解释数学问题时思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化成另一种情况，也就是转化到另一种情境，使问题得到解释的一种方法，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维模式，转化的目的是使问题变的简单、容易、熟知，达到解决问题的有利境地，通向问题解决之策．有的问题需要常、变量相互转化，使求解更容易．
例3、设，求证：．
【解析】令，则有，若，则成立；
若，则，∴方程有两个相等的实数根，即，
由韦达定理，，即，又，
∴，∴，∴．
【题后反思】
把变量变为常量，也就是从一般到特殊，是我们寻找规律时常用的解题方法，而本题反其道而行之，将常量变为变量，从特殊到一般使问题得到解决．
4. 主元转化为辅元
有的问题按常规确定主元进行处理往往受阻，陷于困境，这时可以将主元化为辅元，即可迎刃而解．
例4、对于满足的所有实数p，求使不等式恒成立的x的取值范围．
【解析】把转化为，则成为关于p的一次不等式，则，得，由一次不等式的性质有：，
当时，，∴；
当时，，∴，综上可得：．
【题后反思】
视x为主元，不等式是关于x的一元二次不等到式，讨论其取值情况过于繁琐，将p转化为主元，不等式是关于p的一次的不等式，则问题不难解决．
5. 正向转化为反向
有些数学问题，如果是直接正向入手求解难度较大，可以反向考虑，这种方法也叫“正难则反”
例5、若椭圆与连接A（1，2）、B（3，4）两点的线段没有公共点，求实数a的取值范围．
【解析】设线段AB和椭圆有公共点，由A、B两点的坐标可得线段AB的方程为，，则方程组，消去y
得：，即，
∵，∴，∵，∴，
∴当椭圆与线段AB无公共点时，实数a的取值范围为．
【题后反思】
在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，则应从反面的方向去探索．
6. 数与形的转化
数形结合，实质上是将抽象的语言与直观图形结合起来，以便化抽象为直观，达到化难为易，化简为繁的目的．
例6、已知是定义在上的奇函数，且在区间上是增函数，若，解不等式．
【解析】由在上为增函数，且是定义域上的奇函数，
∴在上也是增函数．
∵，∴，∴或，
由函数的单调性知：或，
∴原不等式的解集为：
【题后反思】
由已知，是定义在上的奇函数，且在区
间上是增函数，由，则可得的
大致图像如下图，可知
7．自变量与函数值的转化
函数单调性的定义明确体现了函数自变量的不等式关系与函数值间不等关系相互转化的思想，理解它们之间的相互转化关系，有利于灵活运用函数的单调性解题．
例7、设是定义在上的增函数，且对于定义域内任意x、y，都有
，求使不等式成立的x的取值范围．
【解析】∵的定义域是，∴，即，
由于，得，
由，得，
∴由题设条件得： ，
∵是定义在上的增函数，∴，解之得：，又，
∴适合题意的x的取值范围为[3，4]．
【题后反思】
这类抽象函数求解是初学者较难掌握的，解题的关键需实现三种转化：
①将函数值间的不等关系转化为自变量的不等关系；②根据函数的单调性意义又能比较两个值的大小，因此需将，根据等价转化为；③需将②转化为某自变量的函数值，从而建立关于x的不等关系，求出x的取值范围．
8. 类比归纳
类比是将式子结构、运算法则、解题方法、问题结论等式引申或推广，或迁移，由已知探索未知，由旧知识探索新知识的一种研究问题的方法；归纳是从个别特殊事例，若干特殊现象递推出同一类事物的一般性结论，总结出同一种现象的一般规律的一种思考问题的方法，这两种推理方法可有效地锻炼考生的创造性思维能力，培养考生的创新精神和创造力．因为这类创新题的思维含量高、知识覆盖面广、综合性强，所以它们在高考中频繁亮相，已成为高考中的又一个热点．
例8、如下图所示，定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数A，都有成立，则称函数在D上有下界，其中A称为函数的下界（提示：下图①②中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零．）
（Ⅰ）试判断函数在
上是否有下界？并说明理由；
（Ⅱ）具有图②所示特征的函数称为
在D上有上界，请你类比函数有下界 ① ②
的定义，给出函数在D上有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在上是否有上界，并说明理由．
【解析】
∵，由，得，∵，∴x=2,
∵当0当x>2时，，∴函数在（2，）上是增函数；
∴x=2是函数在区间（0，）上的最小值点，，
于是，对任意，都有，即在区间（0，）是存在常数A=32，使得对任意，都有成立，所以，函数在上有下界．
（Ⅱ）类比函数有下界的定义，函数有上界可以给出这样的定义：定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常B，都有成立，则称函数在D上有上界，其中B称为函数的上界．
设x<0，则-x>0，则（Ⅰ）知，对任意，都有，∴，
∵函数为奇函数，∴，∴，即，
即存在常数B=-32，对任意，都有，所以，函数在上有上界．
【题后反思】
本题以高等数学中的函数有界性为命题素材，先给出一个定义，研究问题的结论，然后提出类比的方向，这是一种直接类比的情境题．数学中有许多能够产生类比的知识点，如等差数列与等比数列的内容有着非常和谐的“同构”现象，立体几何中的很多结论和方法都可以从平面几何中产生“灵感”进行迁移，我们复习时要注意研究知识间的纵横联系，把握知识间的内在规律，通过知识间的对比和类比，可以更好地掌握知识，提高解题能力．
【模拟演练】
（1）已知函数
（Ⅰ）若，求x的值；
（Ⅱ）若对于恒成立，求实数m的取值范围．
（2）设函数，曲线通过点（0，2a+3）且在点（-1，）处的切线垂直于x轴．
用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数的单调区间．
（3）在直角坐标系xOy中，点P到两点（），（）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线与C交于A、B两点，
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）若，求k的值；
（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有．
（4）已知函数， ，，
（Ⅰ）将函数化简成的形式；
（Ⅱ）求函数的值域．
（5）已知曲线C1：所围成的封闭图形的面积为，曲线C1的内切圆半径为，记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆，
（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；
（Ⅱ）设AB是过椭圆C2中心的任意弦，是线段AB的垂直平分线，M是上异于椭圆中心的点，①若（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；②若M是与椭圆C2的交点，求面积的最小值．
（6）已知元素为实数的集合S满足下列条件：①；②若，则．若非空集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测．
（7）已知椭圆的右准线与x轴相交于点P，右焦点F到上顶点的距离为，点C(m,0)是线段OF上的一个动点，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线，其与椭圆交于A、B两点，且使得？亲说明理由．
（8）设函数，函数，，其中a为常数且，令函数为函数和的积函数．
（Ⅰ）求函数的表达式，并求其定义域；
（Ⅱ）当时，求函数的值域；
（Ⅲ）是否存在自然数a，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合，若不存在，试说明理由．
（9）已知函数，当点在的图像上移动时，点在孙函数的图像上移动．
（Ⅰ）若点P坐标为（1，-1），点Q也在的图像上，求t的值；
（Ⅱ）求函数的解析式；
（Ⅲ）当时，试探索一个函数，使得在限定域内为时有最小值而没有最大值．
（10）矩形钢板的边长分别为，现要将它剪焊成正四棱柱或正四棱锥，并使其底面边长为矩形边长的一半，表面积为ab，试比较得到所制作的正四棱柱与正四棱锥中哪一个体积最大，哪一个体积最小，并说明你的结论．
答案：
1．（1）；
（2）
2．（1）c=2a+3，b=2a；
（2）的单调减区间为，单调增区间为（-2，2）；
3．（1），
（2），
（3）略；
4．（1），
（2）的值域为；
5．（1），
（2）①，②．
6. S的元素的个数为3的倍数；
7. （Ⅰ）；
（Ⅱ）当时，，即存在这样的直线；
当时，k不存在，即不存在这样的直线．
8， （Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ），且．
9. （Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）当时，有最小值0，但没有最大值．
10．如下图：
易证：，即最大，最小．
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○
○
x
y
-1
1
O
x1
x2
x
y
O
D=[x1,x2]
y=f(x)
x1
x2
x
y
O
D=[x1,x2]
y=B
图1
图2
图3
图42012届高考数学二轮复习
专题十一 高考中填空题的解题方法与技巧
【重点知识回顾】
填空题是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定的空位上，将缺少的语句填写清楚·准确 。它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语·数字·符号·数学语句等。
填空题的主要作用是考查学生的基础知识、基本技能及思维能力和分析问题、解决问题的能力，填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式（数）最简，结果稍有毛病，便得零分．
填空题的基本特点：
1．方法灵活，答案唯一；
2．答案简短，具体明确．
学生在解答填空题时注意以下几点；
1．对于计算型填空题要运算到底，结果要规范；
2．填空题所填结果要完整，不可缺少一些限制条件；
3．填空题所填结论要符合高中数学教材要求；
4．解答填空题平均每小题3分钟，解题时间应控制在12分钟左右．
总之，解填空题的基本原则是“小题小做”，要“准”、“活”、“灵”、“快”．
【典型例题】
（一）直接法
直接法求解就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确的结论．
例1、不等式的解集是：
【解析】当时，原不等式等价于，
∴，此时应有：；
当时，原不等式等价于，
∴，此时应有：；
∴不等式的解集是：．
例2、在等差数列中，，则数列的前n项和Sn的最小值为：
【解析】设公差为d，则，
∴，∴数列为递增数列，
令，∴，∴，
∵，∴，∴前6项和均为负值，
∴Sn的最小值为．
【题后反思】
由于填空题不需要解题材过程，因此可以透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简洁的解法，省去某些步骤，大跨度前进，也可配合心算、速算、力求快速，辟免“小题大做”．
（二）特殊值法
当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题材中的参变量用特殊值代替之，即可得到结论．
例3、函数在（0，2）上是一增函数，函数是偶函数，则的大小关系为： （用“<”号连接）
【解析】取，则，
例4、椭圆的焦点为，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是：
【解析】设P(x,y)，则当时，点P的轨迹方程为，由此可得点P的横坐标，又当点P在x轴上时，；点P在y轴上时，为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是：．
【题后反思】
特殊值法一般可取特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊性点、特殊方程、特殊模型等．
（三）数形结合法
根据题目条件，画出符合题意的图形，以形助数，通过对图形的直观分析、判断，往往可以简捷地得出正确的结果，它既是方法，也是技巧，更是基本的数学思想．
例5、已知直线与函数的图像有两个
不同的交点，则实数m的取值范围是： ．
【解析】∵函数的图像如图所示，
∴由图可知：．
例6、设函数，若当时，可取得极大值；当时，可取得极小值，则的取值范围是：
【解析】，由条件知，的一个
根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，
∴，即
如图所示，在平面直角坐标系xOy中作出上述区域，得点P（a，b）在图中的阴影区域内，而的几何意义是过两点P（a，b）与A（1，2）的直线的斜率，易知．
【题后反思】
数形结合法，常用的有Venn图，三角函数线，函数图像及方程的曲线等，另一面，有些图形问题转化为数量关系，如直线垂直可转化为斜率关系或向量积等．
（四）等价转化法
通过“化复杂为简单，化陌生为熟悉”将问题等价转化为便于解决的问题，从而等到正确的结果．
例7、若不论k为何实数，直线与圆恒有交点，则实数a的取值范围是：
【解析】题设条件等价于直线上的定点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆心（a，0）的距离小于或等到于圆的半径，所以
例8、计算
【解析】分别求这两个二重根式的值显然不是那么容易，不妨从整体考虑，通过解方程求之．
设，两边同时立方得：，即：，
∵，∴，即2，因此应填2.
【题后反思】
在研究解决数学问题时，常采用转化的手段将问题向有利于解答的方面转化，从而使问题转化为熟悉的、规范的、甚至模式的问题，把复杂的问题转化为简单的问题．
（五）构造法
根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它来认识和解决问题．
例9、如果，那么角的取值范围是： ．
【解析】设函数，则，所以是增函数，由题设，得出，得，所以．
例10、P是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1内任意一点，AP与三条棱AA1，AB1，AD的夹角分别为，则
【解析】如上图，过P作平面PQQ/P/，使它们分别与平面B1C1CB
和平面C1D1DC平行，则构造一个长方体AQ/P/R/—A1QPR，故
．
【题后反思】
凡解题时需要根据题目的具体情况来设计新模式的的问题，通常要用构造法解决．
（六）分析法
根据题设条件的特征进行观察、分析、从而得出正确的结论．
例11、以双曲线的左焦点F和左准线为相应的焦点和准线的椭圆截直线，所得的弦恰好被x轴平分，则k的取值范围是： ．
【解析】双曲线的左焦点为F（-2，0），左准线为，因为椭圆截直线所得的弦恰好被x轴平分，故根据椭圆的对称性，知椭圆的中心即为直线与x轴的交点（），故，得．
例12、（2007福建）某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是；③他至少击中目标1次的概率是．
【解析】①第3次击中目标意味着1、2、4次可击中，也可不击中，从而第3次击中目标的概率为；②恰好击中目标3次的概率是独立重复试验，故概率为；③运用对立事件4次射击，一次也没有击中的概率为，从而至少击中目标一次的概率为．故正确结论的序号为①、③．
【题后反思】
分析法是解答问题的常用方法，该方法需要我们从题设出发，对条件进行观察、分析，找到相应的解决方法．
（七）归纳法
例13、 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂
巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂
巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图
有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以
表示第幅图的蜂巢总数.则=_____;=___________.
【解析】找出的关系式
[解析]
【题后反思】
处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系
（1）先猜后证是一种常见题型；（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）
（八）类比法
例14、已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______。
【解析】从方法的类比入手
[解析]原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法， 即正四面体的内切球的半径是高
【题后反思】
（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比。（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等。
（九）推理法
例15、某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 。（填入中的某个字母）
【解析】从分式的性质中寻找S值的变化规律 。
[解析] 因都为正数，故分子越大或分母越小时， S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多。
【题后反思】
此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到。
【模拟演练】
（1）已知函数在上单调递减，在上单调递增，且的导数记为，则下列结论中，正确的是：
①是方程的根； ②1是方程的根； ③有极小值；
④有极大值； ⑤
（2）设m、n是异面直线，则：①一定存在平面，使且；②一定存在平面，使且；③一定存在平面，使m、n到的距离相等；④一定存在无数对平面和，使．上述四个命题中，正确命题的序号是： ．
（3）是虚单位， （用的形式表示）
（4）设，则的大小关系是： ．
（5）“x、y中至少有一个小于0”是“”的 条件．
（6）若记符号“*”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算，即，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是： ．
（7）设椭圆的右焦点为F1，右准线为，若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到直线的距离，则椭圆的离心率是： ．
（8）设，，其中为互相垂直的单位向量，又，则实数m= ．
（9）如果函数对任意实数t，都有，那么的大小关系是：
（10）过抛物线的焦点F作一直线与抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则 ．
（11）椭圆的长轴的两端点为M、N，点P在椭圆上，则PM与PN的斜率之积为： ．
（12）方程的实数解的个数是： ．
（13）不等式的解集为（4，b），则a= ，b= ；
（14）已知函数在（-3，3）上的最大值与最小值分别为M、m，
则M+m= ．
（15）已知集合，，如果，则实数m的取值范围是： ．
（16）定义在R上的函数是奇函数，且满足，则 ．
（17）设F1，F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且，则的面积是： ．
（18）在数列中，若，则该数列的通项 ．
答案：
（1）①②③④⑤；（2）①③④；（3）；（4）；（5）必要不充分；
（6）（答案不唯一）； （7）； （8）-2； （9）； （10）4a； (11)； （12）3； （13）； （14）16； （15）； （16）0； （17）1； （18） ．
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x
y
-1
1
….
……
………
………
………
…
…
x
y
A(1,2)
(-3,1)
-2
-1
-2
a+2b+1=0
a+b+1=0
A
B
C
D
C1
A1
B1
D1
P
R
Q
Q/
R/
P/2012届高考数学二轮复习
专题九 算法与推理
【重点知识回顾】
答案：顺序结构 分支结构 循环结构 合情推理 归纳推理 类比推理 演绎推理
综合法 分析法 反证法 数学归纳法
【典例例题】
题型1算法框图例1 (1)定义函数CONRND(a,b)是产生区间(a,b)内的任何一个实数的
随机数函数.如图所示的算法框图可用来估计π的值.现在N输入的值为10
0,结果m的输出值为21,则由此可估计π的近似值为　　.　 .
(2)(2011年·江西)下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是
　　　 .
【分析】(1)读懂算法框图的循环结构和随机数函数,用几何概型求之.
(2)先考虑循环变量s和计数变量n的初始值,再确定循环体及循环次数并计算每次的运算结果,最后确定输出变量s的值.
【解析】(1)点(A,B)应在矩形区域{(A,B)|-11时,输出m=21,表示点(A,B)在矩形区域内部和单位圆的外部有21个点,根据几何概率得 = ,∴π=4× =3.16.
(2)第一次,s1=0+(-1)1+1=0,n=2;第二次,s2=0+(-1)2+2=3,n=3;第三次,s3=3+(-1)3+3=5,n=4;第四次,s4=5+(-1)4+4=10>9,故填10.
【答案】(1)3.16 (2)10
总结：(1)算法用来解决实际问题会是高考的一个命题亮点.本题
借助框图,考查了几何概型,又验证了圆周率的近似值,是一道好题.(2)算
法框图命题背景常常是数列、统计、函数等等.在知识的交汇处命题是
高考的一大特色.本题就是用框图解决数列的一道好题.
题型2 直接证明与间接证明
综合法是“由因导果”,而分析法则是“执果索因”,它们是截然相
反的两种证明方法,分析法便于我们去寻找思路,而综合法便于过程的叙
述,两种方法各有所长,在解决具体的问题中,综合应用,效果会更好.一般
直接证明中的综合法会在解答题中重点考查.而反证法一般作为客观题
的判断方法,很少单独命题,但可能会在大题中用到.
例3 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD,底面ABCD为
梯形,AB∥DC,AB⊥BC,AB=BC,点E在棱PB上,且PE=2EB.
(1)求证:平面PAB⊥平面PCB;
(2)求证:PD∥平面EAC.
【分析】本题以立体几何中的四棱锥为载体,重点考查平行与垂直这两大位置关系的推理论证,其中第(1)问,要证面面垂直,即要证两平面中的一个平面经过另一平面的一条垂线,从而问题的关键在于寻找平面PAB或平面PCB的垂线,根据图形的特征,可证CB与平面PAB垂直,这可由条件AB⊥BC,PA⊥CB即得;第(2)问要使得线面平行,只需保证线线平行,即使PD与平面AEC内的一条直线平行,连结BD交AC于M,从而问题转化为探究PD与EM能否平行的问题.
【解析】(1)∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BC,
又AB⊥BC,PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB.
又BC 平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB.
(2)∵PA⊥底面ABCD,∴AC为PC在平面ABCD内的射影.
又∵PC⊥AD,∴AC⊥AD.
在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得∠BAC= ,
又∵AB∥DC,∴∠DCA=∠BAC= ,又AC⊥AD,故△DAC为等腰直角三角形.
∴DC= AC= × AB=2AB.
连结BD交AC于点M,连结EM,则 = =2.
在△BPD中, = =2,∴PD∥EM.
又PD 平面EAC,EM 平面EAC,∴PD∥平面EAC.
立体几何是高中数学的重要组成部分,在高考中的试题多以中档题形式出现,综合考查线面平行及垂直问题等基础知识,在备考复习时,要依据课本知识,构建空间思维网络,熟练掌握线面平行、垂直的性质、判定定理.
题型3：合情推理
例3．（1）观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？
（2）把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立：
1）如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必于另一条相交。
2）如果两条直线同时垂直与第三条直线，则这两条直线平行。
解析：（1）设为个点可连的弦的条数，则
（2）
1）一个平面如和两个平行平面中的一个相交，则必然和另一个也相交，次结论成立；
2）若两个平面同时垂直第三个骗马，则这两个平面也相互平行，此结论不成立。
点评：当前提为真，结论可能为真的推理。一定要理解合情推理的必要性。
题型4：演绎推理
例4．（07年天津）如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱。
（1）证明//平面；
（2）设，证明平面。
解析：（Ⅰ）证明：取CD中点M，连结OM.
在矩形ABCD中，，又，
则，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.
又平面CDE，切EM平面CDE，∵FO∥平面CDE
（Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，
且。
因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.而，所以EO⊥平面CDF。
点评：本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.
题型5：特殊证法（如：数学归纳法）
例5．（1）用反证法证明：如果a>b>0，那么；
（2）（全国II）设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…。
（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式。
解析：（1）假设不大于，则或者<,或者=。
∵a>0，b>0，∴<<，<
，a=a=b.这些都同已知条件a>b>0矛盾，∴.
证法二（直接证法），
∵a>b>0,∴a - b>0即，
∴，∴。
（2）(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝。
当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，
于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝。
(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0。
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　　　①
由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝。
由①可得S3＝，由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…
下面用数学归纳法证明这个结论
(i)n＝1时已知结论成立；
(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝，
当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，
故n＝k＋1时结论也成立．
综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立，
于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
又n＝1时，a1＝＝，所以｛an｝的通项公式an＝，n＝1，2，3，…
点评：要应用好反证法、数学归纳法证明一些涉及代数、不等式、几何的结论。
题型10：框图
例10．（1）方案1：派出调研人员赴北京、上海、广州调研，待调研人员回来后决定生产数量；
方案2：商家如战场！抓紧时间搞好调研，然后进行生产，调研为此项目的的瓶颈，因此需要添加力量，齐头并进搞调研，以便提前结束调研，尽早投产使产品占领市场.
（2）公司人事结构图
解析：（1）方案1：派出调研人员赴北京、上海、广州调研，待调研人员回来后决定生产数量。

方案2： 商家如战场！抓紧时间搞好调研，然后进行生产，调研为此项目的的瓶颈，因此需要添加力量，齐头并进搞调研，以便提前结束调研，尽早投产使产品占领市场。
于是：
（2）
点评：建立合理的结构图和流程图解决实际问题，要形成良好的书写习惯遵循从上到下、从左到右的规则。
【模拟演练】
1.如果执行右面的程序框图，那么输出的（　　）
Ａ．2450 Ｂ．2500
Ｃ．2550 Ｄ．2652
2.如右图所示的程序框图的输出结果是 （ ）
A. B. C. D.
3.如果执行右面的程序框图，那么输出的是 ( )
A． B． C． D．
4.右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要
求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断
框中，应该填入下面四个选项中的（ ）
A. c > x B. x > c C. c > b D. b > c
二.填空题
1如果执行下面
的程序框图，那么输出的=_________ ．
2.阅读图4的程序框图，若输入m=4,n=3,则输出a=_______,i=________。
（注：框图中的赋值符号“＝”，也可以写成“←”或“：＝”）
3.运行下图所示的程序流程图，则输出的值
为_________________．
4 .执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的________________.
5.根据下面的框图，打印的最后一个数据是 .
答案：
一.选择题
1. 解答过程：由程序知
答案C
2.答案：C
3.答案：C
4. 解答过程：易知选A
二.填空题
1.答案：10000
2. 解答过程：要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，
而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍
数12，即此时有。
3. 答案：
4. 答案：2548
5. 答案：63
开始
？
是
否
输出
结束
k≤n
开始
S←1,k←1
结束
是
否
S←S×2
输出S
k←k+1
输入n=3
第2题
k≥-50
开始
k=1
S=0
结束
是
否
S=S-2k
输出S
k=k-1
第1题
是
否
开始
输入a,b,c
x=a
b>x
输出x
结束
x=b
x=c
否
是
第4题
开始
k←1
S←0
k≤100
S←S+2k-1
k←k+1
结束
输出S
否
是
P←P×I
I←I+2
P←1，I←1
开始
输出I
是
否
结束
（第3题图）
开始
结束
是
否
A＜35
A←1
A←2A+1
打印
n≤k
开始
输入正整数k
n←-1,S←0
S←S+2n
输出S
结束
是
否
n←n+1
第4题2012届高考数学二轮复习
专题三 数列与不等式
【重点知识回顾】
1． 数列在高考中，一般设计一个客观题和一个解答题，主要考查数列和不等式部分的基本知识，对基本运算能力要求较高，解答题常常综合考查函数、方程、不等式等知识．难度较大，尤其是数列、函数和不等式的综合考题，又加入了逻辑推理能力的考查，成为了近几年数列考题的新热点．
2． 数列与不等式部分的重点为：等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前项和；不等式的性质、解法和两个重要不等式的应用；该部分重点考查运算能力和逻辑推理能力，考查函数与方程思想、化归于转化思想及分类讨论思想．
【典型例题】
1．等差数列与等比数列的综合
等差数列与等比数列都是高考命题的重点知识，考题经常将它们综合在一起综合考查等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高．
例1．设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和．
例2．等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列．若=1，则=（ ）
（A）7 （B）8 （3）15 （4）16
解析：4，2，成等差数列，，即，
，，因此选C．
点评：该类题目综合考查了等差数列和等比数列的概念、通项公式和等比数列的求和公式等，基础性较强，综合程度较小，要求具有较熟练的运算能力．
2．函数与不等式综合
不等式与函数有着密切的联系，其中线性规划求目标函数的最值是近几年高考的热点问题之一，经常以选择题或填空题出现．有不少关于最值方面的问题，通常用二次函数的配方法求最值或用均值不等式求最值，考题经常以与不等式有关的实际应用问题出现．在应用不等式解决实际问题时，要注意以下四点：
①理解题意，设变量．设变量时一般把要求最值的变量定为自变量；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；
③在定义域内，求出函数的最值；
④正确写出答案．
例３．设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则的最小值为（ ）
A． B． C． D． 4
答案：A
解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6, 而=，故选A．
点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求的
最小值常用乘积进而用基本不等式解答．
例4．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0．3万元和0．2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是 万元．
答案：70
解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得
目标函数为．
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
如图：作直线，即．
平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．
联立解得．点的坐标为．
（元）．
点评：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题．用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一．
例5．设为实数，函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)求的最小值；
(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集．
解析：（1）若，则；
（2）当时，，
当时，，
综上；
（3）时，得，
当时，；
当时，△>0，得：；
讨论得：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．
3．函数与数列的综合
高考试题中经常将函数与数列综合在一起，设计综合性较强的解答题，考查数列的概念、性质、通项及求和公式等主干知识和分析问题、解决问题的逻辑推理能力．
例6．知函数．
（Ⅰ）设是正数组成的数列，前n项和为，其中．若点(n∈N*)在函数的图象上，求证：点也在的图象上；
（Ⅱ）求函数在区间内的极值．
解析：(Ⅰ)证明： 因为所以，
由点在函数的图象上,
， 又，
所以，是的等差数列，
所以,又因为,所以,
故点也在函数的图象上．
(Ⅱ)解:,令得．
当x变化时,﹑的变化情况如下表:
x (-∞,-2) -2 (-2,0)
f(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
注意到,从而
①当,此时无极小值；
②当的极小值为,此时无极大值；
③当既无极大值又无极小值．
点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．
4．数列与不等式、简易逻辑等的综合
数列是培养推理论证能力的极好载体，将数列的知识与推理证明的方法交织在一起进行考查，是新课程高考中的一个亮点，常常荣归纳、猜想、数学归纳法、分类讨论、等价转化等数学思想和方法于一体，对能力的要求较高．
例7．设若是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．1 D．
答案：B
解析：因为，所以，
，当且仅当即时“=”成立，故选择B．
点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．
例8．设数列满足为实数．
（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；
（Ⅱ）设，证明：；
（Ⅲ）设，证明：．
解析： (1) 必要性： ，又 ，即．
充分性 ：设，对用数学归纳法证明，
当时，．假设，
则，且，
，由数学归纳法知对所有成立．
(2) 设 ，当时，，结论成立．
当 时，，
,由（1）知，所以 且 ，
，
，
．
(3) 设 ，当时，，结论成立，
当时，由（2）知，
，
．
点评：该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高．
５．数列与概率的综合
数列与概率的综合考查，虽然不是经常但很有新意，这种命题也体现了在知识交汇处命题的指导思想．
例9．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（　　）
　Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：
（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B．
点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复．
【模拟演练】
1．公差不为零的等差数列的前项和为．若是的等比中项, ,则等于( )
A． 18 B． 24 C． 60 D． 90
2． 等差数列{an}和{bn}的前n项和分别用Sn和Tn表示，若，则的值为( )
A B C D
3．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4． 已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是________．
5．设数列的前项和为，点均在函数的图象上．
则数列的通项公式为 ．
6．命题实数满足，其中，命题实数满足或，且是的必要不充分条件，求的取值范围．
7．已知二次函数的二次项系数为 a ，且不等式 的解集为（1 , 3）．
（l）若方程有两个相等的根，求的解析式；
（2）若的最大值为正数，求 a 的取值范围．
8．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)．
（Ⅰ）将y表示为x的函数：
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
【参考答案】
1．答案：C
解析：由得得,再由得:则,所以,故选C．
2．答案：A
解析： ∵；．
∴．
3． 答案：C
解析：依题意得或
所以或
解得：，故选C．
4．答案：4
解析：∵＝≥eq \f((2)2,xy)＝4．
5．答案：
解析：由题意得，即．
当n≥2时， ;
当n=1时，×-2×1-1-6×1-5．
所以．
6．解析：设，
=
因为是的必要不充分条件，所以，且推不出
而，
所以，则或
即或．
7．解析：（1）因为的解集为（1，3），所以且．
因而 （1）
由方程得： （2）
因为方程（2）有两个相等的根．
所以，即．
解得：（舍去）或，
将代入（1）得的解析式为：，
（2），
有a < 0，可得的最大值为，
所以 > 0，且a < 0．
解得：，
故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是．
8．解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m，则-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360，
由已知xa=360,得a=，所以y=225x+．
(II)
．当且仅当225x=时，等号成立．
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
x
2
2
y
O
-2
z=ax+by
3x-y-6=0
x-y+2=0
0
100
200
300
100
200
300
400
500
y
x
l
M2012届高考数学二轮复习
专题八 概率统计
【重点知识回顾】
二、重点知识回顾
概率
（1）事件与基本事件：
　　
　　基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．
　　（2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化．
　　（3）互斥事件与对立事件：
事件 定义 集合角度理解 关系
互斥事件 事件与不可能同时发生 两事件交集为空 事件与对立，则与必为互斥事件；事件与互斥，但不一是对立事件
对立事件 事件与不可能同时发生，且必有一个发生 两事件互补
　　（4）古典概型与几何概型：
　　古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型．
　　几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例．
　　两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．
　　（5）古典概型与几何概型的概率计算公式：
　　古典概型的概率计算公式：．
　　几何概型的概率计算公式：．
　　两种概型概率的求法都是“求比例”，但具体公式中的分子、分母不同．
　（6）概率基本性质与公式
①事件的概率的范围为：．
②互斥事件与的概率加法公式：．
③对立事件与的概率加法公式：．
（7） 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是pn(k) = Cpk(1―p)n―k.　实际上，它就是二项式[(1―p)+p]n的展开式的第k+1项.
（8）独立重复试验与二项分布
　　①．一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立；
　　②．二项分布的概念：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为．此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．
统计
　　（1）三种抽样方法
　　①简单随机抽样
　　简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回．我们在抽样调查中用的是不放回抽取．
　　简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限．从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作．它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性．每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性．
　　实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解．随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，…，9这十个数字的数表．随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性．
　　②系统抽样
　　系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况．
　　系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样．
　　系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔，当（Ｎ为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，；当不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数Ｎ能被n整除，这时；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号，再按事先确定的规则抽取样本．通常是将加上间隔k得到第2个编号，将加上k，得到第3个编号，这样继续下去，直到获取整个样本．
　　③分层抽样
　　当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样．
　　分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本．
　　（2）用样本估计总体
　　样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确．
　　①用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定一组数据进行列表、作图处理．作频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤．画样本频率分布直方图的步骤：求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图．
　　②茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便．
　　③平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程度，其计算公式为． 有时也用标准差的平方———方差来代替标准差，两者实质上是一样的．
　　（3）两个变量之间的关系
　　变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系．在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解．分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估计求出回归直线方程．通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图．然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系：如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，其对应的方程叫做回归直线方程．在本节要经常与数据打交道，计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器．
　　（4）求回归直线方程的步骤：
　　第一步：先把数据制成表，从表中计算出；
　　第二步：计算回归系数的a，b，公式为
　　
　　第三步：写出回归直线方程．
（4）独立性检验
①列联表：列出的两个分类变量和，它们的取值分别为和的样本频数表称为列联表1
分类 1 2 总计
1
2
总计
　　　　构造随机变量（其中）
得到的观察值常与以下几个临界值加以比较：
　　　如果　，就有的把握因为两分类变量和是有关系；
如果　　就有的把握因为两分类变量和是有关系；
如果　　就有的把握因为两分类变量和是有关系；
如果低于，就认为没有充分的证据说明变量和是有关系．
　　　②三维柱形图：如果列联表1的三维柱形图如下图
　　　由各小柱形表示的频数可见，对角线上的频数的积的差的绝对值
　较大，说明两分类变量和是有关的，否则的话是无关的．
重点：一方面考察对角线频数之差，更重要的一方面是提供了构造随机变量进行独立性检验的思路方法。
　③二维条形图（相应于上面的三维柱形图而画）
　　　由深、浅染色的高可见两种情况下所占比例，由数据可知要比小得多，由于差距较大，因此，说明两分类变量和有关系的可能性较大，两个比值相差越大两分类变量和有关的可能性也越的．否则是无关系的．
　　　　　　
重点：通过图形以及所占比例直观地粗略地观察是否有关，更重要的一方面是提供了构造随机变量进行独立性检验的思想方法。
④等高条形图（相应于上面的条形图而画）
　由深、浅染色的高可见两种情况下的百分比；另一方面，数据
要比小得多，因此，说明两分类变量和有关系的可能性较大，
否则是无关系的．
重点：直观地看出在两类分类变量频数相等的情况下，各部分所占的比例情况，是在图２的基础上换一个角度来理解。
【典型例题】
考点：概率
【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。掌握古典概型和几何概型的概率求法。
【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。
（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。
例1、在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为 。
解：如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此。
答案
点评：本题考查几何概型，利用面积相比求概率。
例2某公交公司对某线路客源情况统计显示，公交车从每个停靠点出发后，车上的乘客人数及频率如下表：
人数 0~6 7~12 13~18 19~24 25~30 31人以上
频率 0.1 0.15 0.25 0.20 0.20 0.1
（I）从每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约是多少？
（II）全线途经10个停靠点，若有2个以上（含2个）停靠点出发后，车上乘客人数超过18人的概率大于0.9，公交公司就要考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班次吗？
解：（Ⅰ）每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约为
0.1+0.15+0.25+0.2=0.7
(Ⅱ)从每个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率为0.20+0.20+0.1=0.5
途经10个停靠点，没有一个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率为
途经 10个停靠点，只有一个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率
所以，途经10个停靠点，有2个以上（含2个）停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率
P=1－－C（）（1－）9=1－=
∴该线路需要增加班次。
答：（Ⅰ）每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约为0.7
(Ⅱ) 该线路需要增加班次
考点四：统计
【内容解读】理解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念，了解它们各自的特点及步骤．会用三种抽样方法从总体中抽取样本．会用样本频率分布估计总体分布．会用样本数字特征估计总体数字特征．会利用散点图和线性回归方程，分析变量间的相关关系；掌握独立性检验的步骤与方法。
【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。
（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。
例3（1）（2009湖南卷文） 一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为 .
答案 120
解析 设总体中的个体数为，则
（2）（2009四川卷文）设矩形的长为，宽为，其比满足∶＝，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是
A.甲批次的总体平均数与标准值更接近
B.乙批次的总体平均数与标准值更接近
C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
答案 A
解析 甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613
例4下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生
产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据
3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤
(参考数值：32．5+43+54+64．5=66.5)
解：(1)散点图略.
(2), , ,
由所提供的公式可得,故所求线性回归方程为10分
(3)吨.
例5、为了研究某高校大学新生学生的视力情况，随机地抽查了该校100名进校学生的视力情况，得到频率分布直方图,如图.已知前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项．
(Ⅰ)求等比数列的通项公式;
（Ⅱ)求等差数列的通项公式；
(Ⅲ)若规定视力低于5.0的学生属于近视学生,试估计该校新生的近视率的大小.
解：由题意知：，
∵数列是等比数列，∴公比
∴ .
∵=13,
∴，
∵数列是等差数列，∴设数列公差为，则得，
　∴＝87，
，，
=,
(或=)
答:估计该校新生近视率为91%.
例6、某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
日 期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日
昼夜温差x(°C) 10 11 13 12 8 6
就诊人数y(个) 22 25 29 26 16 12
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.
(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(5分)
(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程；(6分)
(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想 (3分)
(参考公式: )
解：(Ⅰ)设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选
取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的
其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种
所以
(Ⅱ)由数据求得
由公式求得
再由
所以关于的线性回归方程为
(Ⅲ)当时,, ；
同样, 当时,,
所以,该小组所得线性回归方程是理想的.
模拟演练
3.已知事件“三位中国选手均进入亚运会体操决赛”，事件“三位中国选手均未进入亚运会体操决赛”，那么事件和是（　　）
Ａ．等可能性事件 Ｂ．不互斥事件
Ｃ．互斥但不是对立事件 Ｄ．对立事件
3．C提示：根据两事件不能同时发生，且当一个不发生时不一定发生另一个，因此两事件
是互斥但不是对立事件.
4．若对于变量与的组统计数据的回归模型中，相关指数，又知残差平方和为，那么的值为（ ）。
A． B. C. D.
4.A提示：根据表示总偏差平方和，得.
5. ①既然抛掷硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次
抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某种彩票的中奖概
率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖；③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过让运
动员猜上抛均匀塑料圆板着地是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；④一个
骰子掷一次得到2的概率是，这说明一个骰子掷6次会出现一次2.其中不正确的说法是
（ ）
A ①②③④ B ①②④ C ③④ D ③
5. A提示：概率是一个随即性的规律，具有不确定性，因此①②④错误，而③抛掷均匀塑料
圆板出现正面与方面的概率相等，是公平的.因此均为不正确的说法.
6.若，则方程有实根的概率为（ ）
A． B. C. D.
6．C提示：若方程有实根，则有.因为，根据几何概型“有实根的”概率为.
7. (专题七文科第7题)
8.下图是2010年渥太华冬奥会上，七位评委为某冰舞
运动员打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最低分和一
个最高分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．D提示:根据茎叶图，所剩数据为，因此，
.
9．某高校调查询问了56名男女大学生，在课余时间是否参加运动，得到下表所示的数据.
从表中数据分析，①有以上的把握认为性别与是否参加运动有关；
②在100个参加运动的大学生中有95个男生；
③认为性别与是否参加运动有关出错的可能性小于；
④在100个参加运动的大学生中有5个女生；其中正确命题的个数为（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
9．B提示：根据，因此有95%以上的把握认为二者有关系，出错的可能性小于5%.①③正确.
10.（(专题七文科第10题)）
11. 2010年3月“十一届全国人大三次会议及十一届全国政协三次会议”在北京隆重召开，
针对中国的中学教育现状，现场的2500名人大代表对其进行了综合评分，得到如下“频率
分布直方图”（如图），试根据频率分布直方图，估计平均分为（ ）.
A B C D
11．B提示：找到每个矩形的中点和频率，从而利用平均数公式求解. 要注意频率分布直方图中每个小矩形面积表示该段的频率.
12.(专题七文科第12题)
13．半径为10cm的圆周上有两只蚂蚁，它们分别从两个不同的点A、B出发，沿劣弧相向而行，速度分别为10mm/s与8mm/s，则这两只蚂蚁在5s内相遇的概率为 .
13. 提示：5s内两只蚂蚁相遇时所行走的最大距离为mm，而两只蚂蚁初始时的最大距离为半个圆周，即 mm，所以这两只蚂蚁在5s内相遇的概率为．
14．（(专题七文科第14题)）
15.已知现有编号为①②③④⑤的5个图形,它们分别是两个直角边长为3、3的直角三角形；两个边长为3的正方形；一个半径为3的圆.则以这些图形中的三个图形为一个立体图形的三视图的概率为 .
15.提示：①②③；②③④； ③④⑤可构成一个立体图形的三视图，而从这5个图形选取3个共有个基本事件，因此概率为.
16.随着经济的发展，电脑进入了越来越多的家庭，为了解电脑对生活的影响，就平均每天看电脑的时间，一个社会调查机构对某地居民调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图），为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层柚样方法抽出100人做进一步调查，则在（小时）时间段内应抽出的人数是 .
16. 提示：根据频率分布直方图可得，在之间的人数为，根据分层抽样特点得在之间抽取的人数为.
17.输血是重要的抢救生命的措施之一，但是要注意同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．
黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：
血型 A B AB O
该血型的人所占比/% 28 29 8 35
2010年4月14日玉树地震，小王不幸被建筑物压在下面，失血过多，需要输血，已知小王是B型血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小王的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小王的概率是多少？
17.提示：（1）对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为它们是互斥的．
由已知，有．…………3分
因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件．
根据互斥事件的加法公式，有……6分．
（2）由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件
，且．…………10分
答：任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36．
………12分
18.某研究机构为了研究人的体重与身高之间的关系,随机抽测了20人,得到如下数据:
序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高x(厘米) 182 164 170 176 177 159 171 166 182 166
体重y(公斤) 76 60 61 76 77 58 62 60 78 57
序 号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
身高x(厘米) 169 178 167 174 168 179 165 170 162 170
体重y(公斤) 76 74 68 77 63 78 59 75 64 73
(1)若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“体重大于75(公斤)”的为“胖子”，“体重小于等于75(公斤)”的为“非胖子”.请根据上表数据完成下面的联列表:
高 个 非高个 合 计
胖 子
非胖子 12
合 计 20
(2)根据题(1)中表格的数据,若按99%的可靠性要求,能否认为体重与身高之间有关系
18.解:(1)
高个 非高个 合计
胖 子 5 2 7
非胖子 1 12 13
合计 6 14 20
………4分
(2)假设两变量没有关系，依题题意
………8分
由表知: 认为体重与身高之间有关的可能性为………10分
所以有理由认为体重与身高之间有关系. ………12分
19.为从甲乙两运动员中选拔一人，参加2010年广州亚运会体操项目，对甲、乙两运动员进行培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，得出茎叶图如下：
(1)现要从中选拔一人参加亚运会，从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？
(2)从甲运动员预赛成绩中任取一次记为,从乙运动员预赛成绩中任取一次记为,求
的概率.
解：根据茎叶图，可得甲乙成绩如下：
甲 81 79 78 95 93 84
乙 92 95 80 75 83 85
…………1分
(1)派甲参赛比较合适.理由如下： …………2分
，
， …………3分
，
…………5分
∵，，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适. …………6分
（2）记“甲运动员预赛成绩,大于乙运动员预赛成绩”为事件A，…………7分
列表:
甲\乙 92 95 80 75 83 85
81 81，92 81，95 81，80 81，75 81，83 81，85
79 79，92 79，95 79，80 79，75 79，83 79，85
78 78，92 78，95 78，80 78，75 78，83 78，85
95 95，92 95，95 95，80 95，75 95，83 95，85
93 93，92 93，95 93，80 93，75 93，83 93，85
84 84，92 84，95 84，80 84，75 84，83 84，85
因此基本事件共有36个，其中发生事件A的有17个，…………9分
根据古典概型，. …………10分
答：选择甲参加比赛更合适，的概率为.………………………………………12分
20.设，在线段上任取两点（端点除外），将线段分成了三条线段，
（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；
（2）若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．
解：（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：
共3种情况，其中只有三条线段为时能构成三角形，则构成三角形的概率．………6分
（2）设其中两条线段长度分别为，则第三条线段长度为，则全部结果所构成的区域为:
，，，
即：，，
所表示的平面区域为三角形；………8分
若三条线段能构成三角形，则还要满足，即为，所表示的平面区域为三角形………10分
由几何概型知，所求的概率为．………12分
21.下表抄录了2010年1至4月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
日 期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日
昼夜温差x(°C) 11 13 12 8
就诊人数y(个) 25 29 26 16
（1）已知两变量、具有线性相关关系，求出关于的线性回归方程；
（2）通过相关指数判断回归方程拟合效果.
解：（1）制表如下
1 2 3 4 合计
11 13 12 8 44
25 29 26 16 96
275 377 312 128 1092
121 169 144 64 498
625 841 676 256 2398
； ；
………4分
根据两变量、具有线性相关关系
由公式求得 ………6分
再由
所以关于的线性回归方程为 ………8分
(2) ∵
………10分
∴因此拟合效果比较好.
………12分
22.为选拔学生做亚运会志愿者，对某班50名学生进行了一次体育测试，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组，第二组 ，……，第五组．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（I）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；
（II）从测试成绩在内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为、，求事件“”的概率.
解：（I）由直方图知，成绩在内的人数为：
.
所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人. ………4分
（II）由直方图知，成绩在的人数为，设为、，
成绩在 的人数为，设为………6分
若时，只有1种情况，………7分
若时，有 3种情况，………8分
若分别在和内时，有
x x x x
y y y y
共有6种情况.所以基本事件总数为10种，………12分
事件“”所包含的基本事件个数有6种
∴P（）………14分
.精品资料。欢迎使用。
图1
EMBED Equation.DSMT4
图2
图3
视力
4.3 4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
0.1
0.3
7
8
9
5
4
4
6
7
4
2
60
70
80
90
100
分数
0.016
0.024
0.028
0.032
_
3
_
3
_
6
_
6
_
y
_
x
_
F
_
E
_
D
_
B
_
A
_
O2012届高考数学二轮复习
专题一 集合
【重点知识回顾】
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。数学是理性思维的学科，高考尤其强调“全卷要贯穿思维能力的考查”简易逻辑用于可以和各章融合命题,正是这一理性思维的体现，学生只有在思维能力上有所提高才能让数学学习有一个质的飞跃。但思维的培养不是一朝一夕的，因此，在第二轮各模块的复习中应尽量加强学生思维能力方面的培养
1．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；
2．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。
① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ。
③区分集合中元素的形式：
【典型例题】
1.对集合与简易逻辑有关概念的考查
例1第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是 （ ）
A．AB B．BC C．A∩B=C D．B∪C=A
分析：本例主要考查子集的概念及集合的运算．
解析：易知选D．
点评：本题是典型的送分题，对于子集的概念，一定要从元素的角度进行理解．集合与集合间的关系，寻根溯源还是元素间的关系．
例2(07重庆)命题：“若，则”的逆否命题是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
答案:D.
2.对集合性质及运算的考查
例2．(2011年高考广东卷理科2)已知集合A={ (x，y)|x，y为实数，且x2+y2=l}，B={(x，y) |x，y为实数，且y=x}， 则A ∩ B的元素个数为（ ）
A．0 B． 1 C．2 D．3
【解析】C.方法一：由题得，元素的个数为2，所以选C.
方法二：直接画出曲线和直线，观察得两支曲线有两个交点，所以选C.
点评：对集合的子、交、并、补等运算，常借助于文氏图来分析、理解．高中数学中一般考查数集和点集这两类集合，数集应多结合对应的数轴来理解，点集则多结合对应的几何图形或平面直角坐标系来理解．
3.对与不等式有关集合问题的考查
例3．已知集合，则集合为 ( )
A． B． C． D．
分析：本题主要考查集合的运算，同时考查解不等式的知识内容．可先对题目中所给的集合化简，即先解集合所对应的不等式，然后再考虑集合的运算．
解析：依题意：，∴，
∴故选C．
点评：同不等式有关的集合问题是高考命题的热点之一，也是高考常见的命题形式，且多为含参数的不等式问题，需讨论参数的取值范围，主要考查分类讨论的思想，此外，解决集合运算问题还要注意数形结合思想的应用．
4.对与方程、函数有关的集合问题的考查
例4．已知全集，集合，
，则集合中元素的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
分析：本题集合A表示方程的解所组成的集合，集合B表示在集合A条件下函数的值域，故应先把集合A、B求出来，而后再考虑．
解析：因为集合，所以，所以故选B．
点评：在解决同方程、函数有关的集合问题时，一定要搞清题目中所给的集合是方程的根，或是函数的定义域、值域所组成的集合，也即要看清集合的代表元素，从而恰当简化集合，正确进行集合运算．
【模拟演练】
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．满足，且的集合M的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
1．B解析：由题意得或，故选B．
2．若，，且，则的值为
A．2或 B．0或 C．0或2 D．0，2或
2．D 解析：由，得，则或且．所以，或，或．
本题作为第3题
4．已知全集U=R，集合，，则
A． B．[0，1] C． D．
4．A 解析：因为集合，，所以，．又，所以．
5．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
5．C解析：由条件得命题“，”是真命题．所以，解得．
6．已知条件：和条件：有意义，则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．A 解析：由得，由得，则是的充分不必要条件，故是的充分不必要条件．
10．若，当时，恒成立，则的最大值为
A． B． C． D．
10．D解析：设，由于当时，恒成立，于是，即，满足此不等式组的点构成图中的阴影部分，其中，设，显然直线过点A时，取得最大值．
11、函数是定义在上的非负可导函数，且满足，则对任意正数，若，则必有
A． B．
C． D．
11．B 解析：构造函数，求导得，由条件知，∴，∴函数在上单调递减，又，∴，即．
12．幂指函数在求导时，可运用对数法：在函数解析式两边求对数得，两边同时求导得，于是，运用此方法可以探求得知的单调递增区间为( )．
A． B． C． D．(3，8)
12．A 解析：由题意得，∴．又且，∴的单调递增区间为．故选A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．现记且为集合B关于集合A的差集，若集合A={l，2，3，4，5｝，B={l，2，3，5，6}，则集合B关于集合A的差集为________．
13．{4} 解析：由集合B关于集合A的差集的定义可知={4}．
14．已知命题p：关于的函数在上是增函数.，命题q：为减函数，若为真命题，则的取值范围是____________。
14． 解析：命题p等价于，，即。由为减函数得：即。又因为为真命题，所以，均为真命题，所以取交集得。
15．2010年世博会在上海成功举办，使得旅游市场火爆。一家旅行社为了获取更大的利润，开发A、B两类旅游产品，A类每条旅游线路的利润是0．8万元，B类每条旅游线路的利润是0．5万元，且A类旅游线路不能少于5条，B类旅游线路不能少于8条，两类旅游线路的和不能超过20条，则该旅行社能从这两类旅游产品中获取的最大利润是________万元．
15．13．6 解析：设A类旅游线路开发条，B类旅游线路开发条，则，，不等式组表示的可行域是以(12，8)，(5，8)，(5，15)为顶点的三角形区域(含边界)，又，易知在点(12，8)处取得最大值，所以(万元)．
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）集合A是由具有以下性质的函数组成：对于任意，，且在上是增函数．
(1)试判断及是否在集合A中，若不在A中，试说明理由；
(2)对于(1)中你认为在集合A中的函数，不等式是否对任意恒成立，试证明你的结论．
17．解：(1)当时，，
所以；…………………………3分
因为的值域为，且当时，为增函数，
所以．…………………………6分
(2)因为
．
所以对任意，恒成立．…………………12分
19．（12分）(1)设是正实数，求证：；
(2)若，不等式是否仍然成立？如果成立给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的的值．
19．解：(1)是正实数，由基本不等式知，
，，，…………………………3分
故(当时等号成立)．…………………………6分
(2)若，不等式仍然成立．
证明：由(1)知，当时，不等式成立；…………………………8分
当时，，…………………………9分
而
，
此时不等式仍然成立．…………………………12分
20．（12分）已知函数．
(1)若在上是减函数，求的取值范围；
(2)函数是否既有极大值又有极小值？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
20．解：(1)，…………………………1分
∵在上为减函数，
∴时恒成立，即恒成立．……………3分
设，则，…………………………4分
∵时，
∴，∴在上单调递减，，∴．……6分
(2)若既有极大值又有极小值，则必须有两个不等的正实数根，
即有两个不等的正实数根．…………………………7分
故应满足，
∴当时，有两个不等的正实数根，…………………………9分
不妨设，由知，时，时，时，……………………11分
∴当时既有极大值又有极小值．…………………12分
21．（12分）已知函数是定义在上的奇函数，且，若，，．
(1)证明：函数在上是增函数；
(2)解不等式；
(3)若不等式对所有恒成立，求实数的取值范围．
21．解：(1)设任意，且，则由函数为奇函数，知
．……………2分
∵，，∴．
∴函数在上是增函数．…………………………4分
(2)∵，∴ …………………………6分
解得．…………………………8分
(3)由(1)，知在上是增函数，且，
当时，．…………………………9分
∵不等式对所有恒成立，
∴恒成立．…………………………10分
∴，即或，
∴或．…………………………12分
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